第二积分中值定理
积分第二中值定理中的渐进性
一、
1
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于是.忽我们有 1婴}r丽掣b 矗豢裔搀,b 2娑(畿:)c素悬卜,"护(岛‰“。
(6)
万方数据
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芜湖职业技术学院学报2001年第3卷第2期
¨lira弋F丽而Fi矿2一lira百专琢商2 g(b)flf(x)dx-J.bf(x)g(x)dx g(b)』Ix肌肛)d)【
相似文献(4条)
1.期刊论文 陈新一.唐文玲.CHEN Xin-yi.TANG Wen-ling 关于积分第二中值定理"中值点"的一个注记 -甘肃联合
大学学报(自然科学版)2005,19(3)
利用极限理论,给出并证明了减弱条件的积分第二中值定理"中值点"的渐近性的几个结论,相信在积分学中有着很重要的作用.
.
.
.上
“x)-f(a)州’a)(…)+眢(x-a)2+...+粼(x_a)n~,a<牝x 证明:因为f‘”1’(a)存在,所以在x=a的某邻域内f,(x),f,(x),…,f(”2’(x)都存在,从而由Taylor公式有 (2)
于是我们可得
陬)d)【:等导(。川n’a<∈1x<。
(3)
·收稿日期:2001-02.12 作者简介:唐金菊,女,1964年出生,安徽枞阳人,中教一级。
g(x)在[a,b]在存在m阶导数,g(k+1’(b)=…=g(k+m-1)(b)=o,g‘。+“’(b)≠0,且g‘。+”’(x)在b点连续。k=o,1,2…,则
对于(1)中的∈有
l/m.da-bb=离a=(毒K我m
+
D一
、
十
+
n/1“
当定理2中k:0即得支[4]的定理2。
文稿责编:吴月红
积分平均值定理、积分第二中值定理
定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理(连续可微情形)的证明简单不等式定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积,且0)(≥x f ,([]b a x ,∈),则有⎰≥ba dx x f 0)(。
定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负,(即0)(≥x f ,[]b a x ,∈),如果)(x f 不恒等于0,则有⎰>ba dx x f 0)(。
证明:由条件得,存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。
由连续函数的性质,存在一个子区间[]βα,,适合[][]b a x ,,0⊂∈βα,使得对一切[]βα,∈x ,有)(21)(0x f x f ≥由积分对区间的可加性,知⎰⎰⎰⎰++=ba ab dx x f dx x f dx x f dx x f αββα)()()()( ⎰≥βαdx x f )( ⎰≥βαdx x f )(210 0))((210>-=αβx f 。
推论1、设[]0,,≥∈f b a f ,如果有⎰=ba dx x f 0)(,则有0)(=x f ,[]b a x ,∈。
推论2、设[]b a f ,∈,如果对任意[]b a g ,∈都有⎰=ba dx x g x f 0)()(,则必有0)(=x f ,[]b a x ,∈。
积分平均值定理定理3、设[],f C a b ∈,则存在),(b a ∈ξ,使得⎰-=b a a b f dx x f ))(()(ξ证明:设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值,显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ⎰⎰⎰≤≤b ab a ba Mdx dx x f mdx )( )()()(ab M dx x f a b m ba -≤≤-⎰从而有 M dx x f a b m b a≤-≤⎰)()(1。
如果M m =,则)(x f 常数,则对任意),(b a ∈ξ,有⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ。
积分第二中值定理证明_139202166
xi xi 1
[
g
(
xi
)
g(
xi 1 )]dx
K
lim[U
|T |0
(g,T
)
L(g,T
)]
0
,
其中 K sup | f (x) | .再结合(3)式,若在等式(2)中令 | T | 0 ,可得
a xbΒιβλιοθήκη bmg(b) a f (x)g( x)dx Mg(b) .
由于 M 与 m 分别是 F (x) 在a,b 上的最大值与最小值,根据连续函数的介值定
理, [a, b] 使得
b
b
a f ( x)g(x)dx g(b)F ( ) g(b) f (x)dx .
(4)
2. 设 g 在a,b 上单调递增, 则 g(x) g(a) 在a,b 上非负且单调递增,若在
等式(4)中用 g(x) g(a) 代替 g(x) ,可得
n1
A(T ) m{g(x1) [g(xi1) g(xi )]} mg(b) i1
即对于区间a,b 的任何分割T ,
mg(b) A(T ) Mg(b) .
另一方面,由 f Ra, b 可得,
(3)
n
lim B(T ) lim K
|T |0
|T |0 i1
积分第二中值定理: 设 f Ra, b , g 在a,b 上单调,则存在 [a,b]使得
b
a
f
( x)g(x)dx
g
a
a
f
( x )dx
g
b
b
积分中值定理及应用
毕业论文题目:积分中值定理及应用学号:姓名:年级:系别:数学系专业:数学与应用数学指导教师:完成日期:年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用,全文分为以下几个方面:积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。
首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广,而且还给出了这些定理的详细证明过程。
其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性,对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论,给出了详细清楚的证明过程。
而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形,其他证明过程只作简要说明。
最后归纳了积分中值定理的应用,给出了一些较简单的情形如估计积分值,求含有定积分的极限,确定积分号、比较积分大小,证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
关键词:积分中值定理;推广;应用;渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展,数学也跟着时代步伐大迈步前进。
积分中值定理
b
g ( b ) f ( x )dx g ( a ) f ( x )dx
a
b
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复习思考题
1.设 f , g R[a , b],
b
证明柯西-施瓦兹不等式
b b
( Cauchy-Schwaz Inequality )
[ f ( x ) g ( x )dx] f ( x )dx g 2 ( x )dx
注1 还可以在 (a , b) 内取到,事实上若
1 b x (a , b), f ( x ) f ( x )dx , ba a
则由连续函数的介值定理, 必恒有
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f ( x ) f ( t )dt , x (a , b),
a
b
或恒有
因此
f ( x ) f ( t )dt , x (a , b).
4. 证明:若函数 f ( x ) 在 [0 , 1] 上单调递减,则
0
1
1 n k f (0) f (1) f ( x )dx f ( ) n k 1 n n
3. 提示:
0 f ( x )dx k 1
1
k
n
n 1 n k k n f ( )dx f ( ) 1 n n k 1 n k 1 k n
则
a f ( x ) g ( x ) dx a g ( x )dF ( x )
b b g( x )F ( x ) F ( x ) g( x )dx a a
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b b g( x )F ( x ) F ( x ) g( x )dx a a
关于积分第二中值定理介值点的讨论
Vol.29No.1Jan.2013赤峰学院学报(自然科学版)JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)第29卷第1期(下)2013年1月定理1[1,2]设函数g在[a,b]上可积,此时有如下三个命题:⑴若函数f在[a,b]上非负,递减,则埚ξ1∈[a,b],使得ba乙f(x)g(x)dx=f(a)ξ1a乙g(x)dx.⑵若函数f在[a,b]上非负,递增,则埚ξ2∈[a,b],使得ba乙f(x)g(x)dx=f(a)bξ2乙g(x)dx.⑶若函数f在[a,b]上单调,则埚ξ∈[a,b].使得ba乙f(x)g(x)dx=f(a)ξa乙g(x)dx+f(b)bξ乙g(x)dx.那么此定理中的ξ1,ξ2,ξ能否在开区间(a,b)内取得呢?假如,设f(x)=2,x=0,1,0<x<2π,g(x)=sinx,0≤x≤2π,1,x=2乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙π则f与g在区间[0,2π]上满足定理5⑴中的条件,且2π0乙f(x)g(x)dx=0.但是要使得f(0)ξ0乙g(x)dx=2ξ0乙sinxdx=0,必须取ξ=0或ξ=2π才行,也就是说ξ只能取积分区间端点.如果在定理中的⑴中加上一个非常一般化的条件,那么一定能在开区间(a,b)内取得.定理2设函数在区间[a,b]上非负,递减,f(a+0)-f(b-0)>0,函数g在[a,b]上可积,则ξ∈[a,b],使得ba乙f(x)g(x)dx=f(a)ξa乙g(x)dx.证明由定理5的⑴可知,埚c∈[a,b],使得ba乙f(x)g(x)dx=f(a)ξa乙f(x)dx.如果c∈(a,b),取ξ=c,定理6便已获证.如果c埸(a,b),则必定c=a或c=b.令G(x)=xa乙g(t)dx,则G在[a,b]上连续,故有m=mina≤x≤b{G(x)},M=maxa≤x≤b{G(x)}.当m=M时或m<M且m<G(x)<M时,由连续函数介值定理易知,埚ξ∈(a,b),使得G(ξ)=G(c),此时定理也成立.余下只要证明:当m<M且G(c)=m或G(c)=M时,埚ξ∈(a,b),使得G(ξ)=G(c).设T={x0,x1,x2,…,xn}是[a,b]的任一划分,记△xk=xk-xk-1,λ(T)=max1≤k≤n{△xk},关于积分第二中值定理介值点的讨论杨大勇(陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳745000)摘要:该文论述了第二积分中值定理中的介值点ξ在开区间(a ,b )内能够取得的条件.关键词:连续;可积;积分中值定理;介值点中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:1673-260X(2013)01-0015-0215--对坌ξk∈[xk-1,xk](k=1,2,…,n),作和式σ(T)=nk=1Σf(ξk)xkxk-1乙g(t)dt.令|f(x)|≤L.(a≤x≤b),ωk为g(x)在[xk-1,xk]上的振幅,于是σ(T)-nk=1Σf(ξk)g(ξk)△xk=nk=1Σf(ξk)xkxk-1乙g(t)-g(ξk)dt]≤Lnk=1Σωk△xk.由定积分存在的充要条件可知,当λ(T)→0时,有nk=1Σωk△xk→0,即ba乙f(x)g(x)dx=limλ(T)→0σ(T)以下证明当m<M且G(c)=m时,存在ξ∈(a,b),使得G(ξ)=m.用反证法,假若不然,则对坌x∈(a,b),有G(x)>m,f(a+0)-f(b-0)>0,所以埚b1,使得a<a1<b1<bf(a1)-f(b1)>0.设a1与b1是T的两个分点,并记a1=xn1,b1=xn2,由Abel变换得σ(T)=n-1k=1Σ[f(ξk)-f(ξk+1)]xka乙g(t)dt+f(ξn)ba乙d(t)dt=n1-1k=1Σ[f(ξk)-f(ξk+1)]xka乙g(t)dt+n2-1k=n1Σ[f(ξk)-f(ξk+1)]f(ξn)]xka乙g(t)dt+n-1k=n2Σ[f(ξk)-f(ξk+1)]xka乙g(t)dt+f(ξn)]ba乙g(t)dt设m1=mina1≤x≤b1{G(x)},,则由反证法假设可知m1>m,并取ξ1=a,ξn=b,利用f(ξk)-f(ξk+1)及f(b)的非负性,由Abel引理,得σ(T)≥mn1-1k=1Σ[f(ξk)-f(ξk+1)]+m1n2-1k=n1Σ[f(ξk)-f(ξk+1)]+mn-1k=n2Σ[f(ξk)-f(ξk+1)]+mf(b)=m[f(a)-f(a1)]+m1[f(a1)-f(b1)]+m[f(b1)-f(b)]+mf(b)=mf(a)+(m1-m)[f(a1)-f(b1)].令λ(T)→0,对上式取极限,由①式得ba乙f(x)g(x)dx≥mf(a)+(m1-m)[f(a1)-f(b1)]>mf(a),这与ba乙f(x)g(x)dx=mf(a)矛盾,这表明埚ξ∈(a,b),使得G(ξ)=m.同理可证,当m<M且G(C)=M时,ξ∈(a,b),使得G(ξ)=M.综上所述,定理2得证.———————————————————参考文献:〔1〕华东师大数学系.数学分析(上册)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.217—223.〔2〕赵显曾.数学分析拾遗[M].南京:东南大学出版社,2001.21—27.16--。
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍,这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知,即若)(x f 在[a,b ]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广,即若)(),(x g x f 在[a ,b ]上连续,且)(x g 在[a ,b ]上不变号,则在[a ,b]上至少存在一点ξ,使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联,因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式,分析其结构特征,结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论,并且掌握一定的函数构造技巧。
例一.设)(x ϕ在[0,1]上连续可导,且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明:任意给定正整数b a ,,必存在(0,1)内的两个数ηξ,,使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1:任意给定正整数a ,令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==,则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈ξ,使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ,再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==,则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
三个中值定理
三个中值定理
三个中值定理的公式:
罗尔定理:如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得f'(ξ)=0。
柯西定理:如果函数f(x)及F(x)满足在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;(3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(a)]/=f'(ξ)/F'(ξ)成立。
拉格朗日定理:如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导。
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。
积分中值定理:
积分中值定理,是一种数学定律。
分为积分第一中值定理和积分第二中值定理,它们各包含两个公式。
其中,积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
这个定理的几何意义为:若f(x)≥0,x∈[a,b],则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a,宽为f(ξ)的矩形的面积。
积分第二中值定理的应用及中间点的渐近性
关于积分第二中值定理的探讨范喜红 指导老师:朱福国(河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000)摘 要 本文以实例的形式,列举了积分第二中值定理在判别无界函数积分收敛,解决与极限有关的问题,证明积分的不等式和等式等方面的应用.并讨论了减弱条件的积分第二中值定理“中间点”的渐近性态.关键词 积分第二中值定理;应用;中间点;渐近性态中图分类号 O 172.2On the integral of the second mean value theoremFan XihongInstructor Zhu Fuguo(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)Abstract: In this paper, as an instance of, The second lists the integral mean value theorem in identifying the convergence points of unbounded functions, solve problems of the limit, Prove integral inequalities and equations in such applications.And discussed the weakened condition of the second integral mean value theorem "middle point" of the progressive state.Keywords: The second integral mean value theorem;Application;Mid-point;Asymptotic behavior1 引言积分第二中值定理是数学分析的基本定理,在判别无界函数积分收敛、证明定积分的不等式、解决与极限有关的问题等方面有广泛应用.为加深积分第二中值定理的理解初步探讨了“中间点”的渐近性态.2 积分第二中值定理定理 如果是上的可积函数,且在单调,则至[]11()(),f x g x [],a b ()g x [],a b 少存在一点使得[],a b ξ∈ (1)()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰3 积分第二中值定理的应用3.1 无界函数积分收敛的判别法.例1 阿贝尔判别法:设在有奇点,收敛,其中,[]2()f x x a =()baf x dx ⎰b a >单调有界,那么积分收敛.()g x ()()baf xg x dx ⎰证明 依假设,利用第二积分中值定理,在任何上,存在使[](),,a b 'A A ⊆ξ得,又因为收敛,所()()f x g x dx 'A A ⎰()()()()g f x dx g f x dx ξξ'A A'=A +A ⎰⎰()baf x dx ⎰以对任意的,存在满足,且,时,有0ε>η0b a η<<-A (),a a η'A ∈+,.因为有界,不妨设,所以有当,()f x dx ξεA<⎰()f x dx ξε'A <⎰()g x ()g x L <A 时,(),a a η'A ∈+()()f x g x dx'A A ⎰()()()()g f x dx g f x dx ξξ'A A'≤A +A ⎰⎰()()()()g f x dx g f x dxξξ'A A'≤A ⋅+A ⋅⎰⎰.2L ε≤由柯西积分原理得,收敛.()()baf xg x dx ⎰3.2 与极限有关的问题.例2 设,试计算.()21,101x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩当 , 当()0sin lim (0)b x f x dx b x λλ→∞>⎰解 取,则在上递减,由积分第二中值定理有{}*min ,1b b =()f x *0,b ⎡⎤⎣⎦()sin bxf x dx x λ⎰()()*0sin 0b xf f x dxx λ=⎰ ()0sin 0xf dx xξλ=⎰ 0sin tdt tλξ=⎰*(0)b ξ<<因此.()0sin lim b x f x dx x λλ→∞⎰0sin t dt tλξ=⎰2π=3.3 证明积分不等式和等式.例3设在上连续,且单调增加,证明:()f x [],a b.()()2bba aa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰证明 因为()()2bba a ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ =()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ()2a a b f a x dx ξ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰+()2b a b f b x dx ξ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()a b ξ≤≤ ()()()22bb a a b a b f a x dx f b f a x dx ξ++⎛⎫⎛⎫=-+--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰ =()()()2222b a b f b f a b ξξ⎡⎤-+---⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()02b f b f a a ξξ-=--≥⎡⎤⎣⎦所以.()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰例4 设,,证明:,使得.0b a >>0θ>1ξ∃<sin 2x ba e x dx x aθξ-=⎰证明令,,则在上连续,又()x e f x xθ-=()sin g x x =()g x [],a b ,所以在上严格单调减少,且非负.于是,由积()210xx f x e xθθ-+'=-<()f x [],a b 分第二中值定理知,,使得[],a b η∃∈,sin x bae x dx xθ-⎰()()a f a g x dx η=⎰()cos cos xe a θαη-=-即sin 2x bae x dx x aθ-<⎰令,则有,且.sin 2x b a a e x dx x θξ-=⎰1ξ<sin 2xb a e x dx x aθξ-=⎰4 积分第二中值定理中间点的渐近性态定理2 设函数在上连续且不变号,,在上[]3()f x [],a b ()0f a ≠()g x [],a b单调且连续,存在,且=…==0,,则()()n g a ()()g a g a '''=(1)()n g a -()()0n g a ≠(1)n ≥对于(1)中的有ξ1lim1b a b b a n ξ→-=-+或lim1b a an b a n ξ→-=-+定理2的条件还是稍强了一些,实际上这个定理的条件还可以减弱.下面给出定理2条件减弱的“中值点”的渐进性定理:定理3设函数在上连续且不变号,且,在[]4()f x [],a b ()0f a ≠()g x 上单调,存在,=…==0,,则对于式(1)中[],a b ()()n g a +()()g a g a '''=(1)()n g a -()()0n g a +≠的有ξ 1lim 1b ab b a n ξ+→-=-+证明由题设可得.由在上连续,则有()0ba f x dx ≠⎰()f x [],ab ,.由存在,==…==0,()()()ba f x dx fb a η=-⎰[],a b η∈()()n g a +()g a '()g a ''(1)()n g a -,容易证明()()0n g a +≠ (2)()()()()lim ()!n n b a g a g b g a b a n ++→-=-1()()()()lim()bba an b b a a f x g x dx g a f x dxf x dx ++→-⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()()()lim (1)()()nb b aa fb g b f a g a n f x dx f b +→-=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰[]()()lim (1)()()nnb ag b g a n f b a η+→-=+- (3[]()()(1)!()n ng a n f a +=+)另一方面由积分第二中值定理、积分第一中值定理及式(2),我们有1()()()()lim ()bba a nb b aa f x g x dx g a f x dxf x dx ++→-⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰1()()()()()()lim ()bbaa nb b aa g a f x dx gb f x dx g a f x dxf x dx ξξ++→+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰[]1()()()lim ()bn b b aa gb g a f x dxf x dx ξ++→-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰[]112()()()lim ()()n n b af g b g a b b a b af ηξη++→--=⋅⋅-- (4)[]()()lim !()n nb ag a b b an f a ξ++→-=⋅-其中,.由式(3)和式(4)即得[]1,b ηξ∈[]2,a b η∈.1lim 1b a b b a n ξ+→-=-+ 比较定理2和定理3可以看出,定理3的条件比定理2的弱,但得到的结果相同.致谢 衷心感谢朱福国老师的悉心指导!参 考 文 献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M ].北京:高等教育出版社,2001.223-224.[2] 朱碧,王磊.积分第二中值定理的一些推广及其应[J ].数学教学与研究,2008,30:49-50.[3] 吴志友,夏雪.积分第二中值定理“中值点”的渐近性[J ].数学的实践与认识,2004,34(3):170-176.[4] 陈新一,唐文玲.关于积分第二中值定理“中值点”的一个注记[J ].甘肃联合大学学报,2005,19(3):3-5.。
积分中值定理及其应用
积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用,主要从以下几个方面论述:积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性,积分中值定理的应用.关键词:积分中值定理;推广;应用一、引言随着科技时代的发展,数学也随之大步前进.其中,微积分的创立,为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质,而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位,对于后续课程的学习也起着较大作用,在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下,积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理,即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛,比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用,把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式:数学中一些定理的证明,数学定理、命题,几何应用,含定积分的极限应用,确定积分符号,比较积分大小,证明函数单调性,估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐,但是我们任然可以把它当作一个基础定理,解决一些现实问题.本课题的研究过程为:讨论和分析积分中值定理,然后将其加以推广,讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质,最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性,将各方面的应用如:估计积分值,求含有定积分的极限,确定积分号,比较积分大小,证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、 积分中值定理的证明 1、 定积分中值定理引理:假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值,则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明:因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值,即()m f x M ≤≤,我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰,由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ (1)成立,命题得证.定理1(定积分中值定理):如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立.证明:由于0b a ->,将(1)同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()baf x dx b a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理,在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ,使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等,即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰,成立,将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰,命题得证.备注1:很显然,积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(ξ在a 与b 之间)不论a b <或a b >都是成立的.2、 积分第一中值定理定理2(第一积分中值定理):如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,()g x 在(,)a b 上不变号,并且()g x 在[,]a b 上是可积的,则在[,]a b 上至少存在一点ξ,使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明:由于()g x 在[,]a b 上不变号,我们不妨假设()0g x ≥,并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ,即()m f x M ≤≤,将不等式两边同乘以()g x 可知,此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立.对上式在[,]a b 上进行积分,可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ,使得m M μ≤≤,即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的,则在[,]a b 上必定存在一点ξ,使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰,命题得证.3、 积分第二中值定理定理3(积分第二中值定理):如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积,而()g x 在区间(,)a b 上单调,则在[,]a b 上至少存在一点ξ,使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰ (2)特别地,如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ,那么存在ξ,使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰ (3)如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥,那么存在ξ,使下式成立()()()()baaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰ (4)证明:由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的,由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明(3)式,即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明. 对于(4)式证明是类似的,最后我们再将其推导到一般情形,即可证明(2)式. 在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b-=<<<<<<=,记1i i i x x x -∆=-,其中iω为()g x 在ix ∆上的幅度,即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-,再将所讨论的积分作如下改变:将积分限等分为如下n 等份,并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰,11()()ii nx ix i g x f x dx σ-==∑⎰.则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰,因为()f x 在[,]a b 上可积,且区间[,]a b 是有限的,所以()f x 在[,]a b 上有界,此时我们不妨假设()f x L≤.估计ρ如下:11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()ii nx i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积,所以当max 0i x λ=∆→时,有1ni i i x ω=∆→∑,从而有0lim 0λρ→=,从而可知()()lim()lim lim b af xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰,由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积,那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数,并且有最大值和最小值M 和m ,记为()i m F x M≤≤,很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰,0()()0F x F b ==,从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的,并且在区间(,)a b 上单调上升,即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立,所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=,其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续,则在[,]a b 之间存在一点ξ,使()()bF f x dxξμξ==⎰成立,从而有公式(2-3)成立,即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立,(3)式得证.对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式(4)的证明过程是类似的,证明略.对于()g x 是一般单调上升情形,我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-,其中ψ为单调上升且()0a ψ≥,此时公式(3)对于()x ψ是成立的,即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立,这就证明了公式(2)()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形,此时应用公式(4),同样可得到(2)式,此命题得证.三、 积分中值定理的推广 1、定积分中值定理的推广定理7(推广的定积分中值定理) :如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续,则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ,使得下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰成立.证明:作辅助函数()F x 如下:()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰.由于()f x 在闭区间[,]a b 连续,则()F x 在[,]a b 上可微,且有()()F x f x '=成立.由微分中值定理可知:至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-成立.并且有()()baF b f t dt=⎰,()0F a =,此时即可得到下式()()(),(,)baf t dt f b a a b ξξ=-∈⎰,命题得证.2、定积分第一中值定理的推广定理8(推广的定积分第一中值定理): 若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数,()g x 在[,]a b 上可积且不变号,则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ,使得()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰成立.证法1:由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的,()g x 在[,]a b 上可积且不变号,令()()()xaF x f t g t dt=⎰,()()xaG x g t dt=⎰,很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续.并且()0,()()()baF a F b f t g t dt==⎰,()0,()()b aG a G b g t dt==⎰,()()()F f g ξξξ'=,()()G g ξξ'= .由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()F b F a F a b G b G a G ξξξ'-=∈'-,即()()()()()()babaf tg t dtf g g g t dtξξξ=⎰⎰,()()()(),(,)bbaaf tg t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰⎰,命题得证.证法2:由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号,我们不妨假设()0g x ≥.而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积,我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈,{}sup ()|[,]M f x x a b =∈.假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数,即()(),[,]F x f x x a b '=∈.此时我们有下式成立()()()()bbb aaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰(1)由于()0g x ≥,则有()0ba g x dx ≥⎰,以下我们分两种情形来进行讨论:[1]如果()0bag x dx =⎰,由(3-1)式可知()()0baf xg x dx =⎰,则此时对于(,)a b ξ∀∈有()()0()()bbaaf xg x dx f g x dxξ==⎰⎰成立.[2]如果()0b ag x dx >⎰,将(3-1)式除以()bag x dx⎰可得()()()babaf xg x dxm Mg x dx≤≤⎰⎰,(2)我们记()()()babaf xg x dxg x dxμ=⎰⎰,(3)此时我们又分两种情形继续进行讨论:i 如果(2)式中的等号不成立,即有()()()babaf xg x dxm Mg x dx<<⎰⎰成立,则此时存在m M μ<<,使得12(),()m f x f x Mμμ<≤<≤,我们不妨假设12x x <,其中12,[,]x x a b ∈.因为()()F x f x '=,[,]x a b ∈,则有1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=.此时至少存在一点12(,)x x ξ∈,使得()()F f ξξμ'==,即有12()()()(),(,)[,]bbaaf xg x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰⎰成立,从而结论成立.ii 如果(2)式中仅有一个等号成立,不妨假设M μ=,因为()0bag x dx >⎰,此时必存在11[,](,)a b a b ∈(其中11a b <),使得11[,]x a b ∀∈,恒有()0g x >成立,我们则可将(3)式可改写为()()()b baag x dx f x g x dxμ⋅=⎰⎰,因为M μ=,则有[()]()0baM f x g x dx -=⎰(4)又注意到[()]()0M f x g x -≥,必有110[()]()[()]0b ba aM f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰.于是11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰(5)下证必存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂,使()f M ξμ==.若不然,则在11[,]a b 上恒有()0M f x ->及()0g x >成立,从而[()]()0M f x g x ->.如果11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰,由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -,这与[()]()0M f x g x ->矛盾.如果11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰,这与(5)式矛盾.所以存在[,]a b ξ∈,使()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰,定理证毕.3、 推广定积分第二中值定理定理9(推广定积分第二中值定理): 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积,()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号,则在(,)a b 上必存在一点ξ,使得()()()()()(),(,)bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx a b ξ=+∈⎰⎰⎰成立.证明过程详见参考文献[9].4、 第一曲线积分中值定理定理10(第一型曲线积分中值定理): 如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续,则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη,使(,)(,)Cf x y ds f Sξη=⎰成立,其中S 为曲线C 的弧长.证明:因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续,所以存在,m M R ∈,其中(,)m f x y M ≤≤,对不等式在闭曲线C 上进行第一类曲线积分可得(,)CCCm ds f x y ds M ds⋅≤≤⋅⎰⎰⎰,其中Cds⎰为曲线C 的弧长,并且Cds S=⎰,由于0S >,将上式同除以常数S ,即可得到1(,)C m f x y ds M S ≤≤⎰,由于函数(,)f x y 在曲线C 上连续,故由闭区间上连续函数的介值定理,在曲线C 上至少存在一点(,)ξη,使1(,)(,)C f f x y ds S ξη=⎰成立,左右两边同除以常数S ,即可得到结论,从而命题得证.5、 第二曲线积分中值定理定理11(第二型曲线积分中值定理):如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续,则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη,使得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰成立.其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影,其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的.证明:因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续,所以存在,m M R ∈,其中(,)m f x y M ≤≤,对上式进行第二型曲线积分可得(,)cCcm dx f x y dx M dx≤≤⎰⎰⎰(6)其中cdx ⎰为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影,此时我们不妨记cdx I =±⎰,并且分以下两种情况进行讨论:[1]假设cdx I =⎰,将(3-6)式除以I 可得1(,)C m f x y dx M I ≤≤⎰.因为(,)f x y 在C 上连续,故由介值定理,则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη,使1(,)(,)C f x y dx f I ξη=⎰成立,即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=⋅⎰成立.[2]同理当cdx I =-⎰,式左右两边同时除以I -可得1(,)C M f x y dx m I -≤-≤-⎰,因为(,)f x y 在C 上连续,故由介值定理,则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη,使1(,)(,)C f x y dx f I ξη-=⎰成立,即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=-⋅⎰成立,由上面证明过程可得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰,命题得证.6、 第一曲面积分中值定理定理12(第一型曲面积分中值定理):设D 为xoy 平面上的有界闭区域,其中(,)z z x y =为光滑曲面S ,并且函数(,,)f x y z 在S 上连续,则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ,使(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰成立,其中A 是曲面S 的面积.证明:因为(,,)f x y z 在曲面S 上连续,所以存在,m M R ∈且使得(,,)m f x y z M ≤≤成立,我们对上式在S 上进行第一类曲面积分可得(,,)SSSm d f x y z d M d σσσ⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中Sd σ⎰⎰为曲面的面积,且Sd Aσ=⎰⎰,因为0A ≠,两边同除以A 有1(,,)Sm f x y z d M A σ≤≤⎰⎰,由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续,故由介值定理,在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ,使1(,,)(,,)Sf f x y z d A ξηζσ=⎰⎰,成立,两边同时乘以A 可得(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰,命题得证.7、 第二曲面积分中值定理定理13(第二型曲面积分中值定理):若有光滑曲面:(,),(,)xyS z x y x y D ∈,其中xyD 是有界闭区域,函数(,,)f x y z 在S 上连续,由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ,使(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰成立,其中A 是S 的投影xyD 的面积.证明:因为函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续,所以存在,m M R ∈使得(,,)m f x y z M ≤≤,对上式在曲面S 上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSm dxdy f x y z dxdy M dxdy⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中Sdxdy⎰⎰为(,,)f x y z 投影在曲面xy D上的面积,并且我们记Sdxdy A=±⎰⎰.[1]若Sdxdy A=⎰⎰,则上式除以A 有1(,,)Sm f x y z dxdy M A ≤≤⎰⎰,由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续,故由介值定理,在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ,使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=⎰⎰,两边同时乘以A 有(,,)(,,)Sf x y z dxdy Af ξηζ=⎰⎰,[2]同理,若Sdxdy A=-⎰⎰,则上式除以A -有1(,,)SM f x y z dxdy m A -≤-≤-⎰⎰,由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续,故由介值定理,在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ,使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=-⎰⎰,两边同时乘以A -有(,,)(,,)SAf f x y z dxdyξηζ-=⎰⎰.由以上证明过程可得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰,从而结论成立.四、 第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 :假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导,其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数为0,而n 不为0,即(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====,()()0n f a +≠,并且有()()n f x 在a 点连续;函数()g x 在[,]a b 可积且不变号,并且对于充分小的0()a b δδ>+<, ()g x 在[,]a a δ+上连续,且()0g a ≠,则第一积分中值定理中的中值点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明:对任意(,)x a b ∈,我们做一个辅助函数()F x 如下:1()()()()()()xxaan f t g t dt f a g t dtF x x a +-=-⎰⎰一方面,当0x a →+时,分子分母同时趋于零,满足洛比达法则条件,由洛比达法则()()()()lim ()lim(1)()nx a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+-()()()lim ()1n x a f x f a g x x a n →+-=-+001()()lim ()lim1()n x a x a f x f a g x n x a →+→+-=⋅⋅+-由积分中值定理和洛比达法则可以得到()0()()()lim ()!n n x a f a f x f a x a n +→+-=-,从而()0()()lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. (1)且有()0()()()lim ,()()!n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<-成立.另一方面,由积分中值定理和洛比达法则可得1()()()()lim ()lim()x xaan x a x a f g t dt f a g t dtF x x a ξ+→+→+-=-⎰⎰=0()()()lim ()xna n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⋅⋅ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 000()()()lim lim lim ()a na n x a x a g t dtf f a a a x a δδξξξδ+→+→+→+--⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭⎰由洛比达法则,则有()lim()a ag t dtg a δδδ+→+=⎰,因此可得()0()()lim ,()!nn x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-⎛⎫=⋅<< ⎪-⎝⎭. (2)比较(4-1)式与(4-2)式可以得到lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理15:假设函数()f x 在[,]a b 上连续,()f a +'存在并且有()0f a +'≠,()[,]g x a b 在上有m 阶导数,有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====, ()()0m g a +≠成立,并且()()m g x 在a 点连续,()g x 不变号,则第一积分中值定理中的点ξ满足1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.证明:对任意的(,)x a b ∈,构造辅助函数()H x 如下2()()()()()()xxaam f t g t dt f a g t dtH x x a +-=-⎰⎰ .一方面,当0x a →+时,分子分母同时趋于零,满足洛比达法则条件,由洛比达法则,有10()()()()lim ()lim (2)()m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+-=()()()1lim()2m x a f x f a g x x a x a m →+-⋅⋅--+由于0x a →+,则0()()lim()x a f x f a f a x a +→+-'=-,且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数,则上式等于()0()1()1()lim ()2()2!m m x a g x g x f a f a m x a m m +++→+''⋅⋅=⋅⋅+-+(3)另一方面,由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则2[()()]()lim ()lim()()xam x a x a f f a g t dtH x a x x a ξξ+→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]lim ()xa m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰ =1000()[()()]lim lim lim ()xam x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()H x 使用洛比达法则可得=()0()()lim(1)!m x a g a a f a m x a ξ++→+-'⋅⋅+-(4) 比较(3),(4)式我们可以得到01lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.定理16:设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导,(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====,()()0n f x ≠,()()n f x 在a点连续;函数()[,]g x a b 在上有m阶导数,且(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====,()()0m g a ≠,并且()()m g x 在a 点连续,()g x 不变号,则第一积分中值定理中的ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明:对任意的(,)x a b ∈,我们构造辅助函数()L x 如下1()()()()()()xxaam n f t g t dt f a g t dtL x x a ++-=-⎰⎰一方面,由于0x a →+时,分子分母同时趋于零,满足洛比达法则条件,由洛比达法则,有()()()()lim ()lim (1)()m n x a x a f x g x f a g x L x m n x a +→+→+-=++-=()()()1lim()()1n m x a f x f a g x x a x a m n →+-⋅⋅--++001()()()lim lim1()()nm x a x a f x f a g x m n x a x a →+→+-=⋅⋅++--由于函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导,且函数()g x 在[,]a b 上m 阶可导,则上式等于()()()()11!!n m f a g x m n n m ++=⋅⋅++ (5)另一方面,由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则1[()()]()lim ()lim()()xam n x a x a f f a g t dtL x a x x a ξξ++→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]()lim ()()()xna n m m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]()lim lim lim ()()()xnan m m x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()L x 使用洛比达法则可得()()0()()lim ,()!(1)!nn m x a f a g a a a x n x a m ξξ++→+-⎛⎫=⋅⋅<< ⎪-+⎝⎭ (6)比较(5)、(6)式我们可以得到0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.五、 第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 :假设函数()[,]f x a b 在上单调,并且在a 点的右导数存在,且有(0)0f a '+≠;()g x 在[,]a b 上可积,在a 点的右极限存在,且(0)0g a +≠.则第二积分中值定理中的ξ满足01lim,(,)2x a ax a b x a ξ→+-=∈-. 证明:对于任意的(,)x a b ∈,构造辅助函数()F x 如下2()()()()()()xxaaf tg t dt f a g t dtF x x a -=-⎰⎰.一方面,当0x a →+时,分子分母同时趋于零,满足洛比达法则条件,由洛比达法则可得()()()()lim ()lim2()x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-001()()1lim lim ()(0)(0)02()2x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'==++≠-(1)另一方面,由第二积分中值定理,有2()()()()()()lim ()lim()x xaax a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dtF x x a ξξ→+→++-=-⎰⎰⎰2()()()()()()()lim()x xaa a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dt x a ξξ→+⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰[][]2()()()()()()lim()xa a x a f x f a g t dt f x f a g t dtx a ξ→+---=-⎰⎰00()()()()lim lim x aa x a x a g t dt g t dt f x f a x a x aξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(0)(0)(0)limx a a f a g a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-+⎢⎥-⎣⎦0(0)(0)1limx a a f a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-⎢⎥-⎣⎦(5-2)比较(5-1)、(5-2)式知011lim2x a ax aξ→+--=-,即可得到01lim 2x a a x a ξ→+-=-.将此定理推广,即可得到以下定理定理18:假设函数()f x 在[,]a b 上单调,在[,]a b 内有直到n 阶导数,()()n f x 在a 点连续,()f x在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=,()(0)0;n f a +≠()g x 在[,]a b 上可积,在a 点的右极限存在,且(0)0g a '+≠,则第二积分中值定理中的ξ满足lim,(,)1x a anx a b x an ξ→+-=∈-+.定理19:假设函数()f x 在[,]a b 上单调,函数()f x 在a 点的右导数存在,并且有(0)0f a '+≠;()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数,且有()()m g x 在a 点连续,并且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=,()(0)0m g a +≠,则第二积分中值定理中的点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理20:假设函数()f x 在[,]a b 上单调,在[,]a b 上有直到n 阶的导数,()()n f x 在a 点连续,并且在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=,()(0)0n f a +≠;()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数,()()m gx 在a 点连续,且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=,()(0)0m g a +≠,则第二积分中值定理中的点ξ满足0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.6 积分中值定理的应用 6.1 估计积分值例1 估计2010.5sin xdxx +⎰的积分解:由于11110.510.5sin 10.5x ≤≤++-,即212310.5sin x ≤≤+.于是2044310.5sin x dx x ππ≤≤+⎰此时可得到估计的积分值为2084(1)10.5sin 33xdx x ππθθ=±≤+⎰.例2 估计2sin ,(0)b ax dx a b <<⎰的积分解:设x =则2221sin 2bb a a x dx =⎰⎰,其次,假设()sin f t t =和12()t tϕ-=,则()t ϕ单调下降,并且有()0t ϕ>.于是,2222111sin (cos cos )222b a a tdx a a a ξξ==-⎰⎰2211sin sin 22a a a a ξξθ+-==其中22a b ξ≤≤,1θ≤.因此2sin (1)bax dx aθθ=≤⎰.例3 证明等式sin lim 0n pnn xdx x +→∞=⎰.证法1:由第一积分中值定理可知sin sin lim lim 0n pn nn n nxdx p x ξξ+→∞→∞==⎰,其中nξ位于n 和n p +之间的某个值.证法2:由第二积分中值定理可知得sin 1sin nn pnnx dx xdxx nξ'+=⎰⎰11cos cos 0()nn n n n ξ'=-≤→→∞,其中nξ位于n 和n p +之间的某个值,于是sin lim 0n p nn xdx x +→∞=⎰.2、求含定积分的极限例4 求极限120lim 1nn x x →∞+⎰解:利用广义积分中值定理1122001lim 11n n n x dx x dxx ξ→∞=++⎰⎰1102211[],(01)11(1)(1)n x n n ξξξ+==≤≤++++则12201lim lim 01(1)(1)n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰3、 确定积分号例5确定积分131x x e dx-⎰的符号解:1010133333111()()x x x t x x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx----=+=---+⎰⎰⎰⎰⎰010113333311()txtxx x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx--=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理可知1331()0x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰其中(01)ξ≤≤.又3xx e 在[1,1]-上不恒为0,则有131x x e dx ->⎰,即131x x e dx-⎰的符号为正号.4、 比较积分大小例6 比较积分340sin xπ⎰和240sin xπ⎰的大小解:当(0,)4x π∈时,0sin 1x <<,从而有320sin sin 1x x <<<,于是我们有32440sin sin x xππ≤⎰⎰,即340sin xπ⎰小于等于240sin xπ⎰.5、 证明函数的单调性例7设函数()f x 在(0,)+∞上连续,其中0()(2)()xF x x t f t dt=-⎰,试证:在(0,)+∞内,若()f x 为非减函数,则()F x 必为非增函数.证明:利用分歩积分法,将()F x 化为()(2)()()2()x x xF x x t f t dt x f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰对上式求导,可以得到:()()()2()()()x xF x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-⎰⎰.由积分中值定理,可得:()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.若()f x 为非减函数,则有()()0f f x ξ-≤成立,因此可以得到()0F x '≤,故()F x 为非增函数,命题得证.6、 证明定理例8 证明(阿贝尔判别法)如果()f x 在[,)a +∞上可积,()g x 单调有界,那么()()a f x g x dx+∞⎰收敛.证明:由假设条件,利用第二中值定理,在任何一个区间[,]A A '上(其中,A A a '>),存在[,]A A ξ'∈,使得()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰.因为()f x 在[,)a +∞上可积,则()af x dx+∞⎰收敛,所以对于任何0ε>,存在0A a≥,使得当,A A A '≥时,成立(),()A Af x dx f x dx ξξεε'<<⎰⎰.又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时,有()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰()()()()2A Ag A f x dx g A f x dx L ξξε''≤+≤⎰⎰,根据柯西收敛原理可推知积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.备注2: 当讨论无界函数广义积分时,可将阿贝尔判别法可改写为: 假设()f x 在x a =有奇点,()baf x dx⎰收敛,()g x 单调有界,那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明:对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理,证明过程略.备注3:当讨论二元函数的积分限为含有参变量时,则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为: 假设(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈为一致收敛,(,)g x y 关于x 单调(即对每个固定的[,]y c d ∈,(,)g x y 作为x 的函数是单调的),并且关于y 是一致有界的,即存在正数L ,对所讨论范围内的一切,x y 成立:(,)g x y L <.那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明:由于(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈是一致收敛的,则对于任意正数0ε>,存在0A a≥,当,A A A '≥时,成立(,)A Af x y dx ε'<⎰.因此,当,A A A '≥时,将y 看成给定常数,则由积分第二中值定理中的公式(,)(,)A Af x yg x y dx '⎰()()(,)(,)(,)(,)y A Ay g A y f x y dx g A y f x y dxεε''=+⎰⎰因为对任意的,x y 都有(,)g x y L<,则(,)(,)2A Af x yg x y dx L ε'≤⎰.因此,(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的,命题得证.例9 证明(狄里克莱判别法)如果()()AaF A f x dx=⎰有界,即存在0K >,使得(),()Aaf x dx Kg x ≤⎰单调且当x →+∞时趋向于零,那么积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.证明:因为()0()g x x →→+∞,所以对任意的0ε>,存在0A ,当0,A A A '≥时,()g A ε<,()g A ε'<.又因()Aaf x dx K≤⎰,所以()()()2AAaaf x dx f x dx f x dx Kξξ=-≤⎰⎰⎰,同样我们有()2A f x dx Kξ'≤⎰.由第二积分中值定理,只要,A A A '≥,就有()()()()()()4A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dx K ξξε'''≤+≤⎰⎰⎰所以积分()()af xg x dx+∞⎰收敛,命题得证.备注4:当讨论无界函数广义积分时,我们可将狄立克莱判别法写为:设()f x 在x a =有奇点,()ba f x dx η+⎰是η的有界函数,()g x 单调且当x a →时趋于零,那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明:对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理,证明过程略.备注5: 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时,则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为:设积分(,)A af x y dx⎰对于A a ≥和[,]y c d ∈是一致有界的,即存在正数K ,使对上述,A y 成立(,)Aaf x y dx K≤⎰又因为(,)g x y 关于x 是单调的,并且当x →+∞时,(,)g x y 关于[,]c d 上的y 一致趋于零,即对于任意给定的正数ε,有A ,当x A ≥时,对一切[,]y c d ∈成立(,)g x y ε<,那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明:由所假设的条件可推知对任何,A A a '≥,有(,)(,)(,)A AA Aaaf x y dx f x y dx f x y dx''=-⎰⎰⎰(,)(,)2AA aaf x y dx f x y dx K'≤+≤⎰⎰而由(,)g x y ε<和上式可推知,当,A A a '≥时()(,)(,)(,)(,)A y AAf x yg x y dx g A y f x y dxε'≤⎰⎰()(,)(,)224A y g A y f x y dx K K K εεεε''+<⋅+⋅=⎰,因此,(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的,命题得证.参考文献:[1]陈纪修、於崇华、金路.数学分析(第二版上册).北京:高等教育出版社,2004.294-310[2]陈纪修、於崇华、金路.数学分析(第二版下册).北京:高等教育出版社,2004.165-170[3]陈传璋、金福林等编.数学分析(下册).北京:高等教育出版社,1983. 286-288[4]陈传璋、金福林等编.数学分析(上册).北京:高等教育出版社,1983. 51-56, 252[5]同济大学应用数学系.高等数学(第五版上册).北京:高等教育出版社,1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.Key words:integral mean-value; theorem promotion ;apply指导教师评语页本科毕业论文(设计)答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级2009 级答辩人姓名**** 学号**********毕业论文(设计)题目积分中值定理及其应用毕业论文(设计)答辩过程记录:答辩是否通过:通过()未通过()记录员答辩小组组长签字年月日年月日=本科毕业论文(设计)答辩登记表。
二元积分中值定理公式
二元积分中值定理公式【实用版】目录1.二元积分中值定理公式的概念2.二元积分中值定理公式的推导3.二元积分中值定理公式的应用4.总结正文一、二元积分中值定理公式的概念二元积分中值定理公式是微积分学中的一个重要定理,主要用于求解二元函数的定积分。
它指出,如果函数 f(x,y) 在矩形区域 [a,b]×[c,d] 上有界,那么在这个区域内一定存在一个点 (ξ,η),使得函数在该点处的值为定积分的四则平均值。
二、二元积分中值定理公式的推导为了更好地理解二元积分中值定理公式,我们可以通过以下步骤对其进行推导:设函数 f(x,y) 在矩形区域 [a,b]×[c,d] 上有界,考虑对该函数进行分割,即将矩形区域分割为无数个小矩形。
对于每个小矩形,我们计算函数在该小矩形上的平均值。
根据积分的定义,我们有:∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dxdy = Σ[f(x_i,y_i)Δx_iΔy_i]其中,(x_i,y_i) 表示每个小矩形的左上角点,Δx_i 和Δy_i 分别表示小矩形的宽度和高度。
由于 f(x,y) 有界,我们可以令 M=max{f(x,y)},那么对于每个小矩形,我们有:|f(x_i,y_i)Δx_iΔy_i| ≤ MΔx_iΔy_i根据拉格朗日中值定理,存在一点 (ξ,η),使得:f(x_i,y_i) = f(ξ,η) + f_x(ξ,η)(x_i-ξ) + f_y(ξ,η)(y_i-η)其中,f_x 和 f_y 分别是函数 f(x,y) 关于 x 和 y 的偏导数。
将上述等式代入积分式中,我们得到:∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dxdy = Σ[f(ξ,η)Δx_iΔy_i + f_x(ξ,η)(x_i-ξ)Δx_iΔy_i + f_y(ξ,η)(y_i-η)Δx_iΔy_i] 由于 f(ξ,η)、f_x(ξ,η) 和 f_y(ξ,η) 都是常数,因此我们可以将它们提出来,得到:∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dxdy = M∫(a,b)∫(c,d)Δx_iΔy_i= MΣ[∫(c,d)Δx_i∫(a,b)Δy_i]= MΣ[∫(c,d)f(ξ,η)Δx_iΔy_i]= M∫(c,d)∫(a,b)f(ξ,η)Δx_iΔy_i= M∫(c,d)f(ξ,η)[∫(a,b)Δx_iΔy_i]= M∫(c,d)f(ξ,η)(b-a)(d-c)= M(b-a)(d-c)f(ξ,η)由于 M、(b-a) 和 (d-c) 都是常数,因此我们可以将它们提出来,得到:∫(a,b)∫(c,d)f(x,y)dxdy = Cf(ξ,η)其中,C=(b-a)(d-c)M。
二元积分中值定理公式
二元积分中值定理公式一、二元积分中值定理的定义及意义二元积分中值定理是微积分中的一个重要定理,它为我们研究多元函数的性质提供了有力的工具。
该定理指出:在二元函数的某一区域内,存在一个二维平面上的点,使得该点处的函数值与该点所在边界上的函数值之间存在一定的联系。
简而言之,二元积分中值定理揭示了多元函数在空间中的变化规律,有助于我们更好地理解和分析多元函数的图像和性质。
二、二元积分中值定理的公式二元积分中值定理的公式如下:设函数f(x, y)在区域D上有界,D包含在x轴和y轴的交点围成的四边形内。
在D内存在一个点(a, b),使得:∫∫D f(x, y) dxdy = f(a, b) × ∫∫D dxdy其中,∫∫D f(x, y) dxdy 表示二元积分,f(a, b) 表示点(a, b)处的函数值,∫∫D dxdy 表示D区域的面积。
三、二元积分中值定理的应用实例1.计算平面区域的面积:利用二元积分中值定理,我们可以求解某一平面区域的面积。
例如,计算三角形、矩形、圆形等形状的面积。
2.研究多元函数的性质:通过二元积分中值定理,我们可以分析多元函数在特定区域内的变化规律,例如研究函数的极值、拐点等。
3.求解微分方程:将二元积分中值定理应用于微分方程,可以简化求解过程,例如求解热传导方程、波动方程等。
四、提高二元积分中值定理计算效率的方法1.选择合适的积分区域:合理划分积分区域,可以减少计算量,提高计算效率。
2.简化被积函数:通过变量代换、部分分式分解等方法,简化被积函数,有助于提高积分速度。
3.利用数值积分方法:当无法求解解析解时,可以采用数值积分方法,如辛普森法、高斯积分法等,逼近二元积分的结果。
五、总结与展望二元积分中值定理作为微积分中的一个重要定理,在实际应用中具有重要意义。
通过深入学习二元积分中值定理,我们可以更好地理解多元函数的性质,提高解决实际问题的能力。
浅析积分第二中值定理及应用
1 积分第二中值定理的证明积分中值定理无论在理论还是在应用上在积分学中都有重要意义,所谓积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细下面给出该定理与其证明。
定理1[1]:设f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调且在a、b处连续,那么在[a b]上存在ξ使dx x f b g dx x f a g dx x g x f abba)()()()()()( (1)证明:假设g(x)单调减少且非负,将区间[a,b]分成几部分,即a=x 0<x 1<x 2…<x n =b;△x k =x k -x k -1(k=1,2,…,n)记λ=max{△x 1…△x n }则b adx x g x f )()(].,[,)()(lim 1101kk x x k n k k x x dx x f g kk。
由于g(x)单调减少且非负即)(1 g )(2g … )(n g 0而xaxank x x b x a bx a dx u f dx x f du u f kk )(sup )()(inf 11根据阿贝尔引理xab x a x x x an k k bx a du u f g dx x f g du u f g k k )(sup )()()()(inf )(1111当0 有)()(1a g g 即:xaxab x a bab x a du u f a g dx x g x f du u f a g )(sup )()()()(inf )(。
所以,当0)( a g 时()(a g =0显然无须证明)。
xa b x a baxabx a du u f dx x g x f a g du u f )(sup )()()(1)(inf 。
由介值定理知连续函数 xadu u f )(在[a,b]上某点 处取得上、下确界之间的中间值即:dx x f a g dx x g x f b aa)()()()( (2)令G(x)=g(x)-g(b),由于g(x)单调减小,则G(x)单调减小且非负,由(2)得:ababadxx f b g a g dx b g x g x f dx x G x f )()]()([)]()([)()()(即ab ab adx x f b g a g dx x f b g dx x g x f)()]()([)()()()( badx x f b g dx x f a g)()()()( [a b]。
二重积分中值定理证明
二重积分中值定理证明二重积分中值定理证明引言二重积分中值定理是微积分学中重要的定理之一,它描述了在某些条件下,一个函数在某个区域上的平均值等于这个函数在该区域上的某个点的取值。
这个定理在应用数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将对二重积分中值定理进行证明。
定义设 $f(x,y)$ 是一个定义在有限闭区域 $D$ 上的连续函数,则存在一点$(\xi,\eta)$,使得$$\iint_D f(x,y) dxdy = f(\xi,\eta) \iint_D dxdy$$证明为了证明二重积分中值定理,我们需要使用以下两个引理:引理1:闭区间上连续函数的最大最小值存在。
引理2:如果 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续且非负,则 $\iint_D f(x,y) dxdy > 0$。
接下来我们将使用这两个引理来证明二重积分中值定理。
第一步:构造辅助函数为了方便证明,我们可以构造一个辅助函数 $F(t)$:$$F(t) = \iint_D [f(x,y)-t]dxdy$$其中 $t$ 是一个常数。
显然,$F(t)$ 是 $t$ 的连续函数。
第二步:证明引理1由于 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续,因此 $F(t)$ 也是在闭区间上的连续函数。
根据引理1,$F(t)$ 在某个点 $t_0$ 处取得最小值和最大值。
设最小值为 $m$,最大值为 $M$。
第三步:证明引理2由于 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续且非负,因此 $\iint_D f(x,y) dxdy \geq 0$。
如果 $\iint_D f(x,y) dxdy = 0$,则对于任意常数$t_0$,$$F(t_0) = \iint_D [f(x,y)-t_0]dxdy \leq 0$$但是根据定义,当 $t=t_0=m$ 时,$$F(m) = \iint_D [f(x,y)-m]dxdy \geq 0$$这与上式矛盾。
第二积分中值定理中间点当x→∞时的渐近性态
第!"卷第!期宝鸡文理学院学报#自然科学版$%&’(!")&(! !"""年*月+&,-./’&01/&234&’’565&07-89/.:;<35.<5#)/8,-/’;<35.<5$+,.= ===============================================================(!"""第二积分中值定理>中间点?当@ABC时的渐近性态D张树义E F杨满良!#E G锦州师专数学系F辽宁锦州E!E"""H!G太白中学F陕西太白I!E*""$摘要J讨论了在区间K L F@M上建立的第二积分中值定理的>中间点?当@ABC时的渐近性态F在较弱条件下F得到了>中间点?的渐近估计式N关键词J积分中值定理H中间点H渐近估计式中图分类号J O E I!文献标识码J7文章编号J E""I P E!*E#!"""$"!P"E"Q P"!R S T U V W XY Z[Z\]V Z U Z T^[_>XT‘\U a Y[\b Z?[^Z S T V T][b‘\b Z T c_U a XT U bd U a e T Z S T[_T X f S T b@\V b T U_\b^\b\Z Tg h7)i;j,P k3E F l7)i m/.P’3/.6!#E G+3.n j&,o5/<j5-94&’’565F+3.n j&,E!E"""F p3/&.3.6F4j3./H!G o/3q/3m3::’5;<j&&’F o/3q/3I!E*""F;j//.r3F4j3./$ s t V Z_U]Z J1k:39<,993.6/9k u v8&83<98/850&->u5:3/’v&3.8?&08j595<&.:3.856-/’u5/.w/’,5 8j5&-5u x j5.@39.5/-BC(o j5/9k u v8&83<5983u/83&.0&-u,’/9&08j5>u5:3/’v&3.8?/-563w5.,.:5-x5/y<&.:383&.9(z T Wf[_‘V J3.856-/’u5/.w/’,5H u5:3/’v&3.8H/9k u v8&83<5983u/83&.0&-u,’/{|#E}}E$~e t!T]Z"a U V V\^\]U Z\[b J!*7!#关于在区间K L F@M上建立的中值定理的>中间点当@AB C时的渐近性问题的研究F近年来F已取得了若干所进展F本文作者之一在文K E$#M中研究了泰勒中值定理%广义柯西中值定理%第一积分中值定理的>中间点?当@AB C时的渐近性态N在本文中我们讨论第二积分中值定理的>中间点?当@AB C时的渐近性态F在较弱条件下得到了>中间点?的渐近估计式N第二积分中值定理设&#@$在K L F B C$单调增加且非负可积F&#@$’&#L$F(#@$在K L FB C$可积F则)@*#L F B C$F+,*#L F@$使-@L&#.$(#.$:./&#@$-@,(#.$:.#E$为证明定理时方便F先给出!个引理引理E K#M设0#@$在K L F B C$可积F且’3u@A B C@120#@$/3F则E$当14"F35"时F’3u@A B C 0#@$/B CH!$当14"F34"时F’3u@A B C0#@$/6CH7$当14E F35"时F’3u@A B C-@L0#.$:./B CH#$当14E F34"时F’3u@A B C-@L0#.$:./6CHQ$’3u@A B C-@L0#.$:.@E61/3E61F在结论Q$中的3为常数F14E N容易证明下面引理!成立引理!若’3u@A B C&#@$/35"F’3u@A B C(#@$/B CF’3u@A B C0#@$/6CF则’3u@A B C&#@$(#@$/B CF’3u@A B C&#@$0#@$/6CN对于上面的第二积分中值定理的>中间点?FD收稿日期J E}}}P E"P E8作者简介J张树义#E}*"P$F男F副教授F辽宁锦州市人N研究方向J非线性分析N我们有如下结果!定理"在第二积分中值定理的条件下#再设$%&’()*’+,-’./0#$%&’()*’12-’./3#则-".式中的4中间点567-8#’.#有渐近估计式$%&’()*698’98/-++)19".":-"91.-;.其中0#3为非零常数<+#1为实数#+=>#1="?证明首先证明当’()*时#有6()*#为此#不妨设0@>#3@>#由引理"有$%&’()*A’82-B .C B /)*#$%&’()*,-’./)*#又$%&’()*A’8,-B .2-B .C B,-’.A’82-B .C B /$%&’()*A’8,-B .2-B .C B’"9+91’+,-D .EA’82-B .C 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-’.#2-’.满足定理"的条件#由定理"#有$%&’()*698’98/-++)19".":-"91.F注由于本文作者之一在文I N J 中研究了第二积分中值定理A’8,-B .2-B .C B /,-8.A682-B .C B中的4中间点5的渐近性态?因此本文与文I N J 一起比较完善地解决了第一T 二积分中值定理的4中间点5当’()*时的渐近性问题?参考文献!I "J 张树义F泰勒中值定理4中间点5当’()*时的渐近性态I U J F 沈阳师范学院学报-自然科学版.#"V V W #-M .!"XN FI ;J 张树义F中值定理4中间点5当’()*时的渐近性态I U J F 河北师范学院学报-自然科学版.#"V V W #-M .!N N XN W FI M J 张树义F关于中值定理4中间点5当’()*时的一个渐近估计式I U J F 南都学坛-自然科学专号.#"V V Y #"Y -Z .!;N X;Z FI N J 张树义F 积分中值定理4中间点5当’()*时的渐近性态I U J F 沈阳师范学院学报-自然科学版.#"V V Y #-".!Y X""F-校对!黄宏科.Z>"宝鸡文理学院学报-自然科学版.;>>>年第二积分中值定理"中间点"当x→+∞时的渐近性态作者:张树义, 杨满良, ZHANG Shu-yi, YANG Man-liang作者单位:张树义,ZHANG Shu-yi(锦州师专数学系,辽宁,锦州,121000), 杨满良,YANG Man-liang(太白中学,陕西,太白,721600)刊名:宝鸡文理学院学报(自然科学版)英文刊名:JOURNAL OF BAOJI COLLEGE OF ARTS AND SCIENCE年,卷(期):2000,20(2)被引用次数:2次1.张树义泰勒中值定理"中间点"当x→+∞时的渐近性态 1997(03)2.张树义中值定理"中间点"当x→+∞时的渐近性态 1997(03)3.张树义关于中值定理"中间点"当x→+∞时的一个渐近估计式 1998(06)4.张树义积分中值定理"中间点"当x→+∞时的渐近性态 1998(01)1.期刊论文王秀芬积分中值定理"中间点"的分析性质-山东理工大学学报(自然科学版)2004,18(4)讨论了积分中值定理中间点的单调性、连续性、可导性,给出了一组充分条件,并证明了三个相关定理.进一步完善了积分中值定理"中间点"的分析性质.2.期刊论文王福良.杨彩萍积分中值定理中间点渐近性态的研究-天津师范大学学报(自然科学版)2002,22(2)对积分区间长度趋于零时,积分中值定理中间点的渐近性态作了近一步研究, 得到一个更具一般性的新结果,并研究了当积分区间长度趋于无穷时积分中值定理中间点的渐近性态.3.期刊论文刘文武.LIU Wen-wu积分中值定理中间点渐近性的一个注记-吉首大学学报(自然科学版)2007,28(4)对积分中值定理中间点的渐近性进行研究,给出了推广的积分第一中值定理的中间点的渐近性的一个公式.4.期刊论文戴振强.DAI Zhen-qiang积分中值定理的推广及其"中间点"的性质-高师理科学刊2007,27(4)积分中值定理中将"f(x)在[a,b]上连续"改为"f(x)在[a,b]上可积",定理的结论仍然成立.据此证明了"中间点"唯一存在的充要条件是被积函数的单调性,还可以在满足李普希兹条件下给出"中间点"的渐近性.5.期刊论文戴振强.DAI Zhen-qiang关于积分中值定理"中间点"的唯一性和渐近性-井冈山医专学报2006,13(2)积分中值定理的"中间点"唯一存在的充要条件是被积函数的单调性,同时,可以在满足李普希兹条件下给出"中间点"的渐近性.6.期刊论文杨镇杭.YANG Zhen-hang积分中值定理中间点比较及有关平均不等式-数学的实践与认识2005,35(5)中值定理中间点是区间端点的平均.设f(s)、g(x)在同一区间[a,b]内严格单调并可积,P(x)、q(x)恒正可积,按积分中值定理各有唯一的中间点ξf,p(a,b)和ξg,q(a,b).当f递增(减)且f(g-1)凸(凹)时,有ξg,p(a,b)<ξf,P(a,b);当p(x)/q(x)递增(减)且q(x)∫baP(x)dx>(<)0时,有ξf,q(a,b)<ξf,p(a,b).由此可证明和发现一系列有关平均的不等式.7.期刊论文朱超武.齐春玲.ZHU Chao-wu.QI Chun-ling关于第一积分中值定理的中间点及逆问题的渐近性-三门峡职业技术学院学报2005,4(3)积分中值定理是一元函数微分学的理论基础,也是一元函数微分学通往应用的桥梁,在微积分理论中极其重要.本文深入地讨论了第一积分中值定理的中间点和逆问题的渐近性质,并得出了重要结论.8.期刊论文樊守芳.FAN Shou-fang第二积分中值定理"中间点"渐近性的完善-数学的实践与认识2006,36(11)通过定义第二积分中值函数,用统一的方法继续探讨了第二积分中值定理"中间点"的一些渐近性质,得出一系列新结论,相信在积分学中有着很重要的作用.9.期刊论文朱先军关于积分中值定理"中间点"的渐近性-济宁师范专科学校学报2002,23(6)文[1]给出了当区间长度趋于无穷时积分中值定理"中间点"的渐近性质,本文改进了[1]中主要结果的条件,推广了[1]中的结果.10.期刊论文阮文惠关于积分中值定理"中间点"的渐近性-甘肃教育学院学报(自然科学版)2002,16(4)给出了并证明了减弱条件的积分中值定理"中间点"的渐近性.1.于勇积分第二中值定理"中间值"的渐近性[期刊论文]-攀枝花学院学报(综合版) 2009(3)2.王伟积分第二中值定理"中间点"的渐近性态[期刊论文]-南通大学学报(自然科学版) 2006(2)本文链接:/Periodical_bjwlxyxb200002010.aspx授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:1c74d6f3-8947-4f1a-a7f6-9dcc00c77920下载时间:2010年8月8日。
浅析积分第二中值定理及应用
浅析积分第二中值定理及应用作者:石桃华佳林来源:《科技资讯》2011年第30期摘要:本文讨论了积分第二中值定理的证明方法,以及定理中“中值点”的区间给予了改进,给出了第二中值定理的一些推广形式与其证明方法。
总结了中值定理在各个方面应用。
关键词:积分第二中值定理中值点应用中图分类号:O172 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)10(c)-0000-001 积分第二中值定理的证明积分中值定理无论在理论还是在应用上在积分学中都有重要意义,所谓积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细下面给出该定理与其证明。
结论:在一些比较复杂的极限证明过程中应用积分第二中值定理可以得到很好的结果,而且计算过程简单易懂。
4 结束语积分中值定理是数学分析课程中很重要的一个定理,同时也是解决后续课程中相关问题的重要方法。
本文重要介绍了积分第二中值定理的证明,和由它衍生出来的一系列问题。
给出了它的很多应用,使我们对它有了更深一层的理解。
另外积分中值定理在很多方面有着很重要的应用,例如一些收敛定理的证明,反常积分收敛性的证明。
在这里我们不做过多的讨论。
参考文献[1] 吉林大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:人民教育出版社,1979,191-207.[2] 费定晖,周学圣.B n吉米多维奇.《数学分析习题集题解(三)》[M].济南:山东科学技术出版社,1979,454-455.[3] 金渝光.关于积分中值定理[J].重庆师范学院学报(自然科学版),1998,15(增刊):36-37.[4] 原华丽.关于积分第二中值定理的探究[J].山东师范大学学报(自然科学版),2004,19(3):83-85.。
二元积分中值定理公式
二元积分中值定理公式在微积分中,二元积分中值定理是一个重要的定理,它与一元积分中值定理有些类似,但由于有两个自变量,所以在表达上更为复杂。
二元积分中值定理可以用来描述二元函数在一个闭区域上的平均值与极值之间的关系。
二元积分中值定理的表述如下:设函数f(x, y)在闭区域D上连续,且二元积分∬D f(x, y)dxdy存在,那么存在点(c, d) ∈ D,使得f(c, d)等于二元积分的平均值。
这个定理的意义在于,无论二元函数在闭区域上取得多大或多小的值,总存在一个点使得它的值等于二元积分的平均值。
这个点就是在区域内部某个位置,可以被看作是函数的“中心”。
为了更好地理解这个定理,我们来看一个例子。
假设有一个二元函数f(x, y)在闭区域D上连续,我们想要求解它在该区域上的平均值。
根据二元积分的定义,平均值可以表示为:平均值 = 1/面积(D) * ∬D f(x, y)dxdy根据二元积分中值定理,我们知道存在一个点(c, d) ∈ D,使得f(c, d)等于上述平均值。
这个点在区域内部,可以被视为函数的“中心”。
二元积分中值定理的证明可以借助于一元积分中值定理。
我们可以将函数f(x, y)看作是关于y的一元函数,然后对y进行积分,得到一个新的函数g(x)。
然后再对g(x)应用一元积分中值定理,就可以得到二元积分中值定理的结论。
二元积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如,在物理学中,我们经常需要求解一个二元函数在某个区域上的平均值,这个定理可以帮助我们找到这个平均值对应的点,从而更好地理解物理现象。
二元积分中值定理还可以用于证明其他数学定理。
例如,我们可以利用它来证明连续函数的二元积分与极限的关系,从而推导出重要的数学定理。
二元积分中值定理是微积分中的一个重要定理,它描述了二元函数在闭区域上的平均值与极值之间的关系。
通过这个定理,我们可以找到函数的“中心”,从而更好地理解函数的性质和应用。
这个定理在实际问题中有着广泛的应用,并且可以用于证明其他数学定理。
二重积分 的积分中值定理
二重积分的积分中值定理
积分中值定理,是一种数学定律。
分为积分第一中值定理和积分第二中值定理,它们各包含两个公式。
其中,积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值,或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法,是数学分析的基本定理和重要手段,在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。
二重积分的中值定理:设f(x,y)在有界闭区域D上连续,是D的面积,则在D内至少存在一点,使得定理证明设(x)在上连续,且最大值为,最小值为,最大值和最小值可相等。
由估值定理可得同除以(b-a)从而由连续函数的介值定理可知,即:命题得证。
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数,从而使问题简化。
因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号,或者化简被积函数。
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第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续,而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数,则有点()c a c b ≤≤,使
()()d ()
()d ()
()d b c b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+⎰
⎰
⎰
其中()lim ()x a p a p x +
+→=【右极限】,()lim ()x b
p b p x --→=【左极限】。
特别,若()0p a +=,则
()()d ()
()d b b
a
c
p x f x x p b f x x -
=⎰
⎰
()a c b ≤≤
证明前的说明:()p x 是单调有界函数,所以它是可积的,而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。
其次,在下面的证明中,
①不妨认为()0p a +=,否则,令()()()q x p x p a +=-,则()0q a +=,于是由
()()d ()
()d b b
a
c
q x f x x q b f x x -
=⎰
⎰
即
[()()]()d [()()]()d b
b
a
c
p x p a f x x p b p a f x x
+
-
+
-=-⎰⎰,可得一般情形
()()d ()()d ()()d b
c
b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+⎰⎰⎰
②不妨认为()p x 是单调增加函数,因为若()p x 是单调减小函数,就用[()]p x -替换()p x 。
证 首先划分区间[,]a b ,即
01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=
而在每一个小区间1[,]i i x x -上,都存在点1(,)i i i x x ξ-∈,使
1
1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-⎰
【第一积分中值定理】
于是,1
1()
()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-⎰
,求和得
1
11
1
()()d ()()()i i n
n
x i
i
i
i
i x i i p f x x p f x x
ξξξ--===
-∑∑⎰
(※)
现在,将左端做变换,即
1
11
1
()()d ()()d ()d i i i i n
n
x b b i
i x x x i i p f x x p f x x f x x --==⎡⎤
=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑
⎰
⎰⎰
ξξ
1
11
2
()
()d ()()()d i n
b
b
i
i a
x i p f x x p p f x x ξξξ--=⎡⎤=+
-⎣⎦∑⎰
⎰
因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=,所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥;再用m 和
M 分别表示函数()()d b
x
F x f x x =
⎰
()a x b ≤≤的最小值和最大值,则
11()()d i i n
x i
x i p f x x ξ-=∑⎰
112
()()()n
i
i i p m p p m
ξξξ
-=⎡⎤≥+
-⎣⎦∑()n p m ξ= 1
1
()()d i i n
x i
x i p f x x ξ-=∑⎰
112
()()()n
i
i i p M p p M
ξξξ
-=⎡⎤≤+
-⎣⎦∑()n p M ξ=
于是,根据式(※),就得到估计式
11
()()()()()n
n i
i
i
i n i p m p f x x
p M ξξξξ-=≤
-≤
∑
让最大小区间的长度0n
x
∆→,注意到()()n p p b -→ξ,则得
()()()d ()b a
p b m p x f x x p b M -
-≤
≤⎰
若()0p b -
=,则
()()d 0b a
p x f x x =⎰
,可任意取[,]c a b ∈;若()0p b ->,则
1
()()d ()
b
a
m p x f x x M p b -≤
≤⎰
根据连续函数的介值定理,必有点()c a c b ≤≤,使1
()()()d ()
b
a
F c p x f x x p b -=
⎰
,即
()()d ()()()
()d b
b
a
c
p x f x x p b F c p b f x x --=
=⎰
⎰
注:在估计两函数乘积的积分时,第二积分中值定理是有用的。
譬如,若函数()f x 在区间
[,]-ππ上满足狄利克雷条件,则它的傅里叶系数k a 和k b 满足
,k k M M
a b k k
≤≤
(1,2,)k = 其中M 为正常数。
事实上,因为区间[,]-ππ可被分成有限个子区间,而()f x 在每一个子区间[,]a b 上是单调有界函数,所以只要证明在[,]-ππ的子区间[,]a b 上有上面的估计式就可以了。
根据第二积分中值定理,则有
1
1()cos d ()
cos d ()
cos d b c b k a
a
c
a f x kx x f a kx x f
b kx x +-⎡
⎤
=
=+⎢⎥ππ⎣
⎦
⎰
⎰
⎰
1sin sin sin sin ()()kc ka kb kc f a f b k k +---⎡⎤=
+⎢⎥π⎣⎦
因此,
sin sin sin sin 1()()k kc ka kb kc a f a f b k k +-⎡++⎤≤+⎢⎥π⎣⎦2()()M f a f b k k +-⎡⎤≤+=⎣⎦π 同理k M
b k
≤。