2021版新高考数学一轮课件：第9章 第2讲 排列与组合
人教A版2021届高考数学一轮复习讲义：排列与组合
排列与组合知识讲解一、基本计数原理1.加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． 2.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．3.加法原理与乘法原理的综合运用运用：如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．二、排列与组合1.排列定义：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．2.组合定义：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质： ①C C m n m n n -=；②11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）3.排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法。
【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第9章 9.2 排列与组合
能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的
编排方法共有
种.
96
程序 A 的顺序有A12 =2(种)情况,将程序 B 和 C 看作一个整体与除 A 外的
程序排列,有A22 A44 =48(种)情况,由分步乘法计数原理,可知试验顺序的编排方
法共有 2×48=96(种).
(2)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不
叉综合考查.
复习时注意在情境中理解排列与组合的特征;注意总结各种排列和组合问
题模型.本节常用到直接法、间接法、分类讨论、数形结合等思想方法;素
养方面要加强逻辑推理、数学建模、直观想象的培养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
故共有 150 种不同的方法.故选 A.
解题心得分组分配问题的一般解题思路是先分组,再分配.
(1)分组问题属于“组合”问题:
①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,因此分组后一定要
除以 A ;
②对于部分均分,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以 A
;
③对于不等分组,只需先分组,后排列.
能力形成点3
分组分配问题
例3 (1)将6名报名参加学校运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投
篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限),每人只参加一项,则共有x种
不同的方案,若每项比赛至少要安排一人,则共有y种不同的方案,其中x+y
的值为( A )
A.1 269
(通用版)2021版高考数学一轮复习第9章平面解析几何2第2讲两直线的位置关系教案理
第2讲两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在2. 两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝〔x2－x1〕2＋〔y2－y1〕2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B24. 几种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(3)过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)假设两直线的方程组成的方程组有唯一解，那么两直线相交．( )(4)直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，假设直线l 1⊥l 2，那么A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，那么直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0.点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，那么a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C.由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.(教材习题改编)直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，那么实数a 的值是________．解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 〔a ＋1〕＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.答案：－3假设三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，那么b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.答案：－12两条直线平行与垂直(高频考点)两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小．高考对两条直线的平行与垂直的考察主要有以下两个命题角度： (1)两条直线位置关系的判断； (2)由两条直线位置关系求直线方程．[典例引领]角度一 两条直线位置关系的判断设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，那么“m ＝2〞是“l 1∥l 2〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立． 【答案】 C角度二 由两条直线位置关系求直线方程(2021·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．【解析】 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0可解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 【答案】 4x －3y ＋9＝0两直线平行、垂直的判断方法假设两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况；(2)注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[通关练习]1．直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，假设l 1⊥l 2，那么a ＝( )A ．2或12B. 13或－1 C. 13D ．－1解析：选B.因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a B.2．求满足以下条件的直线方程．(1)过点P (－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0； (2)A (1，2)，B (3，1)，线段AB 的垂直平分线．解：(1)设直线方程为x －2y ＋c ＝0，把P (－1，3)代入直线方程得c ＝7， 所以直线方程为x －2y ＋7＝0. (2)AB 中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，直线AB 斜率k AB ＝2－11－3＝－12，故线段AB 垂直平分线斜率k ＝2，所以其方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.距离公式[典例引领](1)A (2，0)，B (0，2)，假设点C 在函数y ＝x 2的图象上，那么使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)假设两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，那么c 的值是________．【解析】 (1)设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0， |AB |＝2 2.由于△ABC 的面积为2，那么这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t ＋t 2－2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． (2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋〔－2〕2＝21313，因此c ＝2或－6. 【答案】 (1)A (2)2或－6距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归〞法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．[通关练习]1．点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，那么a 的取值范围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10]解析：选D.由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]．2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，那么：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝03．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0对称问题[典例引领]直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，那么M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，那么由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，那么P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， 因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[通关练习]1．(2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，那么直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D.由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y＝1，所以M (－3，1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，那么|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，应选D.2．如图，A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，那么光线所经过的路程是________．解析：直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，那么光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案：210由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 易错防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．假设两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，假设直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，假设给出的直线不是一般式，那么应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为一样的形式．1．(2021·石家庄模拟)点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQl 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.假设l 1∥l 2，l 2⊥l 3，那么实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0D ．8解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.3．直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，那么直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A.直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1，1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0，3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以kl 2＝1－0－1－〔－3〕＝12.4．点A (－1，2)，B (3，4)．P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，那么△PAB 的面积为( ) A ．15 B.552 C ．6 5D.152解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－〔－1〕＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)． 即2x ＋yy ＝0，那么x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝〔－1－3〕2＋〔2－4〕2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝〔1－52〕2＋32＝352.所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．(2021·河南安阳模拟)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，那么l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为〔－1－2〕2＋[2－〔－3〕]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]． 应选D.6．设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，那么P 的坐标为________．解析：设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，x 0＞0，曲线y ＝1x在点P 处的切线斜率k 2＝－1x 20(x 0＞0)．又因为曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率k 1＝e x|x ＝0＝1，k 1k 2＝－1，所以x 20＝1，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1，1)． 答案：(1，1)7．一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，那么此直线的方程为________．解析：假设所求直线的斜率存在，那么可设其方程为：y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2， 即|k －1|＝|k －7|，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.又假设所求直线的斜率不存在，方程为x ＝1， 满足题设条件．故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 答案：4x －y －2＝0或x ＝18．(2021·山西四校联考)假设将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，那么m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：3459．直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)假设l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)假设l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立， 因此|ab |的最小值为2.10．直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值． 解：(1)因为经过两直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|〔2＋λ〕2＋〔1－2λ〕2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 那么d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10.1．(2021·洛阳统考)点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，那么方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，应选D.2．(2021·湖北孝感五校联考)直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，假设点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，那么点C 的坐标为( )A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)解析：选C.设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋yB (3，1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1，3)，所以AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－〔－4〕·(x ＋4)，即x －3y ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，那么C (2，4)．应选C. 3．△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程． 解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)， 所以l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.4．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l上另任取一点P ，那么|PA |－|PB |＝|PA |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，那么P 0即为所求．易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0， 设B ′(a ，b )，那么a ＋3b －12＝0，①又线段BB ′的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)． 所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|PA |＋|PC |＝|PA |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求． 又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0可得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。
高三数学第一轮复习 第9编 2排列组合课件 新人教B版
排列与组合
考纲解读 考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究
考点1 考点2 考点3 考点4
考 纲 解 读 1.理解排列的概念及排列数公式, 并能利用公式解决一些简单的 实际问题. 2.理解组合的概念及组合数公式, 并能利用公式解决一些简单的 实际问题.
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【解析】（1）由排列的定义可知不同排列的种数为 A =2 520. （2）首先在中间或两头之一排甲，共有A 1 种方法； 3 其次在所剩的6个位置上对其余6人进行全排列，共有A 6 种 6 方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为 A 1 • A 6 3 6 =2 160. （3）仿（2）先排甲、乙共A 2 种排法，其余5人尚 2 5 2 =240种不同排法. 有 种排法，故共有A 5 • A A 5 5 2 （4）当乙排在首位时，共有 A 6 种排法;当乙不在首位 6 1 时，先排乙有 A 1 种方法，再排甲也有 种方法，最后其 A 5 5 1 1 5 余各元素有 A 5 种方法，故共有 种不同排法. A 5 5A5A5 ∴所有不同的排列种数为 A 6 + A 1 A 1 A 5 =3 720.
备注
n,m∈N+且m≤n
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考点1
有关排列、组合的计算
3 2 2 3A = 2A + 6A x x +1 x; (1)解方程:
-n 3n (2)计算：C 38 + C 3n 21+ n .
【分析】利用排列数和组合数公式进行解答.
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【解析】（1）由 3A 3 = 2A 2 + 6A 2 得 x x +1 x 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1), 整理得3x2-17x+10=0. 解得x=5或
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第九章 统计、成对数据的统计分析第2节 用样本估计总体
6
10
9
8
7
则该校学生开展志愿者活动时长的第40百分位数是
8.5
.
解析:(2)40×40%=16,故第40百分位数是第16个数和第17个数的平
均数, 即
+
=8.5.
考点二
总体集中趋势的估计
[例3] (多选题)某学校共有2 000名男生,为了了解这部分学生的身
体发育情况,学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制
=0.01.
(2)根据频率分布直方图,估计样本数据的15%和85%分位数.
解 :(2)由 图 可 知 ,[20,40)内 的 比 例 为 10%,[40,60)内 的 比 例 为
20%,[60,80)内的比例为40%,[80,100]内的比例为30%.
因此,15%分位数一定位于[40,60),85%分位数一定位于[80,100],
直方图如图所示:
得分 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数
6
a
24
18
(1)求a,b的值;
解:(1)由频率分布直方图可知,
得分在[20,40)的频率为0.005×20=0.1,
故抽取的学生答卷数为6÷0.1=60,由6+a+24+18=60,得a=12.
所以 b=
[针对训练] (2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率
的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产
品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡
胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
高考数学一轮复习第9章第2节两直线的位置关系课件理2
高考数学一轮复习第9章第2节两直线的位置关系课件理2
2021/4/17
高考数学一轮复习第9章第2节两直线的位置关系课件理2
0
第九章 解析几何
第二节 两直线的位置关系
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
yxx000－ － ＋2 yxx·－1＝y0＋－2 y1＋，1＝0，解得xy00＝ ＝yx－ ＋11.， 将(y－1，x＋1)代入 2x0＋y0－4＝0 中，得 x＋2y－5＝0. [答案] x＋2y－5＝0
►名师点津 1．线关于点对称的求解方法 (1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标， 再由两点式求出直线方程； (2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求的直线方程． 2．线关于点对称的实质 “线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求 出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．
[答案] x＋4y－4＝0
►名师点津 点关于点对称的求解方法
若点 M(x1，y1)和点 N(x，y)关于点 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得xy＝ ＝22ab－ －xy11， ，进 而求解．
●命题角度二 点关于线的对称问题
【例 2】 (2019 届湖北孝感五校联考)已知直线 y＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所
点，则|PQ|的最小值为( )
A．95
B．158
C．2190
D．259
解析：选 C 因为36＝48≠－512，所以两直线平行． 由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－6224＋－852|＝2190，所以|PQ| 的最小值为2190.故选 C．
高考数学一轮复习第九章第二节排列与组合课件新人教版
消序法
定序问题消序(除法)处理的方法，可先不考虑顺序限制， 排列后再除以定序元素的全排列
[题组突破]
第二节 排列与组合
热点命题分析
学科核心素养
从近五年的高考来看，本节内容是命题 的热点，主要考查排列与组合的综合应 用，分组分配问题是命题热点，多为选 择、填空题，难度中等偏下.
本节内容主要通过排列、组合 的应用考查逻辑推理核心素 养.
知识点一 排列与排列数 1．排列与排列数 (1)排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列 ， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
.
1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为
(D )
A．144
B．120
C．72
D．24
2．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( C )
A．8
B．24
C．48
D．120
知识点二 组合与组合数
1．组合与组合数 (1)组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个 组合． (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的 组合数，记作 Cmn .
D．144
3．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装 计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有__________种． 答案：350
题型一 排列应用问题 合作探究 [例] 3名女生和5名男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
高考数学一轮专题复习 第九章 第2讲 排列与组合
(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外 的 10 人中任选 3 名即可，共有 C22C310＝120(种)选法． (3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面 是“两人都不入选”，即从其余 10 人中任选 5 人有 C510种 选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法 数为 C512－C510＝540(种)．
＝75(种)．
4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2 件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5 件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品 不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有 ____2_4___种．(用数字作答)
解析：将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建 筑设计展品全排列，再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故 共有 A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．
考点一 考点二 考点三
排列应用题 组合应用题 排列、组合的综合应用(高频考点)
考点一 排列应用题
3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同 的排队方案的方法种数． (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
(3)排列数的性质 ①Ann＝_n_！___；②0！__1____．
2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数
从n个不同元 素中取出 m（m≤n）个元素
合―成―一→组
组 合
所―有―不→同
组合的个数
组合数
(2)组合数公式 Cnm＝AAmmnm＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1） ＝m！（nn！－m）！. (3)组合数的性质 ①C0n＝___1____；②Cnm＝__C_nn_－_m__；③Cmn ＋Cmn －1＝_C__nm＋_1___．
【高考导航】高考数学一轮总复习 9.2 排列与组合名师课件 理
第九章 计数原理、 概率、随机变量及分布列 第二课时 排列与组合
考纲点击 基础知识梳理 聚焦考向透析 学科能力提升 微课助学
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1．理解排列、组合的概念．
(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组
合数，用 Cmn表示
基础知识梳理
梳 理 二 组合
基础知识系统化2
(3)
组
合
数
的
计
算
公
式
：
C
m n
＝
Anm Amm
＝
m！
n！ n－m
！＝
n n－
n－ m！
n－m＋ ，由于 0！＝1，所以 C0n
本题是排队问题，以人 或以位置分析其特殊性、 优先考虑，选取合适的方 法：捆绑法、插空法、间 接法等．
聚焦考向透析
考向一 排列问题
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·金华联考)有 3 名 男生、4 名女生，在下列不同 条件下，求不同的排列方法总数． (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人， 后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头 也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须 站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻．
本题是分组分配问题， 要注意区分平均、 不平均 分组或分配的区别
与联系
聚焦考向透析
考向三 分组分配问题
＝1. (4)组合数的性质：①Cmn＝Cnn－m__；②Cmn＋1＝Cmn＋Cmn－1.
高考数学一轮复习 9.2 排列和组合精品课件 理 新人教A版
即原方程的解为x=5.
（2）依题意得
{
ห้องสมุดไป่ตู้
38-n≥0
3n≥38-n
n+21≥3n
38-n,3n,21+n∈N*.
解得
19 ≤n≤ 2
21 且n∈N*, 2
∴n=10.
∴ C 38-n + C 3n = C 28 + C 30 = C 2 + C1 = 466 3n 21+ n 30 31 30 31
6 5 5 5
（5）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有 4 3 种，女生的排列有 种，又男生的排列有 种，由分 A A2 A3 4 2 3 4 步乘法计数原理，所有不同的排列数为 A 2 A A 4 =288. 2 3 3 （6）先排男生有A 3 种排法，此三人中间及两端恰 3 4 =144不 有4空供女生排列，有A 4 种排法，从而共有 · A A 3 4 4 同的排列. （7）从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可， 3 5 故所求不同排列数为 - A7 =4 320. A 3A5 7 （8）只须在7个位置中选4个位置将女生进行排列， 再将3名男生按顺序插入，共有A 4 =840种不同排法. 7
【分析】本题包括了有限制条件的排列问题的
几种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵循： “先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或 特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“必相 邻”元素，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻”
元素常采用“插空法”的技巧，此外“正难则反”是
处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正 确的重要手段.
.
∴左边=右边.
考点二 排列问题
有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列 的种数. （1）选其中5人排成一行； （2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置； （3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头； （4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾； （5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起； （6）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻； （7）全体排成一行，其中男生不能排在一起； （8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保 持不变； （9）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人； （10）全体排成前后两排，前排3人，后排4人.
高考数学一轮复习 10-2 排列与组合课件 理 新人教A版
(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有
A33A44＝144(种)．
(5) 插 空 法 ． 先 排 女 生 ， 然 后 在 空 位 中 插 入 男 生 ， 共 有
A
4 4
A
3 5
＝
1
440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数
为 N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为 7 个人的全排列，因此
答案：B
排列应用题(师生共研)
例1 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方 法总数：
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，男生不能排在一起； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后两排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
解析 (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故 先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有 A13种，其余 6 人全排 列，有 A66种．
由分步乘法计数原理得 A13A66＝2 160(种)． (2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有 A16种， 余下的 6 个位置全排有 A66种，但应剔除乙在最右边的排法数 A15A55种． 则符合条件的排法共有 A16A66－A51A55＝3 720(种)． (3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行 全排列，共有 A33A55＝720(种)．
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以
最新-2021版一轮理数A版课件：第九章 第二节 二项式定理 精品
，Tr′＋1＝
，则
. 又 0≤r≤6,0≤r′≤10， 则3r－r′4 ＝0，解得 r＝r′＝0，r＝3 且 r′＝4，r＝6 且 r′＝ 8. 即常数项为 1＋C36C410＋C66C810＝4 246. [答案] (1)－5 (2)－210 (3)4 246
考点一
考点二
[方法提升]
考点三
考点四
解析 答案
考点一
考点二
考点三
考点四
[方法提升] 1．二项式系数的最大值，根据(a＋b)y 的二项式系数性质求解． 2．项的系数的最值，利用不等式法．求出展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn·m·xq＝arxq 为最大系数，则aarr≥≥aarr＋－11，. 求 r 的整数解．
考点一
考点二
考点三
考点四
a令0 ＋x＝a10x，＋得aa2x0＝2 ＋1；…令＋x＝anx1n，，得则a0＋aa1 1＋＋a…2 ＋＋…a8＝＋(－an2的)8＝值25为6. _所__以2_5_a5_1_＋_．a2＋…＋a8＝255.
解析 答案
考点一
考点二
[模型解法]
考点三
考点四
赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值，从而求得二项展开
考点四
[跟踪训练]
1．(2018·唐山模拟)x2＋x12－2
3 展开式中的常数项为(
C
)
A．－8
B．－12
C．－20
D．20
∵x2＋x12－2 3＝x－x1 6，∴Tr＋1＝Cr6x6－r－x1 r＝Cr6(－1)rx6 －2r，令 6－2r＝0，得 r＝3，∴常数项为 C36(－1)3＝－20.
解析 答案
3．二项式系数 (1)定义：二项式系数为： Ckn(k∈{0,1,2，…，n}) ．
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考点突破 • 互动探究
考点一 排列问题——自主练透
•
例 1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：
• 5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至 少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)
16
[解析] 解法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女生入选的情 况有以下 2 种：①2 女 1 男：有 C22C14＝4 种选法；②1 女 2 男：有 C12C24＝12 种选法， 故至少有 1 位女生入选的选法有 4＋12＝16 种．
• 题组三 考题再现
• 3．(2019·安庆模拟)某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其
中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 ( )
• A．84种 B．98种
D
• C．112种 D．140种
[解析] 由题意分析不同的邀请方法有： C12C58＋C68＝112＋28＝140(种)．
且 m，n∈N＋．
• 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排
列数或组合数．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是( BD ) A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列 B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 C．若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立 D．kCkn＝nCkn－－11
• 题组二 走进教材
• 2坐．法(P种27数A组为T716)6把椅子( 摆成) 一排，3人随机就座，任何两人不相邻的
• A．144 B．120
D
• C．72 D．24
[解析] “插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何 两人不相邻的坐法种数为 A34＝4×3×2＝24．
(3)组合数的计算公式：Cmn ＝AAmmnm＝m！nn！ －m！＝nn－1n－m2！…n－m＋1，这
里规定 C0n＝__1___． (4)组合数的性质：①Cmn ＝__C__nn－_m__；②Cnm＋1＝___C_nm___＋__C__mn_－_1_． 注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意 Anm、Cmn 中的隐含条件 m≤n，
• (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人1 ；44_0_______
• (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；________
720
• (8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端2．5_2_0______ 3 720
[解析] (1)从 7 个人中选 5 个人来排，是排列， 有 A75 ＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人排在后排，有 A44种 方法，故共有 A73·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任 何限制条件． (3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600 种． 解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列，有 A62种方法，中间 5 个位置由余下 5 人和甲进行全排列，有 A55种方法， 共有 A62×A55＝3 600 种．
• (1)选其中5人排成一排；________
• (2)排成前后两排，前排3人，后排245人20；________
• (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；____5__0_4_0
• (4)全体排成一排，女生必须站在一起；________ 3 600
• (5)全体排成一排，男生互不相邻；________ 576
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第二讲 排列与组合
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
• 知识点一 排列与排列数 • (1)排列的定义：从n个____不__同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定
的列顺序_．_______排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 • (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列
________________的个数叫做从n个不同元素中取出Anmm个元素的排列数， 用符号_______表示．
(3)排列数公式：Amn ＝___n_(_n_－__1_)(_n_－__2_)_…__(n_－__m__＋__1_)___．
(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，
• 4．(2019·晋中模拟)高三某班6名任课老师站在一排照相，要求甲与乙
相邻，丙与丁不相邻，则不同的站法有多少种
()
• A．144 B．72
A
• C．288 D．154
[解析] 甲与乙相邻，则将甲乙“捆绑”，作为一个整体，并与另外的两个人排 列，有 A22·A33种方法；丙与丁不相邻，采用插空法，有 A24种方法，根据分步计数原理， 共有 A22·A33·A24＝144 种方法．
A
n n
＝n×(n－
1)×(n－
2)×…×2×1
＝___n_！___.排
列
数公
式
写成
阶乘的
形式
为
Amn ＝
n－n！m！，这里规定 0！＝___1__．
知识点二 组合与组合数 (1) 组 合 的 定 义 ： 一 般 地 ， 从 n 个 ___不__同___ 元 素 中 取 出 m(m ＜ n) 个 元 素 __合__成__一__组____，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__组__合___ 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号___C_nm___表示．