轴对称填空选择易错题(Word版 含答案)

轴对称填空选择易错题（Word 版 含答案）

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

1．如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，AB =11，AC =5，则BE =______________．

【答案】3

【解析】如图，连接CD ，BD ，已知AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，根据角平分线的性质可得DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，即可得AE=AF ，又因DG 是BC 的垂直平分线，所以CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，CD ＝BD ，DF ＝DE ，利用HL 定理可判定Rt △CDF ≌Rt △BDE ，由全等三角形的性质可得BE=CF ，所以AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．

点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．

2．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含α的式子表示）

【答案】1206α︒-

【解析】

【分析】 在AC 上截取AD=AB ，易证△ABI ≌△ADI ，所以BI=DI ，由AB ＋BI ＝AC ，可得DI=DC ，

设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.

【详解】

解：如图所示，在AC 上截取AD=AB ，连接DI ，

点I 是△ABC 的角平分线的交点

所以有∠BAI=∠DAI ，∠ABI=∠CBI ，∠ACI=∠BCI ，

在△ABI 和△ADI 中，

AB=AD BAI=DAI AI=AI ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

∴△ABI ≌△ADI （SAS ）

∴DI=BI

又∵AB ＋BI ＝AC ，AB+DC=AC

∴DI=DC

∴∠DCI=∠DIC

设∠DCI=∠DIC=β

则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β

在△ABC 中，

∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ， ∴180=3066

β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI

121802

αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝⎭ =1206α

︒-

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.

3．如图，P 为等边△ABC 内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD 的长为______.

【答案】234.

【解析】

【分析】

将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得

CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出

∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.

【详解】

将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，

∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，

∵等边△ABC，

∴∠ACP+∠PCB=60°，

∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，

∴△ECP为等边三角形，

∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，

∴∠DEB=90°，

∵∠APC=150°，∠APD=30°，

∴∠DPC=120°，

∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，

∴ED=3+7=10，

∴BD=22

=234.

DE BE

故答案为34

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.

4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于

点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）

【答案】①③④⑤．

【解析】

【分析】

①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据

△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】

①∵△ABC和△CDE都是等边三角形

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°

∴∠ACE＝60°

∴∠ACD＝∠BCE＝120°

在△ACD和△BCE中

CA CB

ACD BCE

CD CE

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴AD＝BE；

②∵△ACD≌△BCE

∴∠CAD＝∠CBE

在△ACN和△BCM中

ACN BCM

CA CB

CAN CBM

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

∴△ACN≌△BCM(ASA)

∴AN＝BM；

③∵∠CAD+∠CDA＝60°

而∠CAD＝∠CBE

∴∠CBE+∠CDA＝60°

∴∠BPD＝120°