近世代数课件--1.4循环群
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《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
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和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数课件循环群
§4 循环群
我们来阐明 H ar .事实上,一方面, 显然, ar H .另一方面,由于 G a 且 H G ,对于任意的 hH ,可设 h an ,其 中 nZ .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r . 若 s 0 ,则
§4 循环群
as anqr an (ar )q h(ar )q H , 这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
((s, n), (t, n)) ( t , n) ((s, t), n) (s, n) (s, t)
((s, t), n)
§4 循环群
(s, n) ( t , n) (s, t)
( st , n) ([s, t] n) . (s, t)
§4 循环群
k Z ,使得 r k[s, t].所以 b ar a[s, t] . (2)假设| a | n . 由于 b H ,因此| b | | | as | ;由于 b K ,
因此| b | | | at | .也就是说, n|n,n|n,
(r, n) (s, n) (r, n) (t, n)
h an aqr (ar )q ar . 由 此 可 见 H ar . 所 以 H ar . 这 就 是 说, H 是循环群.□
§4 循环群
命 题 4.2 设 G a 是 一 个 有 限 循 环 群,| a | n , r 是任意一个整数.那么
| ar | n , (r, n)
令 s | ar | .根据命题 3.12， s | n .另一方 (r, n)
§4 循环群
面，由于 (ar )s e 且| a | n ,根据命题 3.12,
n | (rs) ,从而, n | (rs) .由于 ( n , r) 1,
近世代数引论-002
7
与a的周期为m矛盾.
Zhang Aili
（5）设k | m.
近世代数引论
当0 r m / k时, (a k )r e :
若不然的话 , a kr e, kr k (m / k ) m
(a k )m / k a m e.
这与 | a | m矛盾. k | a | m / k.
设Q n / m , 其中n / m是有理数 .
Q n / m {r (n / m) | r Z}
但1 /(2m) Q,1 /(2m) {r (n / m) | r Z}
这是一个矛盾 .故Q不是一个循环群 .
2015-1-18
Zhang Aili
13
例3 设G是个阶大于 1的群. 若对于G中的任意元素 g及任意自然数 n, 方程x n g在G中
2015-1-18 Zhang Aili 3
定理2 加法群Z的每个子群 H都是循环群 .
近世代数引论
H 0 或H m , 其中m是H中的最小正整数 . 如果H 0 , 则H是无限群 . 证明 若H 0 , 则H显然是循环群 . 若H 0 , 则H包含一个最小的正整数 m. H是Z的一个子群且 m H m {km | k Z } H 反之, 如果h H , 则h qm r, q, r Z ,0 r m. r h qm H r 0(根据m是H中的最小的正整数 ) H m h qm, 故H m
证明 A, B a d , 这里的d是s, t的最大公因数 .
证明 a (a )
s
d s/d
a , a (a )
d t
d t/d
与a的周期为m矛盾.
Zhang Aili
（5）设k | m.
近世代数引论
当0 r m / k时, (a k )r e :
若不然的话 , a kr e, kr k (m / k ) m
(a k )m / k a m e.
这与 | a | m矛盾. k | a | m / k.
设Q n / m , 其中n / m是有理数 .
Q n / m {r (n / m) | r Z}
但1 /(2m) Q,1 /(2m) {r (n / m) | r Z}
这是一个矛盾 .故Q不是一个循环群 .
2015-1-18
Zhang Aili
13
例3 设G是个阶大于 1的群. 若对于G中的任意元素 g及任意自然数 n, 方程x n g在G中
2015-1-18 Zhang Aili 3
定理2 加法群Z的每个子群 H都是循环群 .
近世代数引论
H 0 或H m , 其中m是H中的最小正整数 . 如果H 0 , 则H是无限群 . 证明 若H 0 , 则H显然是循环群 . 若H 0 , 则H包含一个最小的正整数 m. H是Z的一个子群且 m H m {km | k Z } H 反之, 如果h H , 则h qm r, q, r Z ,0 r m. r h qm H r 0(根据m是H中的最小的正整数 ) H m h qm, 故H m
证明 A, B a d , 这里的d是s, t的最大公因数 .
证明 a (a )
s
d s/d
a , a (a )
d t
d t/d
大学数学《近世代数》课件
3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元
大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
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近世代数课件 第7节 循环群
12/22
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元. 思路1： a) 欲证：ar是G的生成元，因此只需证得：|ar| = n. b) 欲证： |ar| = n ，令|ar| = k，因此只需证得：k | n，且n | k.
(另证)必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1. 思路： a) 欲证(n, r)=1，令(n, r)=d，因此只需证得d = 1. b) 欲证d = 1，只需证得：n | (n/d). c) 欲证n | (n/d)，已知|ar| = n，因此只需证得： (ar)n/d=e. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.
借助于命题：整数r与n互质存在整数 u 和 v 使得ur+vn = 1.
设r与n互质，则存在整数 u 和 v 使得
ur + vn = 1
从而
a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u
这就推出ak∈G，ak = (ar)uk∈(ar)，即G(ar).
另一方面，显然有(ar)G. 从而G = (ar).
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那 么G只有两个生成元：3和3.
15/22
近世 代数
循环群的子群
定理4 设G=(a)是循环群，则 (1) 循环群G的子群仍是循环群. (2) 若G=(a)是无限循环群，则G的子群除{e}以外都
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元. 思路1： a) 欲证：ar是G的生成元，因此只需证得：|ar| = n. b) 欲证： |ar| = n ，令|ar| = k，因此只需证得：k | n，且n | k.
(另证)必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1. 思路： a) 欲证(n, r)=1，令(n, r)=d，因此只需证得d = 1. b) 欲证d = 1，只需证得：n | (n/d). c) 欲证n | (n/d)，已知|ar| = n，因此只需证得： (ar)n/d=e. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.
借助于命题：整数r与n互质存在整数 u 和 v 使得ur+vn = 1.
设r与n互质，则存在整数 u 和 v 使得
ur + vn = 1
从而
a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u
这就推出ak∈G，ak = (ar)uk∈(ar)，即G(ar).
另一方面，显然有(ar)G. 从而G = (ar).
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那 么G只有两个生成元：3和3.
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近世 代数
循环群的子群
定理4 设G=(a)是循环群，则 (1) 循环群G的子群仍是循环群. (2) 若G=(a)是无限循环群，则G的子群除{e}以外都
近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数抽象代数ppt课件
第一章 群 论
LOGO
1
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2
§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
s
ns
a ai , b as j .
i 1
j 1
n
所以 a b ai . i 1
24
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
25
10
§1 代数运算
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
17
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
2
§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
s
ns
a ai , b as j .
i 1
j 1
n
所以 a b ai . i 1
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10
§1 代数运算
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
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§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
大学课程课件 近世代数教学课件
A1 , A2 ,, An
和
A1 A2 An 我们有
A1 A2 An
( x A1 A2 A) ( x至少属于某一Ai , i 1, 2,, n)
( x A1 A2 A) ( x属于每一Ai , i 1, 2,, n)
全体复数的集合，表示为C
设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的
元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 作 ，或记
. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当
A B
.
BA 对于每一个元素 x，如果
，就有
x A
A是B的子集，记作：
xB
( A B) (x : x A x B)
f :x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 . f (x )
例1 设
A B {1,2,3,4}
这是A到B的一个映射.
f : 1 2,2 3,3 4,4 1
例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合. 对于每 一 与它对应. f 不是A到B的映射， x ，令 A f ( x) x 因为当 时， 不能由x唯一确定.
设 f :AB 如果对于每一 x A 与g是相等的. 记作
，B g:A ，都有
f ( x) g ( x)
都是A到B的映射， ，那么就说映射f
f g
例3
令
f : R R, x | x |
2 g : R R , x x 那么 .
f g
定义4： 设 是A到B 的一个映射， g : B C f :AB 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个 ， x A g ( f ( x)) 是C中的一个元素. 因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定 x A 的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映 g ( f ( x和 )) 射是由 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 f : A . B 于是有 g:BC
大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义PPT18页
大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、 陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲
义
5.5 阿贝尔群和循环群
一. 阿贝尔群 定义 如果群<G，*>中的运算*是可交换的，则称该群为
阿贝尔群，或称交换群。 例 设<S,*>是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式
a*b=a*c 蕴含着 b = c，证明<S,*>是阿贝尔群。 分析 只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么<S,*>就是 阿贝尔群。
证明见书Ｐ210
例：见书Ｐ210 例题１
作业P211 (３)(６)
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。
因此 n=|G|=
k aiH
=
k
aiH
=mk
i1
i1
推论1 推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。
设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。
设任意的b∈S ……存在正整数i，j，使得bi = bj （ i<j） 即： bi * e= bi * bj－i由题意知bj－i就是幺元，则b的逆元 为……
定理3 设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G
义
5.5 阿贝尔群和循环群
一. 阿贝尔群 定义 如果群<G，*>中的运算*是可交换的，则称该群为
阿贝尔群，或称交换群。 例 设<S,*>是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式
a*b=a*c 蕴含着 b = c，证明<S,*>是阿贝尔群。 分析 只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么<S,*>就是 阿贝尔群。
证明见书Ｐ210
例：见书Ｐ210 例题１
作业P211 (３)(６)
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。
因此 n=|G|=
k aiH
=
k
aiH
=mk
i1
i1
推论1 推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。
设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。
设任意的b∈S ……存在正整数i，j，使得bi = bj （ i<j） 即： bi * e= bi * bj－i由题意知bj－i就是幺元，则b的逆元 为……
定理3 设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
《循环群与置换群》课件
05
循环群与置换群的习题 与解答
习题部分
习题1
什么是循环群？请给出循环群 的定义。
习题2
置换群的定义是什么？请举例 说明。
习题3
请描述循环群和置换群之间的 关系。
习题4
给出几个具体的循环群和置换 群的例子。
解答部分
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
解答1
循环群是由一个元素生 成的群，其定义是 G={a^n | n属于整数} ，其中a是G的元素， 且a^n表示a自乘n次 。
群，其中包含元素 (1,2,3)和(1,3,2)，因为 它们分别表示元素之间
的替换。
谢谢观看
交替群
由两个置换交换位置形成 的群。
完全置换群
由所有可能的置换组成的 群。
置换群的子群与共轭类
子群
置换群的子集，满足封闭性和结合性。
共轭类
两个置换在共轭关系下形成的类。
03
循环群与置换群的关系
循环群是置换群的特例
循环群是置换群的一 种特殊形式，其中元 素都是循环置换。
置换群中的元素可以 表示为 $(1)(2)(3),(1)(3)(2),( 2)(1)(3),(2)(3)(1),do ts,(12)(34),dots$。
循环群中的元素可以 表示为 $(1),(12),(13),(14),d ots,(123),(124),dots ,(1234),dots$。
置换群在几何中的应用
置换群在几何中有着广泛的应用，特 别是在晶体结构和分子结构的研究中 。
通过研究置换群的性质和分类，可以 深入了解晶体或分子的结构和性质。
和逆元等。
晶体结构中的置换群
总结词
晶体结构中的置换群是物理学中的一个 重要实例，它展示了置换群的基本性质 和特点。
近世代数课件 第7节 循环群
2/22
近世 代数
循环群的定义
定义1 设G是群，如果G是由其中的某个元素a生成 的，则称G是循环群，记作G=(a)，称 a 为G 的生成 元.
定义1’ 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=(a)，称 a 为G 的生成元.
如果循环群G是由a生成的，则b∈G，存在一个 整数 m 使得 b = am.
近世 代数
问题
近世代数（或抽象代数）的主要研究内容就 是研究所谓的代数系统，即带有运算的集合。
研究一种代数系统就是要解决这一系统的存 在问题、数量问题和构造问题。
如果对于一个代数系统，这三个问题能得到 圆满的解答，研究的目的就算达到了。
1/22
近世 代数
第7节 循环群
主要内容:
循环群的定义 循环群的结构 循环群的数量 循环群的生成元 循环群的子群
abcdef
a abcdef b bcde fa c cde fab d def abc e efa bcd f fab cde
子群：(a)={a}, (c)={c, e, a}, (d)={d, a}, G .
8/22
近世 代数
循环群的生成元
定理3 设G=(a)是循环群. (1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和
命题：设群G的元素a的阶为n，(r, n)=d，证明：ar的阶为n/d.
必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元.
11/22
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
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2020/9/27
数学与计算科学学院
§4 循环群
命 题 4.2 设 G a 是 一 个 有 限 循 环 群,| a | n , r 是任意一个整数.那么
| ar | n , (r, n)
其中 (r, n) 表示 r 与 n 的最大公约数.
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§4 循环群
证明 当 r 0 时,结论显然成立.不妨假
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§4 循环群
于 ak ([s, t], n) a([s, t], n) ,因此 b ar a([s, t],n) .
综上所述,无论是| a | 还是 | a | , 总有 b ar a[s, t] .由于 b 的任意性,我们有
H K a[s, t] .
(r, n)
□
作业 p16,第 3,4,6 题.
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§4 循环群
习题参考答案 5. 设 G a 是 循 环 群 , H as 和 K at 是 G 的两个子群,证明:
H K a[s, t] . 证明 显然 a[s, t] H K ,从而,
a[s, t] H K .
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§4 循环群
注 我们有 [(s, n), (t, n)] (s, n) (t, n)
((s, n), (t, n)) ( t , n) ((s, t), n) (s, n) (s, t)
((s, t), n)
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§4 循环群
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§4 循环群
为了证明 H K a[s, t] ,现在只需证明 H K a[s, t] .
考察为 H K 中任意一个元素 b ar : (1)假设| a | . 由于 b H ,因此存在 i Z ,使得 r is ; 由于 b K ,因此存在 j Z ,使得 r jt .这就 是说, r 是 s 与 t 的一个公倍数.因此存在
设 r 0 .由于 (r, n) (r, n) 且 | ar | | ar | ,因
此我们可以进一步假设 r 0 .一方面，由于
| a | n ,我们有
n
r
r
(ar )(r, n) (an )(r, n) e(r, n) e .
令 s | ar | .根据命题 3.12， s | n .另一方 (r, n)
若 H {e} , 则 H 是 循 环 群 . 现 在 假 设 H {e}.考察集合 N {n N | an H} ,易见 N .将 N 中最小的那个正整数记作 r .
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§4 循环群
我们来阐明 H ar .事实上,一方面, 显然, ar H .另一方面,由于 G a 且 H G ,对于任意的 hH ,可设 h an ,其 中 nZ .我们取整数 q 和 s ,使得
第一章 群 论
2020/9/27
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§4 循环群
命题 4.1 循环群的子群仍是循环群.
证明 设 G a 是一个循环群, H 是 G 的任意一个子群.
(r, n) (s, n) (r, n) (t, n)
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§4 循环群
从 而 , (s, n) | (r, n) 且 (t, n) | (r, n) . 因 此 [(s, n), (t, n)]| (r, n) .众所周知,
([s, t], n) [(s, n), (t, n)].注 所以 ( [s, t], n) | (r, n) ,从而,存在 k Z ,使得 k([s, t], n) (r, n) ,所以 ak([s, t], n) a(r, n) . 这样,根据第 3 题,我们有 a(r, n) a r .因 此, ar ak ([s, t], n) ,从而, ar ak ([s, t], n) .由
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§4 循环群
k Z ,使得 r k[s, t].所以 b ar a[s, t] . (2)假设| a | n . 由于 b H ,因此| b | | | as | ;由于 b K ,
因此| b | | | at | .也就是说, n|n,n|n,
n qr s , 0 s r . 若 s 0 ,则
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§4 循环群
as anqr an (ar )q h(ar )q H , 这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
h an aqr (ar )q ar . 由 此 可 见 H ar . 所 以 H ar . 这 就 是 说, H 是循环群.□
(s, n) ( t , n) (s, t)
( st , n) ([s, t] n) . (s, t)
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§4 循环群
面，由于 (ar )s e 且| a | n ,根据命题 3.12,
n | (rs) ,从而, n | (rs) .由于 ( n , r) 1,
(r, n)
(r, n)
因此 n | s .所以 s n ,即| ar | n .
(r, n)
(r, n)