近世代数课件14循环群
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《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
近世代数学习教材PPT课件
§8.2 代数系统常见的一些性质
（3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b） c＝a （b c） 2）交换律：a b＝b a 3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（a c） 4）单位元：a 1＝a 5）逆元：a a－1＝1 6）零元：a 0＝0
7）生成元
逆元
域
特殊子环 （两个二元运算：,
单位元，无零因子 整环 理想 商环
)
特殊环
两个运算的结合律、交换律、吸收律
格 两个运算的分配律 分配格 布尔代数 两个运算的单位元、逆元 两个运算有单位元 有界格 两个运算有逆元 有补格
第九章 群论
§9.1 一些群的定义
（7）半群——代数系统满足交换律
§9.2 一些群的理论与半群性质：
半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 （19）关于群的基本理论 群方程可解性：a x = b（或x a = b）对x存在唯一解； 群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c； 任一群必与变换群同构； 与一个群同构或满同态的代数系统必为群； 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；
第三篇 近世代数
代数系统是建立在集合论基础上以代 数运算为研究对象的学科。本篇共三章， 第五章代数系统基础介绍代数系统的一般 原理与性质， 第六章群论，主要介绍具有 代表性的代数系统－群，最后第七章其它 代数系统，介绍除群外常见的一些代数系 统，如环、域、格与布尔代数等，这三章 相互配合构成了代数系统的完整的整体。
§8.3 同构与同态
（4）同构：（X， ）与（Y，）存在一一对应函
数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x 2）＝g（x1）
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数课件循环群
§4 循环群
我们来阐明 H ar .事实上,一方面, 显然, ar H .另一方面,由于 G a 且 H G ,对于任意的 hH ,可设 h an ,其 中 nZ .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r . 若 s 0 ,则
§4 循环群
as anqr an (ar )q h(ar )q H , 这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
((s, n), (t, n)) ( t , n) ((s, t), n) (s, n) (s, t)
((s, t), n)
§4 循环群
(s, n) ( t , n) (s, t)
( st , n) ([s, t] n) . (s, t)
§4 循环群
k Z ,使得 r k[s, t].所以 b ar a[s, t] . (2)假设| a | n . 由于 b H ,因此| b | | | as | ;由于 b K ,
因此| b | | | at | .也就是说, n|n,n|n,
(r, n) (s, n) (r, n) (t, n)
h an aqr (ar )q ar . 由 此 可 见 H ar . 所 以 H ar . 这 就 是 说, H 是循环群.□
§4 循环群
命 题 4.2 设 G a 是 一 个 有 限 循 环 群,| a | n , r 是任意一个整数.那么
| ar | n , (r, n)
令 s | ar | .根据命题 3.12， s | n .另一方 (r, n)
§4 循环群
面，由于 (ar )s e 且| a | n ,根据命题 3.12,
n | (rs) ,从而, n | (rs) .由于 ( n , r) 1,
大学数学《近世代数》课件
3.推移律：
a bb a
a a,不管a是A的哪一个元。
a b, b c a c
定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而 且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。
定理1：集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系。
定理2：集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类。
III.
，方程 和
在G中都有解。
例1 G＝{g}，乘法规定gg=g， 则G是一个群。
例2 G＝{全体整数}；G中运算为普通加法，则G是一个群。
例3 G＝{所有非整数}，G对于普通乘法不作成一个群。
定义1 同态：S , 与 T , 为两个代数系
统, ：S T 为同态映射，若对 a ，b S
有:a b＝ab
S , 定义2 同态满射： 与 为两个代数系统 ，
该映射为同态满射， ，
：S T
T , 为同态映射，且为满射，则 同态
S , T ,
定理1 假定，对于代数运算 和 来说， S与T 同态则：
二元代数运算“
”适合结合律和交换律
则 ai S,i 1,2,n, n个元素
a , a ,, a 1 2
n 的乘积仅与这n个元素
有关而与它们的次序无关。
例 仅满足结合律而不满足交换律：
1）矩阵乘法 2）映射的复合运算 3）字符串的复合运算 同时满足结合律与交换律：
1）普通乘法 2）集合的并、交 3）逻辑与、逻辑或 两者均不满足：
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念
定义1 设“
”时非空集合S上的一个二元
2019年第循环群.ppt
(am)n=(an)m=e |am||n d|n
© Peking University
12
关于子群定理证明（续）
对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
n
(4) 设 d|n，则H a d 是 G 的 d 阶子群.
假若 H’=<am>也是 G 的 d 阶子群，其中 am 为最小正方 幂元.则
4
有关循环群的生成元的定理
定理 1 G=<a>是循环群
（1）若 G 是无限循环群，则 G 的生成元是 a 和 a-1;
（2）若 G 是 n 阶循环群，则 G 有(n)个生成元，
当 n=1 时 G=<e>的生成元为 e；
当 n>1 时，r(rZ+r<n)，ar 是 G 的生成元(n,r)=1.
例： 两个Z上的一一变换 f:ZZ,f(x) = x g:ZZ,g(x) = -x
© Peking University
16
变换的乘法
定义17.10 设f，g是A上的两个变换, f和g的合成称为f与g的乘积， 记作fg。
如果f和g都是A上的一一变换，则fg也是A上的一一变换。
© Peking University
n
a md e n | md n | m m n t a m (a d )t H
d
d
H’H, |H’|=|H|=d H’=H
© Peking University
13
实例
例 1 (1) <Z12,>, 生成元为与 12 互质的数：1,5,7,11 12 的正因子为 1,2,3,4,6,12， 子群：<0>,<1>, <2>,<3>, <4>, <6>
© Peking University
12
关于子群定理证明（续）
对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
n
(4) 设 d|n，则H a d 是 G 的 d 阶子群.
假若 H’=<am>也是 G 的 d 阶子群，其中 am 为最小正方 幂元.则
4
有关循环群的生成元的定理
定理 1 G=<a>是循环群
（1）若 G 是无限循环群，则 G 的生成元是 a 和 a-1;
（2）若 G 是 n 阶循环群，则 G 有(n)个生成元，
当 n=1 时 G=<e>的生成元为 e；
当 n>1 时，r(rZ+r<n)，ar 是 G 的生成元(n,r)=1.
例： 两个Z上的一一变换 f:ZZ,f(x) = x g:ZZ,g(x) = -x
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16
变换的乘法
定义17.10 设f，g是A上的两个变换, f和g的合成称为f与g的乘积， 记作fg。
如果f和g都是A上的一一变换，则fg也是A上的一一变换。
© Peking University
n
a md e n | md n | m m n t a m (a d )t H
d
d
H’H, |H’|=|H|=d H’=H
© Peking University
13
实例
例 1 (1) <Z12,>, 生成元为与 12 互质的数：1,5,7,11 12 的正因子为 1,2,3,4,6,12， 子群：<0>,<1>, <2>,<3>, <4>, <6>
大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
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近世代数课件 第7节 循环群
12/22
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元. 思路1： a) 欲证：ar是G的生成元，因此只需证得：|ar| = n. b) 欲证： |ar| = n ，令|ar| = k，因此只需证得：k | n，且n | k.
(另证)必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1. 思路： a) 欲证(n, r)=1，令(n, r)=d，因此只需证得d = 1. b) 欲证d = 1，只需证得：n | (n/d). c) 欲证n | (n/d)，已知|ar| = n，因此只需证得： (ar)n/d=e. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.
借助于命题：整数r与n互质存在整数 u 和 v 使得ur+vn = 1.
设r与n互质，则存在整数 u 和 v 使得
ur + vn = 1
从而
a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u
这就推出ak∈G，ak = (ar)uk∈(ar)，即G(ar).
另一方面，显然有(ar)G. 从而G = (ar).
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那 么G只有两个生成元：3和3.
15/22
近世 代数
循环群的子群
定理4 设G=(a)是循环群，则 (1) 循环群G的子群仍是循环群. (2) 若G=(a)是无限循环群，则G的子群除{e}以外都
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元. 思路1： a) 欲证：ar是G的生成元，因此只需证得：|ar| = n. b) 欲证： |ar| = n ，令|ar| = k，因此只需证得：k | n，且n | k.
(另证)必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1. 思路： a) 欲证(n, r)=1，令(n, r)=d，因此只需证得d = 1. b) 欲证d = 1，只需证得：n | (n/d). c) 欲证n | (n/d)，已知|ar| = n，因此只需证得： (ar)n/d=e. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.
借助于命题：整数r与n互质存在整数 u 和 v 使得ur+vn = 1.
设r与n互质，则存在整数 u 和 v 使得
ur + vn = 1
从而
a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u
这就推出ak∈G，ak = (ar)uk∈(ar)，即G(ar).
另一方面，显然有(ar)G. 从而G = (ar).
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那 么G只有两个生成元：3和3.
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近世 代数
循环群的子群
定理4 设G=(a)是循环群，则 (1) 循环群G的子群仍是循环群. (2) 若G=(a)是无限循环群，则G的子群除{e}以外都
密码学基础群 (循环群,生成元)
进一步, 如果F是有限集,则称(F,+, ∗) 是一 个有限域(finite field), 也称为伽罗华域 (Galois field).
a
36
例 有理数域(Q,+, ×); 实数域(R,+, ×); 复数域(C,+, ×).
例4.1.2.2 设p∈Z+是素数, Zp={0,1,…, p-1}, 则(Zp, ⊕, ⊗) 是一个有限域.
1829年4月6日, 阿贝尔死于肺结核, 年仅27岁.
1872年, 若尔当(C.Jordan)引入了 阿贝尔群这一术语, 以纪念这位英年 早逝的天才数学家.
a
30
有限环
定义 设R是一个非空集合. 如果在R上定义了两个代数 运算, “+”(称为加法)和“∗” (称为乘法), 并且满足:
(R1) (R, +)构成一个交换群; (R2) 乘法结合律: 即对所有的a, b, c∈R, 有
环R的元素a的加法逆元称为a负元, 记为-a.
注2: 如果环R的乘法还满足交换律, 则称R为 交换环.
a
32
注3: 如果环R中存在元素e, 使对任意的a∈R, 有
a∗e=e∗a=a,
则称R是一个有单位元的环, 并称e是R的乘法单 位元(unit).
如果环R有单位元, 则R的单位元是唯一的. 环R 的乘法单位元记为e或1.
∴ Z5*={1,2,3,4}={24, 21, 23, 22}. 请验证生成元3的情形
a
23
对于a=3, 有 31=3, 32=4, 33=2, 34=1. ∴ Z5*={1,2,3,4}={34, 33, 31, 32}.
a
24
循环群
定理设G是一个n阶循环群, 则G恰有φ(n) 个生成元.
a
36
例 有理数域(Q,+, ×); 实数域(R,+, ×); 复数域(C,+, ×).
例4.1.2.2 设p∈Z+是素数, Zp={0,1,…, p-1}, 则(Zp, ⊕, ⊗) 是一个有限域.
1829年4月6日, 阿贝尔死于肺结核, 年仅27岁.
1872年, 若尔当(C.Jordan)引入了 阿贝尔群这一术语, 以纪念这位英年 早逝的天才数学家.
a
30
有限环
定义 设R是一个非空集合. 如果在R上定义了两个代数 运算, “+”(称为加法)和“∗” (称为乘法), 并且满足:
(R1) (R, +)构成一个交换群; (R2) 乘法结合律: 即对所有的a, b, c∈R, 有
环R的元素a的加法逆元称为a负元, 记为-a.
注2: 如果环R的乘法还满足交换律, 则称R为 交换环.
a
32
注3: 如果环R中存在元素e, 使对任意的a∈R, 有
a∗e=e∗a=a,
则称R是一个有单位元的环, 并称e是R的乘法单 位元(unit).
如果环R有单位元, 则R的单位元是唯一的. 环R 的乘法单位元记为e或1.
∴ Z5*={1,2,3,4}={24, 21, 23, 22}. 请验证生成元3的情形
a
23
对于a=3, 有 31=3, 32=4, 33=2, 34=1. ∴ Z5*={1,2,3,4}={34, 33, 31, 32}.
a
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循环群
定理设G是一个n阶循环群, 则G恰有φ(n) 个生成元.
近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
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等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
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交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
近世代数课件子群
§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
近世代数课件 第7节 循环群
2/22
近世 代数
循环群的定义
定义1 设G是群，如果G是由其中的某个元素a生成 的，则称G是循环群，记作G=(a)，称 a 为G 的生成 元.
定义1’ 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=(a)，称 a 为G 的生成元.
如果循环群G是由a生成的，则b∈G，存在一个 整数 m 使得 b = am.
近世 代数
问题
近世代数（或抽象代数）的主要研究内容就 是研究所谓的代数系统，即带有运算的集合。
研究一种代数系统就是要解决这一系统的存 在问题、数量问题和构造问题。
如果对于一个代数系统，这三个问题能得到 圆满的解答，研究的目的就算达到了。
1/22
近世 代数
第7节 循环群
主要内容:
循环群的定义 循环群的结构 循环群的数量 循环群的生成元 循环群的子群
abcdef
a abcdef b bcde fa c cde fab d def abc e efa bcd f fab cde
子群：(a)={a}, (c)={c, e, a}, (d)={d, a}, G .
8/22
近世 代数
循环群的生成元
定理3 设G=(a)是循环群. (1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和
命题：设群G的元素a的阶为n，(r, n)=d，证明：ar的阶为n/d.
必要性: ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
充分性: n与r互质，即(n, r)=1 ar是G的生成元.
11/22
近世 代数
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质，即(n, r)=1.
14代数系统-循环群12-7
例、设G是群 对于任意的a ∈G 令S={ an |n ∈Z } 证明S是G 的子群 证：按判定定理二来判断 对任意的an,am ∈S an(am)-1 = an(a-1)m =an-m n- m∈ Z 所以 an-m ∈S 如果a的阶是有限的（为r) 则 S={a,a2,a3,…ar} 由a的各次幂构成的子群称为由a生 成的子群，记为<a> 例：<Z,+>中由 <2>所生成的子群
例：有限阶<Z4,+4>是循环群 因为 0=10 1=11 2=12 3=13 0=30 1=33 2=32 3=31 生成元为1或3 设a是生成元 ∀ n∈ Z4 n=ak= ka mod 4 取n=1 有 1=ka mod 4 即 有s 使 4s+ka =1 可得出 a与4互质(a,4)=1 反之 （a，4）=1 互质 则有 4s+ta =1 1= ta mod 4 1=at mod 4 n∈Z ∀ n∈ Z4 n = 1n =(at)n = atn tn∈Z 在Z4中只有1、3与4互质 所以为生成元 Z20 的生成元为1、3、7、9、11、13、 17、19 得出的结论是否有一般的意义？
定理10.11 设G＝<a>为循环群 1）若G是无限阶群，则G只有两 个生成元 a和a-1 2）若G是n阶循环群， 则G含有ψ（n）个生成元。 对于任何小于等于n且与n互素的 正整数r，ar是G的生成元 欧拉数：ψ（n）为 0…n-1中与n互质的数的个数 如n=9 与9互质的数有 ψ（9）={ 1，2，4，5，7，8} 推广：1、<Zn,+n>是循环群 其生成元的集合是： M={a | a ∈Zn 且（a,n)=1互质} 2、素数阶的群 <Zn,+n>中 除幺元以外的所有元素均为 生成元
近世代数教学PPT课件
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
描述法:
如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示.
第18页/共187页
A {x | 1 x 1, x R } 表示一切大于-1且小于1
第14页/共187页
第一章 基本概念
§1 集 合 §2 映射与变换 §3 代数运算 §4 运算率 §5 同态与同构 §6 等价关系与集合的分类
第15页/共187页
§1 集 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素.
我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的
第6页/共187页
阿贝尔
加罗华
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研 究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽 罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被 公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的 解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何 图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的 问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计 算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运 算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生 了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义 哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
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r
H G , 对于任意的 h H , 可设 h a , 其
n
中 n Z .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r .
若 s 0 ,则
2018/10/22 数学与计算科学学院
§4
循环群
a s a nqr an (a r )q h(a r )q H ,
2018/10/22
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§4
循环群
t ( s, n) ( , n) ( s, t ) st ( , n) ([s, t ] n) . ( s, t )
2018/10/22
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2018/10/22 数学与计算科学学院
§4
循环群
r [ s, t ]
k Z ,使得 r k[s, t ] .所以 b a a
.
(2)假设 | a | n . 由于 b H ,因此 | b | | | a s | ;由于 b K , 因此 | b | | | a | .也就是说, n n n n , , | | (r , n) ( s, n) (r , n) (t , n)
□
作业 p16,第 3,4,6 题.
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§4
循环群
习题参考答案 5. 设 G a 是 循 环 群 , H a s 和
K a 是 G 的两个子群,证明:
t
H K a
[s, t ]
[ s, t ]
.
证明 显然 a H K ,从而, a[ s, t ] H K .
r r
设 r 0 . 由于 (r, n) (r, n) 且 | a | | a | , 因 此我们可以进一步假设 r 0 . 一方面，由于
| a | n ,我们有
n r ( r , n) r n ( r , n) r ( r , n)
e. n r 令 s | a | . 根据命题 3.12 ， s | . 另一方 ( r , n) (a )
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
2018/10/22
§4
循环群
命题 4.1
证明
循环群的子群仍是循环群.
设 G a 是一个循环群, H 是 G
的任意一个子群. 若 H {e} , 则 H 是 循 环 群 . 现 在 假 设
t
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§4
循环群
从 而 , (s, n) | (r , n) 且 (t , n) | (r , n) . 因 此
[(s, n), (t , n)] | (r , n) .众所周知, ([s, t ], n) [(s, n), (t , n)]. k ([s, t ], n) (r, n) ,所以 a
这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
h a n a qr (a r )q a r .
由 此 可 见 H a r . 所 以 H a r . 这 就 是 说, H 是循环群.□
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循环群
命 题 4.2
.由于 b 的任意性,我们有
[ s, t ]
H K a
.
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循环群
注 我们有
(t , n) [(s, n), (t , n)] ( s, n) ((s, n), (t , n)) t ( , n) ((s, t ), n) ( s, t ) ( s , n) ((s, t ), n)
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循环群
[ s, t ]
为了证明 H K a
,现在只需证明
H K a
[ s, t ]
.
考察为 H K 中任意一个元素 b a r : (1)假设 | a | . 由于 b H , 因此存在 i Z , 使得 r is ; 由于 b K ,因此存在 j Z ,使得 r jt .这就 是说, r 是 s 与 t 的一个公倍数.因此存在
H {e} .考察集合 N {n N | a H } ,易见
n
N . 将 N 中最小的那个正整数记作 r .
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§4
循环群
我们来阐明 H a r . 事实上 , 一方面 , 显然 , a H . 另一方面 , 由于 G a 且
k ([ s , t ], n )
,从而, a a
r
.由
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§4
循环群
于 a
k ([ s , t ], n )
a
([ s , t ], n ) r
,因此
([ s , t ], n )
b a a
总有 b a a
r [ s, t ]
.
综上所述 , 无论是 | a | 还是 | a | ,
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(a )
e
§4
循环群
面，由于 (a r ) s e 且 | a | n ,根据命题 3.12, n n n | (rs ) ,从而, | (rs ) .由于 ( , r) 1, ( r , n) ( r , n) n n n r 因此 ,即 | a | . | s .所以 s ( r , n) ( r , n) ( r , n)
k ( [ s , t ], n ) ( r , n)
注
所以 ( [s, t ], n) | (r, n) ,从而,存在 k Z ,使得
a
( r , n)
.
这样,根据第 3 题,我们有 a 此, a a
r
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a .因
r k ([ s , t ], n )
设 G a 是 一 个 有 限 循 环
群, | a | n , r 是任意一个整数.那么 n r , |a | ( r , n) 其中 ( r , n) 表示 r 与 n 的最大公约数.
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证明
当 r 0 时 , 结论显然成立 . 不妨假
H G , 对于任意的 h H , 可设 h a , 其
n
中 n Z .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r .
若 s 0 ,则
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a s a nqr an (a r )q h(a r )q H ,
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t ( s, n) ( , n) ( s, t ) st ( , n) ([s, t ] n) . ( s, t )
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r [ s, t ]
k Z ,使得 r k[s, t ] .所以 b a a
.
(2)假设 | a | n . 由于 b H ,因此 | b | | | a s | ;由于 b K , 因此 | b | | | a | .也就是说, n n n n , , | | (r , n) ( s, n) (r , n) (t , n)
□
作业 p16,第 3,4,6 题.
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循环群
习题参考答案 5. 设 G a 是 循 环 群 , H a s 和
K a 是 G 的两个子群,证明:
t
H K a
[s, t ]
[ s, t ]
.
证明 显然 a H K ,从而, a[ s, t ] H K .
r r
设 r 0 . 由于 (r, n) (r, n) 且 | a | | a | , 因 此我们可以进一步假设 r 0 . 一方面，由于
| a | n ,我们有
n r ( r , n) r n ( r , n) r ( r , n)
e. n r 令 s | a | . 根据命题 3.12 ， s | . 另一方 ( r , n) (a )
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§6 §7
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命题 4.1
证明
循环群的子群仍是循环群.
设 G a 是一个循环群, H 是 G
的任意一个子群. 若 H {e} , 则 H 是 循 环 群 . 现 在 假 设
t
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从 而 , (s, n) | (r , n) 且 (t , n) | (r , n) . 因 此
[(s, n), (t , n)] | (r , n) .众所周知, ([s, t ], n) [(s, n), (t , n)]. k ([s, t ], n) (r, n) ,所以 a
这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
h a n a qr (a r )q a r .
由 此 可 见 H a r . 所 以 H a r . 这 就 是 说, H 是循环群.□
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命 题 4.2
.由于 b 的任意性,我们有
[ s, t ]
H K a
.
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注 我们有
(t , n) [(s, n), (t , n)] ( s, n) ((s, n), (t , n)) t ( , n) ((s, t ), n) ( s, t ) ( s , n) ((s, t ), n)
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[ s, t ]
为了证明 H K a
,现在只需证明
H K a
[ s, t ]
.
考察为 H K 中任意一个元素 b a r : (1)假设 | a | . 由于 b H , 因此存在 i Z , 使得 r is ; 由于 b K ,因此存在 j Z ,使得 r jt .这就 是说, r 是 s 与 t 的一个公倍数.因此存在
H {e} .考察集合 N {n N | a H } ,易见
n
N . 将 N 中最小的那个正整数记作 r .
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§4
循环群
我们来阐明 H a r . 事实上 , 一方面 , 显然 , a H . 另一方面 , 由于 G a 且
k ([ s , t ], n )
,从而, a a
r
.由
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§4
循环群
于 a
k ([ s , t ], n )
a
([ s , t ], n ) r
,因此
([ s , t ], n )
b a a
总有 b a a
r [ s, t ]
.
综上所述 , 无论是 | a | 还是 | a | ,
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(a )
e
§4
循环群
面，由于 (a r ) s e 且 | a | n ,根据命题 3.12, n n n | (rs ) ,从而, | (rs ) .由于 ( , r) 1, ( r , n) ( r , n) n n n r 因此 ,即 | a | . | s .所以 s ( r , n) ( r , n) ( r , n)
k ( [ s , t ], n ) ( r , n)
注
所以 ( [s, t ], n) | (r, n) ,从而,存在 k Z ,使得
a
( r , n)
.
这样,根据第 3 题,我们有 a 此, a a
r
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a .因
r k ([ s , t ], n )
设 G a 是 一 个 有 限 循 环
群, | a | n , r 是任意一个整数.那么 n r , |a | ( r , n) 其中 ( r , n) 表示 r 与 n 的最大公约数.
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证明
当 r 0 时 , 结论显然成立 . 不妨假