近世代数课件--3.7 理想

注3：一个环R至少有以下两个理想： 1. 只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想； 2. R自己，这个理想叫做R的单位理想。 两个通称为平凡理想.
我们举两个例。
例 1 看整数环R。那么一个整数
n 0
，n的所有
倍数
rn r R
作成一个理想。
R x 。那么所有多
例 2 看一个环R一元多项式环 项式 2 n
注1：理想一定是一个子环. 由（ⅰ），一个理想 A 是一个加群，由于（ⅱ）， I 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个 I 子环。但（ⅱ）不仅要求 的两个元的乘积必须 A在 A 里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个 A 任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。 注2：可以定义左(右)理想, p113, ex6.
ra na
r R , n是 整 数
的形式 [2] 当R有单位元的时候， a 的元都可以写成

sa sa1,
xi a yi
xi , yi R
na ( n1) a1
的形式，因为这时，
at 1at ,
[3] 当R既是交换环又有单位元的时候，a 的元的形 式特别简单，这时它们都可以写成
用r从右边去乘的元 A 情形一样。 [2] I 显然是包含 a 的最小的理想。 定义2 上面 I 的叫做由元 a 生成的主理想。这个 理想我们用符号 a 来表示。
以下用到最多的理想就是主理想。 一个主理想 a 的元的形式并不是永远象上面那样复 杂。 [1] 当R是交换环时， a 的元显然都可以写成
R
证完。
注5：在一个有单位元1的环中, 如果理想 I 包含一个 I 可逆元, 那么 是单位理想. 注6：定理1的逆命题不成立(p119, ex.4).
7.4 生成理想
给了一个环R，我们可以用以下方法做一些R的理想, 称为生成理想.
一个元素生成的理想—主理想 设 a 是R里一个元，利用 a 我们作一个集合 I ，I 包 含所有可以写成 x ay x ay sa at na x , y , s , t R , n 是 整 数 形式的元。那么
ra
r R
因此, 这时 a 也可以写出aR。 例3. 例1里的理想就是由n生成的主理想 n 。 注7：如果R=2Z, (4)的元素形如: ???
多个元素生成的理想
在环R里任意取出m个元 a1 , a 2 , , a m , 主理想的概 念容易加以推广。 定义3 m个主理想
§7 理想
• • • • 7.1 定义及例子 7.2 理想的交与和 7.3 除环的理想 7.4 生成理想源自文库
7.1 定义及例子
在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环，就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。 定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环， 简称理想，假如 （ⅰ） a , b I a b I （ⅱ） a I , r R ra , ar I (强闭合性)
1 1 m m i i
[1] I 是R的一个理想。因为：两个这种形式的元 相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从 左边去乘 A 一个元也得到一个这种形式的元，就是
rx1 a y1 rx m a y m ra t rs n r a
( a1 ) ( a 2 ) ( a m )
的和, 叫做 a1 , a 2 , , a m 生成的理想。这个理想我们 用符号 a , a , , a 来表示。
1 2 m
注8： a
1
, a 2 , , a m 是包含 a 1 , a 2 , , a m 的最小理想。
I 注4： 1 I 2一般不是理想.
I 1 I 2 是包含 I 1 I 2的最小
理想.
7.3 除环的理想
定理 1 一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位 理想。 证明 假定 I 是R的一个非零理想。那么
I 这就是说， =
I a 0，
1 I
a 由理想的定义， 1 a 1 I ，因而R的任意元 b b
2 q x p x, x hx p x
但
2 q x p x p x a
x ah x
a 1
这样， 1 p x 2, x 。但 1都不是（1）的形式， 这是一个矛盾。
作业 P113: 1,5
例4 在Z中, (a,b) 可以简化为主理想.
我们举一个例
例 5 在一些环中, (a,b) 不可以简化为主理想 假定 R x 是整数环R上的一元多项式环。我们看 R x 的理想 2, x 。因为 R x 是有单位元的交换环， 2, x 由所有的元
2 p1 x xp 2 x
p x,
1
p2 x R
x
作成：换一句话说，2刚刚包含所有多项式 n 2 a 0 a1 x a n x （1） ai R , n 0 我们证明，2, x 不是一个主理想。 假定 2, x p x ，那么 2 p x , x p x ，因而
a1 x a 2 x a n x
n 1
作成 R x 的一个理想。
7.2 理想的交与和
命题1 设 I 1 , I 2 是R的两个理想,那么 (i) I 1 I 2 仍然是理想 (ii) I 1 I 2 { a1 a 2 a1 I 1 , a 2 I 2 } 仍然是理想, 称为和.