近世代数课件--3.7 理想
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《近世代数》PPT课件

– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系:桥梁;
• 多项式的系数表示
;
• x的幂次表示
;
– 域上的多项式
• 针对系数定义;
• 例如二进制系数多项式,称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件:多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解:n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积,被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
(3)加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) :
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
(1)域的阶(针对群中元素的个数),记 为q。
(2)有限域或伽逻华(Galois)域,表示为:
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起?
7
例2-3
– F1:有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域,分别称为有理数域和实数域。
– F2:0、1两个元素模2加构成域;由于该域 中只有两个元素,记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理:
– 设p为质数,则整数全体关于p模的剩余类: 0,1,2,…,p-1,在模p的运算下(p模相 加和相乘),构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
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2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系:桥梁;
• 多项式的系数表示
;
• x的幂次表示
;
– 域上的多项式
• 针对系数定义;
• 例如二进制系数多项式,称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件:多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解:n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积,被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
(3)加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) :
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
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6
(1)域的阶(针对群中元素的个数),记 为q。
(2)有限域或伽逻华(Galois)域,表示为:
GF(q)。
–域将
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和
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联系在一起?
7
例2-3
– F1:有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域,分别称为有理数域和实数域。
– F2:0、1两个元素模2加构成域;由于该域 中只有两个元素,记为GF(2)。
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8
• 定理:
– 设p为质数,则整数全体关于p模的剩余类: 0,1,2,…,p-1,在模p的运算下(p模相 加和相乘),构成p阶有限域GF(p)。
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§8.2 代数系统常见的一些性质
(3)代数系统常见性质 1)结合律:(a b) c=a (b c) 2)交换律:a b=b a 3)分配律:a (b+c)=(a b)+(a c) 4)单位元:a 1=a 5)逆元:a a-1=1 6)零元:a 0=0
7)生成元
逆元
域
特殊子环 (两个二元运算:,
单位元,无零因子 整环 理想 商环
)
特殊环
两个运算的结合律、交换律、吸收律
格 两个运算的分配律 分配格 布尔代数 两个运算的单位元、逆元 两个运算有单位元 有界格 两个运算有逆元 有补格
第九章 群论
§9.1 一些群的定义
(7)半群——代数系统满足交换律
§9.2 一些群的理论与半群性质:
半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 (19)关于群的基本理论 群方程可解性:a x = b(或x a = b)对x存在唯一解; 群的消去律:a b = a c(或b a = c a)必有b = c; 任一群必与变换群同构; 与一个群同构或满同态的代数系统必为群; 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群;
第三篇 近世代数
代数系统是建立在集合论基础上以代 数运算为研究对象的学科。本篇共三章, 第五章代数系统基础介绍代数系统的一般 原理与性质, 第六章群论,主要介绍具有 代表性的代数系统-群,最后第七章其它 代数系统,介绍除群外常见的一些代数系 统,如环、域、格与布尔代数等,这三章 相互配合构成了代数系统的完整的整体。
§8.3 同构与同态
(4)同构:(X, )与(Y,)存在一一对应函
数g : XY使得如x1 , x2X,则有:g(x1 x 2)=g(x1)
《近世代数》课件

近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一,是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义,有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质,包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘,结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案:(略)
1.3 答案:群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题:若$a$是整数,则$a^3$也是整数。 2.2 选择题:下列哪个是环?
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码,其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中,经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组,这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中,态空间是一个复的向量空间,其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集,且E中的元素 都是方程f(x)=0的根,其中f(x)是F上 的一个多项式,那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集,且E中的元素 都是方程f(x)=0的根,其中f(x)是F上 的一个不可约多项式,那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义,包括左理想、右理想、双边理想等 ,并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数--理想与商环

§3 理想与商环
下面的一些例子告诉我们,当 R' 是一个环 R 的子 环时, R 有单位元,不意味着 R' 有单位元;即使子环 R' 有单位元,子环 R' 的单位元未必就是环 R 的单位 元;环 R 没有单位元不意味着其子环 R' 一定没有单位 元.
例 1 整数环 Z 有单位元1.令 R 表示偶数环.则 R 是环 Z 的子环,它没有单位元. Z 的平凡子环{0} 以 0 为自己的单位元,{0}是环 R 的子环.
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
I J {a b | a I, b J}
a b, ab R' , a, b R' ,并且 R' 关于“”和“ ”构成一个环
a b, ab R' , ab R'. (2)环 R 的任意子环 R' 的零元就是环 R 的零元;子环 R' 中任意 元素 a 在 R' 中的负元就是 a 在 R 中的负元. (3)任何环 R 都有子环,例如,{0} 和 R .{0} 和 R 都称为环 R 的 平凡子环. 若 R' 是环 R 的子环并且 R' 是 R 的真子集,则称 R' 为环 R 的真 子环.
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第二章 环 论
目录
§1 环的概念 §2 多项式环 §3 理想与商环 §4 环的同态 §5 交换环 §6 整环的因子分解 §7 唯一分解环上的多项式环
近世代数(抽象代数)课件

例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ,
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
2
CHENLI
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
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CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ,
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
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CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
2
CHENLI
近世代数教学课件

并运算 设 A, B是两个集合 . 由 A的一切元素和 B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集(简称并),记作 A B. 如图1所示.
A
A B
( x A B) ( x A或x B) ( x A B) ( x A且x B)
B
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交),记作: A B ,如图2所示.
A A
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : ( A B) C A ( B C ) ; ( A B) C A ( B C) 分配律 : A B C A B A C
A B C A B A C
A是B的子集,记作:
( A B) (x : x A x B)
如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的, 就说A与B 相等,记作:A=B. 即
( A B) (x : x A x B)
以集合A的所有子集为ຫໍສະໝຸດ 素的集合,称为A的幂集, 记为P(A).
如果集合A包含无限多个元素,则记为 A =;如 果A包含n个元素,则记为 A =n,此时 P(A) 2n
近世代数
第一章 基本概念
§1 §2 §3 集 合 映射与变换 代数运算
§4 §5 §6
运算率 同态与同构 等价关系与集合的分类
§1 集 合
表示一定事物的集体,我们把它们称为集合或集, 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用 小写拉丁字母a,b,c,…表示元素. 如果a是集合A的 元素,就说a属于A,记作 a A ;如果a不是集合A 的元素,就说a不属于A,记作 a A ; 例如,设A是一切偶数所成的集合,那么4∈A, 而 3 . A
近世代数学习课件

注:X上的一元和二元代数运算均满足 运算的封闭性。
定义4 结合律:设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有:(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律:若对a,b X 有: ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材:离散数学引论 王义和,哈工大出版社
参考教材: 1)近世代数, 熊全淹,武大
2)近世代数基础习题指导,北师大
3)离散数学及其在计算机中的应用
4)代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数,以及由数所衍 生出来的对象,如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算, 其共同点是对任两个数,通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征,因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理:A为 M , , e 的非空子集,则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注:根据集合交的性质知道 由A生成的子(幺)半群 (A) 是包含A的所有子(幺)半群 中最小的,即对任意包含A的
子(幺)半群 A 有:A A
定义4 左(右)理想:半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左(右)
定义乘法“”:N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有:
a (b+c) (a b) (a c)
则称“”对“+”满足左分配律。
如果a,b, c S 有:
定义4 结合律:设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有:(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律:若对a,b X 有: ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材:离散数学引论 王义和,哈工大出版社
参考教材: 1)近世代数, 熊全淹,武大
2)近世代数基础习题指导,北师大
3)离散数学及其在计算机中的应用
4)代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数,以及由数所衍 生出来的对象,如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算, 其共同点是对任两个数,通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征,因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理:A为 M , , e 的非空子集,则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注:根据集合交的性质知道 由A生成的子(幺)半群 (A) 是包含A的所有子(幺)半群 中最小的,即对任意包含A的
子(幺)半群 A 有:A A
定义4 左(右)理想:半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左(右)
定义乘法“”:N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有:
a (b+c) (a b) (a c)
则称“”对“+”满足左分配律。
如果a,b, c S 有:
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来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了
一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点,
它是近世代数的另一个重要理论来源。
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16
(3)Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665) 研究整数方程时发现当n≥3时,方程 xn+yn=zn 没有正整数解,费马认为他能够证明这个 定理,但是其后的三百多年中人们研究发现这是一 个非常困难的问题,这一问题被后来的研究者称为 费马问题或费马大定理,此定理直到1995年才被英 国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半 世纪内从未间断过,欧拉、高斯等著名数学家都对 此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由 E.Kummer作出的。
18
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解,其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性,Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
14
加罗华
阿贝尔
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15
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法,后来发
现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi,其中i2= -1。二元数按
(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d),(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行
代数运算,二元数具有直观的几何意义;与平面上的点一一
近 世 代 数
概 述
11
>>
1. 近世代数理论的三个来现 (3) Kummer理想数的发现
下一页
12
(1) 代数方程的解 两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开
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注3:一个环R至少有以下两个理想: 1. 只包含零元的集合,这个理想叫做R的零理想; 2. R自己,这个理想叫做R的单位理想。 两个通称为平凡理想.
我们举两个例。
例 1 看整数环R。那么一个整数
n 0
,n的所有
倍数
rn r R
作成一个理想。
R x 。那么所有多
例 2 看一个环R一元多项式环 项式 2 n
p x,
1
p2 x R
x
作成:换一句话说,2刚刚包含所有多项式 n 2 a 0 a1 x a n x (1) ai R , n 0 我们证明,2, x 不是一个主理想。 假定 2, x p x ,那么 2 p x , x p x ,因而
I 注4: 1 I 2一般不是理想.
I 1 I 2 是包含 I 1 I 2的最小
理想.
7.3 除环的理想
定理 1 一个除环R只有两个理想,就是零理想和单位 理想。 证明 假定 I 是R的一个非零理想。那么
I 这就是说, =
I a 0,
1 I
a 由理想的定义, 1 a 1 I ,因而R的任意元 b b
a1 x a 2 x a n x
n 1
作成 R x 的一个理想。
7.2 理想的交与和
命题1 设 I 1 , I 2 是R的两个理想,那么 (i) I 1 I 2 仍然是理想 (ii) I 1 I 2 { a1 a 2 a1 I 1 , a 2 I 2 } 仍然是理想, 称为和.
ra na
r R , n是 整 数
的形式 [2] 当R有单位元的时候, a 的元都可以写成
sa sa1,
xi a yi
xi , yi R
na ( n1) a1
的形式,因为这时,
at 1at ,
[3] 当R既是交换环又有单位元的时候,a 的元的形 式特别简单,这时它们都可以写成
注1:理想一定是一个子环. 由(ⅰ),一个理想 A 是一个加群,由于(ⅱ), I 对于乘法来说是闭的,所以一个理想一定是一个 I 子环。但(ⅱ)不仅要求 的两个元的乘积必须 A在 A 里,而且进一步要求, 在一个任意元同R的一个 A 任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。 注2:可以定义左(右)理想, p113, ex6.
1 1 m m i i
[1] I 是R的一个理想。因为:两个这种形式的元 相减显然还是一个这种形式的元;用R的一个元r从 左边去乘 A 一个元也得到一个这种形式的元,就是
rx1 a y1 rx m a y m ra t rs n r a
ra
r R
因此, 这时 a 也可以写出aR。 例3. 例1里的理想就是由n生成的主理想 n 。 注7:如果R=2Z, (4)的元素形如: ???
多个元素生成的理想
在环R里任意取出m个元 a1 , a 2 , , a m , 主理想的概 念容易加以推广。 定义3 m个主理想
用r从右边去乘的元 A 情形一样。 [2] I 显然是包含 a 的最小的理想。 定义2 上面 I 的叫做由元 a 生成的主理想。这个 理想我们用符号 a 来表示。
以下用到最多的理想就是主理想。 一个主理想 a 的元的形式并不是永远象上面那样复 杂。 [1] 当R是交换环时, a 的元显然都可以写成
( a1 ) ( a 2 ) ( a m )
的和, 叫做 a1 , a 2 , , a m 生成的理想。这个理想我们 用符号 a , a , , a 来表示。
1 2 m
注8: a
1
, a 2 , , a m 是包含 a 1 , a 2 , , a m 的最小理想。
§7 理想
• • • • 7.1 定义及例子 7.2 理想的交与和 7.3 除环的理想 7.4 生成理想
7.1 定义及例子
在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环,就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。 定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环, 简称理想,假如 (ⅰ) a , b I a b I (ⅱ) a I , r R ra , ar I (强闭合性)
2 q x p x, x hx p x
但
2 q x p x p x a
x ah x
a 1
这样, 1 p x 2, x 。但 1都不是(1)的形式, 这是一个矛盾。
作业 P113: 1,5
R
证完。
可逆元, 那么 是单位理想. 注6:定理1的逆命题不成立(p119, ex.4).
7.4 生成理想
给了一个环R,我们可以用以下方法做一些R的理想, 称为生成理想.
一个元素生成的理想—主理想 设 a 是R里一个元,利用 a 我们作一个集合 I ,I 包 含所有可以写成 x ay x ay sa at na x , y , s , t R , n 是 整 数 形式的元。那么
例4 在Z中, (a,b) 可以简化为主理想.
我们举一个例
例 5 在一些环中, (a,b) 不可以简化为主理想 假定 R x 是整数环R上的一元多项式环。我们看 R x 的理想 2, x 。因为 R x 是有单位元的交换环, 2, x 由所有的元
2 p1 x xp 2 x