近世代数模拟试题2
近世代数期末考试题(卷)库
{ 1、设置换σ 和τ 分别为：σ = ⎡⎢ ，τ = ⎡⎢⎥ ，判断 和 的奇偶性，并把 和12345678 ⎤ 12345678 ⎤⎣64173528⎦⎣23187654⎦矩阵，且 A = B + C 。
若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 2 2 ..世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无 分。
1、设 A ＝B ＝R(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ϕ ：x→x ＋2，∀ x∈R ，则 ϕ 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 A×B 中含有（ d ）个元素。
A 、2 B 、5 C 、7 D 、103、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A = 。
2、若有元素 e∈R 使每 a∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。
近世代数复习
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。
2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。
4、偶数环是的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。
6、每一个有限群都有与一个置换群。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。
8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。
近世代数初步模拟试卷2(参考答案)[1]
![近世代数初步模拟试卷2(参考答案)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/ec5db9b669dc5022aaea00a8.png)
试题(2)的参考答案一、填空题（27分）1、7阶群的子群共有 2 个。
2、“圆规直尺作图的三大难题”是三等分任意角问题 、 化圆为方问题 、 倍立方问题 。
3、把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积是 (17234)(56) 。
4、如果域E 的乘法群恰好包含f (x ) = x 124-1的所有根，则E 的特征是 5 。
5、剩余类加法群Z 8的生成元有 4 个，它们是 [1], [3], [5], [7] 。
6、除环的理想有 2 个。
7、实数32在有理域上的极小多项式是 x 3-2 。
8、20042005≡ 1 (mod 5).9、复数域C 作为实数域R 的扩域，指数[C : R ]= 2 .二、选择题 10、(D) 11、(B) 12、(C) 13、(A) 14、(B).三、计算题15、解: 如果域E 的乘法子群E*=E\{0}有一个13阶子群H, 且[E*:H]=2, 则|E*|=2|H|=26，进而，|E|=27=33，域E 的特征是3。
………………………10分16、解：32+在有理数域Q 上的极小多项式为f (x ) = x 4-10x 2+1。
………2分因为, (1) 32+∉Q (2) . 假设32+∈Q (2)，则3∈Q (2)，设3= a+b 2，a , b ∈Q ，且a ≠ 0 ≠ b ，两边平方得3 - a 2-2b 2 = 2 ab 2, 等式左边是有理数，而右边是无理数，矛盾。
………………………2分(2) 2∈Q (32+) . 因为 2=21[(32+-(3-2)]=21[32+-(32+)-1]. ………2分(3) [Q (32+):Q ] = 4. 由(1)和(2)知, Q (2)是Q (32+)的真子域，显然，32+在Q (2)上的极小多项式为x 2-22x -1，进而， [Q (32+):Q (2)]=2，所以，[Q (32+):Q ]= [Q (32+):Q (2)][Q (2):Q]=4. ………2分 (3)说明,32+在Q 上的极小多项式的次数是4。
近世代数模拟试题2
近世代数模拟试题二一、填空题（每空3分，共30分）1、设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2、环的中心是一个 。
3、环Z8的零因子有4、S3的真子群有5、平凡理想是指------------和---------------。
6、除环、域皆无--------------因子。
7、设A={x,y}则2A={ }8、从同构的意义上讲，一个群只能与其 同态。
9、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。
二、选择题（每小题3分，共15分）1、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）A 、f 的同态核是1G 的不变子群；B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；C 、1G 的子群的象是2G 的子群；D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。
2、整数环Z 中，可逆元的个数是( )。
A.1个B.2个C.4个D.无限个3、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） A 、11--a bc ； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。
4、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)5、设（G ，·）为半群，如果方程ax=b 与ya=b a,b ∈G 在G 中有解，（不要求唯一性）则G （ ）。
A 、也作成群B 、还是半群C 、不一定是群D 、不是群三、简答题（每小题8分，共40分。
下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。
判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。
）1、群G 的中心是G 的一个不变子群。
2、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1． 解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2． 解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。
近世代数期末考试试题库
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想,那么———————-—。
9、一个除环的中心是一个-域———--。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。
近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题2
近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题2一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分，共10 分）1、设A与B都是非空集合，那么A B xx A且x B。
（）2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。
（）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f 1。
（）4、如果循环群G a中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构。
（）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
（）6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为g G, h H;g 1Hg H。
（）7、如果环R的阶2，那么R的单位元1 0。
（）8若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。
（）9、F（x）中满足条件p（） 0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。
（）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。
（）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设A,阳,A n和D都是非空集合，而f是A1 A2 A n到D的一个映射，那么（）①集合A|, A2 , , A n , D中两两都不相同；② A1 , A2 , , A n的次序不能调换；③A1 A2A n中不同的元对应的象必不相同；④一个元a1,a2, , a n的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（）a K t ___________①在整数集Z上，a b --；②在有理数集Q上，a b ... |ab ；ab③在正实数集R上，a b a In b；④在集合n Zn 0上，a b a b。
3、设是整数集Z上的二元运算，其中a b max a,b （即取a与b 中的最大者），那么在Z中（）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA---------。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。
8、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：写成对换的乘积。
1234567864173528，1234567823187654，判断和的奇偶性，并把和12、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
(完整版)近世代数复习
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、设集合{}1,0,1A =-；{}1,2B =，则有B A ⨯= 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的 。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个 。
4、偶数环是 的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个 。
6、每一个有限群都有与一个置换群 。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 ，元a 的逆元是 。
8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么 。
9、一个除环的中心是一个 。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：1234567864173528σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234567823187654τ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。
以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。
答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。
答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。
答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。
例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。
2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。
例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。
四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。
答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。
- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。
- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。
- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。
例如，a的逆元是a^3。
G的子群有：- {1}：平凡子群。
- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。
- G本身：{1, a, a^2, a^3}。
2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。
答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。
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2、设E是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是E中的运算，（E， ）是一个代数系统，问（E， ）是不是群，为什么？
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}
H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123)D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果 是 与 间的一一映射， 是 的一个元，则 ----a------。
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”： m，n∈Z，m n＝1
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。
7.设(G，·)是一个群，那么，对于 a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝
显然是R的一个商域 证毕。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。
A、 B、 C、 D、
2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群
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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射B 、单射而非满射 C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
近世代数模拟试题
近世代数模拟试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个选项是群的一个例子？A. 整数集合B. 偶数集合C. 正实数集合D. 所有实数的集合2. 群的运算满足以下哪个性质？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足3. 在群中，单位元具有什么性质？A. 唯一性B. 可逆性C. 交换性D. 以上都不是4. 以下哪个选项是环的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 复数集合D. 所有选项都是5. 环中的加法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足6. 以下哪个选项是域的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 实数集合D. 所有选项都是7. 域中的乘法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足8. 向量空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足9. 线性变换的定义域和值域必须是？A. 向量空间B. 群C. 环D. 域10. 以下哪个选项是线性无关的例子？A. 一组线性方程的解B. 一组线性方程的系数C. 一组线性方程的增广矩阵D. 一组线性方程的系数矩阵二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个群的元素个数是有限的，则称该群为________群。
12. 群的运算满足封闭性，即对于任意两个元素a和b，它们的运算结果________。
13. 环中的元素a和b，如果满足ab=ba，则称这两个元素________。
14. 域中的元素a和b，如果满足ab=1，则称b为a的________。
15. 向量空间中的一组向量，如果它们之间不存在非平凡的线性组合等于零向量，则称这组向量________。
三、解答题（每题20分，共40分）16. 给定一个群G，证明群G中的单位元是唯一的。
17. 证明如果一个环R的乘法运算满足交换律，则称R为交换环。
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近世代数 【2 】模仿试题一一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是相符标题请求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选.多选或未选均无分.1.设A ＝B ＝R(实数集),假如A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的（ ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射2.设聚集A 中含有5个元素,聚集B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积聚集A ×B 中含有（ ）个元素.A.2B.5C.7D.103.在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是（ ）乘法来说A.不是独一B.独一的C.不必定独一的D.雷同的(两方程解一样)4.当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A.不相等B.0C.相等D.不必定相等.5.n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A.倍数B.次数C.约数D.指数二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.1.设聚集{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------.2.如有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------.3.环的乘法一般不交流.假如环R 的乘法交流,则称R 是一个------.4.偶数环是---------的子环.5.一个聚集A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------.6.每一个有限群都有与一个置换群--------.7.全部不等于0的有理数对于通俗乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是-------.8.设I 和S 是环R 的幻想且R S I ⊆⊆,假如I 是R 的最大幻想,那么---------.9.一个除环的中间是一个-------.三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.设置换σ和τ分离为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,断定σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对调的乘积.2、证实：任何方阵都可独一地表示成一个对称矩阵与一个否决称矩阵之和.3.设聚集)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -⋯⋯=,界说m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ,m +）是不是群,为什么？四、证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1、设G 是群.证实：假如对随意率性的G x ∈,有e x =2,则G 是交流群. 2.假定R 是一个有两个以上的元的环,F 是一个包含R 的域,那么F 包含R 的一个商域.近世代数模仿试题二一、单项选择题二、1.设G 有6个元素的轮回群,a 是生成元,则G 的子集（ ）是子群.A.{}aB.{}e a ,C.{}3,a eD.{}3,,a a e 2.下面的代数体系（G,*）中,（ ）不是群A.G 为整数聚集,*为加法B.G 为偶数聚集,*为加法C.G 为有理数聚集,*为加法D.G 为有理数聚集,*为乘法3.在天然数集N 上,下列哪种运算是可联合的？（ ）A.a*b=a-bB.a*b=max{a,b}C. a*b=a+2bD.a*b=|a-b|4.设1σ.2σ.3σ是三个置换,个中1σ=（12）（23）（13）,2σ=（24）（14）,3σ=（1324）,则3σ=（ ）A.12σB.1σ2σC.22σD.2σ1σ5.随意率性一个具有2个或以上元的半群,它（ ）.A.不可能是群B.不必定是群C.必定是群D. 是交流群二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.1.凯莱定理说：任一个子群都统一个----------同构.2.一个有单位元的无零因子-----称为整环.3.已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------.4.a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-------同构.5.A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----.6.若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------.7.α叫做域F 的一个代数元,假如消失F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα . 8.a 是代数体系)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ,则称a 为---------.9.有限群的另一界说：一个有乘法的有限非空聚集G 作成一个群,假如知足G 对于乘法关闭;联合律成立.---------.10.一个环R 对于加法来作成一个轮回群,则P 是----------.三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.设聚集A={1,2,3}G 是A 上的置换群,H 是G 的子群,H={I,(1 2)},写出H 的所有陪集.2、设E 是所有偶数做成的聚集,“•”是数的乘法,则“•”是E 中的运算,（E,•）是一个代数体系,问（E,•）是不是群,为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.若<G,*>是群,则对于随意率性的a.b ∈G,必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b.2.设m 是一个正整数,应用m 界说整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b.近世代数模仿试题三一.单项选择题1.6阶有限群的任何子群必定不是（ ）.A.2阶B.3 阶C.4 阶D. 6 阶2.设G 是群,G 有（ ）个元素,则不能肯定G 是交流群.A.4个B.5个C.6个D.7个3.有限布尔代数的元素的个数必定等于（ ）.A.偶数B.奇数C.4的倍数D.2的正整数次幂4.下列哪个偏序集构成有界格（ ）A.（N,≤）B.（Z,≥）C.（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D. (P(A),⊆)5.设S3＝{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交流的所有元素有（ ）A.(1),(123),(132)B.12),(13),(23)C.(1),(123)D.S3中的所有元素二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.1.群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的.2.假如f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1----------.3.区间[1,2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.4.可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.5.环Z 8的零因子有-----------------------.6.一个子群H 的右.左陪集的个数----------.7.从同构的不雅点,每个群只能同构于他/它本身的---------.8.无零因子环R 中所有非零元的配合的加法阶数称为R 的-----------.9.设群G 中元素a 的阶为m ,假如e a n =,那么m 与n 消失整除关系为--------.三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.用2种色彩的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出若干种不同的项链？2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？3.设有置换)1245)(1345(=σ,6)456)(234(S ∈=τ.1．乞降στστ-1;2．肯定置换στ和στ-1的奇偶性.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.一个除环R 只有两个幻想就是零幻想和单位幻想.2、M 为含幺半群,证实b =a -1的充分必要前提是aba =a 和ab 2a =e .近世代数模仿试题四一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是相符标题请求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选.多选或未选均无分.1.设聚集A 中含有5个元素,聚集B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积聚集A ×B 中含有（ ）个元素.A.2B.5C.7D.102.设A ＝B ＝R(实数集),假如A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的（ ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交流的所有元素有（）A.(1),(123),(132)B.(12),(13),(23)C.(1),(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的残剩类加群,那么,Z15的子群共有（）个.A.2B.4C.6D.85.下列聚集关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全部Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全部M n(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀m, n∈Z, m n＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀m, n∈Z, m n＝1二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.6.设“～”是聚集A的一个关系,假如“～”知足___________,则称“～”是A的一个等价关系.7.设(G,·)是一个群,那么,对于∀a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,并且(ab)－1＝___________.8.设σ＝(23)(35),τ＝(1243)(235)∈S5,那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的轮回置换之积).9.假如G是一个含有15个元素的群,那么,依据Lagrange定理知,对于∀a∈G,则元素a的阶只可能是___________.10.在3次对称群S3中,设H＝{(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H＝___________.11.设Z6＝{［0］,［1］,［2］,［3］,［4］,［5］}是以6为模的残剩类环,则Z6中的所有零因子是___________.12.设R是一个无零因子的环,其特点n是一个有限数,那么,n是___________.13.设Z［x］是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主幻想,则(x)＝________________________.14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a,b∈Z},个中i2＝－1,则Z［i］中的所有单位是______________________.15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的微小多项式是___________.三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）16.设Z为整数加群,Z m为以m为模的残剩类加群,ϕ是Z到Z m的一个映射,个中ϕ：k→［k］,∀k∈Z,验证：ϕ是Z到Z m的一个同态满射,并求ϕ的同态核Kerϕ.17.求以6为模的残剩类环Z6＝{［0］,［1］,［2］,［3］,［4］,［5］}的所有子环,并解释这些子环都是Z6的幻想.18.试解释独一分化环.主幻想环.欧氏环三者之间的关系,并举例解释独一分化环未必是主幻想环.四.证实题（本大题共3小题,第19.20小题各10分,第21小题5分,共25分）19.设G＝{a,b,c},G的代数运算“ ”由右边的运算表给出,证实：(G, )作成一个群.a b ca ab c20.设,Z c ,a 0c 0a I ,Z d ,c ,b ,a d c b a R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环.证实：I 是R 的一个子环,但不是幻想.21.设(R,＋,·)是一个环,假如(R,＋)是一个轮回群,证实：R 是一个交流环.近世代数模仿试题一 参考答案一.单项选择题.1.C;2.D;3.B;4.C;5.D;二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分).1.()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--;2.单位元;3.交流环;4.整数环;5.变换群;6.同构;7.零.-a ;8.S=I 或S=R ;9.域;三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653(=σ)6)(57)(48)(123(=τ可知σ为奇置换,τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对调的乘积：)27)(24)(16)(15)(13(=σ)57)(48)(12)(13(=τ2.解：设A 是随意率性方阵,令)(21A A B '+=,)(21A A C '-=,则B 是对称矩阵,而C 是否决称矩阵,且C B A +=.若令有11C B A +=,这里1B 和1C 分离为对称矩阵和否决称矩阵,则C C B B -=-11,而等式左边是对称矩阵,右边是否决称矩阵,于是双方必须都等于0,即：1B B =,1C C =,所以,表示法独一.3.答：（m M ,m +）不是群,因为m M 中有两个不同的单位元素0和m.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.对于G 中随意率性元x,y,因为e xy =2)(,所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x,从e x =2可得1-=x x ）.2.证实在F 里bb c a c c a b)0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab有意义,作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有-Q 显然是R 的一个商域 证毕. 近世代数模仿试题二 参考答案一.单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).1.C;2.D;3.B;4.B;5.A;二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分).1.变换群;2.交流环;3.25;4.模n 乘余类加群;5.{2};6.一一映射;7.不都等于零的元;8.右单位元;9.消去律成立;10.交流环;三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )} H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}2.答：（E,•）不是群,因为（E,•）中无单位元.3.解办法一.辗转相除法.列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339.然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.证实 设e 是群<G,*>的幺元.令x ＝a －1*b,则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b.所以,x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解.若x '∈G 也是a*x ＝b 的解,则x '＝e*x '＝(a －1*a)*x '＝a －1*(a*x ')＝a －1*b ＝x.所以,x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟一解.2.轻易证实如许的关系是Z 上的一个等价关系,把如许界说的等价类聚集Z 记为Zm,每个整数a 地点的等价类记为[a]=｛x ∈Z;m ︱x –a ｝或者也可记为a ,称之为模m 残剩类.若m ︱a –b 也记为a ≡b(m).当m=2时,Z2仅含2个元：[0]与[1].近世代数模仿试题三 参考答案一.单项选择题1.C;2.C;3.D;4.D;5.A;二.填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上准确答案.错填.不填均无分.1.独一.独一;2.a ;3.2;4.24;5.;6.相等;7.商群;8.特点;9.n m ;三.解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1.解 在学群论前我们没有一般的办法,只能用列举法.用笔在纸上画一下,用诟谇两种珠子,分类进行盘算：例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种.2.证由上题子环的充分必要前提,要证对随意率性a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2： 因为S1,S2是A 的子环,故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ,因而a-b, ab ∈S1∩S2 ,所以S1∩S2是子环.S1+S2不必定是子环.在矩阵环中很轻易找到反例：3.解： 1．)56)(1243(=στ,)16524(1=στ-;2．两个都是偶置换.四.证实题（本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分）1.证实：假定μ是R 的一个幻想而μ不是零幻想,那么a 0≠∈μ,由幻想的界说μ∈=-11a a ,因而R 的随意率性元μ∈•=1b b 这就是说μ=R,证毕.2.证必要性：将b 代入即可得. 充分性：应用联合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e, ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e, 所以b=a-1.近 世 代 数 试 卷一.断定题（下列命题你以为准确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分）1.设A 与B 都长短空聚集,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且. （ ）2.设A .B .D 都长短空聚集,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算.（ ）3.只如果f A 到A 的一一映射,那么必有独一的逆映射1-f . （ ）4.假如轮回群()a G =中生成元a 的阶是无穷的,则G 与整数加群同构. （ ）5.假如群G 的子群H 是轮回群,那么G 也是轮回群. （ ）6.群G 的子群H 是不变子群的充要前提为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,. （ ）7.假如环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠. （ ）8.若环R 知足左消去律,那么R 必定没有右零因子. （ ）9.)(x F 中知足前提0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的微小多项式. （ ）10.若域E 的特点是无穷大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主幻想. （ ）二.单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个准确答案,并将其号码写在题干后面的括号内.答案选错或未作选择者,该题无分.每小题1分,共10分）1.设n A A A ,,,21 和D 都长短空聚集,而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射,那么（ ） ①聚集D A A A n ,,,,21 中两两都不雷同;②n A A A ,,,21 的次序不能更换; ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不雷同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不独一.2.指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上,abba b a +=; ②在有理数集Q 上,ab b a = ;③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在聚集{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= .3.设 是整数集Z 上的二元运算,个中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者）,那么 在Z 中（ ）①不合适交流律;②不合适联合律;③消失单位元;④每个元都有逆元.4.设() ,G 为群,个中G 是实数集,而乘法k b a b a ++= :,这里k 为G 中固定的常数.那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分离是（ ）①0和x -; ②1和0; ③k 和k x 2-; ④k -和)2(k x +-. 5.设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x （ ） ①11--a bc ; ②11--a c ; ③11--bc a ; ④ca b 1-.6.设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,.假如6,那么G 的阶=G （ ） ①6; ②24; ③10; ④12.7.设21:G G f →是一个群同态映射,那么下列错误的命题是（ ）①f 的同态核是1G 的不变子群; ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群;③1G 的子群的象是2G 的子群; ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群. 8.设21:R R f →是环同态满射,b a f =)(,那么下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元,则b 是零元; ②若a 是单位元,则b 是单位元; ③若a 不是零因子,则b 不是零因子;④若2R 是不交流的,则1R 不交流.9.下列准确的命题是（ ）①欧氏环必定是独一分化环; ②主幻想环必是欧氏环; ③独一分化环必是主幻想环; ④独一分化环必是欧氏环. 10.若I 是域F 的有限扩域,E 是I 的有限扩域,那么（ ） ①()()()F I I E I E :::=; ②()()()I E F I E F :::=; ③()()()I F F E F I :::=; ④()()()F I I E F E :::=.三.填空题（将准确的内容填在各题干涉备的横线上,内容填错或未填者,该空无分.每空1分,共10分）1.设聚集{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B .2.假如f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1.3.设聚集A 有一个分类,个中i A 与j A 是A 的两个类,假如j i A A ≠,那么=j i A A .4.设群G 中元素a 的阶为m ,假如e a n =,那么m 与n 消失整除关系为.5.凯莱定理说：任一个子群都统一个同构.6.给出一个5-轮回置换)31425(=π,那么=-1π.7.若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主幻想,那么I 中的元素可以表达为.8.若R 是一个有单位元的交流环,I 是R 的一个幻想,那么I R 是一个域当且仅当I 是. 9.整环I 的一个元p 叫做一个素元,假如.10.若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域,假如.四.改错题（请鄙人列命题中你以为错误的地方划线,并将准确的内容写在准备的横线上面.指出错误1分,更正错误2分.每小题3分,共15分）1.假如一个聚集A 的代数运算 同时合适消去律和分派律,那么在n a a a 21里,元的次序可以失落换.2.有限群的另一界说：一个有乘法的有限非空聚集G 作成一个群,假如知足G 对于乘法关闭;联合律成立.交流律成立.3.设I 和S 是环R 的幻想且R S I ⊆⊆,假如I 是R 的最大幻想,那么0≠S .4.独一分化环I 的两个元a 和b 不必定会有最大公因子,若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子,那么必有'd d =.5.α叫做域F 的一个代数元,假如消失F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .五.盘算题（共15分,每小题分标在小题后） 1.给出下列四个四元置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ构成的群G ,试写出G 的乘法表,并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群. 2.设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的残剩类环,且[]x Z x g x f 6)(),(∈.假如[][][]253)(3++=x x x f .[][][]354)(2++=x x x g ,盘算)()(x g x f +.)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数.六.证实题（每小题10分,共40分）1.设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =,又设a 的阶m a =,b 的阶n b =,并且1),(=n m ,证实：ab 的阶mn ab =.2.设R 为实数集,0,,≠∈∀a R b a ,令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),( ,将R 的所有如许的变换构成一个聚集{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ,试证实：对于变换通俗的乘法,G 作成一个群.3.设1I 和2I 为环R 的两个幻想,试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的幻想.4.设R 是有限可交流的环且含有单位元1,证实：R 中的非零元不是可逆元就是零因子. 近世代数试卷参考解答一.断定题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10××√√×√√√××二.单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②④③④①②④③①④三.填空题1.()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--.2.a .3.φ.4.n m .5.变换群.6.()13524.7.R y x ay x i i i i ∈∑,,.8.一个最大幻想.9.p 既不是零元,也不是单位,且q 只有平常因子. 10.E 的每一个元都是F 上的一个代数元. 四.改错题1.假如一个聚集A 的代数运算 同时合适消去律和分派律,那么在n a a a 21里,元的次序可以失落换.联合律与交流律2.有限群的另一界说：一个有乘法的有限非空聚集G 作成一个群,假如知足G 对于乘法关闭;联合律成立.交流律成立.消去律成立3.设I 和S 是环R 的幻想且R S I ⊆⊆,假如I 是R 的最大幻想,那么0≠S .S=I 或S=R4.独一分化环I 的两个元a 和b 不必定会有最大公因子,若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子,那么必有d=d ′.必定有最大公因子;d 和d ′只能差一个单位因子5.α叫做域F 的一个代数元,假如消失F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .不都等于零的元测验题三、填空题（42分）1.设聚集M 与M 分离有代数运算 与 ,且M M ~,则当 时, 也知足联合律;当 时, 也知足交流律.2.对群中随意率性元素1)(,,-ab b a 有=;3.设群G 中元素a 的阶是n,n|m 则m a =;4.设a 是随意率性一个轮回群,若∞=||a ,则a 与同构;若n a =||, 则a 与同构;5.设G=a 为6阶轮回群,则G 的生成元有;子群有;6.n 次对称群n S 的阶是;置换)24)(1378(=τ的阶是;7.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2314432114324321βα，,则=αβ; 8.设)25)(136()235)(14(==τσ，,则=-1στσ; 9.设H 是有限群G 的一个子群,则|G|=; 10.随意率性一个群都统一个同构. 二.证实题（24）1、 设G 为n 阶有限群,证实：G 中每个元素都知足方程e x n =.2、 论述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要前提,并证实群G 的随意率性两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群.3、 证实:假如群G 中每个元素都知足方程e x =2,则G 必为交流群. 三.解答题（34）1、 论述群的界说并按群的界说验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群.2.写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1）,（23）｝的所有左陪集和所有右陪集.基本测试参考答案：一、 填空题1.知足联合律; 知足交流律;2.11--a b ;3.e;4.整数加群;n 次单位根群;5.5,a a ;{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ; 6.n!;47.⎪⎪⎭⎫⎝⎛23144321 8.(456)(32) 9.|H|:(G:H) 10.（双射）变换群; 二.证实题1.已知||n G =,|a|=k,则 k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)( 即G 中每个元素都知足方程e x n =2.充要前提：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,; 证实：已知H.K 为G 的子群,令Q 为H 与K 的交 设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,, H 是G 的子群,有H ab ∈K 是G 的子群,有K ab ∈Q ab ∈∴Ha K a H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知由定理且，则综上所述,H 也是G 的子群. 3.证：baa b ab ab a a a a a a a Gab G b a =====⋅=⋅∈∈∀-----111121)(;,由消元法得G 是交流群. 三.解答题1.解：设G 是一个非空聚集, 是它的一个代数运算,假如知足以下前提： （1）联合律成立,即对G 中随意率性元素)()(,,c b a c b a c b a =，有 （2）G 中有元素e,它对G 中每个元素a a e a = ，都有 （3）对G 中每个元素e a a a G a =-- 11,，使中有元素在 则G 对代数运算 作成一个群.对随意率性整数a,b,显然a+b+4由a,b 独一肯定,故 为G 的代数运算. （a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a (b c)=a+b+c+8即（a b ） c= a (b c)知足联合律∀a 均有（-4） a=-4+a+4=a故-4为G 的左单位元. （-8-a ） a=-8-a+a+4=-4 故-8-a 是a 的左逆元.2.解：6||3=S 其子群的阶数只能是1,2,3,6 1阶子群｛（1）｝2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶子群｛（1）（123）（132）｝ 6阶子群3S左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H （12）H=｛（12）（123）｝=（123）H （13）H=｛（13）（132）｝=（132）H 右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H （23） H （13）=｛（13）（23）｝=H （123） H （12）=｛（12）（132）｝=H （132）。
近世代数模拟试题
近世代数模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 群的定义中，下列哪一项不是必要的？A. 封闭性B. 单位元存在性C. 逆元存在性D. 交换律2. 对于一个环，以下哪项是正确的？A. 必须有加法单位元B. 必须有乘法单位元C. 必须满足交换律D. 必须满足分配律3. 以下哪个选项正确描述了域的特征？A. 域中的每个元素都有逆元素B. 域中的每个元素都有加法逆元素C. 域中的乘法是交换的D. 域中的乘法是结合的4. 如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，那么G被称为：A. 阿贝尔群B. 循环群C. 有限群D. 正规子群5. 以下哪个选项是群的同态映射？A. 恒等映射B. 逆映射C. 任意映射D. 单位元映射二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个群G的拉格朗日定理指出，如果H是G的一个子群，那么|H|整除______。
2. 环R中的元素a被称为______，如果对于R中的每个元素b，都有ab=ba。
3. 一个环R被称为______，如果它的乘法满足交换律。
4. 一个环R的雅可比恒等式是a^2(b+c)=ab^2+ac^2，这表明R是一个______。
5. 一个群G的正规子群N，如果它满足G/N是一个阿贝尔群，那么N 被称为G的______。
三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是群的同构，并给出一个例子。
2. 描述环的整环和域的区别。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果一个群G的阶是素数p，那么G是循环群。
2. 证明：如果一个环R有单位元且每个非零元素都是可逆的，那么R是一个域。
五、应用题（每题15分，共30分）1. 已知群G={1, a, b, c}，其中a^2=b^2=c^2=1，且ab=c，ba=c。
确定G是否为阿贝尔群，并找出所有可能的群结构。
2. 考虑环Z_6，其中Z_6是由模6的整数组成的环。
证明Z_6不是域，并找出它的所有单位元素。
注意：请根据所学知识，认真审题，仔细作答。
近世代数模拟题
近世代数1一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
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近世代数模拟试题
一、填空题
1、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与-----------同构。
2、实数域R 的全部理想是-------
3、n 次对称群Sn 的阶是____________.
4、一个有限非可换群至少含有____________个元素.
5、假定R 是整数环，则：（2，5）=----------------。
6、设A={1，2，…，10}, 给出一个A ×A 到A 的映射，这个映射------------单射。
7、全体整数对于普通加法来说作成一个群，这个群的单位元是 ------，a 的逆元是---------。
8、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
9、阶是素数的群一定是-------------群。
二、选择题
1、每一个有限群都与一个置换群（ ）
A 、同态
B 、相等
C 、同构
D 、不相等
2、从同构的意义讲，阶为4 的群只有（ ）个。
A. 1
B.2
C. 3
D.4
3、指出下列那些运算是二元运算（ ）
A 、在整数集Z 上，ab b a b a += ；
B 、在有理数集Q 上，ab b a = ；
C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ；
D 、在集合{}
0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
4、设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。
A.1
B.2
C.3
D.4
5、同构的观点看，循环群有且只有两种，分别（ ）
A 、G=（a ）与G 的子群
B 、（Z ，+）与（Zn ，+）
C 、变换群与置换群
D 、（Q ，+）与（Zn ，+）
三、简答题（ 下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。
判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。
）
1、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
2、在一个群G 里，若
0,1的阶是那么a a a -=。
3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
4、假定R是整数环，则：（2，5）=（1）
5、两个理想的交集是一个理想。
四、证明题（共15分）
1、设K是数域F上n阶矩阵全体构成的矩阵环。
证明矩阵的相似关系是一个等价关系。