近世代数模拟试题2

近世代数模拟试题
一、填空题
1、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与-----------同构。

2、实数域R 的全部理想是-------
3、n 次对称群Sn 的阶是____________.
4、一个有限非可换群至少含有____________个元素.
5、假定R 是整数环，则：（2，5）=----------------。

6、设A={1，2，…，10}, 给出一个A ×A 到A 的映射，这个映射------------单射。

7、全体整数对于普通加法来说作成一个群，这个群的单位元是 ------，a 的逆元是---------。

8、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

9、阶是素数的群一定是-------------群。

二、选择题
1、每一个有限群都与一个置换群（ ）
A 、同态
B 、相等
C 、同构
D 、不相等
2、从同构的意义讲，阶为4 的群只有（ ）个。

A. 1
B.2
C. 3
D.4
3、指出下列那些运算是二元运算（ ）
A 、在整数集Z 上，ab b a b a += ；
B 、在有理数集Q 上，ab b a = ；
C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ；
D 、在集合{}
0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

4、设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。

A.1
B.2
C.3
D.4
5、同构的观点看，循环群有且只有两种，分别（ ）
A 、G=（a ）与G 的子群
B 、（Z ，+）与（Zn ，+）
C 、变换群与置换群
D 、（Q ，+）与（Zn ，+）
三、简答题（ 下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。

判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。

）
1、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

2、在一个群G 里，若
0,1的阶是那么a a a -=。

3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

4、假定R是整数环，则：（2，5）=（1）
5、两个理想的交集是一个理想。

四、证明题（共15分）
1、设K是数域F上n阶矩阵全体构成的矩阵环。

证明矩阵的相似关系是一个等价关系。