第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理
Automatic Control Theory
河南理工电气学院
第 四 章
线性系统的根轨迹法
2
本章基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点 以及主导极点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相 角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任 一点的根轨迹增益和开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需 一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘 制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时
j
)
K*
( s z ) ( s z
i 1 q i j 1 h j 1 i 1 i
f
l
)
j
( s p ) ( s p
)
根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分 布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。
* G ( s ) KG
(s z ) ( s pi )
2
当s值非常大时，近似有
a1 b1 1 s
1 nm
1 a1 b1 1 nm s
j 2 k 1 nm
则渐近线方程变为：
a1 b1 s 1 s
1 nm
1 a1 b1 n m * s 1 K e nm s
K*
三、根轨迹方程
1、根轨迹方程
G(s)H(s)= –1 [复数方程]
|G(s)H (s )| 1 G(s)H (s ) (2k 1) k 0, 1, 2, L
2、零极点形式 将根轨迹方程写成零 、极点表示的矢量方 程为：
m
K * (s z j )
百度文库j 1
m
(s p )
i 1 i
n
1
表示为其模值方程和相角方程分别为：
K
*
| s z
j 1
j
| 1,
| s
i 1
n
pi |
( s z
j 1
m
j
) ( s pi ) ( 2k 1)
i 1
n
K
*
| s z
j 1 i
m
j
| 1,
| s p
法则一 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点, 终止于开环零点。 在实际系统中 , 由于m≤n，因此有 n-m 条根轨迹的终点将在无穷远处 ( 即开环无限零 点) 。 特别地，若有m>n, 则有m-n条根轨迹始 于无穷远处(即开环无限极点) 。
法则一 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点, 终止于开环零点。 证明：根轨迹起点是指根轨迹增益Κ*= 0的根轨 迹点，而终点则是指Κ*→∞的根轨迹点；闭环 系统特征方程：
a1 b1 * (1 ) K s
1 nm
a1 b1 s 1 s
1 nm
K
1 * nm

nm K * e
j 2 k 1 nm
由二项式定理：
1 a1 b1 1 1 1 a1 b1 a1 b1 1 1 1 n m s 2! n m n m s s
系统的三条根轨迹起始 于三个开环传递函数的极 点。
jω
z1 1 p
p3
-2
p2
-1
z2
1 0
-1
法则三
根轨迹的渐近线：当开环极点数n大于开环零点数 m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处 ，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐 近线，因此，渐近线也有n-m条，且它们交于实轴 上的一点。 渐近线与实轴的交点位置和与实轴正 方向的交角分别为：
中仅画了一条渐近线)。
的一组射线 (图 a
根轨迹的渐近线
渐进线相角： s 2q A A
nm
A
180



A
0

2
,

2
9 0 0
n m 1
nm 2

9 0
A

3
, ,

3
3 A , , , 4 4 4 4
n 1 1 j 1 d z j i 1 d pi m
式中, zj为各开环零点的数值 ; pi为各开环极点的数 值；分离角为(2k+1)π/l。 l为分支数。一般用试凑 法求取 d 。
注：当开环系统无有限零点时，分离点方程即为 n 1 0 i 1 d pi 重根法：若已知系统的G（S）H（S），则分离点可 由下式求得：
K*
( s z ) ( s z (s
i 1 i 1 q i j 1 h j 1
f
l
)
pi ) ( s p j )
闭环传递函数:
① 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益； ② 闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成； ③ 闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根 轨迹增益 有关。
和
证明： 渐近线就是s值很大时的根轨迹，因此渐近线
也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式形 式，得
用多项式除法, 当s值非常大时，开环传递函数 可以近似为：
s s b1s
m m 1
nm
(a1 b1 ) s
n 1
n m 1


bm 1s bm s a1s
n
* KG
(s z ) (s p )
i 1 i i 1 q i
f
K KG
* G
…
TT …
2 1 2 2 1 2
* * G( s) H ( s) KG KH
( s z ) ( s z
i 1 q i j 1 l i 1 i i 1
f
l
j
)
j
( s p ) ( s p
式中Κ*可从零变到无穷,当Κ*=0时,有
说明Κ*=0时, 闭环特征方程式的根就是开环传递函 数G(s)H(s)的极点，所以根轨迹必起于开环极点。 n阶系统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根 轨迹的一个起点，所以共有n个起点。
所以根轨迹必终止于开环零点。 综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为有 限零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点都 对应根轨迹的一个终点，所以共有n个终点。
R(s)
K设系统的结构如图 r变化时,闭环特征根 在sC(s) 平面上的轨迹 Kr :
2+2s+K R(s) =s∞ ω r j ↑ 闭环特征方程式 Kr 1 2 s 0 s2 +2s+K Kr=0 1r= s1 0 σ -1 -2 特征方程的根 -1 Kr s1.2 =-1± 1-Kr
∞
-
Kr C(s) s(s+2)
因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两 种，实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是 根的集合，故根轨迹对称于实轴。根据对称性， 只需做出上半 s 平面的根轨迹部分，然后利用 对称关系就可画出下半 s 平面的根轨迹部分。
例：已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。
Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解： 开环零、极点分布： 两条根轨迹终止于开环传 递函数的两个零点，另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。 z1= -1+j z2 = -1-j
i 1
f i 1 q
f
i 1 q
i
* H( s) K H
(s z (s
j 1
j
l
j 1 h
j
)
pj)
* * G( s) H ( s) KG KH
( s z ) ( s z
i
l
)
(s
i 1 j
pi ) ( s p j )
i 1
j 1 l
p
j
i
(2k 1)
a b (2k 1) (a b) (2k 1) a b 2k 1
法则五
根轨迹的分离点与分离角：两条或两条以上根轨 迹分支在 s平面上相遇又立即分开的点 , 称为根 轨迹的分离点。分离点的坐标d是下列方程（分离 点方程）的解:
交角
Root Locus 6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6 -10
-8
-6
-4 Real Axis
-2
0
2
法则四 实轴上的根轨迹： 实轴上的某一区域 , 若其右 边开环实数零、极点个数之和为奇数 , 则该区域 必是根轨迹。
实轴上的根轨迹
测试点右侧相角中的每一个相角都等于π，而 π与 -π代表相同角度，因此减去π角就相当于加 上π角。于是s0位于根轨迹上的等效条件是
Kr
0 1 2 ∞
s1
0 -1 -1+j -1+j∞
s2
-2 -1 -1-j
得相应的闭环特征根值:
↑
↑
-1-j∞
根轨迹定义：是指开环系统某个参数由 0 变化 到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
当系统的某个参数变化时，特征方程 的根随之在S平面上移动，系统的性能也 跟着变化。研究S 平面上根的位置随参数 变化的规律及其与系统性能的关系是根轨 迹分析法的主要内容。
基本要求
的闭环根轨迹。 4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的 定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数 对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶 极子等概念，将系统近似为一、二阶系统 给出定量估算。 5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方 法。
4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹法的基本概念 1、根轨迹
法则二 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分 支数与开环有限零点数 m 和有限极点数 n 中的 大者相等 , 它们是连续的并且对称于实轴。 把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分 支。由前面的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的 起点和终点。所有的根轨迹都是有头有尾 、有 始有终。所以其分支数必等于开环的极点数或系 统的阶数。
研究根轨迹的目的：分析系统性能（稳定性、 稳态性能、动态性能）
二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
系统的结构图如下：
R( s )
G (s)
H (s)
C (s)
-
系统闭环传递函数为
G( s) ( s) 1 G( s) H ( s)
将前向通道传递函数G(s)表示为：
2 2 K G ( 1s 1)( 2 s 2 1 2 s 1)… G( s) s (T1s 1)(T22 s 2 2 2T2 s 1)…
3
180


60
0
nm 3
60

180
45
45 0
nm 4
例：设控制系统如图所示，其开环传递函数
(a)
控制系统及其根轨迹渐近线
(b)
由法则1，根轨迹起于G(s)的极点p1=0，p2=-4， p3=-1+j，p4=-1-j，终于G(s)的有限零点z1=-1以及 无穷远处。 由法则2，根轨迹的分支数有4条，且对称于实轴。 由法则3，有n-m=3条根轨迹渐近线，其交点

an 1s an
s b1s
n
n 1
(a1 b1 ) s (a1 b1 ) s
n 1 n 1
...........................
由特征方程1+G(s)H(s)=0得渐进线方程为：
s
nm
i 1
n
|
( s z
j 1
m
j
) ( s pi ) ( 2k 1)
i 1
n
相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要 条件。
在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值 方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 K * 值。
4-2
绘制根轨迹的基本法则
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方 程式求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可得到闭环特征方程式根的轨迹。 同时，可由幅值方程来确定根轨迹所对应 的Kr值。 根据根轨迹的基本特征和关键点，就 能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线。 根轨迹基本特征为以下九条：
j 2 k 1 nm j 2 k 1 nm
a1 b1 n m * s K e nm s a as
nm
K e
*
得渐近线与实轴的交点和同正实轴的夹角分别 为：
当k取不同值时, 可得 n-m个 a 角, 而σa 不变, 因此根轨
迹渐近线是n-m条与实轴交点为σa 交角为
d ds [G（S）H（S）] = 0 或 1 d ds G（S）H（S） =0
说明： 由上述两种方法求出的根是否为分离点，要 分情形进行确定：若求出的根是实数，要根据 “法则4: 实轴上的根轨迹” 进行确定；若求出 的根是复数，则要根据 “模值条件” 进行确定 。