线性系统的根轨迹法

若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与 闭环传递函数的极点是一一对应的。稳定性由闭环极点决 定，系统的性能与闭环零极点 分布有关，零极点由根轨 迹给出，也就给出了系统时间响应的全部信息，可以指明 开环零极点如何变化可以满足系统的性能要求，同时可以 求出系统的近似根。
例 : 分析 二阶系统的根轨迹与 系统性能的关系
(s)
G(s)
K
* G
f
(s
zi
)
h
(s
p
j
)
i 1
j 1
1 G(s)H (s)
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
i 1
j 1
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环系统前向通道系统
根轨迹增益。
（2）闭环系统的零点由 开环前向通道传递函数的零点和
反馈通道传递函数的极点所组成。
（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 K * 均有关。
K s(0.5s 1)
(s) C(s)
2K
,
R(s) s 2 2s 2K
s1,2 1 1 2K
D(s) s 2 2s 2K 0
开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环
极点的全部数值。
j
K
K 2.5
2
s1,2 1 1 2K K 0
K 1 K 0
2 1
K=1 K=2.5
第四Байду номын сангаас 线性系统的根轨迹法
●本章主要内容与重点 ● 根轨迹方程 ●根轨迹绘制的基本法则 ●根轨迹系统的性能分析
4-1 根轨迹基本概念
特征方程的根 运动模态 系统动态响应（稳定 性、系统性能）
一、根轨迹 开环系统（传递函数）的某一个参数从
零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的 轨迹称为根轨迹。
根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益， 用图解方法确定闭环极点。
四、根轨迹方程
由闭环传递函数 (s) G(s)
1 G(s)H (s)
m
(s z j )
1 G(s)H (s) 0 K * j1
1
n
(s pi )
i 1
当
K* 0 K*
根轨迹方程
求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。
动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估
计。分析上例
①0<K<0.5 特征根为实数过阻尼系统响应 无超调，有非周期性
②K=0.5 临界阻尼状态响应是单调上升 ③K>0.5根为一对复根，欠阻尼状态阶跃
响应为衰减振荡超调随k增大而增大。 ④K=1最佳阻尼状态 ⑤K>1平稳性变差 所以绘制出系统的根轨迹即可分析系统的
j 1
i 1
n
s pi
模值条件（幅值条件）：
K * i1
m
szj
j 1
4-2 根轨迹绘制的基本法则
可变参数为根轨迹增益 K *
相角条件： 180o根轨迹
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
(2k 1)180o , (k 0,1,2, )
规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点， 终止于开环零点。
性能。
对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根 轨迹。
根轨迹法 图解法求根轨迹。 从开环传递函数着手，
通过图解法来求闭环系统根轨迹。
三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
设 控制系统如图所示
R(s) G(s) C(s)
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
H (s)
f
G(s)
KG (1s
K
* H
：反馈通道根轨迹增益
f
l
m
(s zi )(s z j )
(s z j )
Gk
(s)
G
(s)H
(s)
K
* G
K
* H
i1 q
j 1 h
K * j1
n
(s pi ) (s p j )
(s pi )
i1
j 1
i1
nqh
,
m f l
,
K*
K
* G
K
* H
开环系统根轨迹增益与开环增益之间相差一个比例常数
根轨迹变化的参数不一定是参数 K * 也可使其他参数
根轨迹方程可以进一步表示为（实质是向量方程）
m
m
(s z j )
szj
K * j 1
1 , K * j1
e j 1e j(2k 1)
n
n
(s pi )
s pi
i 1
i 1
相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1) , (k 0,1,2, )
个无限远（无穷）零点。
K* 0
nm
K* 0
nm
0
K* 有两个无穷远处的终 点
0
K* 有一个无穷远处的起 点
规则2：根轨迹的分支数和对称性
根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m）,系统有n个 根所以K变化时s平面有n条轨迹（n<m)
根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续 变化。
实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或 共轭复数。根轨迹是对称的，作图时只需一半根据对称 性可以做出另一半。
1)(
2 2
s
2
2 1 2s
1)
s (T1s 1)(T22s 2 2 2T2s 1)
(s z j )
K
* G
j 1 q
(s pi )
i1
K
* G
KG
1
2 2
T1T22
l
(s z j )
和
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s p j )
j 1
KG ：前向通路增益
K
* G
：前向通道根轨迹增益
规则3：根轨迹渐近线
当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角 和交点来确定。
证明如下
渐近线是s很大时系统的根轨迹，
m
n
(s z j )
(s pi )
1 k * j1
简要证明：
1 G(s)H (s) 0
K* 0
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
0
i 1
j 1
n
(s pi ) 0
i 1
s pi
又从
1 K*
n
(s
i 1
m
pi ) (s
j 1
z
j
)
0
K*
m
(s z j ) 0
j 1
s zj
在实际系统通常是 n m ，则还有 (n m) 条根轨迹终 止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m)
k
1
0
K 0.5
1
2
二、根轨迹与系统性能
稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。K由0变
到无穷根轨迹未进入S平面右半平面，可知系统稳定。 （什么时候出现 临界开环增益）
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系
统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。 但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益， 根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。分析上 例系统的根分布在虚轴的左侧系统是稳定的。