线性系统的根轨迹分析
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实验二 线性系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法；
2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。 二、实验仪器设备
Pc 机一台，MATLAB 软件。 三、实验内容
1、已知一负反馈系统的开环传递函数为：
()()(0.11)(0.51)
K
G s H s s s s =
++求：
（1）绘制根轨迹。
（2）选取根轨迹与徐州的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （3）确定分离点的超调量p M 及开环增益K 。
（4）用时域响应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （5）分析根轨迹的一般规律。 2、已知系统的开环传递函数为：
22(431)
()(351)
K s s G s s s s ++=
++ 求：
（1）绘制系统的根轨迹。
（2）选择系统当阻尼比ξ=0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K 值。 （3）分析系统性能。 四、实验结果
负反馈系统的开环传递函数为：
()()(0.11)(0.51)K
G s H s s s s =
++
1、根轨迹
2、理论计算：
根轨迹的基本性质和绘制规则如下：
规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。
规则二 当K=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K→∞，有m 条分支趋向于开环零点，另外有n-m 条分支趋向无穷远处。
可知，K=0时，3条根轨迹分别从开环极点（0, j0）、（-10,j0）和（-2,j0）出发，由于无开环零点，3条根轨迹趋向于无穷远处。
规则三 在s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。
可知，根轨迹在实轴上存在的部分为[-∞,-10]和[-2,0]。
规则四 根轨迹中趋向于无穷远处的n-m 条分支的渐近线的相角为：
(21)180a q n m φ+⋅=±
-
0,1,2,,q n m =-- 可知，两条根轨迹无穷远时趋向的渐近线斜率相角为±60°。
规则五 伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为：
11
(
,0)n m
i
j
i j p z
j n m
==--∑∑。
可知，渐近线与实轴交点为1020
(
,0)(6,0)2
j j ---=-
规则六 复平面上根轨迹的分离点必须满足方程
0dK
ds =。可知32(0.11)(0.51)0.050.6K S S S S S S =-++=---，由20.15 1.210dK
S S ds
=---= 可得交点为（-0.9449，j0）。
通过以上规则，验证了计算机绘制的根轨迹曲线正确性。 系统的开环传递函数为：()()(0.11)(0.51)
K
G S H S S S S =++
系统的特征方程为：1()()0G s H s += 321220200s s s K +++= 由Routh 判据得Routh 行列式：
3
310
1201220(205/3)
0200
S S K S K K
S -
系统稳定时，第一列各值都为正数，所以
205/30K -> 200K >
得：120K >> 系统稳定
12K = 系统临界稳定
12K > 系统不稳定
因此为使系统处于稳定状态，应使放大系数 0
12K <<，使系统的单位阶跃信号的单位负反馈时域响应曲线为衰减振荡过程，使系统处于稳定状态。
实际值为12.6，在误差允许的范围内，与理论值相符。
3、分离点求法 令0dk
ds
=，得到0.95s =-或-7.05(舍掉)，与图中相符。 此时，K<0.45。当K<0.45时，系统无振荡。当K<0.45时，系统临界振荡。此时0%
p M ≈
4、当K=12时，系统时域响应因为正弦波。
5、分析
当根在负半实轴上，系统无振荡且稳定。 当根在负平面上，系统有振荡但稳定。 当根在正平面上，系统振荡且不稳定，无稳态。 当根在虚轴上，系统振荡，临界稳定。K=!2。 当根在正实轴上，系统不振荡，单调上升无上界。 开环传递函数：
22(431)
()(351)K s s G s s s s ++=
++
1、根轨迹
2、当ξ=0.7时，K=-1.44，
11.640.167
P j
=-+
21.640.167
P j
=--
3、系统在虚轴有半平面没有根轨迹，系统稳定。
五、心得体会
通过本次实验，使我更加掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。并且根据计算机绘制的根轨迹图形及时域响应曲线分析系统的稳定性，将仿真结果与理论计算相加以比较，计算出各传递函数的剪切频率、相角裕量、特征方程的根等特征量，验证了仿真结果的正确性，加深了对绘制根轨迹法则的理解，并分析放大倍数对各个系统稳定性的影响，提高了自己使用计算机解决问题以及分析问题的能力。