线性系统的根轨迹分析

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夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】

夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章　线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。

证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。

由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。

MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。

可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。

图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。

解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。

①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。

②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。

图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。

③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。

图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。

②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。

根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。

图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。

自动控制原理第第四章线性系统的根轨迹法

2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd，则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2

线性系统的根轨迹-自动控制原理实验报告

自动控制原理实验报告实验题目：线性系统的根轨迹班级：学号：姓名：指导老师：实验时间：一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。

3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、实验内容同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。

2．1绘制下面系统的根轨迹曲线)136)(22()(22++++=s s s s s Ks G程序：G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-12-10-8-6-4-20246-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s0204060801001201400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K>28.74252．2绘制下面系统的根轨迹曲线)10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([1 12],[1 23 242 1220 1000]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-100102030-50-40-30-20-1001020304050Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s01234560.0020.0040.0060.0080.010.012Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围： K>1.1202e+032．3绘制下面系统的根轨迹曲线)11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([5 100],[0.08568 1.914 17.14 100 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-10010203040-60-40-200204060Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s012345670.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K> 7.8321根据实验结果分析根轨迹的绘制规则：⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益值的大小无关。

《自动控制原理》第4章线性系统的根轨迹法

s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹（3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点，

线性系统的根轨迹法实验报告

线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。

2，观察k值变化对系统稳定性的影响。

3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。

4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。

二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。

根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。

三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。

3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。

当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。

B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。

第4章线性系统的根轨迹法

i i 1 i
m
s p
i 1
n
0
或写成
* s p K i s zi 0 i 1 i 1
m
它是直接利用开环传递函数分析闭环特征根及其性能的图解法。
『例』已知单位反馈系统开环传递函数 G s
讨论系统闭环极点的分布情况(0<K<∞)。

开环增益 K K * i bd
j
z
ac
i
p
j
四、根轨迹方程
(1) 根轨迹方程
1 Gs H s 0 或 Gs H s 1
假设开环传递函数中有m个零点和n个极点
1
K * s zi
i 1
m
s p
i i 1
n
0,
j z2
p3
S1
p2 z3
z1
p4
p1
4. 根轨迹的渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 a 和交点为的一组渐进线 a 趋向无穷远处。
(2k 1) a , a nm
p z
i 1 i i 1
n
m
i
nm
『例』指出单位反馈系统根轨迹的条数、根轨迹渐近线与实轴的夹角和交点。 K* G(s) s( s 1)(s 2) 60 （2k 1) 0 1 2 解：有3条根轨迹， a 180 ， a 1 30 3 60
『问题』开环传递函数的3个极点和2个零点如下图，
判断s1是否根轨迹上的点?
s1
5 4
z1 z2
× p3
3
2
× p2

4第四章__根轨迹法(2)

3
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
第四章线性系统的根轨迹分析
2)确定内环的闭环极点要求内环的反馈系数内环的特征方程 3.2<Kf<3.5
( s 0.6)(s2 2s 4) K f 0
在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36 可求得内环的另外两个闭环极点为 p2 0.5 j1.83 p3 0.5 j1.83 3)绘制外环的根轨迹图外环的开环传递函数
（2）根轨迹的起点（3）实轴上的根轨迹
0，-1，-3
终点均为∞
[0 , ] [3 , 1]
第四章线性系统的根轨迹分析
（4）根轨迹的渐近线
a
n
2k 180 0 ,120 nm
m j i 1 i
k 0、 1
a＝
( p ) ( z )
i 1 j与虚轴的交点 (相同) （9）闭环极点的和 (相同)
第四章线性系统的根轨迹分析
例：控制系统方框图如下所示
R(s )

Kc s2

K0 s( s 1)
C (s )
1 s3
系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。解：（1）内环的开环传递函数
G1 ( s ) H1 ( s ) K0 s( s 1)(s 3)
第四章线性系统的根轨迹分析
4-3
广义根轨迹
其它种类的根轨迹: 1.参数根轨迹
2.多回路系统的根轨迹 3.正反馈回路和零度根轨迹

第四章线性系统的根轨迹法

2. 零度根轨迹： 1 实轴上根轨迹区间右侧开环零极点数目之和为偶数 2 实轴与渐近线正方向夹角2kπ/n-m 3 求出射角和入射角时2kπ
4 分离角不变
1-G(S)H(S)=0 G(K)=1 例题：开环传递函数：
绘制系统的根轨迹。
解：①n=3.所以根轨迹有三条。 ②极点： ③渐近线： 5 分离点：
令 1．闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。 2．闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。
4）.根轨迹方程：
幅值条件：相角条件： ①满足相角条件的点肯定是根轨迹上的点，相角条件是确定根轨迹的充要条件。 ②幅值条件是用来确定根轨迹上的点所对应的根轨迹增益。 5）.绘制更轨迹的法则： ①根轨迹的连续性：根轨迹是连续变化的直线或曲线。 ②根轨迹的对称性：根轨迹位于幅平面的实轴上或对称的实轴上。 ③根轨迹的条数;等于系统的阶次。即：闭环特征根最高次幂。 ④根轨迹的起点和终点：起源于n个开环极点，终止于m个开环零点。以及n-m个无穷远零点。
闭环极点。
解（1）系统的开环极点为，，是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。（2）系统的根轨迹有条渐进线
渐进线的倾斜角为取式中的K=0，1，2，得=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
三条渐近线如图的虚线所示。（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图中的粗实线所示。（4）确定分离点：系统的特征方程式为即
所以即： ②分离点：证明：
②除以①式
无零点分离点重根 ③分离角：指根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。当l条根轨迹进入并立即离开分离点时 8）根轨迹的出射角和入射角：出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处，切线方向与正实轴的夹角。入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处切线方向与正实轴的夹角。

线性系统的根轨迹分析平台设计

• 110•根轨迹作为一种经典的分析方法，经常被用来进行线性系统分析。

但是对于复杂系统手绘根轨迹非常困难，针对这个问题，本文利用MATLAB 中的GUI 设计了根轨迹仿真分析平台。

线性系统的传递函数可以表示为，一般多项式形式、乘积多项式形式和零、极点三种形式，本文所设计的仿真分析平台可以绘出三种传递函数表示的系统根轨迹，还可以零极点改变对系统根轨迹的影响。

该仿真平台很大程度上减少了线性系统根轨迹分析的工作量，也使根轨迹的分析结果变得更加直观。

线性系统的闭环特征根决定系统性能，当系统参数发生变化时，闭环特征根也会生成相应的根轨迹，所以根轨迹与系统性能之间也有着比较密切的联系。

根轨迹是经典控制理论中，分析和设计线性定常系统最常用的图解方法，特别在进行多回路高阶系统的分析时，应用根轨迹法比用其他方法更加方便，因此，根轨文本框，程序加在所放置的绘图按钮的回调函数callback 下，且必须在句柄后输入根轨迹所显示的轴位置即axes 。

首先在该子界面的可编辑文本框中输入所要绘制的开环传递函数的分子分母的系数，输入后在可选择按钮中选择所需绘制根轨迹图形样式，操作完成就会在右边轴中显示出所要求的根轨迹图形。

随着光标移动可以显示出所指该点的开环增益、闭环极点、最大超调量和自然振荡角频率。

图1 根轨迹仿真平台主界面线性系统的根轨迹分析平台设计德州学院能源与机械学院孙秀云图2 一般多项式形式绘制根轨迹界面迹在工程实践中获得了广泛的应用。

对于低阶的系统，我们可以利用解析的方法直接求出闭环特征根随系统参数变化的曲线，但是对于高阶系统，我们很难手绘出其根轨迹，尤其是在课堂上讲解时，更是不可能短时间绘出一个复杂系统的根轨迹。

为了便于在课堂上快速绘制出系统根轨迹，便于讲解根轨迹对系统性能的影响，本文设计了线性系统根轨迹仿真分析平台。

1 系统设计本文所设计的根轨迹仿真分析平台，根据设定的线性系统模型，可以快速地绘制出该系统的根轨迹曲线。

实验2 线性系统的根轨迹分析

Harbin Institute of Technology
自动控制理论实验报告
实验二线性系统的根轨迹分析
哈尔滨工业大学
实验二线性系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、掌握使用MATLAB绘制控制系统根轨迹图的方法；
2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。
二、实验设备
Pc机一台，MATLAB软件。
三、实验内容
A、已知一负反馈系统的开环传递函数为
（1）绘制根迹。
（2）选取根轨迹与虚轴的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K的范围。
（3）确定分离点的超调量及开环增益K。
（4）用时域相应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K的范围
（5）分析根轨迹的一般规律。
B、. 已知系统的开环传递函数为：
求：1）绘制根轨迹。
2）选择系统当阻尼比 =0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K值。
分析系统性能。
四、实验结果与分析
A:1、根轨迹
2、由根轨迹图知，与虚轴交点i=4.46，增益K=12，故K<12时系统稳定
3、由根轨迹图知，分离点超调量Mp=0%，增益K=0.458
4、将不同的K带入时域响应，如下图
由图可知当K=11.9时系统依旧稳定，但当K=12时系统已经开始震荡，进入临界稳定。故与根轨迹结论一致。
超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减振荡，而且越靠近虚轴，增益K越大，阻尼越小，振荡频率越高，振幅衰减越大。
5）当根轨迹与虚轴相交时，闭环根位于虚轴上，闭环极点是一对纯虚根，阻尼，超调量最大，系统处于无阻尼状态，其动态响应将出现等幅振荡。此时对应的增益，称为临界稳定增益。
5、根轨迹的一般规律
1）根轨迹，随着k值从变化，趋向无穷远处或者零点。

根轨迹法PPT课件

定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1，，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组

《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验

《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验模块化自控原理中的线性系统的根轨迹分析实验是探究线性系统的稳定性和动态特性的一种常用方法，通过实验观测和分析系统的根轨迹，可以得到系统的传递函数以及系统的稳定性等重要信息。

下面是对该实验的详细说明和分析。

1.实验目的1.1理解线性系统的根轨迹概念及其重要性；1.2学习使用根轨迹法进行系统的稳定性和动态特性分析；1.3掌握根轨迹分析实验的具体步骤；1.4提高实验操作和数据处理的能力。

2.实验原理2.1根轨迹的概念根轨迹是以参数变化为基础的线性系统稳定性和动态特性的分析方法之一、根轨迹是指在参数变化的范围内，系统传递函数极点的轨迹，可以用来判断系统的稳定性、响应特性和动态响应快慢等重要指标。

2.2根轨迹的画法根轨迹的画法需要先确定系统的开环传递函数，然后通过对传递函数进行拆项和配平，求解极点的位置。

根轨迹的位置可以通过极点的实部和虚部来表示，根据虚轴对称性和极点与零点的关系，可以画出根轨迹的大致形状和方向。

2.3根轨迹分析的应用根据根轨迹的形状、分布和方向可以判断系统的稳定性和动态特性：-根轨迹在左半平面则系统稳定；-根轨迹与虚轴交点奇数个则系统不稳定；-根轨迹的分布越往左上角或右上角，系统的动态特性越好。

3.实验装置和器材3.1实验装置数字控制系统实验台、计算机、示波器、信号发生器、数模转换器等。

3.2实验器材电脑、电源线、连接线、示波器探头等。

4.实验步骤4.1连接实验装置将数字控制系统实验台与计算机、示波器、信号发生器和数模转换器等设备进行连接。

4.2系统参数调整设置合适的实验参数，包括采样频率、控制周期、信号幅值等。

4.3系统根轨迹绘制在计算机上运行相应的根轨迹绘制软件，根据实验所给的开环传递函数和稳定域范围，绘制系统的根轨迹。

4.4根轨迹分析根据根轨迹的形状、位置和分布等信息，分析系统的稳定性和动态特性，并给出相应的结论和解释。

4.5记录实验数据记录实验中所绘制的根轨迹和分析结果，包括根轨迹的形状、交点、分布等重要特征。

实验五线性系统的根轨迹分析方法

实验报告
实验名称线性系统的根轨迹分析方法课程名称
然后加入开环零点:
图中依次加入的开环零点为: -0.8 -0.6 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.6 0.8 1
上图为未增加零点是的根轨迹图,下图为增加了开环零点的根轨迹图
上图在原系统的基础上加入了开环零点-0.7,下图在增加了开环零点
从之前的实验可以知道,加入开环极点可能会使主导极点发生改变系统造成影响。

所用程序如下:
clc;clear all;
z=[-0.7];p=[-0.2 -0.5 -1];k=[1];sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys);znew=[-1.5 -0.4 0 0.3 ];figure;
新增极点为-0.8 -0.6 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.6 0.8 1
代码如下:
clc;clear all;
zp=[-0.8 -0.6 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.6 0.8 1];
i=1:9
可以得到如下结论:
a)随着增加的开环极点不断往右移动的过程中,系统的根轨迹图总体上也在
往右移动,这会使系统的稳定性变差。

当加入极点在虚轴左边时,系统的根轨迹未进入不稳定区域。

可以认为加入一个极点对系统稳定性影响不大。

b)增加开环极点可能使系统的主导极点改变,从而影响系统的动态性能。

可以发现矫正环节使根轨迹发生变化,达到了要求。

查看工作空间可看出误差:
22
13sin(10+arctan 3)+8.02
,其大于,不满足要求。

4,重复上述过程40.08sin(4arctan ≈+
第页共页。

第4章线性系统的根轨迹分析

➢根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线就是确定当开环零点数目m小于极点数目n时，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无穷远处。由式(4-1-7)及式(4-2-1)求得
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型，即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。

第四章线性系统的根轨迹法new

2.47
3 2 1 0
例4-3
设单位反馈系统的开环传递函数为
K (0.5s 1) K * (s 2)
G(s)
0.5s 2 s 1 (s 2 2s 2)
z1 2 s1,2 1 j
试绘制系统的根轨迹。
K * 0.5K
解
（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。
根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。
由闭环传递函数 (s)
G(s)
1 G(s)H (s)
m
(s z j )
1 G(s)H (s) 0 K * j1
n
1
(s pi )
i 1
当 K* 0 K*
求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。
根轨迹方程可以进一步表示为
,
K*
K
* G
K
* H
(s)
G(s)
K
* G
f
(s
zi
)
h
(s
p
j
)
i 1
j 1
1 G(s)H (s)
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
i 1
j 1
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。
（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。
起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的
切线与实轴的夹角 pi 。
终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的

自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析

由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：（1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性；（2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数；（3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；（4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性；（5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨迹图。
本章内容
第一节根轨迹的基本概念第二节绘制根轨迹的方法第三节参量根轨迹和多回路系统根轨迹第四节正反馈系统和零度根轨迹第五节利用根轨迹分析系统的暂态性能第六节延迟系统的根轨迹本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹；（2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。（3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1

s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5

线性控制系统的根轨迹分析法

PART 01
引言
线性控制系统简介
线性控制系统是由线性微分方程描述的一类控制系统，其特点是系统的输出和输入之间存在线性关系。
线性控制系统广泛应用于工程领域，如航空航天、化工、电力等，用于实现各种控制目标，如稳定性、快速性和准确性。
根轨迹分析法的定义和重要性
根轨迹分析法是一种通过分析线性控制系统闭环极点的变化来研究系统性能的方法。
系统校正与改进
通过根轨迹分析，可以找到系统性能不足的原因，进而对系统进行校正或改进设计。
PART 04
根轨迹分析法的限制和挑战
参数变化对根轨迹的影响
01
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化，从而影响系统的稳定性和性能。
02
参数变化可能使系统从稳定状态变为不稳定状态，或反之。
03
参数变化可能影响系统的动态响应，如调节时间和超调量。
分析系统动态特性
通过根轨迹分析，可以了解系统在不同参数下的动态特性，如超调和调节时间等。
控制系统性能优化
1 2 3
优化系统性能指标
通过调整系统参数，利用根轨迹分析优化控制系统的性能指标，如减小超调量、缩短调节时间等。
提高系统抗干扰能力
通过根轨迹分析，可以找到提高系统抗干扰能力的参数设置，使系统在受到扰动时仍能保持良好的性能。
分支性
当参数变化超过一定阈值时，根轨迹可能出现分支，表示系统出现多解或不稳定。
PART 03
根轨迹分析法的应用
控制系统稳定性分析
判断系统稳定
通过根轨迹分析，可以判断线性控制系统的稳定性，即系统在受到扰动后是否能恢复稳定状态。
确定系统临界状态
根轨迹分析可以确定系统临界状态，即系统在某一特定参数下从稳定状态变为不稳定状态。

第4章线性系统的根轨迹法.

C(s)
G1 ( s) C ( s) G( s) R( s) 1 G1 ( s) H ( s)
闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点
闭环零点＝G 1(s)中的零点和H(s)中的极点，很容易求得闭环极点由特征方程：1+ G1 (s) H(s)＝0 求出，很难求得
第四章根轨迹法 5
根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地实现高阶系统的性能分析和设计。根轨迹的定义：开环传递函数中某一参数从0→∞变化时，
第四章根轨迹法 22
当n>m时，起始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞ 的点，要K→∞只有两种情况，一是 s=zl(l=1,2,…,m)，二是s→∞。这时，无穷远处也称为‘无穷远零点’。当 n<m 时，终止于 m 个开环零点 m 支根轨迹，有 n 支来自个开环极点，有 m-n 支来自无穷远处。必需指出，实际系统极少有 n<m的情况，但是在处理特殊根轨迹时，常常将系统特征方程变形，变形后的等价系统可能会出现这种情况。
1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
第四章根轨迹法 23
规则二：根轨迹的分支数和对称性
根轨迹对称于实轴，连续变化，并且有max(n,m) 支。因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何变化特征方程始终有max(n,m)个根，即使出现重根，当K从零到无穷大连续变化时重根不可能始终为重根，所以根轨迹一定有max(n,m)支。特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于实轴且连续变化。