实验四 线性系统的根轨迹

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实验四线性系统的根轨迹

实验四线性系统的根轨迹

姓名: 学号: 得分:实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。

3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时,特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。

这个参数一般选为开环系统的增益K 。

课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法,只能绘制根轨迹草图。

而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图,并可观测参数变化对特征根位置的影响。

假设系统的对象模型可以表示为11210111()()m m m m n n n nb s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成01()0KG s +=对每一个K 的取值,我们可以得到一组系统的闭环极点。

如果我们改变K 的数值,则可以得到一系列这样的极点集合。

若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来,则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线,这些曲线又称为系统的根轨迹。

绘制系统的根轨迹rlocus ()MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为:rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。

rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。

rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。

r=rlocus(num,den) 不作图,返回闭环根矩阵。

[r,k]=rlocus(num,den) 不作图,返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。

其中,num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数,按s 的降幂排列。

K 为根轨迹增益,可设定增益范围。

例3-1:已知系统的开环传递函数32(1)()429s G s K s s s *+=+++,绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下:num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹grid %画网格标度线xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1(a )所示。

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例:开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为:P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程: s2 as k1 0
闭环特征根:s1,2
a 2
a 2
2
k1
(闭环极点)
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd, 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明:根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例:sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点,复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172,s2=-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为:
Z 1800
其中 z p(不包括本点)
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2

线性系统的根轨迹分析法

线性系统的根轨迹分析法
G (s ) H (s ) K ( s 1) s ( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)
2 2

K (s 1 / )
'
s ( s 1 / T1 )( s
1
2
n
j d )( s
n
j d )
K K / T1 T 2
两个负实根 K值增加 相对靠近移动
K =1 / 4
s1 s 2 1 / 2
1

1 2
0
离开负实轴,分别沿s=-1/2 直线向上和向下移动。
1 / 4 K 一对共轭复根
自动控制理论
开环增益K从零变到无穷,可以用解析方法求出闭环 极点的全部数值。 根轨迹与系统性能 • 稳定性:开环增益由0→∞,考察根轨迹是否进入s 右半平面。 • 稳态性能:开环传递函数在坐标原点有一个极点,系 统为Ⅰ型系统,根轨迹上的K值就是静态误差系数。 一般情况下,根轨迹上标注出来的参数K不是开环增 益,而是根轨迹增益,根轨迹增益与开环增益之间有 一个比例常数关系。 • 动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估 计。
相角条件:
K
*
n

m
1.根轨迹的起点和终点
n
j 1
( s z j ) ( s p i ) ( 2 k 1) ,
i 1
( k 0 , 1, 2 , )
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点

s pi s zi
幅值条件
K 0
'
K =
'
i 1 m
本章重点
学习本章内容,应重点 掌握根轨迹的基本概念、 绘制根轨迹的条件、系统 根轨迹的绘制规则和利用 根轨迹分析系统的稳定性 、暂态特性和稳态性能, 参量根轨迹的概念和绘制 方法,理解零度根轨迹的基 本概念和绘制方法。

第四章线性系统的根轨迹法

第四章线性系统的根轨迹法

6s)(s
1) (s3 (s 1)2
5s2
6s)(s
1)


2s3

8s2 10s (s 1)2

6
P(s) 2s3 8s2 10s 6
因[- 3, -2]内必有分离点,所以选s1=-2.5。
P(s) 2s3 8s2 10s 6 2s2 3s 2.5
分离点在两极点之间,会合点在两零点之间。闭环 特征方程有重根。
jw
2
-2
-1
分离点
1
s
-1 -2
K*
B
K*
K* 0

K* 0

z1
p2
A p1
A--分离点 B--会合点
分离角:qd

(2k
1)
l
l--根轨迹分支数
求取分离点的方法
(1)试探法:
m
1
n

1
i1 d z j i1 d pi
试绘制其根根轨迹。
-
K
C(s)
s(0.5s 1)
解: 系统开环传递函数: G(s) K 2K s(0.5s 1) s(s 2)
闭环传递函数:
(s)

s2

2K 2s
2K
闭环特征方程为: s2 2s 2K 0
特征根为: s1 1 1 2K s2 1 1 2K
i 1 q
(s pi )
i1 l
(s zj)
反馈通路传函:
H
(s)

K
* H
j 1 h
(s pj)
j 1

自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告

自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告

线性系统的根轨迹一、 实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。

3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、 实验容1. 请绘制下面系统的根轨迹曲线。

)136)(22()(22++++=s s s s s K s G )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。

2. 在系统设计工具rltool 界面中,通过添加零点和极点方法,试凑出上述系统,并观察增加极、零点对系统的影响。

三、 实验结果及分析1.(1) )136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制: MATLAB 语言程序:num=[1];den=[1 8 27 38 26 0];rlocus(num,den)[r,k]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus')运行结果:选定图中根轨迹与虚轴的交点,单击鼠标左键得:selected_point =0.0021 + 0.9627ik =28.7425r =-2.8199 + 2.1667i-2.8199 - 2.1667i-2.3313-0.0145 + 0.9873i结论:根轨迹与虚轴有交点,所以在K 从零到无穷变化时,系统的稳定性会发生变化。

由根轨迹图和运行结果知,当0<K<28.7425时,系统总是稳定的。

(2) )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制: MATLAB 语言程序:num=[1 12];den=[1 23 242 1220 1000];rlocus(num,den)[k,r]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')运行结果:选定图中根轨迹与虚轴的交点,单击鼠标左键得:selected_point =k =1.0652e+003r=-11.4165 + 2.9641i-11.4165 - 2.9641i-0.0835 + 9.9528i-0.0835 - 9.9528i结论:根轨迹与虚轴有交点,所以在K 从零到无穷变化时,系统的稳定性会发生变化。

线性系统的根轨迹法实验报告

线性系统的根轨迹法实验报告

线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1,掌握matlab绘制根轨迹的方法。

2,观察k值变化对系统稳定性的影响。

3,掌握系统临界稳定情况下k值得求取。

4,了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。

二,实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时,闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。

根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了,稳定性的判定,当开环增益从零变到无穷大时,根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面,此时K的范围为系统稳定的范围,根轨迹与虚轴的交点处的K值,为系统的临界开环增益,开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。

三,实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹,并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。

3,在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应,输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出,所以此时系统为临界稳定状态。

当改变开环增益为50和20时观察示波器,得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出,此时系统不稳定,当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢,最后趋于稳定,所以此时的系统是稳定的。

B,设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹,并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1,由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面,所以系统在K=0到K=?都是稳定的。

004 第4章 线性系统的根轨迹分析

004 第4章  线性系统的根轨迹分析
12
(2)精确参数的获得: >> Kg=30.7;R= rlocus(G, Kg) % Kg时所对应的闭环极点 R= -1.3562 + 2.1562i -1.3562 - 2.1562i -0.1438 + 2.1705i -0.1438 - 2.1705i 2)使用[Kg, P]= rlocfind (G)进行参数的人工获取: >> clear;G=tf([1,1],[conv([1,-1],[1,4,16]),0]); %建立零极 点模型G(s) rlocus(G); %生成根轨迹图 [Kg, P]= rlocfind (G) %鼠标左键定轨迹上的闭极点参数
4
闭环系统稳定程度的判断:
当闭环特征根位于在s平面的右半平面时,闭环系 统不稳定;当闭环特征根位于在s平面的虚轴上时,闭 环系统临界稳定(等幅振荡);当闭环特征根位于在s 平面的左半平面时,闭环系统稳定。
闭环系统动态性能的判断:
在闭环系统稳定的情况下,当特征根位于s平面的 左半实轴上时,闭环系统的输出表现为惯性特性(单 调性);当特征根位于s左半平面的非实轴区域时,闭 环系统的输出表现为衰减振荡特性;当特征根位于s平 面的虚轴上时,闭环系统的输出表现为等幅振荡特性 ;在s右半平面时为单调或振荡发散特性。 5
2
4.1 根轨迹分析的基本思想
闭环系统的开环传递函数的根轨迹模型为:
其中,zj和pi为开环传递函数模型的零点和极点,Kg 为开环传递函数模型的根轨迹增益。系统的闭环 传递函数为:
3
闭环系统的稳定性与Gb(s)的极点,即闭环系统 的特征方程1+H(s)G(s)=0的根在s平面上的位置及其 分布有关。 闭环系统的特征根在s平面上的位置会随Kg值的 变化而变化。 根轨迹分析法就是通过改变开环传递函数Gk(s) 的根轨迹增益Kg值(0~∞)来观察闭环特征根的轨 迹变化情况,从而能够对闭环系统的稳定程度、动 态性能及结构简化(降阶)等问题进行判断、分析 与设计。

第4章 线性系统的根轨迹法

第4章 线性系统的根轨迹法
根轨迹各分支连续且关于实轴对称
4.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的倾角: 例4-2 求下面闭环特征方程 式根轨迹的渐近线 解:
j

12 页
渐近线与实轴的交点:
4
5 3

1
0


5. 实轴上的根轨迹
实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时, 这段区域必为根轨迹的一部分
13 页
3 (k 1) 2 *

例2
15 页
K ( s 2) 已知系统的开环传递函数为: (s) H (s) 2 G s ( s 1)( s 4) 试绘出该系统根轨迹的渐近线
解:对于该系统有n=4,m=1,n-m=3; 三条渐近线与实轴交点位置为 1 4 2 a 1 它们与实轴正方向的交角分别是 5 0 0 60 (k 0), 180 (k 1), 600 (k 2) 3 3 我们绘出其渐近线。
K 0 5
°
0

K 35, 1.35
4-3 广义根轨迹
定义: 除根轨迹增益K*为变化参数的根轨迹 以外,其他情形下的根轨迹统称为广义根 轨迹。通常,将负反馈系统中K* 变化时的 根轨迹称为常规根轨迹。

25 页
参数根轨迹

26 页
以非开环增益为可变参数绘制的 根轨迹称为参数根轨迹。。 参数根轨迹的绘制法则与常规根 轨迹的法则完全相同。只是在绘制 参数根轨迹之前,需要引入等效单 位反馈系统和等效传递函数概念。
° z1
p3
0
p1

根轨迹的绘制过程为: (1)寻找平面上所有满足相角条件的s; (2)利用幅值条件确定各点的K*值。

线性系统的根轨迹及频域分析实验

线性系统的根轨迹及频域分析实验

线性系统的根轨迹及频域分析实验一、实验目的1、学习使用MATLAB软件仿真,掌握根轨迹及频域分析的方法。

2、熟悉并掌握运用根轨迹法分析线性系统增加开环零极点对系统性能的影响。

3、熟悉并掌握运用频域法分析线性系统调整系统典型环节的组成对系统性能的影响。

4、掌握从两个不同分析角度对同一系统进行分析的方法。

二、实验设备1、MATLAB软件2、自动控制原理实验箱3、示波器三、实验原理1、实验对象的结构框图2、模拟电路构成四、实验要求1、仿真实验(1)按照第二部分仿真作业4、5的要求,完成仿真测试,记录并分析仿真波形。

(2)根据传递函数绘制其根轨迹。

并选取适当的K值,分别使系统处于不稳定、临界稳定和稳定状态时,输出系统的时域曲线和伯德图,并对输出曲线进行分析。

(3)对系统分别增加不同位置的零极点,观察零极点对系统性能的影响五、实验步骤1、绘制根轨迹图:根据对象传递函数用仿真软件画出对象的根轨迹图,对其稳定性及暂态性能做出理论上的判断。

2、在根轨迹上取三个点,分别位于系统不稳定、临界稳定、稳定范围内,求其对应的K值分别为K1、K2、K3。

3、绘制参数分别为K1、K2、K3时系统的时域响应曲线(matlab命令用step()函数实现)和伯德图(matlab命令用bode()函数实现)。

4、给原系统增加一个开环零点,该零点分别设置为位于虚轴右侧、位于所有开环极点左侧以及位于某两个开环极点之间三种情况,记录并分析增加开环零点后的系统根轨迹曲线。

5、给原系统增加一个开环极点,该极点分别设置为位于虚轴右侧、位于所有开环极点左侧以及位于某两个开环极点之间三种情况,记录并分析增加开环零点后的系统根轨迹曲线。

六、实验数据、波形及分析1、记录并分析系统开环传递函数为的时域响应曲线和伯德图。

(1)分别绘制增益K 取K1、K2、K3 时的时域响应曲线;(2)分别绘制增益K 取K1、K2、K3 时的伯德图;3、绘制增加开环零点后的系统根轨迹曲线。

线性系统的根轨迹法

线性系统的根轨迹法

利用根轨迹分析系统的稳态性能
在根轨迹图上画出 ξ = 0.5 的径向直4线
Root Locus
Imaginary Axis
2
与根轨迹的交点
0
s1,2 = −1± j 3
-2
由法则8可求出第三个极点
-4
-4 -3 -2 -1
0
1
s3 = (−2 − 2 − 2) − (−1+ j 3 −1− j 3) = −4
Imaginary Axis
Root Locus 4
Root Locus 4
Root Locus 4
2
2
2
0
0
0
-2
-2
-2
-4 -3 -2 -1 0
1
-4 -3 -2 -1
0
1
-4 -3 -2 -1 0
1
Real Axis
Real Axis
Real Axis
自自 动 控 制 原 理
小结
p 根轨迹的概念(开环绘制à分析闭环) p 绘制根轨迹的基本法则 ☆ p 特殊根轨迹的绘制 p 基于根轨迹的系统性能分析
自自 动 控 制 原 理
利用根轨迹估计系统的动态特性

ωd
β
−σ
0
等σ%线
−πξ
σ % = e 1−ξ 2 ×100%
= e−π tan−1 β ×100%
σ
等ts线 Δ = 0.05
−ωd
ts
=
3.5
ξωn
=
3.5
σ
等tp线
tp
=
π ωd
自自 动 控 制 原 理
利用根轨迹估计系统的动态特性

第4章 线性系统的根轨迹分析

第4章  线性系统的根轨迹分析

3.暂态性能 (1) 当0<K< 0.25时, 闭环特征根为实根,系统是过 阻尼状态,阶跃响应为非周期 过程。
∞ K K=0 × -1 K

K=0.25 K=0 ×
σ
(2) 当K=0.25时,两 特征根重合,均为-0.5,系 统处于临界阻尼状态。

(3) 当K>0.25时,两特征根变为共轭 复根,系统处于欠阻尼状态,阶跃响应为衰 减振荡过程。
§4-2绘制根轨迹的基本规则 续例4-2,将 s j 代入特征方程。
j ( j 1)( j 2) K 1 0 j ( 2 j 3 2) K 1 0 j 3 3 2 j 2 K 1 0

j 2
K1=6
实部 虚部
K 13 2 0 2 3 0
i 1
n
q 0,1,2,

(**)
三.根据相角条件确定根轨迹上的点
设某一系统的开环零极点如图, 在S平面中的任意一点 s 0 ,用 相角条件可以判断 s 0 是不是根 轨迹的点。 1.从 s 0 到各零极点连直线 2.用量角器量(s0 p1 ) ,…等 各个角. 3.将量好的值代入(**) 式,若等式成立,则 s 0 就是根 轨迹上的点.
§4-1根轨迹的基本概念

G H
绘制根轨迹是求解特征方程的根,特征方程可改 写为 G ( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 是复变量S的函数,根据上式两边的
幅值和相角分别相等的条件,可以得到
§4-1根轨迹的基本概念
G( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 180(2q 1),
z1

s4 - 线性系统的根轨迹法

s4 - 线性系统的根轨迹法

再看例4.2
例4.2 已知某负反馈系统的开环传递函数为 : G ( s ) H ( s ) = 概略绘制 K*从0→∞变化时的根轨迹。 解: 首先判断其属于1800根轨迹。 ① ②
n
K* s ( s + 1)( s + 2)

Im 2 1 Re 0


④ 求重根点:
m 1 1 = ∑ ∑ d − p j =1 i =1 d − z i j

-3
-2
×

-1
×

- 0.42

×

1 1 1 有: + + = 0 ⇒ 3d 2 + 6d + 2 = 0 d d +1 d + 2
⎧− 0.42 − 6 ± 36 − 24 d= = −1 ± 0.58 = ⎨ 6 ⎩− 1.58(舍去)
标在图上. 那这两条根轨迹沿什么方向离开重根点、趋向于渐近线呢?
规则 2: 根轨迹的每一条分支都是连续的;根轨迹对称于实轴。
3. 根轨迹的起点和终点
起点: K * = 0 时, 特征根 S = ? i 终点: K * → ∞ 时,特征根 S i = ?
n
根轨迹起始 于开环极点
j
根轨迹终止 于开环零点
整理特征方程可得:K = −
*
∏ (s − p ) ∏ (s − z )
i =1 n j j =1
K * ∏ s − zi
m
∏ (s − z )
i =1 j
m
∏ (s − p
j =1
n
=1
0°根轨迹 相角条件
)
模值条件
i

第4章 线性系统的根轨迹法

第4章 线性系统的根轨迹法
第4章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 根轨迹绘制的基本法则 4-4 系统性能的分析
4-1 根轨迹法的基本概念
4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹概念
控制系统的稳定性及动态性能与系统的闭环极点和零点 在s平面的位置密切相关,因此可根据闭环零极点的分布来间 接地研究系统的性能。
(即0≤K≤0.5,两根为实根)
K 0.5, s1,2 1 j 2K 1,
(两根为共轭复数根,其实部为-1)
K , Re s1,2 1, Im s1,2
4-1 根轨迹法的基本概念
总结:
这是一个二阶系统,有两个闭环极点,
有2条根轨迹。因为每个闭环极点都和K 的取值有关,所以形成2条根轨迹。
(s pi) e j(s pi )
i 1
i 1
m
(s z ) j1
K e n
j
m
n

j
(sz
j 1
j
) ( s
i1
pi
)
(s pi)
i 1
G(s)H (s) G(s)H (s) e jG(s)H (s) 1
K
* G

前向通路根轨迹增益
KG*

KG
1
2 2
T1T22
4-1 根轨迹法的基本概念
反馈通路传递函数 H(s) 可表示为:
l
(s zj)
H(s)

K
* H
j 1 h
(s pj)
j 1
K
* H
为反馈通路根轨迹增益。
则系统的开环传递函数可表示为:
f

实验四 线性系统的根轨迹分析

实验四 线性系统的根轨迹分析
_
10K 10K
1uF 500K
R
_
C (t) 输出 测量端
_
图 3-2
系统的开环增益为
K=500KΩ/R,开环传递函数为:
G(S)

S(S
K 1)(0.5S

1)
3.绘制根轨迹 (1) 由开环传递函数分母多项式 S(S+1)(0.5S+1)中最高阶次 n=3,故根轨迹分支数为 3。 开环有三个极点:p1=0,p2=-1,p3=-2。 (2) 实轴上的根轨迹:
第1页共5页
① 起始于 0、-1、-2,其中-2 终止于无穷远处。 ② 起始于 0 和-1 的两条根轨迹在实轴上相遇后分离,分离点为
d[S(S 1)(0.5S 1)] ds
1.5S2

3S 1

0

S1 S2
0.422 1.578
显然 S2 不在根轨迹上,所以 S1 为系统的分离点,将 S1=-0.422 代入特征方程 S(S+1)(0.5S+1)+K 中,得 K=0.193 (3) 根轨迹与虚轴的交点
二、 实验设备
PC 机一台,TD-ACC 系列教学实验系统一套。
三、实验原理及内容
1.实验对象的结构框图
R(S) + E(S) _
1 T0 S
K1 T 1 S+1
K2 T 2 S+1
C(S)
2.模拟电路构成
r (t) 200K 输入
200K _
200K
图 3-1
500K
2uF
_
500K
500K 2uF
(1)R = 109 KΩ(不稳定发散)
图 5-1 R=109KΩ阶跃响应曲线图 (2)R = 149 KΩ(临界稳定等幅振荡)

《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验

《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验

《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验模块化自控原理中的线性系统的根轨迹分析实验是探究线性系统的稳定性和动态特性的一种常用方法,通过实验观测和分析系统的根轨迹,可以得到系统的传递函数以及系统的稳定性等重要信息。

下面是对该实验的详细说明和分析。

1.实验目的1.1理解线性系统的根轨迹概念及其重要性;1.2学习使用根轨迹法进行系统的稳定性和动态特性分析;1.3掌握根轨迹分析实验的具体步骤;1.4提高实验操作和数据处理的能力。

2.实验原理2.1根轨迹的概念根轨迹是以参数变化为基础的线性系统稳定性和动态特性的分析方法之一、根轨迹是指在参数变化的范围内,系统传递函数极点的轨迹,可以用来判断系统的稳定性、响应特性和动态响应快慢等重要指标。

2.2根轨迹的画法根轨迹的画法需要先确定系统的开环传递函数,然后通过对传递函数进行拆项和配平,求解极点的位置。

根轨迹的位置可以通过极点的实部和虚部来表示,根据虚轴对称性和极点与零点的关系,可以画出根轨迹的大致形状和方向。

2.3根轨迹分析的应用根据根轨迹的形状、分布和方向可以判断系统的稳定性和动态特性:-根轨迹在左半平面则系统稳定;-根轨迹与虚轴交点奇数个则系统不稳定;-根轨迹的分布越往左上角或右上角,系统的动态特性越好。

3.实验装置和器材3.1实验装置数字控制系统实验台、计算机、示波器、信号发生器、数模转换器等。

3.2实验器材电脑、电源线、连接线、示波器探头等。

4.实验步骤4.1连接实验装置将数字控制系统实验台与计算机、示波器、信号发生器和数模转换器等设备进行连接。

4.2系统参数调整设置合适的实验参数,包括采样频率、控制周期、信号幅值等。

4.3系统根轨迹绘制在计算机上运行相应的根轨迹绘制软件,根据实验所给的开环传递函数和稳定域范围,绘制系统的根轨迹。

4.4根轨迹分析根据根轨迹的形状、位置和分布等信息,分析系统的稳定性和动态特性,并给出相应的结论和解释。

4.5记录实验数据记录实验中所绘制的根轨迹和分析结果,包括根轨迹的形状、交点、分布等重要特征。

线性系统的根轨迹分析

线性系统的根轨迹分析

s1右边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的幅角为180°;
s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。
已知系统的开环传递函数,试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1 )( s 4 )( s 6 ) G ( s ) 2 2 s( s 2 )( s 3 )
表示两重极点
第四章 线性系统的根轨迹分析
主要内容
§4—1 根轨迹的基本概念 §4—2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4—3 广义根轨迹 §4—4 滞后系统的根轨迹 §4—5 利用根轨迹分析系统的性能 §4—6 用MATLAB绘制系统的根轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念 闭环极点(即闭环特征方程根) 闭环控制系统稳定 性、瞬态响应特性 问题1: 如何按希望性能将闭环极点合适的位置? 问题2: 当系统的某些参数(如开环增益)变化时,反复求解, 不方便,有没有简便分析方法? 根轨迹:当系统某一参数在规定范围内变化时,相应的系 统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动,一个 根形成一条轨迹。 系统特征根的图解方法!!! 广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。 狭义根轨迹(通常情况): 变化参数为开环增益K,且其变化取值范围为0到∞。
s平面
j
6
5
4 3 2
1
o

[-1,-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4,-6] 右侧实零、极点数=7。
五、根轨迹的渐近线 当系统n>m时,有(n-m)条根轨迹分支 终止于无限远零点。 沿着渐近线趋于无限远处, 渐近线也对称于实轴(包括与实轴重合)。
渐近线与实轴的倾角(k=0,1,2,…) : ( 2 k 1 ) 180 a n m 渐近线与实轴交点的坐标值:

第四章线性系统的根轨迹法

第四章线性系统的根轨迹法

第四章 线性系统的根轨迹法知识点:1. 根轨迹的概念,2. 绘制根轨迹的法则,3. 其他形式的根轨迹,4. 参数变化时对系统性能的影响。

1. 根轨迹的概念:根轨迹指的是开环传递函数中某一参数变化时,闭环特征根所走过的路径。

注:根:闭环特征方程的根。

1).开环放大系数与根轨迹增益。

时间常数表达式:()()()()210.210.51k k s s s s G +=++ 尾“1”时,K 叫放大系数零极点表达式:()()()1252g ks s s s k G ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++ 首“1” g k 叫根轨迹增益。

根轨迹:0→+∞所走过的根轨迹增益。

2).试探法绘制根轨迹。

例子:试求g k 从0→+∞变化时,系统的根轨迹的变化。

解:()()()()()1=0()1kkks C s s s R s s G G G Φ==⇒++2g +0s s k +=1,21s =-±注:,,,%.g k βξσ↑↑↓↑绘制根轨迹使用“X ”表示开环极点,用”o ”表示开环零点,根轨迹用粗实线表示,根轨迹上标有箭头表示g k 增大时,根轨迹移动的方向。

3).闭环零极点与开环零极点之间的关系。

()()()kS G S H S G =()()1()()G s s G s H s Φ=+令()()()()()()','GHM S M S G S H S N S N S KK==()()()()()()()()'1()()1'GGHM S N S G s s M S M S G s H s N S N S KKKΦ==++()()()()()()'()''GGHM S N S s N S N S M S M S KK KΦ=+①. 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成,对于单位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。

②. 闭环极点与开环极点,开环零极点及根轨迹都有关系。

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姓名: 学号: 得分:实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。

3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时,特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。

这个参数一般选为开环系统的增益K 。

课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法,只能绘制根轨迹草图。

而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图,并可观测参数变化对特征根位置的影响。

假设系统的对象模型可以表示为11210111()()m m m m n n n nb s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++系统的闭环特征方程可以写成01()0KG s +=对每一个K 的取值,我们可以得到一组系统的闭环极点。

如果我们改变K 的数值,则可以得到一系列这样的极点集合。

若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来,则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线,这些曲线又称为系统的根轨迹。

绘制系统的根轨迹rlocus ()MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为:rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。

rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。

rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。

r=rlocus(num,den) 不作图,返回闭环根矩阵。

[r,k]=rlocus(num,den) 不作图,返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。

其中,num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数,按s 的降幂排列。

K 为根轨迹增益,可设定增益范围。

例3-1:已知系统的开环传递函数32(1)()429s G s K s s s *+=+++,绘制系统的根轨迹的matlab的调用语句如下:num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1(a )所示。

若上例要绘制K 在(1,10)的根轨迹图,则此时的matlab 的调用格式如下,对应的根轨迹如图3-1(b )所示。

num=[1 1]; den=[1 4 2 9];k=1:0.5:10;rlocus (num;den;k)1)确定闭环根位置对应增益值K 的函数rlocfind ()在MATLAB 中,提供了rlocfind 函数获取与特定的复根对应的增益K 的值。

在求出的根轨迹图上,可确定选定点的增益值K 和闭环根r (向量)的值。

该函数的调用格式为:[k,r]=rlocfind(num,den)执行前,先执行绘制根轨迹命令rlocus (num,den ),作出根轨迹图。

执行rlocfind 命令时,出现提示语句“Select a point in the graphics window ”,即要求在根轨迹图上选定闭环极点。

将鼠标移至根轨迹图选定的位置,单击左键确定,根轨迹图上出现“+”标记,即得到了该点的增益K 和闭环根r 的返回变量值。

例3-2:系统的开环传递函数为23256()8325s s G s K s s s *++=+++,试求:(1)系统的根轨迹;(2)系统稳定的K 的范围;(3)K=1时闭环系统阶跃响应曲线。

则此时的matlab 的调用格式为:G=tf([1,5,6];[1,8,3,25]);rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G ,1); %形成单位负反馈闭环系统step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。

其中,调用rlocfind ()函数,求出系统与虚轴交点的K 值,可得与虚轴交点的K 值为0.0264,故系统稳定的K 的范围为(0.0264,)K ∈∞。

(a ) 完整根轨迹图形 (b )特定增益范围内的根轨迹图形图3-1 系统的根轨迹图形(a )根轨迹图形 (b )K=1时的阶跃响应曲线图3-2 系统的根轨迹和阶跃响应曲线三、实验内容1.请绘制下面系统的根轨迹曲线22()(22)(613)KG s s s s s s =++++2(12)()(1)(12100)(10)K s G s s s s s +=++++2(0.051)()(0.07141)(0.0120.11)K G s s s s s +=+++同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。

四、实验报告1.根据内容要求,写出调试好的MATLAB 语言程序,及对应的结果。

2. 记录显示的根轨迹图形,根据实验结果分析根轨迹的绘制规则。

3. 根据实验结果分析闭环系统的性能,观察根轨迹上一些特殊点对应的K 值,确定闭环系统稳定的范围。

4.写出实验的心得与体会。

五、预习要求1. 预习实验中的基础知识,运行编制好的MATLAB 语句,熟悉根轨迹的绘制函数rlocus()及分析函数rlocfind(),sgrid()。

2. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法,思考当系统参数K 变化时,对系统稳定性的影响。

四:1. 22()(22)(613)KG s s s s s s =++++(1)程序代码:G=tf([1],[1,8,27,38,26]); rlocus (G); [k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G,1); step(G_c)(2)实验结果:-8-6-4-22468Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i sselected_point = -8.8815 + 9.4658i k =1.8560e+04 r =-10.2089 + 8.3108i -10.2089 - 8.3108i 6.2089 + 8.2888i 6.2089 - 8.2888iselected_point = -9.5640 - 7.6273i k =1.3262e+04 r =-9.5400 + 7.6518i -9.5400 - 7.6518i 5.5400 + 7.6258i 5.5400 - 7.6258iselected_point =-0.8436 + 1.1180ik =3.6752r =-3.1044 + 2.0194i-3.1044 - 2.0194i-0.8956 + 1.1669i-0.8956 - 1.1669iselected_point =-0.0095 + 2.1118ik =73.9872r =-3.9617 + 2.4724i-3.9617 - 2.4724i-0.0383 + 2.1409i-0.0383 - 2.1409i(3)结果分析:根轨迹与虚轴有交点,所以在K从零到无穷变化时,系统的稳定性会发生变化。

由根轨迹图和运行结果知,当0<K<73.9872时,系统总是稳定的。

2(12)()(1)(12100)(10)K s G s s s s s +=++++(1)程序代码:G=tf([1,12],[1,23,242,1220,1000]); rlocus (G);[k,r]=rlocfind(G) G_c=feedback(G,1); step(G_c) (2)实验结果:selected_point = -11.9076 + 2.6398i k =1.3433e+03 r =0.4698 +10.6207i 0.4698 -10.6207i -11.9698 + 2.8634i -11.9698 - 2.8634iselected_point = 0.0355 + 9.7826i k =1.0505e+03 r =-11.3838 + 2.9674i -11.3838 - 2.9674i -0.1162 + 9.9146i -0.1162 - 9.9146i(3)结果分析:根轨迹与虚轴有交点,所以在K 从零到无穷变化时,系统的稳定性会发生变化。

由根轨迹图和运行结果知,当0<K<1050.5时,系统总是稳定的。

2(0.051)()(0.07141)(0.0120.11)K G s s s s s +=+++(1) 程序代码:G=tf([0.05,1],[0.0008568,0.01914,0.1714,1,0]); rlocus (G);[k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G,1);step(G_c)(2)实验结果:selected_point =-27.6540 + 0.1863ik =521.8293r =13.9393 +27.9598i13.9393 -27.9598i-27.6515-22.5660selected_point =0.0711 + 8.3851ik =7.8321r =-0.0336 + 8.5173i-0.0336 - 8.5173i-11.1359 + 1.4131i-11.1359 - 1.4131i(3)结果分析:根轨迹与虚轴有交点,所以在K从零到无穷变化时,系统的稳定性会发生变化。

由根轨迹图和运行结果知,当0<K<7.832时,系统总是稳定的.2.由以上根轨迹图知,根轨迹起于开环极点,终于开环零点。

在复平面上标出系统的开环零极点后,可以根据其零极点数之和是否为奇数确定其在实轴上的分布。

根轨迹的分支数等于开环传递函数分子分母中的最高阶次,根轨迹在复平面上是连续且关于实轴对称的。

当开环传递函数的分子阶次高于分母阶次时,根轨迹有n-m条沿着其渐近线趋于无穷远处。

根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点或者相邻零点之间存在分离点,两条根轨迹分支在复平面上相遇在分离点以某一分离角分开,不在实轴上的部分,根轨迹以起始角离开开环复极点,以终止角进入开环复零点。

有的根轨迹随着K的变化会与虚轴有交点。

在画图时,确定了以上的各个参数或者特殊点后,就可得系统的根轨迹概略图。

4. 本次实验我们首先熟悉了MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式,随后又利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。

课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法,只能绘制根轨迹草图,而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图,并可通过自己添加零极点或者改变根轨迹增益的范围来观测参数变化对特征根位置的影响。

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