实验四 线性系统的根轨迹

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实验四 线性系统的根轨迹

一、实验目的

1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。

3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数

根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。

假设系统的对象模型可以表示为

1121

0111()()m m m m n n n n

b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++

系统的闭环特征方程可以写成

01()0KG s +=

对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。

绘制系统的根轨迹rlocus （）

MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为:

rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向

量k 。

其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。

例3-1:已知系统的开环传递函数32(1)

()429

s G s K s s s *

+=+++，绘制系统的根轨迹的matlab

的调用语句如下:

num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线

xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。

若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。

num=[1 1]; den=[1 4 2 9];

k=1:0.5:10;

rlocus (num;den;k)

1）确定闭环根位置对应增益值K 的函数rlocfind （）

在MATLAB 中，提供了rlocfind 函数获取与特定的复根对应的增益K 的值。在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K 和闭环根r （向量）的值。该函数的调用格式为:

[k,r]=rlocfind(num,den)

执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus （num,den ），作出根轨迹图。执行rlocfind 命令时，出现提示语句“Select a point in the graphics window ”，即要求在根轨迹图上选定闭环极点。将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图上出现“+”标记，即得到了该点的增益K 和闭环根r 的返回变量值。

例3-2:系统的开环传递函数为23256

()8325

s s G s K s s s *

++=+++，试求:（1）系统的根轨迹；（2）

系统稳定的K 的范围；（3）K=1时闭环系统阶跃响应曲线。则此时的matlab 的调用格式为:

G=tf([1,5,6];[1,8,3,25]);

rlocus (G); %绘制系统的根轨迹

[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G ,1); %形成单位负反馈闭环系统

step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线

则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。

其中，调用rlocfind （）函数，求出系统与虚轴交点的K 值，可得与虚轴交点的K 值为0.0264，故系统稳定的K 的范围为(0.0264,)K ∈∞。

（a ） 完整根轨迹图形 （b ）特定增益范围内的根轨迹图形

图3-1 系统的根轨迹图形

（a ）根轨迹图形 （b ）K=1时的阶跃响应曲线

图3-2 系统的根轨迹和阶跃响应曲线

三、实验内容

1．请绘制下面系统的根轨迹曲线

22()(22)(613)

K

G s s s s s s =++++

2(12)

()(1)(12100)(10)

K s G s s s s s +=++++

2(0.051)

()(0.07141)(0.0120.11)

K G s s s s s +=

+++

同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。 四、实验报告

1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB 语言程序，及对应的结果。 2. 记录显示的根轨迹图形，根据实验结果分析根轨迹的绘制规则。

3. 根据实验结果分析闭环系统的性能，观察根轨迹上一些特殊点对应的K 值，确定闭环系统稳定的范围。

4．写出实验的心得与体会。 五、预习要求

1. 预习实验中的基础知识，运行编制好的MATLAB 语句，熟悉根轨迹的绘制函数rlocus()及分析函数rlocfind(),sgrid()。

2. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法，思考当系统参数K 变化时，对系统稳定性的影响。

四：1. 2

2()(22)(613)

K

G s s s s s s =

++++

（1）程序代码：

G=tf([1],[1,8,27,38,26]); rlocus (G); [k,r]=rlocfind(G)

G_c=feedback(G,1); step(G_c)

（2）实验结果：