自动控制理论 线性系统的根轨迹法

极点 p1, p2 出发的两支根轨迹，
随着 的K增g大在实轴上A点相遇再 分离进入复平面。随着 的K继g续
增大，又在实轴上B点相遇并分别
沿实轴的左右两方运动。当 Kg
时，一支根轨迹终止于 z, 另一
支走向 。A、B点称为根轨迹在
实轴上的分离点和会合点。
一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这 两相邻极点之间必有分离点；
出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点
为分离会合点。
②极值法：若以K*为纵坐标，以实轴为横坐标，在根轨迹的分 离点和会合点上， K*具有极值。
K* D(s) N (s)
dK * ds
d ds
D(s)
N
(s)
D(s)N(s) N(s)D(s) N 2(s)
0
即
N '(s)D(s) N(s)D'(s) 0
z1
p3
3
1
p2
s2
s1
p1 s3
4
z2
2
p4
先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°； ②成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的 相角之和为0°； ③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°； ④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°； 所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[－p2 ,－p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。
j 1
i 1
n
百度文库
d ln (s p j )
d ln m (s zi )
j1
i1
ds
ds
d
n j 1
ln(s
p j )
d
m i 1
ln(s
zi )
ds
ds
n d ln(s p j ) m d ln(s zi )
j 1
ds
i 1
ds
n
1
m
1
j1 s p j i1 s zi
dKg (3s2 12s 5) 0 ds
7 0.4725 s1,2 2 3 3.5275
Kg 1.12845 Kg 13.13
显然，分离回合点为-0.4725，而-3.5275不是分离回合点。
线性系统的根轨迹法>>根轨迹绘制的基本法则
当 K* 时，① s zi (i 1 ~ m) ，上式成立。 zi 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m
个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在
无穷远处。 由根轨迹方程知：当 s 时
m
根轨迹方程左边 lim s
[例]单位反馈系统的开环传递函数为：
Gk
(s)
s(s
Kg 1)( s
5)
试确定实轴上根轨迹的会合点和分离点的位置。
[解]： 5
1
0
实轴上根轨迹区间是： (,5]和[5,0]
闭环特征方程为：
1
Gk
(s)
1
s(s
Kg 1)( s
5)
0
Kg s(s 1)(s 5) (s3 6s2 5s)
m i 1
(s zi )
n
(s
j 1
p j ) 0
n
m
(s p j ) Kg (s zi )
(1)
j 1
i1
d n
dm
ds
(s pj ) Kg
j 1
ds
(s zi )
i1
(2)
(2) (1)
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s
zi )
(s pj ) (s zi )
设 K* Kgd 时，特征方程有重根 d ，则必同时满足
F(d ) 0 和 F'(d ) 0
由此得： D( d ) Kgd N( d ) 0 D'( d ) Kgd N '( d ) 0
N '(s)D(s) N(s)D'(s) 0
K gd
D(s) N (s)
s d
注意：由上式可求得的点是分离点和会合点必要条件，还需求
1)
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
闭环传递函数：
(s)
s2
2K 2s
2K
线性系统的根轨迹法>>根轨迹法的基本概念
特征方程为： s2 2s 2K 0
特征根为： s1,2 1 1 2K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j ⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
30
渐近线与实轴的倾角： (2k 1) 60,180
nm
零极点分布和渐近线（红线） 如图所示。
5
180
60
2
1
0
60
6、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分
离点或会合点。
如图所示某系统的根轨迹，由开环
Kg
B
Kg Kg 0 Kg 0
z p2 A p1
（1）s n a1s n1 an1s an 0 （2）1 G(s)H (s) 0
（3）1 KL(s) 0
J (s)
（4）J (s) KL(s) 0
（5）G(s)H (s) 1 1 180(2k 1)
（6）G(s)H (s) 180(2k 1) G(s)H(s) 1
需要指出的是，上述六种表达方式其实质是一 致的，都是根据特征方程1 G(s)H (s) 0 而得到的。
由于系统闭环特征方程为
1 G(s)H (s) 0 或 G(s)H (s) 1
根据上式等号两边的幅值和相角应分别相等的 条件，可得
G(s)H (s) 180(2k 1)
G(s)H(s) 1
上式就是绘制根轨迹的相角条件和幅值条件， 相角条件是绘制根轨迹的依据－根平面上凡满足相 角条件的点的全体就是根轨迹。
根轨迹法简单、实用，是经典控制理论的基本 分析方法之一。
线性系统的根轨迹法>>根轨迹法的基本概念
5.1 根轨迹法概念
5.1.1 系统的根轨迹
[定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特 征方程的根在复平面上变化的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
系统开环传递函数为：
Gk
(s)
K s(0.5s
5. 2 根轨迹分析法
▪ 开环传递函数的两 种表达式
m
K(is 1)
G(s)H(s)
i 1 n
(Tjs 1)
j 1
m
G(s)H (s)
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
K *B(s) A(s)
j 1
m
K * zi
K
i 1 n
pj
j 1
(n m)
线性系统的根轨迹法>>根轨迹绘制的基本法则
③求分离会合点的另一个公式
m
(s zi )
设系统开环传递函数为：
Gk (s) K g
i 1 n
(s pj)
j 1
因闭环特征方程为： Gk (s) 1
m
n
即闭环特征方程为： F(s) Kg (s zi ) (s pj ) 0
i 1
j 1
重根时还满足
dF(s) ds
d ds
Kg
2、根轨迹的对称性
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共 轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
3、根轨迹的支数、起点和终点： n阶特征方程有n个根。当 K* 从0到无穷大变化时，n个根
在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统 阶数。
线性系统的根轨迹法>>根轨迹绘制的基本法则
(s zi )
i1 n
lim
s
nm
1
0
(s p j )
(s pj )
j 1
j 1
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。
那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
4、实轴上的根轨迹：
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方 开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。
[证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、 p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对 共轭零点z1、 z2 。
起点和终点：
由根轨迹方程：
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
1 K*
K* 0
K*
时为起点， 时为终点。
j 1
当 K* 0 时，只有 s p j ( j 1 ~ n) 时，上式才能成立。而 p j
是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统
有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。
同样s3点也不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为：Gk
求实轴上的根轨迹。
(s)
s2 (s
Kg (s 2) 1)(s 5)(s
10)
试
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。注意
在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。
[例]系统开环传递函数为：Gk (s)
如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之 间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。
如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之 间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合 点。
[分离角]：在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称
为分离角 d 。 d
与相分离的根轨迹的支数k有关： d
5.2.1 绘制根轨迹的基本规则
以下的讨论是针对零、极点形式的参数 K* 的180度根轨迹的 基本规则。
1、根轨迹的连续性： 闭环系统特征方程的某些系数是增益 K*的函数。当K*从0到
无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
线性系统的根轨迹法>>根轨迹绘制的基本法则
因此，利用相角条件就可画出根轨迹，即绘制 根轨迹无需考虑幅值条件。而幅值条件用于确定根 轨迹上某一点所对应的 K 值，即根轨迹上凡满足幅 值条件的点就是相应 K 值所对应的系统闭环极点， 反之亦然。
相角条件与幅值条件的不同在于相角条件与K值 无关。因此，将满足相角条件的s 值代入幅值条件， 定能求得与之对应的 K 值，即凡满足相角条件的点 必定同时满足幅值条件。反之，满足幅值条件的点 未必都能满足相角条件。
K* s(s 1)( s 5)
，试确定根轨迹
支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交
点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p1 0, p2 1, p3 5, 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
渐近线与实轴的交点： pi zi 1 5 2
nm
当0<K<0.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K =0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统; 当K>0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。
实际中，最常用的可变参数是系统的开环
增益K，以K为可变参数而得到的根轨迹称为 常规根轨迹。
5.1.2 根轨迹法的幅值条件和相角条件 闭环特征方程的几种表达形式
闭环传递函数有以下两种表示形式：
C(s) R(s)
b0 s m b1s m1 bm1s bm s n a1s n1 an1s an
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
相应的闭环系统特征方程也有以下几种常用的 表达形式，可根据实际需要选择合适的表达式。
闭环特征方程的几种表达形式
K 5
K 1
j1
K 0
1K 0
2 0 j1
线性系统的根轨迹法>>根轨迹法的基本概念
根轨迹与系统性能
•稳定性 当增益K由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面 右半边，因此系统对所有的值都是稳定的， •稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I型 系统，根轨迹上的值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹图上可 以确定闭环极点取值的容许范围。 •动态特性
k
。
[分离点和会合点的求法]：由重根法，求极值法和作图法等。
①重根法：根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭
环特征方程的重根点。
m
设系统开环传递函数为： Gk (s) K*
(s zi )
i 1 n
(s pj )
K*
N (s) D(s)
j 1
因闭环特征方程为： Gk (s) 1
即
F(s) D(s) K*N(s) 0
第五章 线性系统的根轨迹法
1 根轨迹法的基本概念 2 根轨迹绘制的基本原则 3 广义根轨迹
线性系统的根轨迹法>>根轨迹法的基本概念
1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递 函数与其闭环特征方程式之间的内在联系，提出了 一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法－ 根轨迹法。
当系统特征方程式中的某一参数（例如开环增 益 K 、时间常数T）连续由零变化到无穷大时，特征 方程式的根连续变化而在s 平面上形成的运动轨迹， 即为闭环系统特征根的根轨迹。