线性系统的根轨迹研究
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
线性系统的根轨迹-自动控制原理实验报告
自动控制原理实验报告实验题目：线性系统的根轨迹班级：学号：姓名：指导老师：实验时间：一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、实验内容同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2．1绘制下面系统的根轨迹曲线)136)(22()(22++++=s s s s s Ks G程序：G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-12-10-8-6-4-20246-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s0204060801001201400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K>28.74252．2绘制下面系统的根轨迹曲线)10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([1 12],[1 23 242 1220 1000]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-100102030-50-40-30-20-1001020304050Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s01234560.0020.0040.0060.0080.010.012Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围： K>1.1202e+032．3绘制下面系统的根轨迹曲线)11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([5 100],[0.08568 1.914 17.14 100 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-10010203040-60-40-200204060Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s012345670.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K> 7.8321根据实验结果分析根轨迹的绘制规则：⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
004 第4章 线性系统的根轨迹分析
（2）精确参数的获得： >> Kg=30.7;R= rlocus(G, Kg) % Kg时所对应的闭环极点 R= -1.3562 + 2.1562i -1.3562 - 2.1562i -0.1438 + 2.1705i -0.1438 - 2.1705i 2）使用[Kg, P]= rlocfind (G)进行参数的人工获取： >> clear;G=tf([1,1],[conv([1,-1],[1,4,16]),0]); %建立零极 点模型G(s) rlocus(G); %生成根轨迹图 [Kg, P]= rlocfind (G) %鼠标左键定轨迹上的闭极点参数
4
闭环系统稳定程度的判断：
当闭环特征根位于在s平面的右半平面时，闭环系 统不稳定；当闭环特征根位于在s平面的虚轴上时，闭 环系统临界稳定（等幅振荡）；当闭环特征根位于在s 平面的左半平面时，闭环系统稳定。
闭环系统动态性能的判断：
在闭环系统稳定的情况下，当特征根位于s平面的 左半实轴上时，闭环系统的输出表现为惯性特性（单 调性）；当特征根位于s左半平面的非实轴区域时，闭 环系统的输出表现为衰减振荡特性；当特征根位于s平 面的虚轴上时，闭环系统的输出表现为等幅振荡特性 ；在s右半平面时为单调或振荡发散特性。 5
2
4.1 根轨迹分析的基本思想
闭环系统的开环传递函数的根轨迹模型为:
其中，zj和pi为开环传递函数模型的零点和极点，Kg 为开环传递函数模型的根轨迹增益。系统的闭环 传递函数为:
3
闭环系统的稳定性与Gb(s)的极点，即闭环系统 的特征方程1+H(s)G(s)=0的根在s平面上的位置及其 分布有关。 闭环系统的特征根在s平面上的位置会随Kg值的 变化而变化。 根轨迹分析法就是通过改变开环传递函数Gk(s) 的根轨迹增益Kg值（0~∞）来观察闭环特征根的轨 迹变化情况，从而能够对闭环系统的稳定程度、动 态性能及结构简化（降阶）等问题进行判断、分析 与设计。
第4章 线性系统的根轨迹法
m
s p
i 1
n
0
或写成
* s p K i s zi 0 i 1 i 1
m
它是直接利用开环传递函数分析闭环特征根及其性能的图解法。
『例』已知单位反馈系统开环传递函数 G s
讨论系统闭环极点的分布情况(0<K<∞)。
开环增益 K K * i bd
j
z
ac
i
p
j
四、根轨迹方程
(1) 根轨迹方程
1 Gs H s 0 或 Gs H s 1
假设开环传递函数中有m个零点和n个极点
1
K * s zi
i 1
m
s p
i i 1
n
0,
j z2
p3
S1
p2 z3
z1
p4
p1
4. 根轨迹的渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹 分支沿着与实轴夹角为 a 和交点为 的一组渐进线 a 趋向无穷远处。
(2k 1) a , a nm
p z
i 1 i i 1
n
m
i
nm
『例』指出单位反馈系统根轨迹的条数、根轨迹渐近线与 实轴的夹角和交点。 K* G(s) s( s 1)(s 2) 60 （2k 1) 0 1 2 解：有3条根轨迹， a 180 ， a 1 30 3 60
『问题』开环传递函数的3个极点和2个零点如下图，
判断s1是否根轨迹上的点?
s1
5 4
z1 z2
× p3
3
2
× p2
4第四章__根轨迹法(2)
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
第四章 线性系统的根轨迹分析
2)确定内环的闭环极点 要求内环的反馈系数 内环的特征方程 3.2<Kf<3.5
( s 0.6)(s2 2s 4) K f 0
在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36 可求得内环的另外两个闭环极点为 p2 0.5 j1.83 p3 0.5 j1.83 3)绘制外环的根轨迹图 外环的开环传递函数
（2）根轨迹的起点 （3）实轴上的根轨迹
0，-1，-3
终点 均为∞
[0 , ] [3 , 1]
第四章 线性系统的根轨迹分析
（4）根轨迹的渐近线
a
n
2k 180 0 ,120 nm
m j i 1 i
k 0、 1
a＝
( p ) ( z )
i 1 j与虚轴的交点 (相同) （9）闭环极点的和 (相同)
第四章 线性系统的根轨迹分析
例：控制系统方框图如下所示
R(s )
Kc s2
K0 s( s 1)
C (s )
1 s3
系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。 解： （1）内环的开环传递函数
G1 ( s ) H1 ( s ) K0 s( s 1)(s 3)
第四章 线性系统的根轨迹分析
4-3
广义根轨迹
其它种类的根轨迹: 1.参数根轨迹
2.多回路系统的根轨迹 3.正反馈回路和零度根轨迹
自动控制原理-线性系统的根轨迹法1
16
规则4：实轴上的根轨迹 规则 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。 由相角条件
∑ ∠(s − z ) −∑ ∠(s − p ) = (2k +1)π
j =1 j i =1 i
m
n
jω
× × × ×
σ
17
规则5：根轨迹渐近线 规则 当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角
jω
K →∞
K = 2.5
2
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有
一个极点，系统为1型系统，根轨迹上 的K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用根轨迹增益 根轨迹增益，根轨迹增益与开环增 根轨迹增益 益之间有一个转换关系。
o o
与实轴交点
σa =
i =1
∑ pi − ∑ z j
j =1
n
m
n−m
( 0 − 4 − 1 + j − 1 − j ) − ( − 1) = = − 1 .67 4 −1
23
24
规则6：根轨迹分离点和会合点 规则 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
K =1
1
K =0
−2
−1
0
σ
K = 0.5
−1
−2
动态性能
由K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。
线性系统的根轨迹法
法则7. 根轨迹与虚轴的交点
交点和临界根轨迹增益的求法：
解： 方法一
例8.
，试求根轨迹与虚轴的交点。
K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点)
与虚轴的交点:
闭环系统的特征方程为：
s=jw
劳斯表：
01
s2的辅助方程：
02
K* =30
03
当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。
04
等效的开环传递函数为：
参数根轨迹簇
二、附加开环零、极点的作用
试验点s1点
例1.设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。
解：
零极点分布如下：
p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
jw
-2
-1
1
2
-1
-2
s
.
.
.
.
.
.
.
.
三、闭环零极点与开环零极点的关系
反馈通路传函：
前向通路传函：
典型闭环系统结构图
KG*--前向通路根轨迹增益 KH*--反馈通路根轨迹增益
K*--开环系统根轨迹增益
1
闭环传递函数：
2
开环传递函数：
01
04
02
03
闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。 对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。
(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余数R2 ；
(6)计算s2 =s1-R1/R2 ；
(7)将s2 作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。
例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。
自控实验报告实验三线性系统的根轨迹
4．写出实验的心得与体会。
三、实验内容
请绘制下面系统的根轨迹曲线同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳固的K值的范围。
一、
一、程序代码：
G=tf([1],[1,8,27,38,26]);
rlocus (G);
五、心得体会
本次实验咱们第一熟悉了MATLAB用于操纵系统中的一些大体编程语句和格式，随后又利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。讲义中介绍的手工绘制根轨迹的方式，只能绘制根轨迹草图，而用MATLAB能够方便地绘制精准的根轨迹图，并可通过自己添加零极点或改变根轨迹增益的范围来观测参数转变对特点根位置的阻碍。
+
k =
r =
+
-
+
-
3、结果分析：
根轨迹与虚轴有交点，因此在K从零到无穷转变时，系统的稳固性会发生转变。由根轨迹图和运行结果知，当0<K<时，系统老是稳固的。
二、
一、程序代码：
G=tf([1,12],[1,23,242,1220,1000]);
rlocus (G);
[k,r]=rlocfind(G)
G_c=feedback(G,1);
step(G_c)
二、实验结果：
selected_point =
+
k =
+03
r =
+
+
-
selected_point =
+
k =
+03
r =
+
-
+
-
3、结果分析：
实验2 线性系统的根轨迹分析
自动控制理论实验报告
实验二 线性系统的根轨迹分析
哈尔滨工业大学
实验二 线性系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、掌握使用MATLAB绘制控制系统根轨迹图的方法；
2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。
二、 实验设备
Pc机一台，MATLAB软件。
三、实验内容
A、已知一负反馈系统的开环传递函数为
（1）绘制根迹。
（2）选取根轨迹与虚轴的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K的范围 。
（3）确定分离点的超调量 及开环增益K。
（4）用时域相应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K的范围
（5）分析根轨迹的一般规律。
B、. 已知系统的开环传递函数为：
求：1）绘制根轨迹。
2）选择系统当阻尼比 =0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K值。
分析系统性能。
四、实验结果与分析
A:1、根轨迹
2、由根轨迹图知，与虚轴交点i=4.46，增益K=12，故K<12时系统稳定
3、由根轨迹图知，分离点超调量Mp=0%，增益K=0.458
4、将不同的K带入时域响应，如下图
由图可知当K=11.9时系统依旧稳定，但当K=12时系统已经开始震荡，进入临界稳定。故与根轨迹结论一致。
超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减振荡，而且越靠近虚轴，增益K越大，阻尼越小，振荡频率 越高，振幅衰减越大。
5）当根轨迹与虚轴相交时，闭环根位于虚轴上，闭环极点是一对纯虚根，阻尼 ，超调量最大，系统处于无阻尼状态，其动态响应将出现等幅振荡。此时对应的增益 ，称为临界稳定增益。
5、根轨迹的一般规律
1）根轨迹，随着k值从 变化，趋向无穷远处或者零点。
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验模块化自控原理中的线性系统的根轨迹分析实验是探究线性系统的稳定性和动态特性的一种常用方法，通过实验观测和分析系统的根轨迹，可以得到系统的传递函数以及系统的稳定性等重要信息。
下面是对该实验的详细说明和分析。
1.实验目的1.1理解线性系统的根轨迹概念及其重要性；1.2学习使用根轨迹法进行系统的稳定性和动态特性分析；1.3掌握根轨迹分析实验的具体步骤；1.4提高实验操作和数据处理的能力。
2.实验原理2.1根轨迹的概念根轨迹是以参数变化为基础的线性系统稳定性和动态特性的分析方法之一、根轨迹是指在参数变化的范围内，系统传递函数极点的轨迹，可以用来判断系统的稳定性、响应特性和动态响应快慢等重要指标。
2.2根轨迹的画法根轨迹的画法需要先确定系统的开环传递函数，然后通过对传递函数进行拆项和配平，求解极点的位置。
根轨迹的位置可以通过极点的实部和虚部来表示，根据虚轴对称性和极点与零点的关系，可以画出根轨迹的大致形状和方向。
2.3根轨迹分析的应用根据根轨迹的形状、分布和方向可以判断系统的稳定性和动态特性：-根轨迹在左半平面则系统稳定；-根轨迹与虚轴交点奇数个则系统不稳定；-根轨迹的分布越往左上角或右上角，系统的动态特性越好。
3.实验装置和器材3.1实验装置数字控制系统实验台、计算机、示波器、信号发生器、数模转换器等。
3.2实验器材电脑、电源线、连接线、示波器探头等。
4.实验步骤4.1连接实验装置将数字控制系统实验台与计算机、示波器、信号发生器和数模转换器等设备进行连接。
4.2系统参数调整设置合适的实验参数，包括采样频率、控制周期、信号幅值等。
4.3系统根轨迹绘制在计算机上运行相应的根轨迹绘制软件，根据实验所给的开环传递函数和稳定域范围，绘制系统的根轨迹。
4.4根轨迹分析根据根轨迹的形状、位置和分布等信息，分析系统的稳定性和动态特性，并给出相应的结论和解释。
4.5记录实验数据记录实验中所绘制的根轨迹和分析结果，包括根轨迹的形状、交点、分布等重要特征。
第4章线性系统的根轨迹分析
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
根轨迹方程
j
a
0
a
23
例：已知系统的开环传递函数
G(s)H (s)
s(s
K *(s 1) 4)(s2 2s
2)
求出根轨迹的渐近线。
j
。 0
解： 开环零点： z 1, m 1
开环极点： p1 0, p2 4,
n
m p3 1 j1, p4 1 j1, n 4
终点 K * s zi 0 s zi
16
若开环极点数n > 开环零点数m ，有(n－m)个开环零 点在无穷远处，则有(n－m)条根轨迹趋于无穷远处。
m
模值方程：
s zi
i 1
n
s pj
1 K*
当s→∞时，zi、pj都可忽略
m
j1
m
s zi
G(s)H(s) K*
i 1 n
（首1型） (s pj )
j 1
开环根轨迹增益
G(s)H(s) = -1
m
(s zi )
K * i1 n
1
(s pj)
j 1
分 解
Ⅲ.根轨迹方程形式三： m
①模值方程：
s zi
K * i1 n
1
s pj
m j1
a
pj zi
j1
i 1
nm
5 3
;a
(2k 1) (2k 1)
nm
41
(2k 1)
3
600(k 0); 1800(k 1); 3000(k 2)
a1
a2
a3
线性控制系统的根轨迹分析法
PART 01
引言
线性控制系统简介
线性控制系统是由线性微分方程描述 的一类控制系统，其特点是系统的输 出和输入之间存在线性关系。
线性控制系统广泛应用于工程领域， 如航空航天、化工、电力等，用于实 现各种控制目标，如稳定性、快速性 和准确性。
根轨迹分析法的定义和重要性
根轨迹分析法是一种通过分析线性控制系统闭环极点的变化来研究系统性能的方法。
系统校正与改进
通过根轨迹分析，可以找到系统性 能不足的原因，进而对系统进行校 正或改进设计。
PART 04
根轨迹分析法的限制和挑 战
参数变化对根轨迹的影响
01
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化，从而影响 系统的稳定性和性能。
02
参数变化可能使系统从稳定状态变为不稳定状态，或反之。
03
参数变化可能影响系统的动态响应，如调节时间和超调量。
分析系统动态特性
通过根轨迹分析，可以了 解系统在不同参数下的动 态特性，如超调和调节时 间等。
控制系统性能优化
1 2 3
优化系统性能指标
通过调整系统参数，利用根轨迹分析优化控制系 统的性能指标，如减小超调量、缩短调节时间等。
提高系统抗干扰能力
通过根轨迹分析，可以找到提高系统抗干扰能力 的参数设置，使系统在受到扰动时仍能保持良好 的性能。
分支性
当参数变化超过一定阈值 时，根轨迹可能出现分支， 表示系统出现多解或不稳 定。
PART 03
根轨迹分析法的应用
控制系统稳定性分析
判断系统稳定
通过根轨迹分析，可以判 断线性控制系统的稳定性， 即系统在受到扰动后是否 能恢复稳定状态。
确定系统临界状态
根轨迹分析可以确定系统 临界状态，即系统在某一 特定参数下从稳定状态变 为不稳定状态。
线性系统的根轨迹法
➢根轨迹的基本概念 ➢绘制根轨迹的基本法则 ➢控制系统的根轨迹分析
▪ 对高阶系统而言，采用因式分解求取系统的闭环特征方程根 （即闭环极点）一般是极为困难的。
▪ 在控制系统的设计中，经常需要考察系统某一参数（如开环根 增益）改变时，闭环极点的位置改变情况，以便于根据控制系 统的性能要求，确定这些参数。
是恒包络,而且当码组的变化为0→1,或者 1→0时, 会产生π的最大相位跳变。这种相 位跳变会引起带限滤波后的数字调相信号 包络起伏,甚至出现“0”包络现象,如图9 －1所示。为了消除 π的相位跳变,在 QPSK 的基础上提出 OQPSK。
▪ 图9－1 QPSK 信号限带滤波前、后的波形
每个码元的前一比特为同相分量I(t),后一 比特 为正交分量Q(t),然后利用同相分量和 正交分量分别对两个正交的载波进行2PSK 调制, 最后将两路调制结果叠加,得到 QPSK 信号。在当前任意相位,下一时刻的 相位均有四种 可能取值,因而相位跳变量 可能为0,±π/2或π,如图9－ 2(a)所示,当两 个比特同时发生 极性翻转时,将产生π的相 移,经过带通滤波器之后所形成的包络起伏 必然达到最大。
数字高清晰度电视的图像信息速率接 近1GB/s,要在实际信道中传输,除应采用高 效 的信源压缩编码技术、先进的信道编码 技术之外,采用高效的数字调制技术来提高 单位频 带的数据传送速率也是极为重要的。
地提 高数字电视覆盖率,根据数字电视信 道的特点,要进行地面信道、卫星信道、有 线信道的编 码调制后,才能进行传输。由 于数字电视系统中传送的是数字电视信号, 因此必须采用高 速数字调制技术来提高频 谱利用率,从而进一步提高抗干扰能力,以 满足数字高清晰度电 视系统的传输要求。
第4章线性系统的根轨迹法.
C(s)
G1 ( s) C ( s) G( s) R( s) 1 G1 ( s) H ( s)
闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点
闭环零点＝G 1(s)中的零点和H(s)中的极点，很容易求得 闭环极点由特征方程：1+ G1 (s) H(s)＝0 求出，很难求得
第四章 根轨迹法 5
根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法 找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地 实现高阶系统的性能分析和设计。 根轨迹的定义：开环传递函数中某一参数从0→∞变化时，
第四章 根轨迹法 22
当n>m时，起始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞ 的点，要K→∞只有两种情况，一是 s=zl(l=1,2,…,m)，二是s→∞。这时，无穷远处也 称为‘无穷远零点’。 当 n<m 时，终止于 m 个开环零点 m 支根轨迹， 有 n 支来自个开环极点，有 m-n 支来自无穷远处。 必需指出，实际系统极少有 n<m的情况，但是在处 理特殊根轨迹时，常常将系统特征方程变形，变形 后的等价系统可能会出现这种情况。
1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法， 它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统 的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数 连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹， 如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根 据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可 以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
第四章 根轨迹法 23
规则二：根轨迹的分支数和对称性
根轨迹对称于实轴，连续变化，并且有max(n,m) 支。 因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何 变化特征方程始终有max(n,m)个根，即使出现重 根，当K从零到无穷大连续变化时重根不可能始终 为重根，所以根轨迹一定有max(n,m)支。 特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是 共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于 实轴且连续变化。
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实验报告
图2-1
（2）利用MATLAB的rlocfind指令,确定根轨迹的分离点、根轨迹与虚轴的交点。
(要求写出指令,并给出结果。
)
MATLAB程序指令:
G=tf([1 2],[1 8 26 40 25])
sys=feedback(G,1)
rlocus(sys)
rlocfind(sys)
图2-2
由图2-2所示,根轨迹的分离点处为-2、62,根轨迹与虚轴的交点处,w=3、59。
（3）利用MATLAB的rlocfind指令,求出系统临界稳定增益,并用指令验证系统的稳定性。
MATLAB程序指令:
num=[1 2]
den=[1 8 26 40 25]
G=tf(num,den)
k=0:0、05:200
rlocus(G,k)
[k,POLES]=rlocfind(G)
结果:
Select a point in the graphics window
selected_point =
-6、0059 - 0、0559i
k =
72、5627
POLES =
-6、0063
0、0100 + 3、7504i
0、0100 - 3、7504i
-2、0138
图2-3
由程序的运行结果可得,系统的临界稳定增益k= 72、5627
验证系统的稳定性,可取临界稳定增益k= 72并通过时域分析验证,MATLAB指令如下: k=72
t=0:0、05:10
G0=feedback(tf(k*num,den),1)
step(G0,t)
图2-4
由图2-4可见,在k=72时因为极点距虚轴很近,震荡已经很大。
（4）利用SISOTOOL交互界面,获取与记录根轨迹分离点、根轨迹与虚轴的交点处的关键参数,并与前面所得的结果进行校对验证。
(要求写出记录值,并给出说明。
)
MATLAB程序指令:
G=tf([1 2],[1 8 26 40 25])
rltool(G)
图2-5
通过点击图2-5中的小红方块,可得根轨迹的分离点为-2、57,根轨迹与虚轴的交点处w=3、8。
（5）在SISOTOOL界面上,打开闭环的阶跃响应界面,然后用鼠标使闭环极点(小红方块)从开环极点开始沿根轨迹不断移动,在观察三个闭环极点运动趋向的同时,注意观察系统阶跃响应的变化。
根据观察,(A)写出响应中出现衰减振荡分量时的K的取值范围,(B)写出该响应曲线呈现“欠阻尼”振荡型时的K的取值范围。
MATLAB程序指令:
G=tf([1 2],[1 8 26 40 25])
rltool(G)
图2-6
图2-7
（A ）响应中出现衰减振荡分量时的K 的取值范围071.3k <≤
（B ）写出该响应曲线呈现“欠阻尼”振荡型时的K 的取值范围071.3k <≤ （6） 添加零点或极点对系统性能的影响,以二阶系统为例开环传递函数
)
6.0(1
)(2
s s s G +=
添加零点,增加系统阻尼数,超调量减小,在sisotool 界面上做仿真,写出未添加零点时系统的超调量,峰值,调节时间,添加零点后系统的超调量,峰值,调节时间,并写出系统添加零点的数值,并进行理论分析。
(选做) 未添加零点时,MATLAB 程序指令: G=tf([1],[1 0、6 0]) rltool(G)
图2-8
图2-9
观察图2-9可得,超调量%37%σ=,峰值时间 3.35p t s =,调节时间8.56s t s =。
添加零点z=-1时,
图2-10
图2-11
观察图2-11可得,超调量%0.05%σ=,峰值时间 2.99p t s =,调节时间 2.09s t s =。
添加零点,增加系统阻尼数,超调量减小。