安徽省六安市毛坦厂中学2020高三数学下学期假期作业(2.21)理
安徽省六安市毛坦厂中学2020届高三数学下学期假期作业(2.26)理(含答案)
2月26日理科数学抗击“新冠”温馨提示：1.勤洗手，少出门，出门戴口罩，保持家里干净，通风让空气流通。
2.适当运动，保持锻炼，增强身体免疫力。
3.合理安排学习与生活，停课不停学！几何概型1．几何概型如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个特点一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是__等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“试验的基本事件所占的__总面积(总体积、总长度)__”之比来表示．3．在几何概型中，事件A的概率的计算公式__.P(A)＝__构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)4．几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．(×)(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)解析(1)正确．由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确．(2)错误．虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等．(3)正确．由几何概型的定义知，该说法正确．(4)正确．由几何概型的定义知，该说法正确．2．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a ，则这个实数满足17＜a ＜20的概率是(C)A ．13B ．12C ．310D ．710解析∵a ∈(15,25]，∴P (17＜a ＜20)＝20－1725－15＝310.3．有一杯2L 的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为(C)A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1解析因为取水是随机的，而细菌在2L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P ＝0.12＝0.05.4．已知x 是[－4,4]上的一个随机数，则使x 满足x 2＋x －2＜0的概率为(B)A ．12B ．38C ．58D ．0解析x 2＋x －2＜0⇒－2＜x ＜1，则P ＝1－(－2)4－(－4)＝38.5．某路公共汽车每5min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3min 的概率是(A)A ．35B ．45C ．25D ．15解析此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]内的概率．设A ＝{某乘客候车时间不超过3min}．则P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果构成的区域长度＝35.一与长度、角度有关的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 的概率为P ＝l 的长度L 的长度.(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．【例1】(1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是59.(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(B)A ．13B ．12C ．23D ．34解析(1)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59.(2)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.二与面积有关的几何概型与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．【例2】(1)在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x 2－1的概率是(D )A ．29B ．79C ．16D ．56(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(B)A ．14B ．π8C ．12D ．π4解析(1)如图满足y ≥x 2－1的概率为阴影部分面积与正方形面积的比，∵错误![1－(x 2－1)]d x ＝错误!(2－x 2)d x x －13x 1－1＝103，,∴P ＝1034＝1012＝56.,(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8，故选B ．,三与体积有关的几何概型,,对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【例3】(1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为__1－π12__.(2)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V 3的概率是__23__.解析(1)正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.(2)由题意知V S －APC V S －ABC ＞13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，,又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13，故所求的概率为23(即为长度之比)．1．把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为(A)A ．4π－1B ．2πC ．4π－12D ．12解析这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P ＝4π－1，故选A ．2．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，使cos πx 2的值介于0到12之间的概率为(A)A ．13B ．2πC ．12D ．23解析在区间[－1,1]上随机取一个数x ，试验的全部结果构成的区域长度为2.∵－1≤x ≤1，∴－π2≤π2x ≤π2.由0≤cos π2x ≤12，得π3≤π2x ≤π2或－π2≤π2x ≤－π3，∴23≤x ≤1或－1≤x ≤－23.设事件A 为“cos π2x 的值介于0到12之间”，则事件A 发生对应的区域长度为23.∴P (A )＝232＝13.3．在区间[－2,2]上随机取一个数x ，使|x ＋1|－|x －1|≤1成立的概率为__58__.解析在区间[－2,2]上随机取一个数x ，则－2≤x ≤2，而不等式|x ＋1|－|x －1|≤1的解集为x ≤12又因为－2≤x ≤2，故－2≤x ≤12，所以使不等式成立的概率为P ＝12－(－2)2－(－2)＝58.4．如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为__13__.解析根据题意，可以求得阴影部分的面积为S ＝错误!(x －x 2)d x x 32－13x 10＝13，,故该点落在阴影部分的概率为P ＝131＝13.易错点几何概型概念不清,错因分析：对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误．【例1】(1)在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM ＜AC 的概率为________．(2)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．解析(1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB＝AC AB ＝22.(2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°，而∠ACB ＝90°，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝67.590＝34.答案(1)22(2)34【跟踪训练1】(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为__34__.解析直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件为|5k －0|1＋k 2＜3，解之得－34＜k ＜34，,故所求概率为P ＝34－1－(－1)＝34.课时达标．一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为()A ．45B ．35C ．25D ．152．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为()A ．15B ．25C ．35D ．453．在区间[0,2π]上任取一个数x ，则使得2sin x >1的概率为()A ．16B ．14C ．13D ．234．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是()A ．π3B ．πC ．2πD ．3π5．(2018·北京昌平模拟)－2y ＋2≥0，≤4，≥－2表示的平面区域为D .在区域D内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是()A ．413B ．513C ．825D ．9256．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A ．4n m B ．2n mC ．4m nD ．2m n二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为___.8．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为____.9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是____.三、解答题10．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．12．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？2月26日理科数学答案一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(B)A．45B．35C．25D．15解析区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P＝3 5 .2．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为(C)A．15B．25C．35D．45解析方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率为5－2 5－0＝35.3．在区间[0,2π]上任取一个数x，则使得2sin x>1的概率为(C)A．16B．14C．13D．23解析∵2sin x>1，x∈[0,2π]，∴x∴p＝5π6－π62π＝13，故选C．4．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是(D)A．π3B．πC．2πD．3π解析设阴影部分的面积为S 1，圆的面积S ＝π×32＝9π，由几何概型的概率计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝3π.5．(2018·北京昌平模拟)－2y ＋2≥0，≤4，≥－2表示的平面区域为D .在区域D内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是(D)A ．413B ．513C ．825D ．925解析作出平面区域可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.P ＝S △AED S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925，故选D．6．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(C)A ．4n m B ．2n mC ．4m nD ．2m n解析如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C．二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为__12__.解析当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离小于12，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.8．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为__12π__.解析作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是__1725__.解析设随机取出的两个数分别为x ，y ，则0<x <1,0<y <1，依题意有x ＋y <65，由几何概型知，所求概率为P ＝12－12×12＝1725.三、解答题10．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ，则0≤x<24,0≤y<24，且y－x>4或y－x<－4.≤x<24，≤y<24，－x>4或y－x<－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域≤x<24，≤y<24，－x>4或x－y>2.则P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解析(1)由题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是nn＋2＝12，解得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，则取出2个小球的可能情况共有12种结果，令满足“2≤a＋b≤3”为事件A，则事件A共有8种结果，故P(A)＝812＝23；②由①可知(a －b )2≤4，故x 2＋y 2>4，(x ，y )可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型可得概率为P ＝4－14π·224＝1－π4.12．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.所以，在甲商场中奖的概率为P 1＝πR 26πR 2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种．摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15，又P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。
安徽省毛坦厂中学2020届高三数学11月月考试题历届理(含答案)
安徽省毛坦厂中学2020届高三11月月考（历届）数学试题 理一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合x y y A 2log |{==，14}2x ≤≤，{|2}B x =，则A ∩B = ( ) A. [－1,2]B. [0,2]C.[－1,4]D. [0,4]2.命题“0),1,0(2<-∈∀x x x ”的否定是（ ）A.2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B.2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ C.2000(0,1),0x x x ∀∉-<D.2000(0,1),0x x x ∀∈-≥3.设a b c ，，分别是ABC △内角A B C ，，的对边,若()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，则A ∠的大小为( )A ． 30B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 4.设{}n a 为等差数列, 其前n 项和为n S .若81126a a =+，则9S =( ) A. 54B. 40C. 96D. 805.已知)(cos 2)(R x x x x f ∈+=，若0)21()1(≥---t f t f 成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()2,0,3-∞+∞ D ．(]2,0,03⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U6.函数()()02f x sin x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于直线12x π=对称7.已知ABC ∆的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若0332=++GC c GB b GA a ，则sin :sin :sin A B C =（ ）22:1D. 3:28.已知2222123111,,,xS xdx S e dx S x dx ===⎰⎰⎰,则123,,S S S 的大小关系为（ ）A.123S S S <<B.321S S S <<C.132S S S <<D.231S S S <<9.为测量某塔的高度，在一幢与塔相距20 m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔底B 的俯角为45°，那么塔的高度是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33120 m B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+23120 C ．()3120+ m D ．30 m10.如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ（ ）A.3- B ．3 C ．2D ．2-11.设函数()f x 在定义域()0,∞+上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()'f x f x ax +≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(],2e -∞- B.(],1e -∞- C.(],23e -∞- D.(],21e -∞-12.已知201911,0()2log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数,,a b c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(0,1]B.[2,0)-C.(2,0]-D.(0,1)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上） 13.已知向量()2,1a =，向量()1,3b =．若()3a kb a +⊥，则实数k =______．14.已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则n a =________．15.设直线x t =与函数()2f x x =，()lng x x =的图像分别交于点M ，N ，则MN 的最小值为_______．16.满足条件AB=2,AC=2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知{}n a 是一个等差数列，且.5,152-==a a ，（1）求{}n a 的通项n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，已知 30=∠B ，D 是BC 边上的一点，5=AD ，7AC =，3DC =. （1）求ADC ∆的面积； （2）求边AB 的长.19.（本小题满分12分）已知函数()(sin )(cos )f x x x x x =+. （1）求函数)(x f 的最小正周期及对称轴方程； （2）若06()5f x =，0[0,]2x π∈，求0cos 2x 的值．20.（本小题满分12分）已知函数()()221ln f x ax a x x =-+-，()22ln g x a x x=--，其中a R ∈. （1）当0a >时，求()f x 的单调区间；（2）若存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知向量)cos ,cos 3(x x a ωω=,向量(sin ,cos ),0b x x ωωω=->且函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()1()2x g x a =+在[]0,x π∈上恰有两个零点,求实数a 的取值范围．22.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x a x x =-+.（1）若1=a ，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当10a e e <≤+时，若函数()()11g x f x x =+-有两个极值点()1212,x x x x <, 求证：()()ex g x g 412≤-.历届（理科)数学试卷答案13、 -3 14、⎩⎨⎧≥+=2,121,2n n n 15、2ln 2121+ 16、 22三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分） 解: （1）11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得：13,2a d ==-.----------5分()1125n a a n d n ∴=+-=-+.（2）221(1)44(2)2n n n dS na n n n -=+=-+=-- 2n ∴=时，n S 取最大值4.----------10分18.（本小题满分12分）解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得2222225371cos 22532AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯，∵ADC ∠为三角形的内角，120ADC ∴∠=︒，sin ADC ∴∠=，11sin 532224ADC S AD DC ADC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=．----------6分（2）在ABD ∆中，60ADB ∠=︒， 由正弦定理得：sin sin AB ADADB B=∠∴512AB ==----------12分19. （本小题满分12分）()()()sin cos f x x x x x =＝2sin cos 2x x x -+= 22sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭所以，函数()f x 的最小正周期ππ==22T .对称轴方程为)(212Z k k x ∈+-=ππ.----------6分 （2）()00262sin 235f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 023sin 235x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 又00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，024cos 235x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，00224134cos2cos 233525210x x ππ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.---------12分 20.（本小题满分12分）（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x-++--+'=-+==. 当0a >时，令()0f x '=，可得10x a=>或2x =. ①当12a =时，即当12a =时，对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+； ②当102a <<时，即当12a >时， 令()0f x '>，得10x a<<或2x >；令()0f x '<，得12x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③当12a>时，即当102a <<时，令()0f x '>，得02x <<或1x a>；令()0f x '<，得12x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；----------6分（2）由题意()()f x g x ≥，可得ln 0ax x -≥，可得ln x a x ≥，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 构造函数()ln x h x x =，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()min a h x ≥. ()21ln x h x x -'=，令()0h x '=，得21,x e e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 当1x e e≤<时，()0h x '>；当2e x e <≤时，()0h x '<. 所以，函数()y h x =在1x e=或2x e =处取得最小值，1h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q ，()222h e e =，则()1h h e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()min 1h x h e e ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，a e ∴≥-.因此，实数a 的取值范围是[),e -+∞.----------12分 21.（本小题满分12分）解：(1)21()3sin cos cos 2(1cos 2)22f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+1112cos 2sin(2)2262x x x πωωω=--=-- ∵函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π∴22T π=,得T π=即2T ππω==,得1ω=即1()sin(2)62f x x π=--。
高三数学下学期假期作业2.21理 试题
毛坦厂中学2021届高三数学下学期假期作业〔2.21〕理本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
1．(2021·检测)在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( D ) A ．74 B ．121 C ．－74D ．－121解析展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.2．(2021·二模)将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43展开后，常数项是__－160__.解析⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k. 令6－2k ＝0，得k 36(－2)3＝－160.3．(2021·综合测试)⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式的常数项是第7项，那么正整数n 的值是__8__.解析二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(2x 3)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n ·2n －r ·(－1)r ·x 3n －4r， 依题意，有3n －4×6＝0，得n ＝8.4．C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n ＋1)C n n ＝__(n ＋1)·2n__. 解析设S ＝C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n －1)·C n －1n ＋(2n ＋1)C nn ， ∴S ＝(2n ＋1)C n n ＋(2n －1)C n －1n ＋…＋3C 1n ＋C 0n ， ∴2S ＝2(n ＋1)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＝2(n ＋1)·2n， ∴S ＝(n ＋1)·2n .易错点 不能灵敏使用公式及其变形错因分析：选择的公式不适宜，造成解题错误． 【例1】 求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3＋3x －1x 25展开式中常数项．解析x －3＋3x －1x 2＝x 3－3x 2＋3x －1x 2＝(x －1)3x2， ∴原式＝1x10(x －1)15，那么常数项为C 515(－1)5＝－3 003.【例2】 求9192被100除所得的余数．解析(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292，前91项均能被100整数，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【跟踪训练1】 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( C ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.课时达标 第56讲[解密考纲]对二项式定理的考察主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或者参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( A )A ．180B ．90C ．45D ．360解析⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k ＝2k C k 10x 5－52 k ，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180.2．设n 为正整数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，那么n 的一个可能取值为( B )A ．16B ．10C ．4D ．2解析⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x k ＝C k 2n (－1)kx 4n －5k2 ，令4n －5k 2＝0，得k ＝4n5，根据选项知n 可取10.3.⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，那么⎰a 2-x 2d x 的值是( B )A ．3B ．73C ．3或者73D ．3或者－103解析该二项展开式的第二项的系数为C 1636a 5，由C 1636a 5＝－3，解得a ＝－1，因此⎰a2-x 2d x ＝x 33|－1－2＝－13＋83＝73.4．(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，那么a 8＝( D ) A ．－5 B ．5 C ．90D ．180解析∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 810·22·(－1)8＝180，应选D ．5．假设(3y ＋x )5展开式的第三项为10，那么y 关于x 的函数图象的大致形状为( D )解析(3y ＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r 2 y 5-r3 ，那么T 3＝C 25xy ＝10，即xy ＝1，由题意知x ≥0，故D 选项的图象符合．6．在(2x ＋x lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，那么x ＝( C )A ．1B ．110C ．1或者110D ．－1解析二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T 5＝C 48(2x )4·(x lg x )4＝1 120，∴x4(1＋lg x )＝1，两边取对数可知lg 2x ＋lg x ＝0，得lg x ＝0或者lg x ＝－1，故x ＝1或者x ＝110.二、填空题7．(2021·卷)多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，那么a 4＝__16__，a 5＝__4__. 解析由题意知a 4为展开式含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.8．(2021·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，含x 3项的系数是__10__(用数字填写上答案)．解析由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r＝25－r C r 5x 5－r2 ，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.9．假设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中的常数项是80，那么该展开式的二项式系数之和等于__32__. 解析对于T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n 2rx n -r 2 －r 3，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n 为5的倍数，不妨设n ＝5m ，那么有r ＝3m ，那么23m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，那么该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.三、解答题10．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解析(1)依题意知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C rn (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n -2r 3 ， 又第6项为常数项，那么当r ＝5时，n －2r3＝0，即n －103＝0，解得n ＝10.(2)由(1)得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r10x10-2r3 ，令10－2r 3＝2，解得r ＝2，故含x 2的项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.(3)假设T r ＋1为有理项，那么有10－2r3∈Z ，且0≤r ≤10，r ∈Z ，故r ＝2,5,8，那么展开式中的有理项分别为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2＝454x 2， T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2＝45256x －2. 11．(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.12．n2x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求： (1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)假设展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0. ∴n ＝7或者n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或者n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，∴9.4≤k ≤10.4，∵k ∈N ，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2020届安徽省六安市毛坦厂中学高三下学期四月月考数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省六安市毛坦厂中学高三下学期四月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：解不等式得集合A,求函数定义域得集合B，根据交集定义求解集合交集即可.详解：集合，，所以.故选B.点睛：本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题.2．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根基题中定义可得，利用除法运算可得，进而得，从而得解.详解：因为.所以，所以.复数在复平面内对应的点为，故选A.点睛：本题主要考查了复数的乘法和除法运算，属于基础题，难度不大，但是注意题中问题是共轭复数，容易出错.3．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A. 46,45B. 45,46C. 46,47D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A.点睛：本题主要考查众数、中位数求法，属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据.4．若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据圆心到直线的距离小于半径求出的范围，利用几何概型概率公式求解即可.详解：若直线与圆相交，则，解得或，又所求概率，故选C.点睛：解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6．已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中说法正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】分析：①和②可举反例，，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；④由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例或与相交且与不垂直. 详解：①若，则，或；②若，则，则，或；③若，则,正确；④若，则，或或与相交且与不垂直.故选C.点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大. 7．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C8．已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D9．已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.详解：将点坐标代入抛物线方程，得，解得点，据题设分析知，，又为外接球半径），外接圆面积，故选B.点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10．在的二项展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则二项展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，二项展开式的二项式系数和为，，解得，的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为，故选B.11．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，，，又，，，，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D二、填空题13．已知向量与的夹角为60°，，则__________．【答案】614．若，则__________．【答案】15．已知实数满足不等式组则的最大值是__________．【答案】12【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】分析：取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，根据正方体的性质，利用余弦定理可得结果.详解：如图，取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理，得，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题17．已知数列的前项和为，且成等差数列，．（l）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.【答案】(1) (2)【解析】分析：（1）由成等差数列，可得，进而得两式相减可化为，由此得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得结果；（2）据（1）求解知，，进而可得，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.详解：（1）因为成等差数列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为，，，，，，，，，，，所以.点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.18．今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（l）求每个家庭能中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)【解析】分析：(1)直接利用古典概型概率公式求解即可；（2）的所有可能取值是，利用组合知识，由古典概型概率公式可求得，每个随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：(1) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率.（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，，的分布列为的数学期望.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19．如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．（l）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（l）由勾股定理可得，结合是的中点可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零，列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值，进而可得结果.详解：(1)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，所以有点，所以，设平面的一个法向量为，则即，所以令，则设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以，所以.故直线与平面所成角的正切值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.（l）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质，，列出关于、的方程组，求出、，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.详解：（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得.又椭圆经过点，所以.所以.所以椭圆的标准方程为.证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为-2.所以可设直线的方程为.据得.设点，，.所以，.所以，.因为，所以.所以点在直线上.又点，也在直线上，所以三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21．已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；（2）若函数区间上无零点，求实数的取值范围．【答案】(1) 实数的最小值是-1 (2)【解析】分析：(1) 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令是所求区间的子集即可得结果；（2）“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”，讨论三种情况，分别画出函数的图象，结合直线过定点，即可求得实数的取值范围.详解：（1）函数的定义域为，.讨论：当时，，此时函数在上单调递增，满足题设；当时，令，得；令，得，所以此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.又函数在区间上单调递增，所以，解得.综上，实数的最小值是-1.（2）由，得.设，，则“函数区间上无零点”等价于“函数与函数的图象在上没有公共点”.讨论：当时，在上是单调递增函数，函数在上也是单调递增函数.作出函数与函数满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：（ⅰ）如图1，，即，解得；（ⅱ）如图2，对任意恒成立.又当时，，所以，解得.又，得.综上，或；当时，符合题意；当时，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数.作出函数与函数的草图如下：观察图象可知，符合题意.综上，所求实数的取值范围是.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标是．（1）求直线的普通方程，（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由直线的参数方程，利用代入法消去参数，即可得到直线的普通方程为；（2）的极坐标是化为直角坐标，过点作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求点.详解：（1）直线的普通方程为.（2）点的直角坐标是.过点作直线的垂线，垂足为，则点即为所要求的直线上到点距离最小的点. 直线的方程是，即.据解得所以直线上到点距离最小的点的直角坐标是.点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可. 23．已知函数.（l）若，解不等式；（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)原不等式等价于，从而可得或，进而可得结果；（2）函数解析式化为分段函数形式，分三种情况讨论，分别求出其最大值与最小值即可.详解：（1）若，则为.所以，所以或，所以或.故不等式的解集是.（2）当时，讨论：当即时，，；当时，，，；当且时，，，.点睛：分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。
安徽省毛坦厂中学2020届高三数学月月考试题理历2020届
安徽省毛坦厂中学2020届高三数学12月月考试题理（历届）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．已知集合A={}，B={}，则A B=（）A．（） B． C．（2，3） D．（）2．已知m、n、l 是不同直线，是不同平面，则以下命题正确的是（）A．若m、n ，则B．若n n，则C．若m，n，m，，则D ．若，，则3．在等差数列{a n}中，已知则公差d（）A．2 B ．3 C ． 2 D ． 34．已知平面向量a、b满足，（a）（a），则向量a、b的夹角为（）A． B． C． D ．5. 在递增的等比数列{a n}中，已知64，且前n项和S n 42，则n（）A．6 B．5 C．4 D．36．已知函数，则定积分的值为（）A ． B． C． D．7．已知某个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（）A． B．C． D．第7题图8．将函数的图象向右平移个单位长度得到奇函数的图象，则的最小值为（）A． B． C． D．9．已知数列a n，则数列{a n}前30项中的最大项与最小项分别是（）A． B． C． D．10.已知，函数，则“”是“在上单调递减”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件11. 在正三棱锥S中，，D为的中点，SD与底面所成角为，则正三棱锥S外接球的直径为（）A． B． C． D．12. 已知函数f(x)，若函数g(x)有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知数列{a n}的前n项和为，若，则a n_________.14. 已知半径为R的球内接一个圆柱，则圆柱侧面积的最大值是_________.15. 如图，在ABC中，相交于P，若，则_________.16. 给出以下命题:①ABC中，若A B，则sin A sin B；②边长为2的正方形其斜二侧画法的直观图面积为；③若数列{a n}为等比数列，则，……也成等比数列；④对于空间任意一点，存在实数x、y、z，使得则P、A、B、C四点共面.其中所有正确命题的序号是 .三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知函数f(x).⑴求函数f(x)的单调递增区间；⑵在ABC中，内角A、B、C的对边分别是、b、c，若f(B)，b，且、b、c成等差数列，求ABC 的面积.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足().（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，F为AB的中点，PA AB.（1）证明：AE面PFC；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知数列{a n}与{b n}满足：，且{a n}为正项等比数列，=2，.⑴求数列{a n}与{b n}的通项公式；⑵数列{c n}满足c n，求数列{c n}的前n项和.21.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，且AB CD，AB BC，CD.⑴若E，F分别为的中点，求证：EF平面；⑵若BC，求二面角的余弦值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)，且直线y=1+b与函数y=f(x)相切.（1）求实数的值；（2）若函数f(x)有两个零点为，求证：。
安徽省六安市毛坦厂中学2020年高三数学5月考试题理
安徽省六安市毛坦厂中学2020 年高三数学 5 月考试题理考生注意 :1.本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 , 共 150 分 . 考试时间 120 分钟 .2.请将各题答案填在试卷后边的答题卡上.3.本试卷主要考试内容 : 高考所有内容 .第Ⅰ卷一、选择题 : 本大题共 12 小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中 , 只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.已知会合A={ x| 4-x - 2>0}, B={ x| 4x- 3<0},则 A∪ B=A.(-,)B.RC.(-∞,)D.(-∞,-)2.设复数z1=+2i( x∈R,且 x>0),(1+i) z2=x+2+x i,若 |z 1| ≥ |z 2| ,则A.x的最小值为 1B.x的最大值为 1C.x的最小值为 2D.x的最大值为 23.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创建. 据史料推断,算筹最晚出此刻春秋后期战国初年. 算筹记数的方法是: 个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出. 如7738可用算筹表示为.1- 9 这 9 个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示, 则的运算结果可用算筹表示为A.B.C.D.4. (2 x-y ) 4的睁开式的中间项为A.24B.24 2 2C.-8D.- 8 3x y xy5.设x, y知足拘束条件则z=2x-y的取值范围为A.[ - 1,6]B.[ - 1,5]C.[0,6]D.[0,5]6.在△ABC中 , AB=4, BC=5, AC=6, 现有以下四个命题p1:<;p2:△ ABC的面积为;p3:>;p4:△ ABC中最大角的余弦值为. 那么 , 以下命题中为真命题的是A.p ∧ pB.p∧p4 C.p∨p2D. ( p ) ∧(p )1 4 3 12 47.履行如下图的程序框图, 若输出的n=3,则输入的 t 的取值范围为A. [ - 2,0)B. (-∞, -2]C.[-6,-2)D. (-∞, -6]. 若α∈(0, π), 且 sinα+α=则 tan(-)=8 2cos 2,A.-B.C.-D.9.已知F是椭圆C:+ =1的左焦点, P为 C上一点, A(1,), 则|PA|+|PF|的最小值为A.B.C.4D.10.若函数f ( x) =sin(2 x-) 与g( x) =cos( x+ ) 都在区间 ( a, b)(0 <a<b<π) 上单一递减 , 则b-a的最大值为A.B.C.D.11.某几何体的三视图如下图, 则该几何体的表面积为A. 18πB. 18π- 8C. 12π+8D. 16π+812.设函数f ( x) =, 若存在互不相等的 4 个实数x1, x2, x3, x4, 使得====7,则 a 的取值范围为A. (6,18)B. [6,18]C. (6,12)D. [6,12]第Ⅱ卷二、填空题 : 本大题共 4 小题 , 每题 5 分 , 共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在平行四边形ABCD中,若=x +y, 则x-y=▲.14.若双曲线-x 2=m的焦距等于离心率, 则m=▲.15 在如下图的坐标系中 , 暗影部分由曲线y= 与矩形围成.从图中的矩形地区内随机挨次选.取两点 , 则这两点中起码有一点落在暗影部分的概率为▲( 取 ln 2 =0. 7) .16.已知A, B两点都在以PC为直径的球O的表面上 , AB⊥BC, AB=2, BC=4, 若球O的体积为8 π, 则异面直线PB与 AC所成角的余弦值为▲.三、解答题 : 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每个试题考生都必要作答, 第 22、23 题为选考题 , 考生依据要求作答.(一)必考题 : 共 60 分.17 (12 分).已知数列 { a } 知足=2 +1,且 a1=- 1.n(1) 证明: 数列{ 1} 为等比数列 , 并求 { a } 的通项公式 ;n(2)求数列 { a n} 的前n项和S n.18. (12 分 )如图 , 在四周体ABCD中, D在平面 ABC的射影 O为棱 AB的中点, E为棱 BD的中点,过直线 OE作一个平面与平面ACD平行,且与 BC交于点 F,已知 AC=BC= , AO=DO=2.(1)证明 : F为线段BC的中点 ;(2)求平面 ACD与平面 DOF所成锐二面角的余弦值 .19. (12 分 )某大型水果商场每日以10 元/千克的价钱从水果基地购进若干A水果,而后以15元 / 千克的价格销售 , 如有节余 , 则将节余的水果以8 元/千克的价钱退回水果基地, 为了确立进货数目 , 该超市记录了 A水果近来50 天的日需求量( 单位 : 千克 ), 整理得下表 :日需求量140 150 160 170 180 190 200频数 5 10 8 8 7 7 5以 50 天记录的各日需求量的频次取代各日需求量的概率.(1) 若该商场一天购进 A 水果150 千克 , 记商场当日A水果获取的收益为X(单位:元),求 X的散布列及其数学希望;(2)若该商场计划一天购进 A 水果150千克或160千克,请以当日 A 水果获取的收益的希望值为决议依照 , 在 150 千克与 160 千克之中选其一 , 应选哪一个 ?若受市场影响 , 节余的水果以 7元/ 千克的价钱退回水果基地,又该选哪一个?20.(12 分 )已知直线 l 经过抛物线y2=4x 的焦点且与此抛物线交于A( x1, y1),2与抛物线 y=x - 4交于 M, N两点,且 M, N两点在 y 轴的双侧 .B( x2, y2)两点, |AB|< 8,直线l(1)证明 : y1y2为定值 ;(2)求直线 l 的斜率的取值范围;(3) 已知函数f ( ) 4 4 8352 4 在0(1 0 2)处获得最小值, 求线段的中点P到点x = x - x + x - x x=x <x < m MND(2,0) 的距离的最小值 ( 用m表示 ) .21. (12 分 )已知函数 f ( x) =( x-a- 1)e x- ax2+a2x.(1)议论 f ( x)的单一性;(2)若 f ( x)在( - ∞,0)上只有一个极值,且该极值小于 - e a- 1,求 a 的取值范围 .( 二 ) 选考题 : 共 10 分.请考生从22、 23 两题中任选一题作答, 假如多做 , 则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右边方框涂黑,而且在解答过程中写清每问的小题号.22. [ 选修 4- 4: 坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线M的参数方程为( α为参数, r>0) .以直角坐标系的原点为极点 , 以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系, 圆C的极坐标方程为ρ=8sin θ.(1)求圆 C的直角坐标方程(化为标准方程)及曲线 M的一般方程;(2)若圆 C与曲线 M的公共弦长为8,求 r 的值 .23. [ 选修 4- 5: 不等式选讲 ](10分)已知函数 f ( x) =| 3x- 1|-|2x+1|+a.(1) 求不等式 f ( x ) >a 的解集 ;(2) 若恰巧存在 4 个不一样的整数n , 使得 f ( ) 0,求a 的取值范围.n < 高三年级五月份考试卷数学参照答案 ( 理科 )1 C 由 4-x -2 0可得-x> , 即 x<- ,因此(, - ),故∪ ( , ).. > A= -∞ A B=-∞2. B ∵z 2= ==x+1- i, ∴|z 2|=≤, 又 x>0, ∴0<x ≤1, ∴x 的最大值为 1.3. D ∵=36=729, ∴的运算结果可用算筹表示为.4. B (2 x-y ) 4 的睁开式的中间项为 (2 x ) 2( -y ) 2=24x 2y 2.5. A 作出不等式组表示的可行域, 当直线 z=2x-y 经过点 (3,0) 时 , z 取最大值 6; 当直线 z=2x-y 经过点 (0,1) 时 , z 取最小值 - 1 .6 B==> == ;.△ABC 中最大角的余弦值为 cos B== ;△ABC 的面积为×4×5×=.故 p 3∧ p 4 为真命题.7. CS=1, n=0, m=1; S=0, n=1, m=2; S=-2, n=2, m=4; S=-6, n=3, m=8.故 t ∈[- 6, - 2) .8. C ∵ sin α=2(1 - cos α), ∴2 sin cos =4sin 2 , ∵ ∈(0, ), ∴ cos =2sin ,∴tan = ,tan( - ) = =- .9. D 记椭圆 C 的右焦点为 F' , 则 |PF|+|PF'|= 6,因此 |PA|+|PF|=|PA|+ 6-|PF'|≥6-|AF'|=6- =.10B 由于f ( ) sin(2x-) 在(0, ) 上单一递加 , 在( , )上单一递减 , 在( , π) 上单一. x =递加 ,g( x) =cos( x+ )在(0,) 上单一递减 , 在( , π) 上单一递加,因此这两个函数都在(, ) 上单一递减 , 故b-a的最大值为- = .11. D由三视图可知,该几何体由半径为 2 的球的及半个圆柱构成, 它的直观图如下图, 故其表面积为×4π× 22+π×2×2+2×4=16π+8.12. A依题意可得 f ( x) =7x 有4个不一样的实数解.当 x≤1时, f ( x) =| 12x- 4|+ 1=7x,解得 x= 或, 故当x>1 时 , f ( x) =7x有 2 个不一样的实数解.设 g( x) =f ( x) - 7x=x( x- 2)2- 7x+a( x>1), g' ( x) =(3 x+1)( x- 3),当 1<x<3 时, g' ( x) <0; 当x>3 时 , g' ( x) >0.∴g( x) min=g(3) =a-18, 又g(1) =a-6, ∴解得 6<a<18.13. 2 ∵= = - , ∴x=1, y=- 1, x-y= 2.14.-或当m>0时,由-x 2=m,得- =1,则 e==2, 解得m= .当 0时,由2, 得 1, 则 e= 2 , 解得m=- .m< -x =m - = =15 0 . 91 暗影d ln 4, ∴ 点 P 落在暗影部分的概率为 ln 2 0 7,. ∵S = x== = .故所求概率为 1- (1 - 0. 7) 2=0. 91.16.∵AB ⊥ BC , ∴△ ABC 的外心 O'为 AC 的中点 , ∴OO'⊥平面 ABC ,易证 PA ∥ OO', ∴PA ⊥平面 ABC.进而球 O 的半径 R=OA ,又 π R 3=8 π,∴R= , ∵AC= =2 , ∴AO'=, OO'=1, ∴PA=AB=2.设 PB 与 AC 所成角为θ, 则 cos θ=cos ∠ PBA ·cos ∠ BAC= ×= .17. (1) 证明 : 由于=2 +1,因此+1=2(+1),2 分又1 2, 3 分+ =因此数列 {+1} 为等比数列 , 且首项为 2, 公比为 2.4 分因此+1=2n ,5 分 进而n (2 n - 1)2 2 n.6 分a =-(2) 解: 由(1)知 a n =(2 n nn+8 分- 1) 2- 2n=4 - 2 1- (2 n- 1),因此 S n = - - 10 分=- (2 n+2- 4) -n 2= .12 分18. (1) 证明 : ∵平面 EOF ∥平面 ACD ,平面 ACD ∩平面 ABC=AC , 1 分 平面 EOF ∩平面 ABC=OF ,2 分∥ , 3 分∴OF AC∴O 为 AB 的中点 , ∴F 为 BC 的中点 .4 分(2) 解 : ∵AC=BC ,O 为 AB 的中点 , ∴CO ⊥AB.5 分以 O 为坐标原点 , 成立空间直角坐标系 O-xyz , 如下图 , 则 O (0,0,0),C (0,1,0), B (2,0,0),D (0,0,2),∴F (1, ,0), E (1,0,1) . 6 分易求得 =(1, ,0),=(1,0,1),=(0,0,2),设平面 EOF 的法向量为 n =( x , y , z ), 则 n ·=n · =0,111111即 x 1+z 1=x 1+ y 1=0,令 1 =- 2,得 1 (1,- 2, - 1) .8 分y n =设平面的法向量为2 (2, y 2, z 2), 则n 2·2·0, 即22220,DOFn = x=n =x + y = z =令 y 2=- 2, 得 n 2=(1, - 2,0) . 10 分∴cos <n 1, n 2>== = , 11 分又平面 EOF ∥平面 ACD ,∴平面 ACD 与平面 DOF 所成锐二面角的余弦值为 .12 分19 解 :(1) 若 A 水果日需求量为 140 千克 ,.则 X=140×(15 - 10) - (150 - 140) × (10 - 8) =680 元,1 分且 P ( X=680) = =0. 1. 2 分若 A 水果日需求量不小于 150 千克 ,则 150 × (15 - 10) 750 元,且 ( 750)1010 9. 3 分X== P X==-.=.故 X 的散布列为X 680 750P0.10.94 分()680 0 . 1 750 0 . 9 743 元 . 5 分 E X = × + × =(2) 设该商场一天购进 A 水果 160 千克 , 当日的收益为 Y ( 单位 : 元 ), 则 Y 的可能取值为 140× 5- 20×2,150 ×5- 10× 2,160 × 5, 即 660,730,800,6 分Y 的散布列为Y 660 730 800P0. 1 0. 20. 77 分E ( Y ) =660 ×0. 1+730×0. 2+800×0. 7=772 元 . 8 分由于 772>743, 因此该商场应购进 160 千克 . 9 分若节余的水果以 7 元 / 千克的价钱退回水果基地 , 同理可得 , 的散布列分别为X YX 670 750 P 0.1 0.910 分Y 640 720 800P0. 1 0. 20. 711 分由于 670×0. 1+750×0. 9<640×0. 1+720×0. 2+800×0. 7,因此该商场仍是应购进 160 千克 . 12 分20 (1) 证明 : 由题意可得 , 直线 l 的斜率存在 , 故可设l 的方程为 (x- 1)( k ≠0),1 分.y=k联立得244 0, 则1 24 为定值 . 3 分ky - y- k= y y = =-(2) 解 : 由 (1) 知 , y 1+y 2= , x 1+x 2=+2= +2,4 分则12 2 4 8,即 2 1 5 分|AB|=x +x +p= + = + < k > .联立得 2 4 0,x -kx+k- =∵M, N两点在y轴的双侧 , ∴Δ=k2- 4( k- 4) =k2- 4k+16>0, k- 4<0, 即k<4. 6 分由 k2>1及 k<4可得 k<- 1或1<k<4,故直线 l 的斜率的取值范围为( - ∞, - 1)∪(1,4) . 7 分(3)解:设 ( ,y ), ( 3,y3),( 4,y4),则x==, 2 , 8 分P x M x N x k= x∵y=k( x- 1), ∴y=2x( x- 1) =2x2- 2x. 9 分又 k∈(- ∞, - 1)∪(1,4),∴x=∈(-∞,-)∪(,2),故点 P 的轨迹方程为 y=2x2- 2x( x<- 或 <x<2) . 10 分而|PD|= = = ,11分( ) 4 4- 8 3 5 2 4x在x=x0(1 0 2) 处获得最小值 ,∵f x = x x + x - <x < m∴联合 P 的轨迹可知 |PD| min= . 12 分21 解 :(1) f' ( x ) ( )e x 2 ( )(e x -a ), 1 分. = x-a -ax+a = x-a当 a≤0时,e x-a> 0,则 f ( x)在( a, +∞) 上单一递加 , 在( -∞, a) 上单一递减. 2 分当 a>0时,令 f' ( x) =0,得 x1=a, x2=ln a.设 g( a) =a-ln a, g' ( a) = , 当a>1 时, g' ( a) >0; 当 0<a<1 时 , g' ( a) <0.∴g a =g = > ∴a> a.4 分( ) min (1) 1 0, ln令f' ( ) 0, 得x>a 或 ln ; 令f' ( ) 0, 得 ln a<x<a.x > x< a x <∴f( x) 的单一减区间为 (ln a, a), 单一增区间为( -∞,ln a),( a, +∞) . 5 分(2)当 a<0时,由(1)知, f ( x)在( a, +∞)上单一递加,在( - ∞, a)上单一递减 .∴f( x) 在x=a处获得极小值 , ∴f(a) =- e a+ a3<- e a- 1, ∴a<- . 7分当 0<a<1 时,ln a<0, 由 (1) 知, f ( x) 在x=ln a处获得极大值. 8 分设 ( )(lna ) (ln a-a- 1) ln 22ln ln (1 - ln )2,h a =f = a- aa+aa=a aa+a -a -ah' ( ) (1 ln a )(1- ln) lna (1-) 2 1=- ln 2 2 lna-a. a = + a+a +a- a- a+ a∵0<a<1, ∴ln a<0, 进而有 h' ( a ) <0,∴h ( a ) 在 (0,1)上单一递减 , ∴h (a ) >h (1)a∴0 <a<1 不合题意 . 11 分=- 2>- e - 1, 当 ≥1时 ,ln≥0, 由 (1) 知 f ( x ) 在 (- ∞ ,0) 上单一递加 , 此时 f ( x ) 在 (- ∞ ,0) 上无极值 , 不合aa题意 .综上 , a 的取值范围为 ( - ∞, -) .12 分22. 解 :(1)由 ρ=8sin θ, 得 ρ2=8ρsin θ, 1 分因此 x 2+y 2- 8y=0,2 分即 x 2+( y- 4) 2=16, 故曲线 C 的直角坐标方程为 x 2+( y- 4) 2=16.3 分曲线 的一般方程为 ( x- 1) 2 ( 1) 2 2 5 分M+ y-=r .(2) 联立得 2622,7 分x- y= -r由于圆 C 的直径为 8, 且圆 C 与曲线 M 的公共弦长为 8,因此直线 2x- 6y=2-r 2 经过圆 C 的圆心 (0,4), 8 分则 2×0- 6×4=2-r 2, r 2=26, 又 r> 0, 因此 r= . 10 分23 解 :(1) 由 f ( ) , 得 3 12 1 | ,1 分.x >a | x-|>| x+不等式两边同时平方得 , 9 x 2- 6x+1>4x 2+4x+1, 2 分即 5x 2>10x , 解得 x<0 或 x>2.3 分因此不等式 f ( x ) >a 的解集为 ( - ∞,0) ∪(2, +∞) .4 分(2) 设 g ( x ) =| 3x- 1|-| 2x+1|= , 5 分作出 g ( x ) 的图象 , 如下图 ,6 分由于g(0) =g(2) =0, g(3) <g(4) =2<g( - 1) =3, 7 分n,使得 f ( n) <0,又恰巧存在 4 个不一样的整数因此即, 9 分故 a 的取值范围为 [ - 2, - 1) . 10 分。
2020届安徽省毛坦厂中学高三12月月考试题 数学(理)(应届)(PDF版)
2020学年度高三年级12月份月考应届理科数学试卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．i 1i =1i i -+-（ ） A ．11i 22-+ B ．11i 22- C ．31i 22--D ．13i22--内单调递减，则下面结论正确的是（ ）3、已知两个等差数列{}{}n n b a 和的前n 项和分别为n n T S 和，且n n T n S n )237()1+=+（，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ），则这个几何体的体积为（ ）第4题图 第5题图 3 B ．24B 3 C ．316cm D ．5．已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．6πC ．6π-D ．56π-6.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( )A ．B ．C ．D ．7．不等式2334a a x bx -≤++-（其中[]0,1b ∈）对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．](),14,⎡-∞-⋃+∞⎣ B ．[]1,4- C ．[]1,2 D ．](),12,⎡-∞-⋃+∞⎣8．已知函数()()()()24312311x ax x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩在x ∈R 内单调递减，则的取值范围是( ).A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞9．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则113x y+的最小值是（ ）A ．2 B．C ．3 D ．4 10．平面内有三个向量，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，且，若，（λ，μ∈R ）则（ ）A ．λ=4，μ=2B ．C ．D ．11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于第10题图 第11题图 第12题图A ．18πB ．17π C.16π D.15π12.．如图，在Rt △ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．（，2]C ．（，2] D ．（2，4]二、填空题13．已知函数π()sin(π)0,0,2f x x a ωϕωϕ⎛⎫=+≠>≤ ⎪⎝⎭，直线y a =与()f x 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[]a ；②在[2,4]上，当且仅当3x =时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是83； ④()f x 的图象可能过原点． 其中的真命题有__________．（写出所有真命题的序号）14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. 求S n_________15．数列{}n a 中，11a =，以后各项由公式2123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=给出，则35a a +等于_____.16．已知2:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__． 三、解答题17．已知函数2()cos cos 1f x x x x b ωωω=⋅+++． （1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[]0,3ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．18．如图，在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，D AB ⊥A ，且1D CD 12AB =A ==．现以D A 为一边向梯形外作矩形D F A E ，然后沿边D A 将矩形D F A E 翻折，使平面D F A E 与平面CD AB 垂直．（1）求证：C B ⊥平面D B E ； （2）若点D 到平面C BE的距离为3，求三棱锥F D -B E 的体积． 19．．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．20．在直角梯形PBCD 中，,4,2,2====∠=∠PD CD BC C D πA 为PD 的中点，如图．将△PAB沿AB 折到△SAB 的位置，使SB ⊥BC ，点E 在SD 上，且SD SE 31=，如图．（Ⅰ）求证：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角E ﹣AC ﹣D 的正切值．21．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：11n n a a +=+（*n N ∈）.（1）当113a =-时，且10n a -<<，写出2a 、3a ；（2）若数列{}n a （110n ≤≤，*n N ∈）是公差为1-的等差数列，求1a 的取值范围；22已知函数f (x )＝λln x －e -x (λ∈R)．(1)若函数f (x )是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当0<x 1<x 2时，1211112x x e ex x ->---2020学年度高三年级12月份月考应届数学答案13．④ 14．n n S n 82-=15．611616．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．.试题解析：（1）函数()2cos cos 1f x x x x b ωωω=+++ 3sin 262x b πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，......................2分 ∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，∴2662k πππωπ⋅+=+，k Z ∈且[]0,3ω∈，∴1ω=（k Z ∈），.由222262k x k πππππ-≤+≤+解得36k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），.....................4分函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）．.....................5分（2）由（1）知()3sin 262f x x b πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 单调递增；42,623x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 单调递减．.....................7分 又()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭ 712f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭或06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭时，函数()f x 有且只有一个零点，即435sin sin 326b ππ≤--<或3102b ++=， ∴352,22b ⎛⎤⎧⎫∈-⋃- ⎨⎬⎥ ⎩⎭⎝⎦．............................................10分 18.（1）见解析；（2）61． 解析：（1）证明：在矩形D F A E 中，D D E ⊥A 因为面D F A E ⊥面CD AB ，所以D E ⊥面CD AB ，所以D C E ⊥B又在直角梯形CD AB 中，D 1AB =A =，CD 2=，DC 45∠B=，所以C B = 在CD ∆B 中，D C B =B =CD 2=，.........................................4分所以：222D C CD B +B = 所以：C D B ⊥B ，所以：C B ⊥面D B E ...................................................6分（2）由（1）得：面D BE ⊥面C B E ， 作D E ⊥BE 于H ，则D H ⊥面C B E所以：D 3H =.........................................8分 在D ∆B E 中，D D D B ⋅E =BE⋅HD 3E =，解得D 1E = 所以：F D FD 111V V 1326-B E B-E ==⨯⨯=........................................12分19.解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．.........................................6分(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x >0，所以y >2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．........................................12分解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．.........................................12分20.（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【解析】 试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA ⊥AB ①，易证BC ⊥SA ②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA ⊥平面ABCD ；.........................................4分（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO 中求解即可（法二：空间向量法）（1）同法一（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B所以BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO因为，所以EO∥SA因为SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，∴，即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分解法二：（1）同方法一（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）∴平面ACD的法向为.........................................6分设平面EAC的法向量为=（x，y，z），由n ACn AE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以，可取所以=（2，﹣2，1）．.........................................9分所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分21.（1）223a=-，313a=-；（2）19a≤-【解析】(1)因为以1a为首项的数列{}n a满足：11n na a+=+，113a=-，10na-<<，所以21213a a=+=，所以223a=-；由32113a a=+=得313a=-；...........4分(2)因为数列{}n a（110n≤≤，*n N∈）是公差为1-的等差数列，所以111n n na a a+=-=+，所以()()2211n na a-=+，.......................6分所以22n na a-=，所以0na≤，所以n na a=-，.........................................8分故()11na a n-=---，所以()110na a n=+-≤，因为110n≤≤，.........................................10分所以由题意只需：10190a a=+<，故19a≤-..........................................12分22.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝λx＋e－x＝λ＋x e－xx，∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0，∴λ＋x e－xx≤0，即λ＋x e－x≤0，λ≤－x e－x＝－xe x，令φ(x)＝－xe x，则φ′(x)＝x－1 e x，当0<x<1时，φ′(x)<0，当x>1时，φ′(x)>0，则φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－1e，∴λ≤－1e；.........................................4分②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0，∴λ＋x e－xx≥0，即λ＋x e－x≥0，λ≥－x e－x＝－xe x，由①得φ(x)＝－xe x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)<0，∴λ≥0.综上，λ≤－1e或λ≥0..........................................6分(2)证明：由(1)可知，当λ＝－1e时，f(x)＝－1e ln x－e－x在(0，＋∞)上单调递减，∵0<x1<x2，∴f(x1)>f(x2)，即－1e ln x1－e-x1>－1e ln x2－e-x2，∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2.要证e1-x2－e1-x1>1－x2x1.只需证ln x1－ln x2>1－x2x1，即证lnx1x2>1－x2x1，令t＝x1x2，t∈(0,1)，则只需证ln t>1－1t，.........................................10分令h(t)＝ln t＋1t－1，则当0<t<1时，h′(t)＝t－1t2<0，∴h(t)在(0,1)上单调递减，又h(1)＝0，∴h(t)>0，即ln t>1－1t，得证．...................12分。
安徽省毛坦厂中学2020届高三数学11月月考试题(历届)理
－1,4]
D. [0,4]
2.
命题“
x
( 0,1), x2
x
0”的否认是（
）
A.
x0
(0,1), x02
x0
0
B.
x0
(0,1), x02
x0
0
C.
x0
(0,1), x02
x0
0
D.
x0
(0,1), x02
x0
0
3.设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边,若
b c sin
A
C
a c
sinA sinC
3bGB 3cGC 0，
则sin A :sin B :sin C（
）
A.1:1:1
B.
3:1: 2
C.
3:2:1
D.
3: 2
3 : 2
2
2
2
8.已知S1
1
xdx, S2
exdx, S3
x2dx ,,则S1, S2, S3的大小关系为（
）
1
1
A.S1
S2
S3
B.S3
S2
S1
C.
S1
S3
S2
D.
S2
S3S1
5
2
5
2
10
.
20.（本小题满分
12分）
（1）函数y
f
x的定义域为
0,
，
f x
a
2a 1 2
ax2
2a 1 x 2
ax 1 x 2
x
x2
x2
x2
.
当a
0时，令f
x
0，可得
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安徽省六安市毛坦厂中学2020届高三数学下学期假期作业（2.21）理1．(2018·河南商丘检测)在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( D )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.2．(2018·安徽安庆二模)将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43展开后，常数项是__－160__.解析⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k6(x )6－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k.令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.3．(2018·广东广州综合测试)已知⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为__8__.解析二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(2x 3)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n ·2n －r ·(－1)r ·x 3n －4r， 依题意，有3n －4×6＝0，得n ＝8.4．C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n ＋1)C n n ＝__(n ＋1)·2n__. 解析设S ＝C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n －1)·C n －1n ＋(2n ＋1)C nn ， ∴S ＝(2n ＋1)C n n ＋(2n －1)C n －1n ＋…＋3C 1n ＋C 0n ， ∴2S ＝2(n ＋1)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＝2(n ＋1)·2n， ∴S ＝(n ＋1)·2n .易错点 不能灵活使用公式及其变形错因分析：选择的公式不合适，造成解题错误．【例1】 求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3＋3x －1x 25展开式中常数项．解析x －3＋3x －1x 2＝x 3－3x 2＋3x －1x 2＝(x －1)3x2， ∴原式＝1x10(x －1)15，则常数项为C 515(－1)5＝－3 003.【例2】 求9192被100除所得的余数．解析(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292，前91项均能被100整数，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【跟踪训练1】 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( C ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.课时达标 第56讲[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( A )A ．180B ．90C ．45D ．360解析⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k ＝2k C k 10x 5－52 k ，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180.2．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( B )A ．16B ．10C ．4D ．2解析⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x k ＝C k 2n (－1)kx4n －5k2 ，令4n －5k 2＝0，得k ＝4n5，依据选项知n 可取10.3.⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎰a 2-x 2d x 的值为( B )A ．3B ．73C ．3或73D ．3或－103解析该二项展开式的第二项的系数为C 1636a 5，由C 1636a 5＝－3，解得a ＝－1，因此⎰a2-x 2d x ＝x 33|－1－2＝－13＋83＝73.4．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( D ) A ．－5 B ．5 C ．90D ．180解析∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 810·22·(－1)8＝180，故选D ．5．若(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( D )解析(3y ＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r 2 y 5-r3 ，则T 3＝C 25xy ＝10，即xy ＝1，由题意知x ≥0，故D 选项的图象符合．6．在(2x ＋x lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，则x ＝( C )A ．1B ．110C ．1或110D ．－1解析二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T 5＝C 48(2x )4·(xlg x )4＝1 120，∴x4(1＋lgx )＝1，两边取对数可知lg 2x ＋lg x ＝0，得lg x ＝0或lg x ＝－1，故x ＝1或x ＝110.二、填空题7．(2017·浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝__16__，a 5＝__4__.解析由题意知a 4为展开式含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.8．(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，含x 3项的系数是__10__(用数字填写答案)．解析由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r＝25－r C r 5x 5－r2 ，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.9．若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于__32__.解析对于T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n 2rx n -r 2 －r 3，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.三、解答题10．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解析(1)依题意知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n -2r 3 ，又第6项为常数项，则当r ＝5时，n －2r3＝0，即n －103＝0，解得n ＝10.(2)由(1)得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r10x 10-2r3 ，令10－2r 3＝2，解得r ＝2，故含x 2的项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.(3)若T r ＋1为有理项，则有10－2r3∈Z ，且0≤r ≤10，r ∈Z ，故r ＝2,5,8，则展开式中的有理项分别为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2＝454x 2， T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2＝45256x －2. 11．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.12．已知n2x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求： (1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0. ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，∴9.4≤k ≤10.4，∵k ∈N ，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10.。