结构力学 渐进法

1
r11 4i12 3i13 i14
S12 S13 S14 S
1
分配系数:
1 j
S14 14 S
1
S
1
S1 j
S12 12 S
1
S13 13 S
1
r11 z1 R1P 0 R1P M1Fj
近端弯矩:
r11 S1 j
40 kN
10 kN / m
解: EI S BA 4 0.5 EI 8 EI S BC 3 0.5 EI 6 0.5 EI BA 0.5 (0.5 0.5) EI 0.5 EI BC 0.5 (0.5 0.5) EI
A
EI
B
4m
EI
C
4m
6m

第九章
§9-1 渐近法概述
不建立方程组的渐近解法有： (1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 的近似方法。
M F 40
分 配 传 递
0 .5 0 .5 40 45 2 .5 2 .5
0 0
1.25
M
F AB
40kN m
M 38.75
42 .5 42 .5 42 .5
0
M
M
F BA
40kN m
45kN m
练习
38.75
M
F BC
练习答案
1、
AB 1 / 2
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
EI=1 6m
D
iBC iCD

M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
1B F 1A 2
l
A
l
l
结点 杆端
B B1
A A1
1 1A 1B 1C 1/2 3/8 1/8
C C1

MF
分配 传递
0 0 0
源自文库
-1/4 1/4 1/8


0
0
3 64
3 64
M ql 4
M ql 4
F A1 2
3 3 9 3 16 32 64 64
11 32 1 16 1 3 64 64
总等于附加刚臂上的约束力矩 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
作 M图
208
484
553
练习.
用力矩分配作图示连续粱的M图。（计算两轮）
56kN EI 3m 3m 6kN/m 2 EI 8m 6m EI
41.85
42.29 84 48 21.52 10.73
20kN/m A EI=1 6m 92.6 B EI=2 4m
100kN C 4m EI=1 6m D
43.6
A 21.9 56.4 B 133.1
41.3
C
D
M图（kN· m）
51.8 A
6.9 B 68.2 B 56.4 68.2 124.6 43.6 C D
FS图（kN）
求支座反力
练习. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
（4）约束力矩（结点不平衡力矩）M B ：附加刚臂中的附加反力矩， 顺时针为正。
r11 z1 R1P 0
R1P M M M M
F 12 F 14 F 13
F 1j
不平衡力矩:
M1 M
F 1j
r11 4i12 3i13 i14
S12 S13 S14 S
z1
F 12 F 1j
M
M12 M 12 (M )
F M13 M13 13 (M1Fj ) F M14 M14 14 (M1Fj )
S
1
F 1j
1j
S12 12 S
（固端弯矩）+ （分配弯矩） 14 M 远 14
C
远端弯矩:
M21 M C12[12 (M )]
M
(ql 2 )
练习:3.作弯矩图
解: EI 3 S BA 3 EI 10 10 EI S BC 5 0.3 EI BA 0.6 (0.3 0.2) EI 0.2 EI BC 0.4 (0.3 0.2) EI
100
100 kN .m
100 kN .m
F 21 F 1j
S M
1
S
近
M31 M C13[13 (M )]
F 31 F 41 F 1j
M41 M C14[14 (M )]
F 1j
S13 13 S
1
（固端弯矩）+ (传递弯矩）
B
固端弯矩带本身符号
A
MAB
MBA MB
MBC
C
MB MBA MBC
=
A
MABF
40.3
1
2
B
FS1A 10 140 12 10 5 0 F1A 74
y
M
140
0
FA1
46
A
F1 A
69.97 74 50.03 4.03
1
FA1 46
F
Fy 0
F 1 74 69.97 143.97(kN )( )
74
1
69.97
F1
力矩分配法小结：
1
(2)传递系数C： 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。
C
S远端支承 AB=4i
固定 1
M
远
M
近
转动刚度 2i
SAB=3i
1
传递系数
0
SAB= i 铰支
1 定向支座
C=1/2 4i 3i－i i C=－1
1/2 0 －1
SAB=0
C=0
F （3）固端弯矩 ( M AB ) ：荷载引起的单跨梁两端的杆端弯矩, 绕杆端顺时针为正.
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。
3）结点不平衡力矩要变号分配。
4）结点不平衡力矩的计算： 固端弯矩之和 固端弯矩之和 （第一轮第一结点） （第一轮第二、三……结点）
结点不平 衡力矩
加传递弯矩
传递弯矩 （其它轮次各结点）
41.93 M 图 ( kN . m)
练习.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 100kN 20kN/m
i AB
A
EI=1 6m
B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 4.4 -0.7 0.4
EI=2 4m 4m
C 0.667 0.333 100 -66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2 -1.5 -0.7
A B EI=常数 C 50kN D 1m 50kN· m C 1m 50 +50 50kN D
1m
A B
5m
EI=常数
1m
5/6 1/6 25 -20.8 -4.2 -20.8 +20.8
5m
M
A B
M/2
例. q=20kN/m
A
1 B E
D
4
F
1
2m
2
4m
4m
3
1
C
1
BA 0.3 BE 0.3 0.4 BC
A
q 12kN / m
EI
1
EI
2
B
EI
A
q 12kN / m
10 m
10 m
10 m
u M2
1
2
B
A
q 12kN / m
M1u
1

B
MF 0
0.429 0.571 0.571 0.429
150 -100 -28.6 -9.2 -12.2 1.8 -0.8 -1.0 140 -140 40.3 -40.3 140 40.3
BC
B -90 -25.7
-115.7
分配力矩: C M BA 0.571 (60) 34.3
3i 0.429 7i
=
-17.2
-167.2
-34.3
115.7
0
0
M BC 0.429 (60) 25.7
(3) 最后结果。合并前面两个过程
例1.计算图示梁,作弯矩图
MBC = MBCF+ M BC
然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 F 115.7 200kN M 150 kN m 20kN/m AB 8 90 300 F M BA 150 kN m EI EI C B A 20 62 F 90kN m M BC 3m 6m 3m 8 F F 60 kN m M M = M B 200kN 60 BC BA 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150 150 0.429
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
C
41.3 C 133.1 D M图（kN· m）
1 0.667 CB 1 1 2 CD 0.333
A
100 kN .m
EI
B
EI
C
10 m
5m
100
50

M F 100
分 配 传 递
0 .6 0 .4 50 0 30 20
0
20
0
M 100
20
20
20
20
§9-3多结点力矩分配
固定状态: M1FA ql 2 / 8 150 F M12 ql2 / 12 100
MBAF
B
-MB
MBCF
C
MB= MBA+ MBC -MB
+
0 C
M BA
A
M BC
M
C AB
M BA B M BC


M BA BA ( M B )
最后杆端弯矩：
MBA = MBAF+ M BA
C MAB= MABF+ M AB
M BC BC ( M B )
2
2
100 0 -57.1 -42.9 -6.1 3.5 2.6
0 0 0
28.6
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4 6.1 -9.2 -12.2 -6.1 1.8 6.1 1.8 3.5 2.6
分 配 传 递
0
M 0
A
0
… … ...
M
1
B
作剪力图,求反力
M F
A
0
A
q 12kN / m
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
A
q 12kN / m
EI
1
EI
2
B
EI
10 m
10 m
10 m
M ql / 12 100 F M1 M1F M A 12 50 F F M 2 M 21 M2 B 100 放松结点2(结点1固定): S21 4i S 2 B 3i 21 0.571 2 B 0.429
AD 1 / 8
2、 BA 0.8 BC 0.2 3、 4、
3 M Pl 16
BD 0
练习
20 kN / m 40 kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20 kN / m
4m
40 kN .m
A
B
40 kN .m
u MB
C
M 60 40 100kN.m
u B
60
例2.计算图示刚架,作弯矩图
1 q 64
B
2ql
11 32
1
1 16
C
EI C
3 64
解:
S1B 3i S1 A 4i S1C i 4i 1 A 1/ 2 4i 3i i 3i 1B 3/8 4i 3i i i 1C 1/ 8 4i 3i i 所的结果是 M F 近似解吗 ql 2 8 ?