北师大版九年级下册数学：圆的切线的证明
北师大版九年级下数学第3章圆3.7切线长定理(教案)
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级下数学第3章圆中的3.7节，主要内容为切线长定理。具体内容包括：
1.探索并掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
2.应用切线长定理解决实际问题。
3.通过切线长定理的学习，加深对圆的性质的理解，培养学生的逻辑思维能力和空间观念。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解切线长定理的基本概念。切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。这个定理在几何学中有着重要的地位，它不仅帮助我们理解圆的性质，还能解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个圆形花坛，我们要确定从花坛边缘到两个不同位置的最短距离。通过应用切线长定理，我们可以轻松找到这个距离。
4.结合切线长定理，解决与圆相关的综合问题，提高学生的综合运用能力。
二、核心素养目标
1.通过对切线长定理的探究，培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提升数学抽象思维。
2.结合实际问题的解决，发展学生的数学建模素养，使其能够运用数学知识解释和解决现实生活中的问题。
3.在合作探究中，增强学生的团队协作能力和交流表达能力，培养良好的学习习惯和探究精神。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的概念和实际应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明和在不同图形中的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过使用尺规作图，学生将直观地看到切线长定理的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
3.7 切线长定理课件(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
九年级数学下册 第三章 圆 3.7 切线长定理教学课件 (
【基础梳理】 1.切线长定义 过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的_线__段__长__叫做 这点到圆的切线长.
2.切线长定理
切线长定理 文字叙述 过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长_相__等__.
如图,∵AB,AC都是圆O的切线,切点 符号语言 分别是点B、点C.
∴AB=_A_C_
∴由勾股定理得,2OA2=OP2, 即OA2=8,∴OA=2 2 .即半径长为2 2 .
【微点拨】 切线长定理中的一二三 如图,PA,PB与☉O相切,切点分别是A,B,则此 图中包含信息有: 1.一条角平分线:即PO平分∠APB且平分∠AOB. 2.两个等腰三角形:△PAB,△AOB是等腰三角形. 3.三个垂直:即OA⊥PA,OB⊥PB,PO⊥AB.
知识点二 切线长定理的应用 【示范题2】如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O 的直径,CF是☉O的切线,E为切点,F点在AD上,BE是☉O 的弦,求△CDF的面积.
【备选例题】如图,PA,PB是☉O的切线,A, B为切点,AC是☉O的直径,∠P=60°. (1)求∠BAC的度数. (2)当OA=2时,求AB的长.
知识点一 切线长定理 【示范题1】如图,PA切☉O于A,PB切☉O于B,∠APB= 90°,OP=4,求☉O的半径.
【思路点拨】先判断四边形OAPB为正方形,再由勾股定 理求得圆的半径. 【自主解答】∵PA切☉O于B=90°,OA=OB,∴四边形OAPB为正方形, ∴AO=AP,∵OP=4,
【解析】(1)∵PA,PB是☉O的切线, ∴AP=BP. ∵∠P=60°, ∴∠PAB=60°, ∵AC是☉O的直径, ∴∠PAC=90°, ∴∠BAC=90°-60°=30°.
(2)连接OP,则在Rt△AOP中,OA=2,∠APO=30°, ∴OP=4. 由勾股定理得:AP=2 3 . ∵AP=BP,∠APB=60°, ∴△APB是等边三角形, ∴AB=AP=2 3 .
数学北师大版九年级下册《圆的切线的判定和三角形的内切圆》课件公开课(2)
r ●O d ┐ 相
离
两个交点
• 直线和圆相切
d =r
一个交点
• 直线和圆相离
d >r
无交点
刘川中学
2.圆的切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径
由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢?本节课我们 就继续探索切线的判定条件．
刘川中学 切线的判定定理
如图所示，AB是☉O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角 为∠α，当l绕点A旋转时：
作图的依据：
经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
刘川中学
例1.在直角三角形ABC中，AC=3 cm， BC=4 cm，∠C=90°当r为2.4 cm时，以C 为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？ 为什么？
思路导析：如下图所示，欲判定 ⊙C与直线AB的关系，只需求出 圆心C到直线AB的距离CD，然后 与r比较就可以。
的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=
度.
90
刘川中学
5.如图所示，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的 中点，以O为圆心的圆过点C.
(1)求证AB与☉O相切； (2)若∠AOB=120°，AB=4 ，求☉O的面积.
(2)∵OA=OB,∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°， ∵AB=4 ，C是边AB的中点, ∴AC= AB=2 ， ∴OC=AC·tan A=2 × =2.是是什么？ 2. 还有哪些疑惑？
刘川中学
刘川中学
6.《直线和圆的位置关系（2）》
甘肃省靖远县刘川中学 李正平
刘川中学
（1）能利用切线的判定定理判定一条直线是否为圆的切线． （2）会过圆上一点画圆的切线． （3） 典型例题讲解
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
2023九年级数学下册第三章圆6直线和圆的位置关系第2课时切线的判定定理教案(新版)北师大版
(3)情境教学法：创设生活情境，让学生在实际问题中感受切线判定定理的应用，提高学生的几何直观能力。
2.教学手段：
(1)多媒体演示：利用多媒体设备展示动态的几何图形，帮助学生直观理解切线的性质和判定定理。
(2)教学软件辅助：运用数学软件进行几何作图和计算，提高学生对几何问题的解决效率。
2023九年级数学下册第三章圆6直线和圆的位置关系第2课时切线的判定定理教案（新版）北师大版
学校
授课教师
课时
授课班级
授课地点
教具
课程基本信息
1.课程名称：九年级数学下册第三章圆6《直线和圆的位置关系》第2课时-切线的判定定理
2.教学年级和班级：九年级
3.授课时间：第2课时
4.教学时数：45分钟
本节课将围绕北师大版教材，深入探讨直线和圆的位置关系中切线的判定定理。通过讲解与实例分析，使学生掌握切线的定义及判定定理，并能应用于解决实际问题。课程将结合课本中的例题和练习，确保教学内容与教材紧密关联，符合教学实际需求。
同时，回顾上一节课学习的点与圆的位置关系，为新课的学习做好铺垫。
2.讲授新课（20分钟）
（1）切线的定义（5分钟）
通过多媒体展示切线的概念，引导学生观察并总结切线与圆的接触点的特点。讲解切线的定义，强调切线与圆只有一个交点。
（2）切线的判定定理（10分钟）
以几何图形为例，引导学生观察和思考，探讨如何判断一条直线是否为圆的切线。通过讲解和推理，得出切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
学习者分析
1.学生已掌握了圆的基本概念、圆的方程以及点与圆的位置关系等知识。在此基础上，学生对圆的性质和方程有了较为深入的理解，为学习直线和圆的位置关系奠定了基础。
第3章圆 题型解读5 五大性质定理之切线定理-北师大版九年级数学下册
题型全解5 五大性质定理之切线定理【知识梳理】一.切线定理-----“知二推一”：①垂直于切线；②过切点；③过圆心（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心概括：如果圆的一条直线满足以下三个条件的任意两个，一定能推出另一个结论：①垂直于切线；②过切点；③过圆心。
（2）有切线时，常作辅助线是连接圆心和切点，利用垂直关系解题二.切线判定（1）三条判定：①半径+垂直+过切点=切线；②直线与圆只有一个交点；③到圆心的距离等于半径的直线是切线；（2）两种添辅助线方法①若已知直线经过圆上一点：连半径，证垂直；②若不知直线与圆有无交点：作垂直，算距离；三.补充1.切线长定理（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（2）切线长定理：①PA=PB；②△PAB是等腰三角形；③∠APB+∠AOB=180°；④OP垂直平分AB；⑤OP是∠APB、∠AOB的角平分线；⑥△APO≌△BPO；2.弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
证明：如图3，连接CD、OC、OP，因为∠CPO=∠PCO,所以∠COP=180︒-2∠CPO而∠CPO=90︒-∠APC,故∠COP=2∠APC,即∠CDP=∠APC。
（3）典型用法，如图4，①∠APC=∠PBC,②△APC∽△ABP,③PA²=AC·AB（切割线定理）;3.与圆有关的比例线段⊙OCD于⊙O为直径，CD⊥AB⊙O切⊙O割线⊙OPB的两条割线，A【典型例题】1.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD=MC；（2）若⊙O的半径为5，AC=4√5，求MC的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=，∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt △OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即MC=．2.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．（1）求证：AD⊥CD；̂爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程．（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--CE--CB【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得，∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3，BE=3, ==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF ⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．解析：（1）已知切线与切点，连半径。
3.6直线与圆的位置关系第2课时切线的判定作业课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
返回 目录
【点拨】∵点I为△ABC的内切圆的圆心，∴AI平分 ∠BAC，BI平分∠ABC. ∴ ∠ IAB ＝ ∠ IAC ， ∠ IBA ＝ ∠ IBC. ∵ ∠ IAD ＝ ∠IAC＋∠DAC，∠AID＝∠IAB＋∠IBA，∠DAC ＝∠DBC，∴∠IAD＝∠AID.∴ID＝AD＝5.∴BI＝ BD－ID＝7－5＝2.故选B.
182＝32，故C说法错误；当AB＝ 7 时，BC2＋AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，故D说法正确．故选C.
返回 目录
12．【2023·无锡锡山区模拟】如图，在△ABC中，AB＝5， AC＝3，BC＝7，点I为△ABC的内心，将∠BAC平移， 使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ___7_____．
5 ∴AC＝2AE＝ 24 .
5
返回 目录
14．【学科素养·创新意识】【生活问题】2022年卡塔尔世 界杯比赛中，某球员P带球沿直线MN接近球门AB， 他在哪里射门时射门角度最大？
返回 目录
【 操 作 感 知 】 小 米 和 小 勒 在 研 究 球 员 P 对 球 门 AB 的 张 角 ∠APB时，在MN上取一点Q，过A，B，Q三点作圆，发 现直线MN与该圆相交或相切．如果直线MN与该圆相 交，如图①，那么球员P由M向N的运动过程中，∠APB 的大小③________．(填序号) ①逐渐变大；②逐渐变小；
返回 目录
3．【教材P93习题T1变式】如图，△ABC是⊙O的内接 三角形，下列能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A
的条件是( A )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
返回 目录
北师大版九年级数学下册切线长定理课件
∠ACB= 65 °或115 °.
P
O
B
五、当堂达标检测
6.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且
AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
A
D
P
O
C
E
B
二、自主合作，探究新知
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
P
同理可得∠COE= ∠COB.
7.如图，在△ABC 中，∠ABC=50º，∠ACB=75º,点O是△ ABC的内心，
求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC 的内心,
∴∠OBC
∠OCB
= ∠ABC
= ∠ACB
= ×50º=
25º,
= ×75º=37.5º.
在△OBC 中，∠BOC =180º- ∠OBC - ∠OCB
=180º- 25º- 37.5º= 117.5º.
四、课堂小结
切线长
切线长定理
切线长定理
经过圆外一点作圆的切线，这点和切
点之间的线段的长叫作切线长．
过圆外一点画圆的两条切线，它们的
【北师大版】数学九(下).2圆的切线的性质同步练习本(课件版)
求证：OA ⊥ l .
证明：假设 OA 与 l 不垂直，过 O 作 OM ⊥ l，根据垂线段
最短，∴OM ＜ OA，即圆心到直线的距离 小于 半径.
∴直线 l 与☉O 相交 .
这与条件“直线 l 是☉O 的切线”相矛盾.
∴假设不成立.∴OA ⊥ l.
（2）通过上述探究证明，可得到结论：圆的切线
垂直于过切点的半径
切线的性质：①有切线，有垂直； ②常作辅助线：连接圆心与切点.
重难易错
8. 如图，A 是☉O 直径 BD 延长线上的一点，AC 是☉O 的 切线，C 为切点，AD = CD. （1）求证：AC = BC； （2）若☉O 的半径为 1，求△ABC 的面积.
（1）证明：连接 OC，如图.
∵AC 为切线，C 为切点，∴∠ACO = 90°， 即∠DCO + ∠2 = 90°. ∵BD 是直径，∴∠BCD = 90°， 即∠DCO + ∠1 = 90°.∴∠1 = ∠2. ∵AD = CD，OB = OC， ∴∠A = ∠2，∠B = ∠1. ∴∠A = ∠B. ∴AC = BC.
∴CE = 1BC = 3 .
2
2
∴S△ABC
= 1AB·CE = 1 × 3.
4
三级检测
9. 如图，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为 3 cm 和 5 cm，则 AB 的长为______8_________cm.
10. 如图，⊙M 与 x 轴相交于点 A(2，0)，B(8，0)，与 y 轴相切于点 C，则圆心 M 的坐标是____（__5_，__4_）____．
6. （例 2）如图，点 D 在☉O 的直径 AB 的延长线上，CD 切 ☉O 于点 C，AE ⊥ DC 交 DC 延长线于点 E. 求证：AC 平分∠DAE.
北师大版数学九年级下册第三章 3.7 切线长定理
北师大版数学九年级下册第三章 3.7 切线长定理概述在数学中，切线是与曲线相切且只有一个交点的直线。
切线长定理指出了当直线与圆相切时，切线在圆上所切割的弧长与切线外部的剩余弧长之间存在着一种特殊的关系。
在本文中，我们将详细讨论切线长定理在数学中的应用。
切线长定理的表述设在平面直角坐标系中，原点为圆心，半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。
对于圆上的任意一点P(x, y)，若以圆心O为顶点，OP的斜率为k且通过P 点，则切线的方程为y = kx + b，其中b为常数。
则点P处的切线在圆上所切割的弧长等于切点到圆心的距离所对应的圆心角的弧长的一半。
切线长定理的证明首先，我们先证明切线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = r^2相切。
设点P(x, y)为圆上的一点。
由于切线与圆相切，则切线过点P且与圆的切点只有一个交点，也就是说切线与圆只有一个交点。
因此，我们可以通过解方程组来判断切线与圆是否相切。
将切线方程代入圆的方程中，得到(x^2 + (kx + b)^2) - r^2 = 0. 经过化简，得到(k^2 + 1)x^2 + 2bkx + (b^2 - r^2) = 0。
由于切线与圆只有一个交点，所以该方程只有一个解，即判别式D = (2bk)^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - r^2) = 0。
解方程D = 0，得到b = r^2 / (2k)。
代入切线方程y = kx + b，得到切线方程为y = kx + r^2 / (2k)。
同时，由于切线过点P(x, y)，所以点P满足切线方程，即y = kx + r^2 / (2k)。
将此方程代入圆的方程x^2 + y^2 = r2中，得到x2 + (kx + r^2 / (2k))^2 = r2。
经过化简，得到x2 + k^2*x^2 + r22 / (4k^2) + 2k2x r2 / (2k) = r^2。
合并同类项，得到(k^2 + 1)x^2 + r22 / (4k^2) + k2r^2 = r^2。
北师大版九年级下册数学：切线长定理课件
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
OE
P
B
教师寄语： 同学们！ 请铭记：
勤奋是舟，规律是桨，只有刻苦努力，你们 必将顺利抵港。
北师大版九年级数学下册
第三章 圆
3.7 切线长定理
一、情境引入，明晰定义
为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学 采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上， 用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺， 按图中所示的方法得到相关数据，进而可求
得锅盖的半径。若测得PA=5cm，则锅盖的半
径长是多少？
O B
AP
做一做
A
D
圆的外切四边形对边的关系：
两组对边的和相等.
O
C
B
图9
五、触类旁通，提升能力
填空：如图，PA、PB分别与⊙O
相切于点A、B，求：
（1）若PB=12，PO=13，则AO= （ ）
（2）若PO=10，AO=6，则PB= （ ）
（3）若PA=4，AO=3，
则PO=
；PD=； Nhomakorabea已知：如图，Rt△ABC的两条直角边 AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切 圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.
问题2：我们猜测的结果能否作为 定理来用呢？为了让我们得出的命 题成为定理，我们需要怎么做？
已知：PA、PB分别是⊙O的切线，点A、 B分别为切点 求证:PA=PB
切线长定理：从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等.
四、运用新知，解决问题 1、情景问题 为了测量一个圆形锅盖的半
径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水 平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个 刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进
北师大版九年级数学下册第三章圆--第10课 切线的判定 课件
10．如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接 OD ∵D为BC中点，O为AB中点， ∴OD为△ABC的中位线． ∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. ∴DE为⊙O的切线．
第3关 11．在平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，
AB⊥OA ∵A_B_是__⊙__O_的__切__线，
⊙O的半径
∴__A_B_⊥__O_A___. ∴___________. ，AB是⊙O的切线
∴___________.
有切线，圆心连 切点，得垂直
证切线，圆心连 准切点，证垂直
作垂直，证半径
1.(例1)如图，OA是⊙O的半径，∠B＝20°，∠AOB＝70°.求 证：AB是⊙O的切线.
求证：AB是⊙O的切线．
证明：∵OA＝OB，AC＝CB， ∴OC⊥AB，(等腰三角形三线合一) ∴AB是⊙O的切线．
8．如图，OA为⊙O的半径，OA＝1，OB＝2，AB＝ 3 . 求证：AB是⊙O的切线．
证明：∵OA2＋AB2＝12＋( 3 )2＝4 OB2＝22＝4
∴OA2＋AB2＝OB2 ∴∠A＝90° ∴AB为⊙O的切线
第2关 9.如图，AC是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D的直线BD与
AC的延长线交于点B，AE⊥BD，垂足为点E，AD平分∠BAE. 求证：BD是⊙O的切线． 证明：连接 OD ∵OD＝OA ，∴∠OAD＝∠ODA ∵AD平分∠BAE ，∴∠OAD＝∠EAD ∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE ∵AE⊥BD，∴OD⊥BD ∴BD为⊙O的切线
5.(例3)如图，OA是∠CAD的平分线，AC与⊙O相切于B.求证：
AD与⊙O相切. 证明：过点O作OE⊥AD，垂足为E，连接OB
北师大版九年级数学下册第三章《 3-7 切线长定理》优课件(共20张PPT)
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的 工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？
若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆 半径的近似值。
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
学科网
A
A
O
B
C
B
I C
D
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
学科网
A
O
·
P
B
① PA=PB
连结OA、OB、
② PO平分∠APB ∵PA、PB与⊙O相切，点
A、B是切点
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A O
·
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵OA=OB，OP=OP
1 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP 2 P ∴PA=PB
∠1 =∠2
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切 线，
B
┐ E
C
【例题】
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于
点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，
+3.7切线长定理++课件+-2023-2024学年北师大版数学九年级下册
解：（1）由切线长定理知,PA=PB,EA=ED,FD=FB,
∴PE+ED=PE+EA=PA=15,
PF+FD=PF+FB=PB=15,
∴C△PEF=PE+EF+PF
=PF+ED+PF+FD=30cm (2)∵∠P=50,∴∠PEF+∠PFE=180°-50°=130°,
PD
O
∴∠AEF+∠BFE=180°×2-130°=230°
注意：过圆外任意一点都可以引圆的两条切线；过圆上一点只能引圆的一条切线。
【解决问题】
如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，
B，D．若PA＝15 cm，
（1）PB= cm.
（2）若∠AEF＝120°，则∠FEO= .
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
(2)∵EA，EP是☉O的切线，
∴∠AEO＝∠FEO. ∴∠FEO＝60°.
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O
于点A，B，D．若PA＝15 cm，
（3）△PEF的周长是
cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF= .
A E
PD
O
FB
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O 于点A，B，D．若PA＝15 cm， （3）△PEF的周长是 30 cm. （4）若∠P＝50°，则∠EOF= 65° .
边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
A
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
D
·O
C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
D 13 2 AE O
B
∴ ∠ACB = 90°，∴ ∠2 + ∠ACO = 90°，
又∵ CD是⊙O的切线，∴ OC⊥DC，
∴ ∠1 + ∠ACO = ∠DCO = 90°，∴ ∠1 = ∠2，
又∵ OC = OB，∴ ∠2 = ∠B，∴ ∠1 = ∠B，
类型一 ：直线与圆有交点，连半径，证垂直. 1. 图中有90°角时：证垂直的方法及常见图形如下： （1）利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；
4
（2）利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的 直线，则证明半径与这条直线平行即可；
（3）利用三角形全等或相似：通过证明切线所在三角形 与含90°角的三角形全等或相似得证.
9
二、例题讲解
2. 如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上的一点，CD切⊙O
于点C，AD⊥CD于D，以C为圆心CD为半径作圆C，
求证：AB是⊙C的切线.
证明：又∵ ∠3 + ∠CAE = 90°， ∠B + ∠CAE = 90°，
C
D 13 2 AE O
B
∴∠3 = ∠B，∴∠1 = ∠3，
又AC = AC， ∠CDA = ∠CEA = 90°，
14
三、巩固练习
3. 如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于E，过
E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线
于点C，求证： CD是⊙O的切线.
证明：连接OE，
A
∵ AE平分∠BAF，
O 12
∴ ∠1 = ∠2，
3
又∵ OA = OE，
B
F
∴ ∠1 = ∠3， ∴ ∠2 = ∠3， C
D
A
O
C
E
∴ ∠D = ∠CAE，
∴ ∠CAE + ∠DAC = ∠D + ∠DAC = 90°，
即∠DAE = 90°， ∴ OA⊥AE，
∴ AE是⊙O的切线.
8
二、例题讲解
2. 如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上的一点，CD切⊙O
于点C，AD⊥CD于D，以C为圆心CD为半径作圆C，
求证：AB是⊙C的切线. 证明：作CE⊥AB于E，
ED
∴ OE∥AD，
又∵ ED⊥AD，∴ OE⊥ED，
∴ CD是⊙O的切线.
15
同学们，再见！
∴ △ACD≌△ACE，
∴ CE = CD，
∴ AB是⊙C的切线.
10
三、巩固练习
1. 如图，已知∠AOB = 30°，M是OA边上任意一点，以M为
圆心，2 cm为半径作⊙M，当OM = __4__ cm时，⊙M与OB
相切.
A
分析：作MC⊥OB于C，
M
当MC = 2 cm时，⊙M与OB相切， O ）30°
C
E
3（
F
A
）2 1（ O
B
又∵ ∠1 = ∠3， ∴ ∠3 + ∠2 = 90°，
又∵ ∠3 = ∠D，∴ ∠D + ∠2 = 90°，
∴ ∠OBD = 180°- 90° = 90°， ∴ OB⊥BD，
∴ 直线BD是⊙O的切线.
12
三、巩固练习
2. 如图AB是⊙O的直径，OD⊥BC与弦BC于点F，交⊙O于E，
∴ △OBF∽△ODB，
13
三、巩固练习
2. 如图AB是⊙O的直径，OD⊥BC与弦BC于点F，交⊙O于E，
∠AEC = ∠ODB，
（2）当AB = 10，BC = 8时，求BD的长.
解：∴
OF OB
BF DB
，
∴3 4 ，
5 DB
A
∴ 3DB = 20，
D
C
E
3（
F
）2 1（ O
B
∴ DB = 20 . 3
5
2. 图中无90°角时：利用等腰三角形性质，通过证明切线为所 在等腰三角形的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质 得证.
6
类型二 ：直线与圆无交点，作垂直，证半径.
7
二、例题讲解
1. 如图△ABC内接于⊙O，AB是弦，∠CAE = ∠B，
求证：AE是⊙O的切线.
B
证明：作直径AD，连接CD， ∴ ∠ACD = 90°， ∴ ∠D + ∠DAC = 90°， ∵ ∠B = ∠D， ∠CAE = ∠B，
2
经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线.
o
CA
D
(1) 当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共 点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的 长等于半径,也就是“作垂直,证半径 ”。
(2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时, 常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条 直线，也就是“ 连半径,证垂直 ”。
∠AEC = ∠ODB，
（2）当AB = 10，BC = 8时，求BD的长.
解：AO = BO = 1 AB = 1 ×10 = 5，
2
2
∵ CF⊥BC，
∴ BF = FC = 1 BC = 1 ×8 = 4， A
2
2
∴ OF OB2 BF 2 52 42 3
D
C
E
3（
F
）2 1（ O
B
∵ ∠2 = ∠2，∠OFB = ∠OBD = 90°，
中考数学专题 复习
圆的切线的证明
一、本课主要知识点 1. 定义：与圆只有一个__公__共__点__的直线叫做圆的切线，这个 公共点叫做切点. 2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过_切__点___的半径. 3. 切线的判定定理：经过半径的外端并且_垂__直___于这条半径 的直线是圆的切线. 4. 证明一条直线是圆的切线方法： 主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于_半__径___，二 是利用切线的_判__定__定__理___，即常作的辅助线是：已知切点， _连__半__径___证_垂__直___或未知切点，作_垂__直___证_半__径___.
C
B
∵ ∠O = 30°，
∴ OM = 2MC = 2×2 = 4(cm)
11
三、巩固练习
2. 如图AB是⊙O的直径，OD⊥BC与弦BC于点F，交⊙O于E，
∠AEC = ∠ODB，
D
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
解：直线BD是⊙O的切线. 理由：∵ OF⊥BC， ∴ ∠OFB = 90°， ∴ ∠1 + ∠2 = 90°，