第2章-1-微分方程
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d 2 uo (t ) d u (t ) LC RC o uo (t ) ui (t ) dt dt 2
自 动 控 制 原 理
2.1.2 电路系统
2． 一有源电路如图所示，试求其输出电压与输入电压之间的关系。
i2 i3 i1 R1
C
R2
i1 R1 e i2 R2
ei
e K e
可以作用于激磁磁场，也
可以作用于电枢两端。
Ra
La
kf if
M k1 ia (t ) k1kf if (t )ia (t )
Rf Lf
ia
i f (t )
,
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
ua La
ia
Ra
电枢控制式直流 电动机 ：
Ce (t ) ua (t )
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
La Ra
磁场控制式直流 电动机微分方程为
Rf uf Lf
ia
i f (t )
,
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt dM c (t ) Lf R f M c (t ) dt
自 动 控 制 原 理
2.1 控制系统的微分方程
2.1.1 机械系统 2.1.2 电路系统 2.1.3 机电系统
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
1． 质量、弹簧、阻尼器系统 。假设壁摩擦为粘性摩擦，试建 立系统的微分方程。
by
ky
墙摩擦b
k
质量M
y
M
y
r (t )
r (t )
力
dy d2 y r (t ) b k y M 2 dt dt
Tm
dm (t ) m (t ) Km ua Kc Mc dt
1 m K
ut K t
速度控制系统的微分方程为
dui d Tm Kg K g ui K c M c dt dt
d2 y dy M 2 b k y r (t ) dt dt
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
2． 设有一倒立摆安装在带有电动机的驱动车上，控制力作用于 小车上，假设摆杆的重心位于其几何中心，试求这个系统的 微分方程。
y
y
x
x
cos
mg
o u
x
o u
V
mg
H
Ea
if
,
负载
La Ra
转动惯量 J 摩擦系数 f
磁场控制式直流 电动机 ：
Rf uf Lf
ia
i f (t )
,
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
ua La
ia
Ra
电枢控制式直流 电动机微分方程 为
出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数
学模型。
• 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶
跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时 间响应、频率响应），估算系统的传递函数。
机理分析法建立系统数学模型的步骤
•确定系统的输入量、输出量；
•根据物理定律列写原始方程；
•消去中间变量，写出表示系统输入、 输出关系的线性常微分方程。
if
I
R1 u1
Ⅱ
C
u2
功 率源自文库放 大
ua
直 流 电 动 机
m
负 载
ut
测 速 发 电 机
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
各部分的微分方程为
u1 K1 (ui ut ) K1ue
ua K3u2
du1 u2 K 2 u1 dt
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
2．试列写下图所示的速度控制系统以转速为输出量，给定电压为 输入量的微分方程。
R1 ui R1 R2 R3
V
H
M
x
P M
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化 各部分的微分方程：
I V sin H cos
d2 m 2 ( x sin ) H dt
线性化的方程：
I V H
自 动 控 制 原 理
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 方块图
2.4 控制系统的信号流图
数学模型：系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以
对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简 化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是
2.1.2 电路系统
1．由电阻、电感和电容组成的无源网络如图所示，试列写以为输
入量，为输出量的网络微分方程。
di(t ) 1 L i(t )dt Ri(t ) ui (t ) dt C
uo (t ) 1 i(t)dt C
L
R
C
uo (t )
ui (t )
i (t )
消去中间变量 i (t ) ，可得该无源网络的微分方程为
系统的微分方程：
( M m) m u x
( I m2 ) m mg x
m( ) H x
d2 m 2 ( cos ) V mg dt
d2 x M 2 uH dt
V mg 0
自 动 控 制 原 理
Ea
if
,
负载
La J
d (t ) d (t ) La f Ra J Ra f C m C e (t ) 2 dt dt
2
转动惯量 J 摩擦系数 f
dM c (t ) C m u a (t ) La Ra M c (t ) dt
Tm
d (t ) (t ) K1u a (t ) K 2 M c (t ) dt
K
eo
eo
ei
e
i1 i2 i3
i1 ui u R1
u u 0
d(u uo ) i2 C dt
i3
u uo R2
有源网络的微分方程为
C
duo uo ui dt R2 R1
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
电枢
1．直流电动机，控制电压
有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出
合理的物理模型。
数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、
输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。
建立物理系统数学模型的方法
• 机理分析法 对系统各部分的运动机理进行
分析，按 照它们遵循的物理规律、化学规律列
自 动 控 制 原 理
2.1.2 电路系统
2． 一有源电路如图所示，试求其输出电压与输入电压之间的关系。
i2 i3 i1 R1
C
R2
i1 R1 e i2 R2
ei
e K e
可以作用于激磁磁场，也
可以作用于电枢两端。
Ra
La
kf if
M k1 ia (t ) k1kf if (t )ia (t )
Rf Lf
ia
i f (t )
,
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
ua La
ia
Ra
电枢控制式直流 电动机 ：
Ce (t ) ua (t )
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
La Ra
磁场控制式直流 电动机微分方程为
Rf uf Lf
ia
i f (t )
,
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt dM c (t ) Lf R f M c (t ) dt
自 动 控 制 原 理
2.1 控制系统的微分方程
2.1.1 机械系统 2.1.2 电路系统 2.1.3 机电系统
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
1． 质量、弹簧、阻尼器系统 。假设壁摩擦为粘性摩擦，试建 立系统的微分方程。
by
ky
墙摩擦b
k
质量M
y
M
y
r (t )
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力
dy d2 y r (t ) b k y M 2 dt dt
Tm
dm (t ) m (t ) Km ua Kc Mc dt
1 m K
ut K t
速度控制系统的微分方程为
dui d Tm Kg K g ui K c M c dt dt
d2 y dy M 2 b k y r (t ) dt dt
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
2． 设有一倒立摆安装在带有电动机的驱动车上，控制力作用于 小车上，假设摆杆的重心位于其几何中心，试求这个系统的 微分方程。
y
y
x
x
cos
mg
o u
x
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V
mg
H
Ea
if
,
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转动惯量 J 摩擦系数 f
磁场控制式直流 电动机 ：
Rf uf Lf
ia
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,
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
ua La
ia
Ra
电枢控制式直流 电动机微分方程 为
出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数
学模型。
• 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶
跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时 间响应、频率响应），估算系统的传递函数。
机理分析法建立系统数学模型的步骤
•确定系统的输入量、输出量；
•根据物理定律列写原始方程；
•消去中间变量，写出表示系统输入、 输出关系的线性常微分方程。
if
I
R1 u1
Ⅱ
C
u2
功 率源自文库放 大
ua
直 流 电 动 机
m
负 载
ut
测 速 发 电 机
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
各部分的微分方程为
u1 K1 (ui ut ) K1ue
ua K3u2
du1 u2 K 2 u1 dt
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
2．试列写下图所示的速度控制系统以转速为输出量，给定电压为 输入量的微分方程。
R1 ui R1 R2 R3
V
H
M
x
P M
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化 各部分的微分方程：
I V sin H cos
d2 m 2 ( x sin ) H dt
线性化的方程：
I V H
自 动 控 制 原 理
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 方块图
2.4 控制系统的信号流图
数学模型：系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以
对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简 化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是
2.1.2 电路系统
1．由电阻、电感和电容组成的无源网络如图所示，试列写以为输
入量，为输出量的网络微分方程。
di(t ) 1 L i(t )dt Ri(t ) ui (t ) dt C
uo (t ) 1 i(t)dt C
L
R
C
uo (t )
ui (t )
i (t )
消去中间变量 i (t ) ，可得该无源网络的微分方程为
系统的微分方程：
( M m) m u x
( I m2 ) m mg x
m( ) H x
d2 m 2 ( cos ) V mg dt
d2 x M 2 uH dt
V mg 0
自 动 控 制 原 理
Ea
if
,
负载
La J
d (t ) d (t ) La f Ra J Ra f C m C e (t ) 2 dt dt
2
转动惯量 J 摩擦系数 f
dM c (t ) C m u a (t ) La Ra M c (t ) dt
Tm
d (t ) (t ) K1u a (t ) K 2 M c (t ) dt
K
eo
eo
ei
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i1 i2 i3
i1 ui u R1
u u 0
d(u uo ) i2 C dt
i3
u uo R2
有源网络的微分方程为
C
duo uo ui dt R2 R1
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
电枢
1．直流电动机，控制电压
有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出
合理的物理模型。
数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、
输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。
建立物理系统数学模型的方法
• 机理分析法 对系统各部分的运动机理进行
分析，按 照它们遵循的物理规律、化学规律列