第2章(1) 系统微分方程

1 y f ( x) f ( x0 ) f ( x) x x x f ( x) x x x 2 0 0 2
1 (n) f ( x) x n x x0 n!
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由于是小偏差，增量很小，故可省略二次及二次以上的幂， 可得
y f ( x) f ( x0 ) f ( x) x x x
+ b(t) cp +k
1 y(t) mp2
构成内反馈，是对外推力的反作用。
输出=算符×输入
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6
例 2.2 L,R,C电路
输入：ui (t )
i(t ) u i (t ) L R1 C
i(t ) i1 (t ) i1 (t ) u o (t ) R2
输出： uo (t ) 。
原始方程
(t ) R1i (t ) u o (t ) u i (t ) Li
0
增量表达式为
y f ( x) f ( x0 ) f ( x) x x x K x
0
小偏差线性化的几何意义：在平衡点及其邻域内用切线 代替曲线，其中K是非线性函数在x0处的斜率。 所谓增量指的不是各个变量的绝对数量，而是它们偏 离平衡点的量，若初始条件为零，可得
y Kx
AKq A2 (c ) y my x Kc Kc
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非线性微分方程在一定条件下可进行线性化处理。 线性化的条件： （1）非线性函数是连续函数； （2）系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的 变化范围很小。 线性化的方法： （1）确定预定工作点； （2）在预定工作点附近将非线性方程展开成泰勒级数； （3）忽略二阶及二阶以上的高次项； （4）表示成增量方程的形式。
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选工作点 q( x0 , p0 ) 0 ， x0 0 ， p 0 0 ，
q K q x K c p （线性）
q Ay
1 1 p ( K q x q) ( K q x Ay) Kc Kc
代入系统动力学方程
cy pA my
令L / R Ta，RJ /(kd km ) Tm，1/ kd Cd，Tm / J Cm
TaTm(t ) Tm(t ) (t ) Cd ua (t ) CmTa M L (t ) Cm M L (t )
三．微分方程的增量化表示
若电动机处于平衡状态，变量的各阶导数均为0，则有
讨论： （1）增量方程与实际坐标方程形式相同； （2）当平衡点为坐标原点时，两者等价。
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（增量方程）
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四．非线性微分方程的线性化
1、几种典型的非线性特性
a)运动阻尼
b)弹性变形 y
c
o
c)饱和
k
c x
f)继电特性
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d)间隙
e)死区
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2、小偏差线性化（微偏法）
原理：将非线性函数在平衡点附近按泰勒级数展开， 取其线性部分。 泰勒级数：设有一单调连续非线性函数y=f(x)，在 平衡点(x0,y0)及其邻域内，它的各阶导数存在并 惟一，则可将该函数在此平衡点展开如下
(i ) a x ( t ) b x i i (t ) j 0 ( j) j o i 0 n m
线性定常系统：各系数都是常数；
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2
叠加原理： xi 1( t )
xi 2( t )
系统
系统
xo 1( t )
xo 2( t )
a1xi 1( t )
系统
a1xo 1( t ) + a2 xo 2( t )
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例：阀控油缸伺服系统：
高压油
原理：
问题：求 y f ( x)
油池
x y
p1 q q A
油池 阀芯 油缸 负载 m F
物理量：
cy pA （不显含x） my （2）液压缸工作腔流体连续性方程：
（1）系统动力学方程：
p2
c
q Ay
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（3）负载流量q与阀芯位移x,压差p的关系： q q( x, p) （非线性函数）
(mp cp k ) y (t ) f (t )
2
y (t )
f (t )
f (t )
f (t)
1 mp 2 cp k
y(t )
y (t )
f (t ) (cp k ) y (t ) mp
2
阻尼力和弹簧恢复力 b(t ) (cp k ) y(t )
力矩平衡方程: 电磁转矩:
M (t ) J(t ) M L (t )
8ຫໍສະໝຸດ Baidu
M (t ) kmia (t )
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消去中间变量M(t)、ia(t)、e(t)
LJ RJ 1 L R (t ) (t ) (t ) ua (t ) M L (t ) M L (t ) kd km kd km kd kd km kd km
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小结 1.建立系统微分方程的一般步骤； 2.线性化方法.
作业：P75 2.2 2.3 2.4 2.6
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非线性系统： xo (t ) 3xo (t ) 7xo (t ) 4xi (t ) 5xi (t )
2
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3
二．微分方程的建立
建立系统微分方程的一般步骤 （1）确定系统及各元件(环节)的输入和输出; （2）列写各环节输入输出的动力学方程(子方程)； （3）消去中间变量； （4）整理得到标准形式。 典型元件所遵循的物理规律
u o (t ) [i (t ) i1 (t )]R 2
整理得
1 u o (t ) i1 (t )dt C
o (t ) ( L R1R2C)u o (t ) ( R1 R2 )uo (t ) R2ui (t ) LR2Cu
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例 2.3 电枢控制式直流电动机
(4)将 q q( x, p) 线性化
泰勒级数 设平衡位置(状态)为x0，p0。
q( x, p)
q( x, p) q( x, p) q( x0 , p0 ) ( x x0 ) ( p p0 ) x x x p p0 p x x0
0
p p0
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将输出变量写在等号左边，输入变量项写在等号 右边，阶次从高到低排列，得标准微分方程
m y (t ) cy (t ) ky(t ) f (t ).
d2y dy m 2 c ky(t ) f (t ) dt dt
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令
d p dt
1 mp cp k
2
a2 xi 2( t )
线性定常系统：xo (t ) 3xo (t ) 7 xo (t ) 4xi (t ) 5xi (t )
2 x ( t ) 3 x ( t ) 7 x ( t ) 4 t xi (t ) 5xi (t ) 线性时变系统： o o o
机械系统 电气系统
F ma
f kx f cv cx
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1 uC idt C
di uL L dt
u Ri
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例 2.1 机械移动系统
y (t ) 动力 滑台 工作台 铣刀 工件 f (t )
k c
y(t) m f (t)
ky m cy
y f
f (t ) ky(t ) cy y (t ) m (t ).
Cd ua Cm M L
（静态模型）
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设平衡点是(ua0、ML0、ω0)，则
0 Cd ua 0 Cm M L 0
当偏离平衡点时，
ua ua0 ua
则
M L M L 0 M L
0
（ TaT（ （0 ） m 0 ） T m 0 ） Cd (ua 0 ua ) CmTa (M L 0 M L ) Cm (M L 0 M L ) 即 TaTm Tm Cd ua CmTa M L Cm M L
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q( x, p) q( x, p) q = q( x, p) - q( x0 , p0 ) x p x
q( x, p) Kq x0 x x p p
Kc
x x0 p p0
p
x x0 p p0
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1
§2.1系统的微分方程
一. 线性系统微分方程的规范化形式
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )

bm xi( m) (t ) bm1xi( m1) (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
第 2 章 系统的数学模型
模型种类：形象模型、物理模型、数学模型。
数学模型：描述系统输入、输出及内部各变量之间关系的数 学表达式。 微分方程 —— 时域 本课程所涉及的数学模型包括 传递函数 —— 复域 频率特性 —— 频域
数学建模的一般方法： 1、分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数 学表达式，从而建立数学模型。 2、实验法：根据实验数据进行整理，拟合出比较接近实际 系统的数学模型。
0
∶流量增益 ∶流量-压力系数
q( x, p) p x x0
↓， Kc 右端置负号的原因 p↑，表明负载增 大，→ y
↓ 导致 q Ay
q( x, p) 0 p x x0
p p0
p p0
线性化函数：q K q x K c p 负载流量的微增量与阀芯位移微增量及 压力微增量成线性关系。
R i1 (t ) i a (t ) u a (t ) L F Lf Rf i f uf
输入:电枢电压 u a (t ) ;
ML Mq
输出:电机转速ω(t)
dia (t ) Ri a (t ) e(t ) 电压平衡方程: ua (t ) L dt 反电动势: e(t ) kd (t )