高考数学圆锥曲线试题

高考数学圆锥曲线试题

重庆文

（12）已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为

（A ）23

（B ）62

（C ）72

（D ）24

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题（21）图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

题（21）图 （Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；

（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。

（21）（本小题12分）

（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p 因此焦点)0,2

(p

F 的坐标为（2，0）.

又准线方程的一般式为2

p x -

=。 从而所求准线l 的方程为2-=x 。

答（21）图

（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知 |F A |=|FC |,|FB |=|BD |.

记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则 |F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+

a FA p p a FA p x x 解得a

FA cos 14

||-=

， 类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得a

FB cos 14

||+=

。

记直线m 与AB 的交点为E ，则

a

a

a a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-=

所以a a FE FP 2sin 4

cos ||||=

=。 故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==

-=

-a

a a a

a FP FP 。

解法二：设),(A A y x A ，),(B B y x B ，直线AB 的斜率为a k tan =，则直线方程为)2(-=x k y 。

将此式代入x y 82=,得04)2(42

222=++=k x k x k ，故2

2)2(k

k k x x B A +=+。

记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ，则 2

2)

2(22k

k x x x B A E +=+=， k

x k y E E 4

)2(=-=，

故直线m 的方程为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--=-224214k k x k k y . 令y =0,得P 的横坐标4422

2++-k

k x P 故

a k

k x FP P 22

2sin 4

)1(42||=+=

-=。

从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-a

a

a a a FP FP 为定值。

重庆理

（16）过双曲线42

2=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0

105的直线，交双曲线于PQ 两点，则

|FP||FQ|的值为__________.

(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F （3，0），右准线l 的方程为：x = 12。

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明

|

|1

||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值。

浙江文

（10）已知双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是准线

上一点，且P F 1⊥P F 2，｜P F 1｜⋅｜P F 2 ｜＝4ab ，则双曲线的离心率是

(B)

(C)2 (D)3

(21)(本题15分)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2

214

x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ．

(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．

（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

(I)解：设点A 的坐标为(1(,)x b ，点B 的坐标为2(,)x b ，

由2

214

x y +=

，解得1,2x =±

所以22121

||2112

S b x x b b =

-=≤+-=

当且仅当2

b =

时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由22

14y kx b x y =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩得

222(41)8440k x kbx b +++-=

2216(41)k b ∆=-+ ①

｜AB

12|2x x -== ②

又因为O 到AB

的距离21||

S

d AB =

=

= 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得424410k k -+= 解得，2213

,22

k b =

=，代入①式检验，△＞0 故直线AB 的方程是

22y x =

+

或22y x =-

或22y x =-+

或22

y x =--． 浙江理

（9）已知双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一

点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（

）

Ｃ．2

Ｄ．3

天津文

（7）设双曲线22

221(00)x y a b a b -=

>>，的离心率为，且它的一条准线与抛物线

24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）

Ａ．

22

11224

x y -=

Ｂ．

22

14896

x y -=