人教版七年级数学上册 几何图形初步专题练习(解析版)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．

（1）如图①，已知：Rt△ABC中，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；

（2）如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．

【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）解：结论DE=BD+CE成立；理由如下：

∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）解：∵∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ABD和△CEA中，

∴△ABD≌△CEA(AAS)，

∴S△ABD=S△CEA，

设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，

∴S△ABC= BC•h=12，S△ACF= CF•h，

∵BC=2CF，

∴S△ACF=6，

∵S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6，

∴△ABD与△CEF的面积之和为6．

【解析】【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，即可得出结论；（2）由∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠CAE=∠ABD，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD=S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果．

2．

（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；

（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（▲），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（▲），

∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .

（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.

【答案】（1）90°

（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE，

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（平行线的迁移性），

∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°−∠CGE ，

故答案为：∠BFE＋180°−∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°−∠CGE；

（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，

理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，

∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，

在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，

∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE− ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.

即∠GPQ＋∠GEF＝90°.

【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，

∵∠CGE＝130°，

∴∠HEG＝50°，

∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；

故答案为：90°；

【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°−∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE；（3）如图2，根据角平

分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝

∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.

3．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O

（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.

（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.