沪教版一元一次方程应用题专题

二元一次方程（组）

一：基本概念

1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

3. 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

解的三种情况：

无解（x+y=4① 2x+2y=10②）

有一组解（x+y=5① 6x+13y=89②）

有无数组解（x+y=6① 2x+2y=12②）

二：基本解法

（一）消元法

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减消元法：联立两式消去一元。

(二)换元法

例1， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 练习：

1、()1232111x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩

2、361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩

3、4258mx y x y +=⎧⎨+=⎩

4、

5、

2320

235

29

7

x y

x y

y

--=

⎧

⎪

-+

⎨

+=

⎪⎩

6、

()

()

9

18

5

23

20

32

m n

m m n

⎧

+=

⎪⎪

⎨

⎪++=

⎪⎩

7、

7

231

x y

x y

⎧+=

⎪

⎨

-=-

⎪⎩

8、

199519975989

199719955987

x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

三：应用题型

题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题

某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套

题型二、列二元一次方程组解决行程问题

甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？

题型三、列二元一次方程解决商品问题

在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A 商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。

题型四、列二元一次方程组解决工程问题

某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？

题型五：列二元一次方程组解决增长问题

某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？

练习：

1.某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐 60人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？

2.人在周长是400米的环形跑道上散步.若两人从同地同时背道而行，则经过2分钟就相遇.若两人从同地同时同向而行，则经过20分钟后两人相遇.已知甲的速度较快，求二人散步时的速度.

3.一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？

4.一只船发现漏水时，已进了一些水，现水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时可淘完，5人淘水8小时淘完，如果2小时淘完水，需要多少人淘水.

5.有一片牧场，草每天都在均匀地生长(草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量相等：

(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？

课后作业：

一、选择题：

1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）

A ．3x －2y=4z

B ．6xy+9=0

C ．11=+y x

D ．4x= 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

A ．228423119...23754624x y x y a b x

B

C

D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩

24

y -