医学统计学 孙振球 第七章 卡方检验
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理论依据：超几何分布
（非 检验 的范畴）
2
105 38
例7-4 某医师为研究乙肝免疫球
蛋白预防胎儿宫内感染HBV的效果，将 33例HBsAg阳性孕妇随机分为预防注射 组和非预防组，结果见表7-4。问两组
新生儿的HBV总体感染率有无差别？
105
39
表7-4 两组新生儿HBV感染率的比较
组别 预防注射组 非预防组 合计 阳性 4 5(3) 9 阴性 18 6 24 合计 22 11 33 感染率 （%） 18.18 45.45 27.27
105
40
一、基本思想
在四格表周边合计数固定不变的条 件下，计算表内4个实际频数变动时的
各种组合之概率 P ；再按检验假设用 i 单侧或双侧的累计概率 P，依据所取
的检验水准 做出推断。
105 41
1．各组合概率Pi的计算 在四格表周边合计数 不变的条件下，表内4个实际频数 a,b,c,d 变 动的组合数共有“周边合计中最小数+1”个。 如例7-4，表内4个实际频数变动的组合数共 有9+1=10个，依次为：
nR nC TRC n
式中，TRC 为第R 行C 列的理论频数 nR 为相应的行合计 nC 为相应的列合计
105 14
理论频数 T 是根据检验假设 H0 : 1 2 ，且用合 并率来估计 而定的。 如上例，无效假设是试验组与对照组降低颅内压的 总体有效率相等，均等于合计的有效率87%。那么 理论上，试验组的104例颅内压增高症患者中有效 者应为104(174/200)=90.48，无效者为 104(26/200)=13.52；同理，对照组的96例颅内压增 高症患者中有效者应为96(174/200)=83.52，无效者 为96(26/200)=12.48。
检验统计量为
(b c) , 1 bc
2 2
2 c
( b c 1) bc
105
2
, =1
34
注意：
本法一般用于样本含量不太大的资料。因
为它仅考虑了两法结果不一致的两种情况(b, c)，
而未考虑样本含量n和两法结果一致的两种情况 (a, d)。所以，当n很大且a与d的数值很大（即
检验的自由度取决于可以自由取值的格
2
子数目，而不是样本含量n。四格表资料只 有两行两列，=1，即在周边合计数固定的情 况下，4个基本数据当中只有一个可以自由 取值。 105 17
3. 假设检验步骤
（1） 建立检验假设，确定检验水平。
H0:π1=π2 即试验组与对照组降低颅内压的总体有效率相等 H1:π1≠π2 即试验组与对照组降低颅内压的总体有效率不相等
105 16
( A T )2 由公式（7-1）还可以看出： 值的大小还取决于 T 2 个数的多少（严格地说是自由度ν的大小）。由于各 ( A T ) T
2
皆是正值，故自由度ν愈大， 2 值也会愈大；所以只有考虑 2 了自由度ν的影响， 值才能正确地反映实际频数A和理论频 数T 的吻合程度。
2
105 2
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
2 检验 四格表资料的
2 检验 配对四格表资料的
四格表资料的 Fisher 确切概率法 行×列表资料的 检验
2
多个样本率间的多重比较 有序分组资料的线性趋势检验（不讲） 频数分布拟合优度的 检验
2
105 3
目的：
推断两个总体率或构成比之间有无差别
第七章
检验
2
Chi-Square Test
105 1
Content
• test of fourfold data • 2 test of paired fourfold data • Fisher probabilities in fourfold data 2 • test of R×C table • Multiple comparison of sample rates 2 • test of goodness of fit
105 30
例7-3 某实验室分别用乳胶凝集
法和免疫荧光法对58名可疑系统红斑
狼疮患者血清中抗核抗体进行测定，
结果见表7-3。问两种方法的检测结果 有无差别？
105 31
表7-3 两种方法的检测结果
免疫荧光法 ＋ － 合计 乳胶凝集法 ＋ 11（a） 2（c） 13 － 12（b） 33（d） 45 合计 23 35 58
两法的一致率较高），b与c的数值相对较小时， 即便是检验结果有统计学意义，其实际意义往
往也不大。
105
35
检验步骤： H 0 ： B C ， H 1 ： B C ， 0.05
b c 12 2 14 40 ，用校正公式
c2
( 12 2 1) 2 12 2
（ ν1+ν2 ）的 分布，即 2
( X1 X ～ 2)
2 。
1 2
2 界值：当 确定后， 2 分布曲线下右侧尾部的 （3） 时，横轴上相应的 2 值，记作 , (见附表 8)。 2 面积为
2 值愈大，P 值愈小；反之， 2 值愈小，P 值愈大。
105 7
疾病的有效率是否相等？
105 25
表7-2 两种药物治疗脑血管疾病有效率的比较
组别 胞磷胆碱组 神经节苷酯组 合计 有效 46 18 64 无效 6 8（4.67） 14 合计 52 26 78 有效率（%） 88.46 69.23 82.05
105
26
H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 , 0.05
105 27
本资料若不校正时，
4.35，P 0.05
2
结论与之相反。
105
28
第二节
配对四格表资料的 检验
2
105
29
与计量资料推断两总体均数是否 有差别有成组设计和配对设计一样， 计数资料推断两个总体率（构成比） 是否有差别也有成组设计和配对设计， 即四格表资料和配对四格表资料。
0.5 0.4 0.3
1
f ( 2 )
0.2 0.1 0 0 2 4
6
10
6
8
10
12
14
16
105
2
8
2． 检验的基本思想
2
例7-1 某院欲比较异梨醇口服液（试验组）和
氢氯噻嗪+地塞米松（对照组）降低颅内压的疗 效。将200例颅内压增高症患者随机分为两组，结
果见表7-1。问两组降低颅内压的总体有效率有无
α=0.05。
105 18
（2）求检验统计量值
T11 104 174/ 200 90.48 ，T12 104 90.48 13.52
T21 174 90.48 83.52 ，T22 26 13.52 12.48 。
(99 90.48) 2 (5 13.52) 2 (75 83.52) 2 (21 12.48) 2 2 90.48 13.52 83.52 12.48 12.86
本例 n 78, 但T22 4.67，故用四格表 2 资料 检验的校正公式
2 c
( 46 8 6 18 78 / 2) 78
2
52 26 64 14
3.14
1，查 2 界值表得 0.05 P 0.10 。按
0.05检验水准不拒绝 H 0，尚不能认 为两种药物治疗脑血管疾病的有效率不等。
(2 1)( 2 1) 1
105 19
以 =1 查 附表 8 的 界 值表得
2
P 0.005 。按 0.05 检验水准拒绝 H 0 ，
接受 H 1 ，可以认为两组降低颅内压总体 有效率不等，即可认为异梨醇口服液降 低颅内压的有效率高于氢氯噻嗪+地塞 米松的有效率。
2
n 40, T 5 ，专用公式；
n 40, 1 T 5，校正公式；
，直接计算概率。 n 40 或 T 1
2 连续性校正仅用于 1 的四格表资料，当 2
时，一般不作校正。
105 24
例7-2 某医师欲比较胞磷胆碱与
神经节苷酯治疗脑血管疾病的疗效， 将78例脑血管疾病患者随机分为两组， 结果见表7-2。问两种药物治疗脑血管
105
10
本例资料经整理成图7-2形式，即有两 个处理组，每个处理组的例数由发生数和
未发生数两部分组成。表内有
99 5 75 21
四个
基本数据，其余数据均由此四个数据推算 出来的，故称四格表资料。
105 11
处理组 甲 乙 合 计
发生数
未发生数
合计 a+b c+d n
a c a+c
b d b+d
2
统计量 分布的连续性，则需行连续性
2
校正。
105 22
三、四格表资料检验的校正公式
2 c
( A T 0.5) T
2
n 2 (| ad - bc | - ) n 2 2 c = (a +b)(c + d )(a + c)(b+ d )
105 23
四格表资料 检验公式选择条件：
105
32
上述配对设计实验中，就每个对子而 言，两种处理的结果不外乎有四种可能: ①两种检测方法皆为阳性数(a)； ②两种检测方法皆为阴性数(d)； ③免疫荧光法为阳性，乳胶凝集法为 阴性数(b)； ④乳胶凝集法为阳性，免疫荧光法为 阴性数(c)。
105 33
其中，a, d 为两法观察结果一致的两种情况， b, c为两法观察结果不一致的两种情况。
5.79
1
，查 2 界值表得 0.01 P 0.025 。
按 0.05 检验水准拒绝 H 0 ，接受 H 1 ，可 以认为两种方法的检测结果不同，免疫荧 光法的阳性检测率较高。
105 36
第三节
四格表资料的Fisher确切概率法
105
37
条件： n 40 ，或T 1 ， 或 P 时，
105
15
检验统计量 值反映了实际频数与理 论频数的吻合程度。
2
若检验假设H0:π1=π2 成立，四个格子的实际 频数A 与理论频数T 相差不应该很大，即统计量 2 值很大，即相对应的P 值很 不应该很大。如果 小，若 P ，则反过来推断A与T相差太大，超出 了抽样误差允许的范围，从而怀疑H0的正确性， 继而拒绝H0，接受其对立假设H1，即π1≠π2 。
105 20
二、四格表资料检验的专用公式
2
(ad bc) n (a b)(a c)(b d )(c d )
2
2
(99 21 5 75) 200 12.86 104 96 174 26
2
105 21
分布是一连续型分布，而四格表
2
资料属离散型分布，由此计算得的统计 量 的抽样分布亦呈离散性质。为改善
1． 分布
2
（1） 2 分布是一种连续型分布：按分布的密度函数可给出 自由度=1，2，3，……的一簇分布曲线 （图7-1）。 （2） 2 分布的一个基本性质是可加性： 如果两个独立的 随机变量X1和X2分别服从自由度ν1和ν2的分布，
即 X 1 ~ 21 , X 2 ~ 22 ，那么它们的和（ X1+X2 ）服从自由度
多个总体率或构成比之间有无差别
多个样本率的多重比较
两个分类变量之间有无关联性
频数分布拟合优度的检验。
检验统计量：
2
ห้องสมุดไป่ตู้
应用：计数资料
第一节 四格表资料的 检验
2
105
5
目的：推断两个总体率（构成比）是 否有差别 （和u检验等价）
要求：两样本的两分类个体数排列成四 格表资料
105
6
2 检验的基本思想 一、
图7-2 四格表资料的基本形式
105 12
基本思想：可通过 检验的基本公式 来理解。
2
2
( AT ) , (行数-1)(列数 1) T
2
式中，A为实际频数（actual frequency）， T为理论频数（theoretical frequency）。
105 13
理论频数由下式求得：
差别？
105 9
表7-1 两组降低颅内压有效率的比较
组 别 试验组 对照组 合 计 有 效 99(90.48) a 75(83.52) c 174(a+c) 无 效 5(13.52) b 21(12.48) d 26(b+d) 合 计 104 (a+ b) 96 (c+d) 200 (n) 有效率（%） 95.20 78.13 87.00
（非 检验 的范畴）
2
105 38
例7-4 某医师为研究乙肝免疫球
蛋白预防胎儿宫内感染HBV的效果，将 33例HBsAg阳性孕妇随机分为预防注射 组和非预防组，结果见表7-4。问两组
新生儿的HBV总体感染率有无差别？
105
39
表7-4 两组新生儿HBV感染率的比较
组别 预防注射组 非预防组 合计 阳性 4 5(3) 9 阴性 18 6 24 合计 22 11 33 感染率 （%） 18.18 45.45 27.27
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40
一、基本思想
在四格表周边合计数固定不变的条 件下，计算表内4个实际频数变动时的
各种组合之概率 P ；再按检验假设用 i 单侧或双侧的累计概率 P，依据所取
的检验水准 做出推断。
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1．各组合概率Pi的计算 在四格表周边合计数 不变的条件下，表内4个实际频数 a,b,c,d 变 动的组合数共有“周边合计中最小数+1”个。 如例7-4，表内4个实际频数变动的组合数共 有9+1=10个，依次为：
nR nC TRC n
式中，TRC 为第R 行C 列的理论频数 nR 为相应的行合计 nC 为相应的列合计
105 14
理论频数 T 是根据检验假设 H0 : 1 2 ，且用合 并率来估计 而定的。 如上例，无效假设是试验组与对照组降低颅内压的 总体有效率相等，均等于合计的有效率87%。那么 理论上，试验组的104例颅内压增高症患者中有效 者应为104(174/200)=90.48，无效者为 104(26/200)=13.52；同理，对照组的96例颅内压增 高症患者中有效者应为96(174/200)=83.52，无效者 为96(26/200)=12.48。
检验统计量为
(b c) , 1 bc
2 2
2 c
( b c 1) bc
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2
, =1
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注意：
本法一般用于样本含量不太大的资料。因
为它仅考虑了两法结果不一致的两种情况(b, c)，
而未考虑样本含量n和两法结果一致的两种情况 (a, d)。所以，当n很大且a与d的数值很大（即
检验的自由度取决于可以自由取值的格
2
子数目，而不是样本含量n。四格表资料只 有两行两列，=1，即在周边合计数固定的情 况下，4个基本数据当中只有一个可以自由 取值。 105 17
3. 假设检验步骤
（1） 建立检验假设，确定检验水平。
H0:π1=π2 即试验组与对照组降低颅内压的总体有效率相等 H1:π1≠π2 即试验组与对照组降低颅内压的总体有效率不相等
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( A T )2 由公式（7-1）还可以看出： 值的大小还取决于 T 2 个数的多少（严格地说是自由度ν的大小）。由于各 ( A T ) T
2
皆是正值，故自由度ν愈大， 2 值也会愈大；所以只有考虑 2 了自由度ν的影响， 值才能正确地反映实际频数A和理论频 数T 的吻合程度。
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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
2 检验 四格表资料的
2 检验 配对四格表资料的
四格表资料的 Fisher 确切概率法 行×列表资料的 检验
2
多个样本率间的多重比较 有序分组资料的线性趋势检验（不讲） 频数分布拟合优度的 检验
2
105 3
目的：
推断两个总体率或构成比之间有无差别
第七章
检验
2
Chi-Square Test
105 1
Content
• test of fourfold data • 2 test of paired fourfold data • Fisher probabilities in fourfold data 2 • test of R×C table • Multiple comparison of sample rates 2 • test of goodness of fit
105 30
例7-3 某实验室分别用乳胶凝集
法和免疫荧光法对58名可疑系统红斑
狼疮患者血清中抗核抗体进行测定，
结果见表7-3。问两种方法的检测结果 有无差别？
105 31
表7-3 两种方法的检测结果
免疫荧光法 ＋ － 合计 乳胶凝集法 ＋ 11（a） 2（c） 13 － 12（b） 33（d） 45 合计 23 35 58
两法的一致率较高），b与c的数值相对较小时， 即便是检验结果有统计学意义，其实际意义往
往也不大。
105
35
检验步骤： H 0 ： B C ， H 1 ： B C ， 0.05
b c 12 2 14 40 ，用校正公式
c2
( 12 2 1) 2 12 2
（ ν1+ν2 ）的 分布，即 2
( X1 X ～ 2)
2 。
1 2
2 界值：当 确定后， 2 分布曲线下右侧尾部的 （3） 时，横轴上相应的 2 值，记作 , (见附表 8)。 2 面积为
2 值愈大，P 值愈小；反之， 2 值愈小，P 值愈大。
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疾病的有效率是否相等？
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表7-2 两种药物治疗脑血管疾病有效率的比较
组别 胞磷胆碱组 神经节苷酯组 合计 有效 46 18 64 无效 6 8（4.67） 14 合计 52 26 78 有效率（%） 88.46 69.23 82.05
105
26
H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 , 0.05
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本资料若不校正时，
4.35，P 0.05
2
结论与之相反。
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28
第二节
配对四格表资料的 检验
2
105
29
与计量资料推断两总体均数是否 有差别有成组设计和配对设计一样， 计数资料推断两个总体率（构成比） 是否有差别也有成组设计和配对设计， 即四格表资料和配对四格表资料。
0.5 0.4 0.3
1
f ( 2 )
0.2 0.1 0 0 2 4
6
10
6
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8
2． 检验的基本思想
2
例7-1 某院欲比较异梨醇口服液（试验组）和
氢氯噻嗪+地塞米松（对照组）降低颅内压的疗 效。将200例颅内压增高症患者随机分为两组，结
果见表7-1。问两组降低颅内压的总体有效率有无
α=0.05。
105 18
（2）求检验统计量值
T11 104 174/ 200 90.48 ，T12 104 90.48 13.52
T21 174 90.48 83.52 ，T22 26 13.52 12.48 。
(99 90.48) 2 (5 13.52) 2 (75 83.52) 2 (21 12.48) 2 2 90.48 13.52 83.52 12.48 12.86
本例 n 78, 但T22 4.67，故用四格表 2 资料 检验的校正公式
2 c
( 46 8 6 18 78 / 2) 78
2
52 26 64 14
3.14
1，查 2 界值表得 0.05 P 0.10 。按
0.05检验水准不拒绝 H 0，尚不能认 为两种药物治疗脑血管疾病的有效率不等。
(2 1)( 2 1) 1
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以 =1 查 附表 8 的 界 值表得
2
P 0.005 。按 0.05 检验水准拒绝 H 0 ，
接受 H 1 ，可以认为两组降低颅内压总体 有效率不等，即可认为异梨醇口服液降 低颅内压的有效率高于氢氯噻嗪+地塞 米松的有效率。
2
n 40, T 5 ，专用公式；
n 40, 1 T 5，校正公式；
，直接计算概率。 n 40 或 T 1
2 连续性校正仅用于 1 的四格表资料，当 2
时，一般不作校正。
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例7-2 某医师欲比较胞磷胆碱与
神经节苷酯治疗脑血管疾病的疗效， 将78例脑血管疾病患者随机分为两组， 结果见表7-2。问两种药物治疗脑血管
105
10
本例资料经整理成图7-2形式，即有两 个处理组，每个处理组的例数由发生数和
未发生数两部分组成。表内有
99 5 75 21
四个
基本数据，其余数据均由此四个数据推算 出来的，故称四格表资料。
105 11
处理组 甲 乙 合 计
发生数
未发生数
合计 a+b c+d n
a c a+c
b d b+d
2
统计量 分布的连续性，则需行连续性
2
校正。
105 22
三、四格表资料检验的校正公式
2 c
( A T 0.5) T
2
n 2 (| ad - bc | - ) n 2 2 c = (a +b)(c + d )(a + c)(b+ d )
105 23
四格表资料 检验公式选择条件：
105
32
上述配对设计实验中，就每个对子而 言，两种处理的结果不外乎有四种可能: ①两种检测方法皆为阳性数(a)； ②两种检测方法皆为阴性数(d)； ③免疫荧光法为阳性，乳胶凝集法为 阴性数(b)； ④乳胶凝集法为阳性，免疫荧光法为 阴性数(c)。
105 33
其中，a, d 为两法观察结果一致的两种情况， b, c为两法观察结果不一致的两种情况。
5.79
1
，查 2 界值表得 0.01 P 0.025 。
按 0.05 检验水准拒绝 H 0 ，接受 H 1 ，可 以认为两种方法的检测结果不同，免疫荧 光法的阳性检测率较高。
105 36
第三节
四格表资料的Fisher确切概率法
105
37
条件： n 40 ，或T 1 ， 或 P 时，
105
15
检验统计量 值反映了实际频数与理 论频数的吻合程度。
2
若检验假设H0:π1=π2 成立，四个格子的实际 频数A 与理论频数T 相差不应该很大，即统计量 2 值很大，即相对应的P 值很 不应该很大。如果 小，若 P ，则反过来推断A与T相差太大，超出 了抽样误差允许的范围，从而怀疑H0的正确性， 继而拒绝H0，接受其对立假设H1，即π1≠π2 。
105 20
二、四格表资料检验的专用公式
2
(ad bc) n (a b)(a c)(b d )(c d )
2
2
(99 21 5 75) 200 12.86 104 96 174 26
2
105 21
分布是一连续型分布，而四格表
2
资料属离散型分布，由此计算得的统计 量 的抽样分布亦呈离散性质。为改善
1． 分布
2
（1） 2 分布是一种连续型分布：按分布的密度函数可给出 自由度=1，2，3，……的一簇分布曲线 （图7-1）。 （2） 2 分布的一个基本性质是可加性： 如果两个独立的 随机变量X1和X2分别服从自由度ν1和ν2的分布，
即 X 1 ~ 21 , X 2 ~ 22 ，那么它们的和（ X1+X2 ）服从自由度
多个总体率或构成比之间有无差别
多个样本率的多重比较
两个分类变量之间有无关联性
频数分布拟合优度的检验。
检验统计量：
2
ห้องสมุดไป่ตู้
应用：计数资料
第一节 四格表资料的 检验
2
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目的：推断两个总体率（构成比）是 否有差别 （和u检验等价）
要求：两样本的两分类个体数排列成四 格表资料
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2 检验的基本思想 一、
图7-2 四格表资料的基本形式
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基本思想：可通过 检验的基本公式 来理解。
2
2
( AT ) , (行数-1)(列数 1) T
2
式中，A为实际频数（actual frequency）， T为理论频数（theoretical frequency）。
105 13
理论频数由下式求得：
差别？
105 9
表7-1 两组降低颅内压有效率的比较
组 别 试验组 对照组 合 计 有 效 99(90.48) a 75(83.52) c 174(a+c) 无 效 5(13.52) b 21(12.48) d 26(b+d) 合 计 104 (a+ b) 96 (c+d) 200 (n) 有效率（%） 95.20 78.13 87.00