傅里叶变换的证明

§3.2周期信号的傅里叶级数分析(频谱分析)
周期信号的傅里叶级数两种表现形式: 1: 三角函数级数 2: 指数形式 一：周期信号展开成三角函数形式的傅里叶级数. 1 周期信号:
１ f (t ) f (t nT1 ) n 0,1 w1 2 f１ ＝Ｔ T1 １
2 傅里叶级数展开表达式:
f (t ) a0 a1 cos(w1t ) b1 sin(w1t ) a2 cos(2w1t ) b2 sin(2w1t )
a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )]
n 1
（1） 无限项和 （2） n正整数 （3）
a0
1 T 1 任何不同的两个函数的 乘积在区间[ T 2 2 ]上的积分为零
1 T nm 2 cos(nw1t ) cos(m w t ) dt 1 0 n m
即有： t
t0 T1
0

t0 T1
t0
1 T nm 2 sin(nw1t ) sin(m w t ) dt 1 0 n m

t0 T1
t0
f (t ) dt
注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.(同频率项加以合并)
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n 1
2 2 cn an bn a n c n cos n b n arctana 都是nw1的函数 bn c n sin n
Fn Fn e jn 1 2 (an jbn ) Fn Fn e jn 1 2 (an jbn )
2 2 1 Fn 1 a b n n Fn 2 cn 2
Fn Fn cn
4 画复数频谱.
P93页
双边谱
5 周期复指数信号频谱图的特点: ①引入了负频率变量,没有物理意义.只是数学推导的结果. ② Fn一般是复函数 ③ 当Fn是实函数时，可以用 Fn的正负表示0和相位，幅度谱
9) 得 f (t ) a0 ( a 2jb e jnw t a 2jb e jnw t ) （
n n 1 n n 1

n 1
令F (nw1 ) 1 n 1,2,3 （ 10 ） 2 (an jbn )
an是nw1的偶函数， bn是nw1的奇函数 F (nw1 ) 1 11 ） 2 (an jbn ) （
§3.1 引言
法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权 和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分(变换)分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.
n
F (nw )e
1

jnw1t
F (nw1 ) Fn 2: 计算傅里叶系数
F (nw1 ) Fn
t0 T1 1 T1 t 0

f (t )e jnw1t dt n ~ 整数
证明:把(4)(5)代入(10)即可.
3 两种傅氏级数系数间的关系.
F0 a0 c0
把(10),(11)代入(9)得
f (t ) a0 [ F (nw1 )e jnw1t F (nw1 )e jnw1t ] （ 12 ）
n 1
令a0 F (0)
F (nw )e
n1 1

jnw1t

n来自百度文库
F (nw )e
1
1
jnw1t
(12)式写为f (t )
n
F (nw1)e
jnw1t

n
jnw1t F e n （6）
证明:思路由三角形式→指数形式
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )] （ 7）
n 1
利用欧拉公式:
jnw1t jnw1t 1 cos( nw t ) ( e e ) 1 2 8） jnw1t jnw1t （ 1 e ) sin(nw1t ) 2 j (e

t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推 导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积
n n

5 画频谱图(幅度谱、相位谱) P91页,图3-1 单边谱 谱线:每条线代表某一频率分量的幅度.
包络线:连接各谱线顶点的曲线.反映各频率分量的幅度变化情况 6 周期信号频谱特点. ①离散谱: 出现在0，w1 ,2w1 ,3w1 离散频率点上 ②收敛性. ③谐波性: w1 ,2w1 ,3w1 nw1是各谐波频率 二 指数形式的傅里叶级数 1 展开式: f (t )
an
t0 T1 1 T1 t 0

f (t )dt
信号的平均值、直流分量
是nw1的偶函数 是nw1的奇函数
t0 T1 2 T1 t 0

f (t ) cos(nw1t )dt
2 bn T 1
t0 T1
t0
f (t ) sin(nw1t )dt
（4） （5）
补充：
三角函数系： 1 cos （w1t） sin （w1t） cos （nw1t） sin （nw1t） 正交
第三章
傅里叶变换
§3.1 引言 §3.2周期信号的傅里叶级数分析(频谱分析) §3.3典型周期信号的傅里叶级数(频谱) §3.4傅立叶变换 §3.5典型非周期信号的傅里叶变换（FT） §3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 §3.7傅里叶变换的基本性质 §3.8卷积特性 §3.9周期信号的傅里叶变换 §3.10抽样信号的傅里叶变换 §3.11抽样定理 第三章 复习课