概率实验一随机数的生成与蒙特卡洛随机模拟方法
通信系统仿真技术 第4章蒙特卡洛仿真与随机数产生
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
4、舍选法 当随机变量的分布函数不存在封闭形式时，反 变换法难于使用，因此，出现了舍选法。 实现步骤： ①确定f(X)的最大值为C； ②产生在[0， 1]上产生均匀分布的独立随机变 量U1和U2； ③令U1＝CU1； ④如果 CU1 f U 2 ，则输出 X＝U2，否则，拒 收U2返回(2)。
X
U k 6.0
k 1
12
其中 k 1, 2, 12
说明：U(k)在[1,0]内均匀分布同时相互独立的随 机变量，其均值为0.5，方差为1/12。 取数值12是传统参数，它反映了产生速度与 “准确性”之间的折衷。
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
几何解释
F(Z) 1 Uk
F
Z
0
Zk
Z
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
实例1、产生指数型分布随机变量的算法；
实例2、产生几何型分布随机变量的算法；
实例3、产生伽马型分布随机变量的算法；
4.2.2由任意概率密度函数生成随机数的方法
要求：准确性和快速性。
1、解析变换法
理论依据：以概率积分变换定理为基础，通过 对均匀分布随机变量U的变换，可以得到具有任意概 率密度函数的的随机变量Z。 产生步骤： ①产生在 [0，1]上均匀分布的独立随机变量U； ②根据Z的分布函数F(Z)，输出 Z F 1 U 。
蒙特卡洛算法
蒙特卡洛的优缺点
优点 •蒙特卡洛方法直观易懂 •受几何条件限制小
•概率收敛与问题维数无关（解决高维问题）
•可同时处理类似问题
缺点
1. 较高精度的近似结果通常情况下很难获 得 2. 在解决处理较低维数的实际状况时,效果 可能不是很好,收敛速度较慢 3. 误差具有随机性（因为蒙特卡洛方法的 误差是在一定置信水平下估计的, 误差会 随着置信水平的不同而不同）
0
f
x dx
用常规的数值积分方法: 随着分段数量增加，误差将减小，近 似面积将逐渐逼近真实的面积 蒙特卡洛方法： 不需要将所有方柱的面积相加，而只 需要随机地抽取一些函数值，利用概 率论中所提到的几何概型可以算出函 数图像与x轴围成的面积，从而得到积 分的值。
圆周率求解
在平面上画一个半径r的圆 和边长为2r的正方形，让他 们的中心重合。随机的向正 方形内投点N次，观察投在 圆内的点的数目m。
•Normrnd(MU，SIGMA,m,n) 生成正态高斯分布的随机函数
其它函数
• Fix(x) : 截位取整，直接将小数部分舍去
（向零取整） • • • Floor(x) : 不超过x的最大整数（向下取整） Ceil(x) : 不小于x 的最小整数（向上取整） Round(x): 四舍五入取整
随机变量的抽样
3.1596
3.1553 3.1419 3.1415929
基本思想
由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是 某个事件的概率，或者是某个随机变量的 数学期望，或者是与概率、数学期望有关 的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或者该随机变量若干个具 体观察值的算术平均值，通过它得到问题 的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
概率实验一随机数的生成与蒙特卡洛随机模拟方法
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和， 且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以 认为该对象服从正态分布。
4．产生 m n 阶期望值为 的指数分布的随机数矩阵： exprnd (,m, n )
•若连续型随机变量X的概率密度函数为
1 ex/ f (x) 0 x0 x0
一、随机数的产生
一）产生模拟随机数的计算机命令
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随 机数，命令如下： 1．产生m*n阶(a，b)均匀分布U(a，b)的随机数矩阵： unifrnd (a,b,m, n) 产生一个[a，b]均匀分布的随机数： unifrnd (a,b) 当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但 不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大， 在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
实验一
随机数的产生及蒙特卡 洛随机模拟方法
实验目的
学习随机数的产生及蒙特卡洛随机模拟方法 的基本过程与方法。
实验内容
1、产生随机数的计算机命令。 2、蒙特卡洛随机模拟实例。
实验作业
数学模拟的方法
在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统 的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计 算机上进行的，称为计算机模拟。 计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和 系数都比较容易。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系 统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设， 与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本 无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选 择。
proguji = 0.5557
三）蒲丰投针实验：
法国科学家蒲丰(Buffon)在1777年提出 的蒲丰投针实验是早期几何概率一个非常 著名的例子。蒲丰投针实验的重要性并非 是为了求得比其它方法更精确的π 值，而 是它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，
概率实验报告_蒙特卡洛积分
本科实验报告实验名称：《概率与统计》随机模拟实验随机模拟实验实验一设随机变量X 的分布律为-i P{X=i}=2,i=1,2,3......试产生该分部的随机数1000个，并作出频率直方图。
一、实验原理采用直接抽样法：定理：设U 是服从[0,1]上的均匀分布的随机变量，则随机变量-1()Y F U =与X 有相同的分布函数-1()Y F U =（为F(x)的逆函数），即-1()Y F U =的分部函数为()F x .二、题目分析易得题中X 的分布函数为1()1- ,1,0,1,2,3, (2i)F x i x i i =≤≤+=若用ceil 表示对小数向正无穷方向取整，则F(x)的反函数为产生服从[0,1]上的均匀分布的随机变量a ，则m=F -1(a)则为题中需要产生的随 机数。
三、MATLAB 实现f=[]; i=1;while i<=1000a=unifrnd(0,1); %产生随机数a ，服从【0,1】上的均匀分布 m=log(1-a)/log(1/2);b=ceil(m); %对m 向正无穷取整 f=[f,b]; i=i+1; enddisplay(f);[n,xout]=hist(f); bar(xout,n/1000,1)产生的随机数（取1000个中的20个）如下：-1ln(1-)()1ln()2a F a ceil ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦频率分布直方图实验二设随机变量X 的密度函数为24,0,()0,0x xe x f x x -⎧>=⎨≤⎩试产生该分布的随机数1000个，并作出频率直方图 一、实验原理取舍抽样方法，当分布函数的逆函数难以求出时，可采用此方法。
取舍抽样算法的流程为：（1） 选取一个参考分布，其选取原则，一是该分布的随机样本容易产生；二是存在常数C ，使得()()f x Cg x ≤。
（2） 产生参考分布()g x 的随机样本0x ； （3） 独立产生[0,1]上的均匀分布随机数0u ；（4） 若000()()u Cg x f x ≤，则保留x 0,作为所需的随机样本；否则舍弃。
蒙特卡洛法的基本原理
蒙特卡洛法的基本原理蒙特卡洛法（Monte Carlo method）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于解决难以通过解析方法或传统数学模型求解的问题。
它在物理学、化学、工程学、计算机科学、金融学、生物学等领域都有广泛应用。
本文将介绍蒙特卡洛法的基本原理，包括随机数生成、统计抽样、蒙特卡洛积分、随机漫步等方面。
一、随机数生成随机数是蒙特卡洛法中的基本元素，其质量直接影响着计算结果的准确性。
随机数的生成必须具有一定的随机性和均匀性。
常见的随机数生成方法有：线性同余法、拉斯维加斯法、梅森旋转算法、反序列化等。
梅森旋转算法是一种广泛使用的准随机数生成方法，其随机数序列的周期性长、随机性好，可以满足大多数应用的需要。
二、统计抽样蒙特卡洛法利用抽样的思想，通过对输入参数进行随机取样，来模拟整个系统的行为，并推断出某个问题的答案。
统计抽样是蒙特卡洛方法中最核心的部分，是通过对概率分布进行样本抽取来模拟随机事件的发生，从而得到数值计算的结果。
常用的统计抽样方法有：均匀分布抽样、正态分布抽样、指数分布抽样、泊松分布抽样等。
通过对这些概率分布进行抽样，可以在大量随机取样后得到一个概率分布近似于输入分布的“抽样分布”，进而求出所需的数值计算结果。
三、蒙特卡洛积分蒙特卡洛积分是蒙特卡洛法的重要应用之一。
它利用统计抽样的思想，通过对输入函数进行随机抽样，计算其随机取样后的平均值，来估算积分的值。
蒙特卡洛积分的计算精度与随机取样的数量、抽样分布的质量等因素有关。
蒙特卡洛积分的计算公式如下：$I=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_{i})\frac{V}{p(X_{i})}$$N$为随机取样的数量，$f(X_{i})$为输入函数在点$X_{i}$的取值，$V$为积分区域的体积，$p(X_{i})$为在点$X_{i}$出现的抽样分布的概率密度函数。
通过大量的样本拟合，可以估算出$I$的值接近于真实积分的值。
1_随机模拟与蒙特卡洛方法
随机模拟的应用： 报童问题
利润公式：
ra (n r )b, r n, L na, r n.
随机模拟的应用： 报童问题
产生服从经验概率分布的随机数 产生一[0，1]上的均匀分布的随机数U， Y=1000*U
300 350 400 450 r 500 550 600 650 700 0 Y<25 25 Y<75 75 Y<175 175 Y<350 350 Y<650 650 Y<825 825 Y<925 925 Y<975 975 Y 1000
表 船在港口的平均停留时间 船在港口的最长停留时间 船的平均等待时间 船的最长等待时间 114
3 79 96 88 126 115 223 61 173
248 224 205 171 371 57 24 41 35 71
175 152 155 122 309 0.1 5 0.1 9 0.1 2 0.1 4 0.1 7
随机模拟与蒙特卡洛方法
随机模拟与蒙特卡洛方法
模拟：把某一现实的或抽象的系统的部分状 态或特征用另一系统(称为模型)来代替或模 仿 计算机模拟在复杂系统或过程的研究中发挥 着越来超重要的作用 随机模拟和蒙特卡洛(Monte CarIo)方法
蒙特卡洛方法的基本思想
基本思想：把各种随机事件的概率特征 与 数学分析的解联系起来，用试验的方法确定 事件的相应概率与数学期望 特点：概率模型的解是由试验得到的，而不 是计算出来的。 作用：可以解决其它方法无法解决的实际问 题、对理论研究进行补充及辅助
为了分析码头的效率，我们考虑共有
n
条船到达码头卸货的情形，原则上讲，
蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数
《蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数》一、引言“蒙特卡罗法”这一词汇，源自于蒙特卡罗赌场，是一种通过随机抽样和统计模拟来解决问题的方法。
而生成服从正态分布的随机数，是在数理统计、金融工程、风险管理等领域中常常遇到的问题。
在本文中，我们将探讨如何利用蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数，从而可以更深入地理解这一方法并应用于实际问题中。
二、蒙特卡罗法的基本原理蒙特卡罗法是一种基于随机抽样的方法，通过对概率模型进行模拟实验来获取近似解。
对于生成服从正态分布的随机数，我们可以利用蒙特卡罗法来模拟正态分布的概率密度函数，从而得到符合正态分布的随机数。
在生成正态分布的随机数时，我们可以采用以下步骤：1. 生成服从均匀分布的随机数2. 利用反函数法将均匀分布的随机数转化为正态分布的随机数3. 进行模拟实验，不断调整参数，直至生成的随机数符合所需的正态分布三、蒙特卡罗法生成正态分布的随机数的具体步骤1. 生成服从均匀分布的随机数我们可以利用随机数发生器生成服从均匀分布的随机数。
均匀分布的概率密度函数为f(x) = 1，x∈[0,1]。
我们可以生成若干个0到1之间的随机数作为初始值。
2. 利用反函数法将均匀分布的随机数转化为正态分布的随机数利用反函数法，我们可以将服从均匀分布的随机数转化为服从正态分布的随机数。
正态分布的累积分布函数为Φ(x) = ∫(-∞,x) (1/√(2π) * exp(-t^2/2)dt，而其反函数可以通过查表或近似计算得到。
利用反函数法，我们可以将生成的均匀分布的随机数通过正态分布的反函数转化为符合正态分布的随机数。
3. 进行模拟实验，不断调整参数，直至生成的随机数符合所需的正态分布在生成的随机数不符合所需的正态分布时，我们可以不断地调整参数、增加模拟实验的次数，直至得到符合所需的正态分布的随机数。
四、总结与回顾通过蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数，我们可以发现这一方法的灵活性和强大性。
Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：
蒙特卡洛试验检验算法
蒙特卡洛试验检验算法蒙特卡洛试验是一种基于随机抽样的数值计算方法，广泛应用于科学研究、金融风险评估、工程设计等领域。
本文将介绍蒙特卡洛试验的原理、应用和优缺点。
一、蒙特卡洛试验的原理蒙特卡洛试验原理基于概率统计的思想，通过随机抽样和统计分析的方法，对未知或复杂问题进行数值计算和模拟。
其基本步骤如下：1. 定义问题：明确问题的数学模型和待求解的目标。
2. 设定参数：确定问题中的各个参数和变量，并为它们设定合适的取值范围。
3. 随机抽样：根据设定的参数范围，利用随机数发生器生成一组符合概率分布的随机数。
4. 计算模拟：使用生成的随机数代入数学模型，进行数值计算和模拟，得出结果。
5. 统计分析：对多次试验的结果进行统计分析，得出问题的近似解或概率分布。
二、蒙特卡洛试验的应用蒙特卡洛试验在各个领域有着广泛的应用，以下是几个典型的应用案例：1. 金融风险评估：蒙特卡洛试验可以用于评估金融市场中的风险。
通过随机模拟资产价格的变动情况，可以计算出投资组合的价值在不同市场情况下的分布，进而评估投资组合的风险水平。
2. 工程设计：在工程设计中，蒙特卡洛试验可以用于评估设计方案的可靠性。
通过模拟不同参数的随机变化，可以分析设计方案在不同情况下的性能表现，并评估其可靠性和安全性。
3. 科学研究：蒙特卡洛试验在科学研究中常用于模拟实验。
例如，在天体物理学中，可以使用蒙特卡洛试验模拟宇宙的演化过程；在生物医学领域，可以使用蒙特卡洛试验模拟药物的作用机制。
4. 优化问题：蒙特卡洛试验也可以用于解决优化问题。
通过多次随机抽样和计算模拟，可以搜索解空间中的最优解或接近最优解的解。
三、蒙特卡洛试验的优缺点蒙特卡洛试验作为一种数值计算方法，具有以下优点：1. 灵活性：蒙特卡洛试验适用于多种复杂问题，不受问题形式和参数分布的限制。
2. 可靠性：通过增加试验次数，可以提高结果的准确性和可靠性。
3. 直观性：蒙特卡洛试验的结果通常以概率分布的形式呈现，直观易懂。
马尔可夫链蒙特卡洛采样中的随机数生成技巧(Ⅲ)
马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样是一种在概率分布的随机样本上进行计算的方法。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括贝叶斯统计、机器学习、社会科学和物理学等。
MCMC采样的一个核心问题就是如何生成满足某一特定分布的随机数。
在这篇文章中，我们将讨论MCMC采样中的随机数生成技巧。
一、随机数生成技巧在MCMC采样中，我们需要生成满足目标概率分布的随机数。
通常情况下，我们无法直接从目标分布中抽取随机数，因此需要通过一些技巧来实现。
下面将介绍几种常用的随机数生成技巧。
首先，最基本的随机数生成技巧就是使用伪随机数生成器。
伪随机数生成器是一种能够输出接近于真正随机序列的序列的算法。
在MCMC采样中，我们可以使用伪随机数生成器来模拟目标分布。
常见的伪随机数生成器包括线性同余发生器和梅森旋转发生器等。
其次，我们可以使用逆变换法来生成满足目标分布的随机数。
逆变换法是一种常用的生成随机数的方法，它利用分布函数的逆函数来实现。
通过逆变换法，我们可以将均匀分布的随机数转换为满足目标分布的随机数。
例如，在正态分布中，我们可以使用逆变换法将均匀分布的随机数转换为正态分布的随机数。
另外，我们还可以使用接受-拒绝法来生成随机数。
接受-拒绝法是一种通过在一个矩形区域内接受或拒绝样本来生成满足目标分布的随机数的方法。
通过在矩形区域内生成均匀分布的随机数，并利用目标分布和均匀分布之间的关系，我们可以生成满足目标分布的随机数。
最后，还有一种常用的随机数生成技巧是使用马尔可夫链。
马尔可夫链是一种随机过程，具有“无记忆”的性质。
在MCMC采样中，我们可以利用马尔可夫链的性质来生成满足目标分布的随机数。
通过构建一个马尔可夫链，并使其收敛到目标分布，我们可以得到满足目标分布的随机数。
二、随机数生成技巧的比较在MCMC采样中，不同的随机数生成技巧有各自的优缺点。
伪随机数生成器是最基本的随机数生成方法，它简单高效，但存在周期性和重复性等问题。
逆变换法和接受-拒绝法在理论上可以生成满足目标分布的随机数，但在实际应用中需要对目标分布进行逆变换和计算接受率，具有一定的复杂性和计算成本。
Monte Carlo(蒙特卡洛方法)解析
于是有： l p P( X sin ) 2 0
l sin 2
0
2 2l dxd a a
2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
U(0,1)随机数的生成
乘同余法：
xi 1 axi
mod m
ui 1 xi 1 / m 其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
x0称为种子,a 是乘因子,m是模数
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
1 确定行为的模拟
例：曲线下的面积
本节以曲线下的面 积为例说明蒙特卡罗 模拟在确定行为建模 中的应用．
下面的算法给出了用蒙特卡罗方法求曲线下面积 的计算机模拟的计算格式．
在给定区间上曲线y=cosx下面积的真值是2．注意到即使对 于产生的相当多的点数，误差也是可观的．对单变量函数，一般 说来，蒙特卡罗方法无法与在数值分析中学到的积分方法相比， 没有误差界以及难以求出函数的上界M也是它的缺点．然而，蒙 特卡罗方法可以推广到多变量函数，在那里它变得更加实用．
ˆ f n ( A) 。 在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ fn ( A) 作为 的估计。根据大数定律，当 n 时， p p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 af n ( A)
蒙特卡洛实验报告
xi = maxxi,rand;
xi = maxxi,rand;
else
xi = minrand,rand;
xi = minxi,rand;
end
end
plotx,'g.'
toc
clear M;
六、实验心得
通过本次实验后,让我发现这门课非常有趣,并没有想象的那么枯燥无味,是一门很有实用价值的一门学科;同时让我学习到MATLAB的基本操作和用法;
Area=4S/N%计算面积
Dev=SS/N-S/N^2%计算方差
A=sqrtDev/N%计算标准差
toc
实验数据如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
试验次数
103
1×104
5×104
×105
×105
×106
×107
试验时间
s
s
s
s
s
ssLeabharlann 计算结果实验误差请输入总投点个数:
150000
实验代码如下：
clear;
clc;
实验数据如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
试验次数
103
5×104
通信系统仿真技术第4章蒙特卡洛仿真与随机数产生
03
蒙特卡洛仿真广泛应用于各种 领域，如金融、物理、工程等 ，用于解决复杂的问题和预测 未来的趋势。
随机数产生的重要性
01
在蒙特卡洛仿真中，随机数产生是核心部分，因为 蒙特卡洛方法本身就是基于概率统计的。
02
编码方式优化
蒙特卡洛仿真可以用于评估不同编码方式的性能，从而选择最佳的编码方式以实现更高 的传输可靠性。
05 案例分析
基于蒙特卡洛仿真的信道模型验证
总结词
通过蒙特卡洛仿真方法，对信道模型进行验 证，评估模型的准确性和可靠性。
详细描述
首先，根据信道理论，建立信道模型并确定 模型参数。然后，使用蒙特卡洛仿真生成大 量的随机样本，模拟实际信道中的信号传输。 通过比较仿真结果与理论预期，验证信道模 型的准确性。
03 随机数产生方法
随机数产生原理
随机数产生原理基于概率统计规律，通过特定的算法和数学模型生成具有 随机性质的数字序列。
随机数生成器需要满足一定的质量要求，包括统计独立性、均匀分布性和 不可预测性等。
常用的随机数生成方法包括基于物理现象的方法和基于数学算法的方法。
常用随机数产生方法
基于物理现象的方法
蒙特卡洛仿真与随机数产生的重要性和应用前景
蒙特卡洛仿真是一种基于概率统计的数值模拟方法，它在通信系统仿真中具有广泛的应用。通过蒙特 卡洛仿真，可以模拟通信系统的性能，评估不同参数和算法的性能，从而为系统设计和优化提供依据 。
随机数产生是蒙特卡洛仿真的基础，高质量的随机数能够提高仿真的准确性和可靠性。随着通信技术 的发展，蒙特卡洛仿真和随机数产生技术在通信系统中的应用前景将更加广阔，例如用于信道建模、 信号处理、网络优化等方面。
随机数与蒙特卡罗方法
二、伪随机数
伪随机数列：实际产生伪随机数的时候，往往利用 某一递推 xn = f ( xn −1, xn − 2 ,, xn − k ) 产生数列 x1 , x2 ,, xn ， 当n充分大时，这一数列具有独立抽样序列的性质， 我们成为伪随机数列。
随机种子：递推公式中的初值，我们称为随机种子。一旦随机 种子确定，随机序列便可以确定。
一、蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗算法名称的由来： 1946年物理学家冯.诺一曼利用计算机使用随机抽 样的方法模拟了裂变中的中子反应，但这是一个 与原子弹研制相关的秘密工作，他们将该方法称 为蒙特卡罗。之后这个名字变流传开来，被人们 所喜爱。
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
1、蒲丰（Buffon）随机投针试验介绍 随机模拟的方法从方法特征来说，最早可以追溯到 18世纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验。从中我 们可以体会出蒙特卡罗方法的一般过程。 圆周率的注记：2011年10月16日，日本长野县饭田市公 司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10 万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼 斯世界纪录。今年56岁近藤茂使用的是自己组装的计算 机，从去年10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪 录。 1777年法国学者蒲丰（Buffon）提出可以用投针实验来 求得圆周率。被称为计算π最神奇方法之一。
A A A A(mod M ) = A − [ ] × M = A − [ ]× M M M
A [ 其中 M ] 表示取整运算
A< M A≥ M
。
四、均匀随机数的产生
同余法的一般递推公式：
yn = (kyn −1 + b)(mod M ) yn x (n = 1,2,3,) = n M 初值 y0
随机模拟法(蒙特卡罗法)
随机模拟法(蒙特卡罗法)
用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：
(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；
(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；
(3)计算频率()
n M
f A
N
作为所求概率的近似值.
要点诠释：
1.对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.
2.随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.
3.随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.
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蒙特卡洛方法第二讲
蒙特卡洛方法第二讲一、随机数生成随机数生成是蒙特卡洛方法的基础，准确生成随机数序列对结果的准确性和可靠性有着至关重要的影响。
常用的随机数生成方法包括伪随机数生成器和真随机数生成器。
伪随机数生成器是通过确定性算法生成一系列看似随机的数列，常见的生成器有线性同余法、均匀分布法和梅森旋转算法等。
真随机数生成器则是通过物理过程生成真正随机的数列，如放射性衰变、电子噪声等。
在蒙特卡洛方法中，随机数的生成需要满足以下几个基本要求：1.均匀分布：随机数生成器应能够生成在指定范围内均匀分布的随机数。
2.独立性：生成的随机数应互相独立，不受前一次生成的结果的影响。
3.大周期性：生成的随机数应有较长的周期，保证重复周期性较长。
二、抽样和重要性抽样蒙特卡洛方法通过采样的方式近似计算概率和统计特性。
抽样是指从总体中随机选取一部分样本数据进行统计推断的过程。
在蒙特卡洛方法中，我们可以通过抽样来模拟总体的分布，从而估计一些统计量或计算一些概率。
抽样可以分为有放回抽样和无放回抽样两种方式。
重要性抽样是一种常用的抽样技术，通过引入一个权重函数，使得生成的样本更多地集中在我们感兴趣的区域内。
权重函数可以根据需求来设计，以提高抽样效率和计算精度。
例如，在计算一些正态分布的尾概率时，可以使用指数函数作为权重函数，使得生成的样本更有可能落入较小的尾部区域。
重要性抽样可以极大提高模拟计算的效率。
三、收敛性和方差控制蒙特卡洛方法的收敛性是指随着模拟次数的增加，计算结果逐渐趋于准确值的性质。
收敛性与样本量的大小和采样方法等有关。
一般来说，随着样本量的增加，蒙特卡洛方法的计算结果将越来越接近实际值。
为了控制估计结果的方差，可以采用以下策略：1.增加样本量：通过增加样本数量来减小估计结果的方差。
2.优化抽样方法：通过改进抽样方法，提高样本的效率和质量。
3.控制随机数生成：选择合适的随机数生成算法，确保生成的随机数序列具有良好的属性。
四、蒙特卡洛方法的应用示例1.数值积分：蒙特卡洛方法可以用于计算复杂函数的积分。
蒙特卡洛模拟法的步骤-概述说明以及解释
蒙特卡洛模拟法的步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述蒙特卡洛模拟法是一种基于随机数的数值计算方法，用于解决复杂的数学问题和模拟真实世界的现象。
它在各个领域都有广泛的应用，包括金融、物理学、工程学、统计学等。
蒙特卡洛模拟法的核心思想是通过生成大量的随机样本，并统计这些样本的结果来获取问题的解或现象的模拟。
它模拟随机变量的概率分布，以此推断未知参数的分布或评估某种决策的风险。
蒙特卡洛模拟法的步骤可以简单概括为以下几个关键步骤：1. 确定问题或现象的数学模型：首先，需要将问题或现象抽象为数学模型。
这个模型需要描述问题的输入、输出以及各个元素之间的关系。
2. 生成随机样本：通过使用合适的随机数生成方法，生成满足问题模型要求的随机样本。
样本的生成应充分反映问题模型的特征。
3. 计算模型输出：将生成的随机样本代入问题模型，计算出相应的模型输出。
这个输出可能是一个统计量、概率分布或者其他有意义的指标。
4. 统计分析样本结果：对计算得到的模型输出进行统计分析。
可以计算均值、方差等统计指标，也可以对结果进行可视化分析。
5. 得出结论：根据统计分析的结果，可以得出关于问题的解或现象的模拟。
结论可以包括对问题的影响因素的评估、风险的评估等。
蒙特卡洛模拟法的优势在于它能够处理复杂的数学模型和现象，而不需要依赖于精确的解析方法。
它可以通过增加样本数量来提高模拟结果的精度，因此在计算资源充足的情况下能够得到非常准确的结果。
尽管蒙特卡洛模拟法有着许多优势，但也存在一些限制和挑战。
例如，随机样本的生成可能会消耗大量的计算资源和时间；模型的结果可能受到随机样本选择的影响等。
在未来，随着计算机计算能力的不断提升，蒙特卡洛模拟法将在更多的领域得到应用，并且有望进一步发展和优化，以应对更加复杂的问题和模拟需求。
1.2 文章结构文章结构部分应该介绍整篇文章的组成和内容安排，让读者了解到接下来会讲解哪些内容。
以下是文章结构部分的内容示例：文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。
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随机数的产生及蒙特卡 洛随机模拟方法
实验目的
学习随机数的产生及蒙特卡洛随机模拟方法 的基本过程与方法。
实验内容
1、产生随机数的计算机命令。 2、蒙特卡洛随机模拟实例。
实验作业
数学模拟的方法
在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统 的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计 算机上进行的，称为计算机模拟。 计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和 系数都比较容易。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系 统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设， 与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本 无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选 择。
一）频率的稳定性模拟
1.事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验 中事件A发生的次数。 频率 f=m/n 2.频率的稳定性
④ 产生m×n阶均值为mu方差为sigma的正态分布的随 机数矩阵 normrnd(mu,sigma,m,n) 产生一个均值为mu方差为sigma的正态分布的随机数 normrnd(mu,sigma) ⑤ 产生m×n阶期望值为mu (mu=1/λ)的指数分布的随机 数矩阵 exprnd(mu,m,n) 产生一个期望值为mu的指数分布的随机数 exprnd(mu) 注意: 产生一个参数为λ的指数分布的随机数应输入 exprnd(1/λ)
补充：随机数的产生命令
MATLAB可以直接产生满足各种分布的随机数 具体命令如下: ① 产生m×n阶[0,1]上均匀分布的随机数矩阵 rand(m,n) 产生一个[0,1]上均匀分布的随机数 rand ② 产生m×n阶[a,b]上均匀分布的随机数矩阵 unifrnd (a,b,m, n) 产生一个[a,b]上均匀分布的随机数 unifrnd(a,b) ③ 产生一个1:n的随机排列(元素均出现且不重复) p=randperm(n) 注意: randperm(6)与unifrnd (1,6,1, 6)的区别
一、随机数的产生
一）产生模拟随机数的计算机命令
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随 机数，命令如下： 1．产生m*n阶(a，b)均匀分布U(a，b)的随机数矩阵： unifrnd (a,b,m, n) 产生一个[a，b]均匀分布的随机数： unifrnd (a,b) 当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但 不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大， 在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
二、蒙特卡罗随机模拟
蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种 应用随机数来进行计算机模拟的方法．此方法 对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本 值的统计分析，求得所研究系统的某些参数．
用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：
[1] 设计一个逻辑框图，即模拟模型．这个框 图要正确反映系统各部分运行时的逻辑关系。 [2] 模拟随机现象．可通过具有各种概率分布 的模拟随机数来模拟随机现象．
⑥ 产生m×n阶参数为A1,A2,A3的指定分布'name'的随机数 矩阵 random('name',A1,A2,A3,m,n) 产生一个参数为为A1,A2,A3的指定分布'name'的随机数 random('name',A1,A2,A3) 举例: 产生2×4阶的均值为0方差为1的正态分布的随机数矩阵 random('Normal',0,1,2,4) 'name'的取值可以是(详情参见help random)： 'norm' or 'Normal' / 'unif' or 'Uniform' 'poiss' or 'Poisson' / 'beta' or 'Beta' 'exp' or 'Exponential' / 'gam' or 'Gamma' 'geo' or 'Geometric' / 'unid' or 'Discrete Uniform' ……
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5．产生 m n 阶参数为 的泊松分布的随机数矩阵： poissrnd ( ,m, n)
•设离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…,且取 各个值的概率为
k e P ( X k ) , k 0 , 1 , 2 , ,
k !
其中 >0为常数，则称X服从参数为 的泊松分布。 •泊松分布的期望值为
•泊松分布在排队系统、产品检验、天文、物理等 领域有广泛应用。
6 产生1个参数为n,p的二项分布的随机数 binornd(n,p)，产生mn个参数为n,p的二项分布的 随机数binornd(n,p,m,n) 。
掷一枚均匀硬币，正面朝上的次数 X 服 从参数为１，p的二项分布,X~B(1,p)
总结：常见分布的随机数产生语句
2．产生mm*nn阶离散均匀分布的随机数矩阵： R = unidrnd(N) R = unidrnd(N,mm,nn)
3.产生rnd ( , ,m, n)
产生一个均值为 ，标准差的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和， 且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以 认为该对象服从正态分布。
4．产生 m n 阶期望值为 的指数分布的随机数矩阵： exprnd (,m, n )
•若连续型随机变量X的概率密度函数为
1 ex/ f (x) 0 x0 x0
其中 >0 为常数，则称X服从参数为 的指数分布。 •指数分布的期望值为
•排队服务系统中顾客到达间隔、质量与可靠性 中电子元件的寿命通常服从指数分布。
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为 10(分钟)的指数分布(指数分布的均值为10)
指两个顾客到达商店的平均间隔时间是 10分钟.即平均10分钟到达1个顾客. 顾客到达 的间隔时间可用exprnd(10)模拟。