最新定积分的近似计算2
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定积分的近似计算2
定积分的近似计算
虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。
定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍两种常用的方法梯形法及抛物线法。
一梯形法
将积分区间«Skip Record If...»作«Skip Record If...»等分，分点依次为
«Skip Record If...»
相应的函数为
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
曲线«Skip Record If...»上相应的点为
«Skip Record If...»
将曲线的每一段弧«Skip Record If...»用过点«Skip Record If...»（线性函数）来代替，这使得每个«Skip Record If...»上的曲边梯形形成了真正的梯形（图11——25），其面积为
«Skip Record If...»
于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近
似值，即
«Skip Record If...»
亦即 «Skip Record If...»（2）
称此式为梯形法公式。
在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有
«Skip Record If...»
其中«Skip Record If...»
二抛物线法
由梯形法求近似值，当«Skip Record If...»为凹曲线时，它就偏小；当«Skip Record If...»为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。
将区间«Skip Record If...»作«Skip Record If...»等分（图）分点依次为
«Skip Record If...»
对应的函数值为
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
«Skip Record If...»曲线上相应的点为«Skip Record If...»
现把区间«Skip Record If...»上的曲线段«Skip Record If...»用通过三点«Skip Record If...»的抛物线
«Skip Record If...»
来近似代替，然后求函数«Skip Record If...»从«Skip Record If...»到«Skip Record If...»的定积分：
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»由于«Skip Record If...»，将它代入上式整理后可得
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
同样也有
«Skip Record If...»
………………………………………………..
«Skip Record If...»
将这«Skip Record If...»个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：
«Skip Record If...»
即 «Skip Record If...»
这就是抛物线法公式，也就是辛卜生公式。
也有 «Skip Record If...»«Skip Record If...»
其中«Skip Record If...» «Skip Record If...»
可见«Skip Record If...»越大，近似计算越准确。一般说来，将积分区间
«Skip Record If...»作同样数目等份的情况下，抛物线形公式比梯形公式更精确一些。
1、插值型求积公式：
«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»
余项«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
至少具有«Skip Record If...»次代数精度。
2、牛顿—柯特斯公式（等距节点）：
«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»
当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，求积公式即为梯形公式。
当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，求积公式变为辛普森(Simpson)公式，即«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
当«Skip Record If...»时，计算不稳定，此时一般不用该公式。
«Skip Record If...»阶的Newton-Cotes公式至少具有«Skip Record If...»次的代数精度；当«Skip Record If...»为偶数时，至少有«Skip Record If...»次代数精度。
3、复化梯形公式：
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»
4、复化辛普森公式：
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
5、龙贝格求积公式：
«Skip Record If...»表示二分«Skip Record If...»次后求得的梯形值，«Skip Record If...»表示序列«Skip Record If...»的«Skip Record If...»次加速值。
«Skip Record If...»，通过递推公式«Skip Record If...»，计算«Skip Record If...»。按公式«Skip Record If...»计算加速值，直到«Skip Record If...»，积分值即为
«Skip Record If...»。
6、高斯求积公式：
取«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»成立，解出
«Skip Record If...»及«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
具有«Skip Record If...»次代数精度。
«Skip Record If...»
7、高斯-勒让德求积公式：
在高斯求积公式中，取权函数«Skip Record If...»，区间为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»。
余项«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
勒让德多项式的零点就是求积公式的高斯点。
勒让德多项式：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
两点高斯-勒让德求积公式的形式是：«Skip Record If...»
三点高斯-勒让德求积公式的形式是：«Skip Record If...»