“Aha!”,用几何思维理解矩阵的“逆”和向量的“点积”

这是《机器学习中的数学基础》系列的第5篇。

人的一生总是需要许多“Aha！”（啊哈！）时刻，也就是让你顿悟的时刻。面对线性代数中

复杂的概念和公式，如果我们从几何的角度去审视它们，就好比我们拥有了上帝视角，可以

从大局上掌控它们，也可以更深入的理解它们的内涵。

逆

先来看矩阵的逆。这里我们不会引入复杂的公式去介绍如何求矩阵的逆，我们要做的是，先

深入理解它，然后再去计算它。

我们已经知道，给定一个矩阵A，让它作用于向量x（矩阵乘以向量），得到一个新向量b，这是一个线性变换。现在我们反过来想，如果有一个向量b，需要构造一个矩阵，让b变成x，这当然也是一个线性变换。那么很明显，后面这个变换是前面的反向操作。我们就把这个反

向变换叫做矩阵A的逆。

说到这里，我们自然会有一个疑问，任何一个矩阵，都存在逆吗？

答案是否定的，有的矩阵是没有逆的。上一篇我们知道，矩阵的行列式表示经过线性变换后，基向量所围成面积的缩放倍数。那现在有一种情况是，矩阵的行列式为0，也就是说，经过

线性变换后，基向量所围成的面积是0。这又是一种什么情况呢？假设原来的基向量是二维的，那么一个矩阵的行列式是0，它的线性变换的作用，就是把原来二维的空间压缩为一维的。换句话说，就是把原来的平面压缩成了一条直线。我们可以把空间压缩，但是没办法把

空间扩大。也就是说，给你一个平面，你可以抛弃一些信息，把它压缩成一条直线。但是给

你一条直线，你却没办法把它再还原成一个平面，因为你的信息有限。

因此，当一个矩阵的行列式为0时，相当于空间进行了压缩（降维），而且没有办法进行逆

向操作（还原），此时该矩阵是没有逆的。

了解了逆的存在性，我们再来看下面这个式子：

左边是矩阵A的逆，右边是矩阵A，二者相乘，代表什么呢？之前我们说过，两个矩阵相乘，表示依次进行2个线性变换。对于上式，我们看到，先是矩阵A进行了一次线性变换，然后

A的逆又进行了一次变换，相当于变过来又变回去，等于没有进行任何变换。我们还知道，

从基的角度看，矩阵其实就是线性变换后的基。那对于上式来说，没有进行变换说明什么呢？说明基还是原来的基，基也没有发生变换。那原来的基是啥呢？对于二维矩阵来说，原来的

基就是向量（10）和向量（01）。那也就是说，我们可以用一个复合矩阵来代替上式两个矩

阵的积，来表达什么也没有做的变换。这个矩阵就是[10;01]，表示如下：

我们把类似矩阵[10;01]这种，对角线为1，其余元素为0的矩阵叫做单位矩阵，记作I。因此，上式又可以表示为：

单位矩阵的作用其实就是表达了什么也不做的一种线性变换。

点积

接下来，我们来看向量的点积。先放个公式，看看两个向量的点积是啥意思：

一看式子就明白了，两个向量的点积，就是把各自对应的元素相乘，然后再求和。好像很容

易理解，也很好计算。那我们再看下面这个矩阵：

这也算矩阵吗？是的，只不过它只有1行，是一个1*2的矩阵。它其实就是向量（a，b）“放倒”之后的样子，我们给它起个学名叫“转置”。然后，用矩阵[a b]再乘以向量（c，d），等于

以矩阵的各列构造线性组合，其中权（系数）是向量的元素，即：

我们发现什么？我们发现它的结果和上面两个向量点积的结果一模一样啊。别忘了，矩阵是

一种线性变换，它可以被看做是基的变换。那这个矩阵[a b]代表什么？它就表示变换后的基

向量，只不过这里的基不再是向量，而是两个点。这又说明啥呢？这表明矩阵[a b]的线性变换，相当于把原来的一个向量变成了一个点，也就是说，相当于把一个向量投影到了数轴上。好，现在假定我们有一个向量w=（x，y），想把它投影到一个数轴上，那投影的长度怎么

算呢？这个投影作用的线性变换矩阵又是什么呢？我们画个图来解释下：

图1

如上图，现在我们需要求一个矩阵，它所产生的线性变换是把向量w投影到数轴上，也就是

投影到OP上。从基的角度看，我们要求的是原来的基向量投影到数轴上后，产生的新的基，如下图所示：

图2

如上图，i、j分别是原来的基向量，我们要求的新的基就是它们投影到数轴上的长度OM、ON。那到底怎么求呢？我们先把数轴也用单位向量来表示：

图3

如图3所示，向量k是数轴上的单位向量。我们分别作向量i到数轴的投影和向量k到x轴的投影，很容易看出来，这俩投影是相等的（向量i、j、k的长度都是1，都是单位向量）。也就是说，向量i到数轴的投影，竟然就是向量k的横坐标。同理，向量j到数轴的投影，就是向量k的纵坐标（大家可以自行画图哈）。这表明，产生投影这种线性变换的矩阵，就是数轴上单位向量k的横纵坐标！也就是说，任意一个向量w点乘数轴上的单位向量k，就会得到向量w在数轴上的投影！用公式表示就是w·k。那如果我们是任意两个向量点乘呢？比如w·p，注意到，其中任意一个向量总可以写成单位向量的倍数形式。例如把P写成λk，k 是单位向量，λ是p的长度（单位向量的长度总是1）。因此，w·p可以表示为λ（w·k），λ是向量p的长度，w·k是w在向量p方向上的投影。这也就是向量点积的几何意义。

我们再用图来说明一下：

图4

任意给定两个向量w和p，则w·p的几何意义就是w在p方向上的投影ON的长度乘以p的长度。用公式表示就是：

其中，α是两个向量的夹角。注意到，根据α的大小，向量的点积也有正负之分。当α＜90°时，点积为正；当α＞90°时，点积为负；当两个向量垂直时（α=90°），点积为0。

好了，这就是今天的全部内容。你“Aha！”了吗？