微分方程模型(人口预测)

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发展中国家：人口增长很快，目前发展中国家每年增 长的人口，在世界人口增长总数中约占90%，原因是：
政治的独立 民族经济的发展
医疗卫生事业的进步
致使人口死亡率下降而 自然增长率高
发达国家：人口增长缓慢，已出现缓慢增长、零增长或 负增长
原因是：由于社会经济和文化教育的发展，人们自愿 节育，出生率逐步下降，目前多已接近零增长，甚至负 增长。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、 出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国 人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做 出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2 就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
2010年全国大学生数学建模竞赛暑期强化培训
微分方程模型
主讲人：徐世英
人口增长与人口问题背景知识
--中央民族大学理学院--
纵向观察：
世界人口增长是由规律可循的 古代----增长缓慢 近代----人口快速增长
现代----人口“爆炸性”增长
影响人口增长的因素---自然-人文-- 生产力发展水平、经济、 医疗卫生条件、生活等 国际大环境---
1）育龄妇女的生育率： 图中是1994~2005年十年间城镇育龄妇女的生育率，从中
可以看出虽然成下降趋势，但下降趋势趋于缓和。农村育龄 妇女的生育率情况类似，总体数据偏高，需要分开考虑。
1994~2005年育龄妇女的生育率(千分比)
2）出生人口性别比 一般情况下的
人口性别比为105： 100左右。而中国这 10年间人口性比比 远远超过这个比例， 这将导致未来育龄 妇女在总人口中的 比例减少，从而导 致总出生率下降， 因此在本研究中有 必要将出生人口的 男女性别比因素考 虑进去。
L
s2
0
x(k 1) Lx(k)
x(k) Lk x(0)
0
sn1 0
预测任意时段种群
~Leslie矩阵(L矩阵)
按年龄组的分布
题目：中国人口增长预测
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。 根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重 要问题。
我国的人口出生率、死亡率与自然增长率
按年龄分组的种群增长
• 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 • 以雌性个体数量为对象 • 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律
假设与建模
• 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… • 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi • 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di
1、问题分析
人口问题一直是人们所关注的一个课题。关于人口增长 问题已经有多方面的研究，如马尔萨斯指数增长模型、 Logistic人口阻滞增长模型、偏微分方程模型、Lislie模型等。
我国是一个人口大国，人口增长的数学模型研究有着重 要的意义。2007年国家发布了《国家人口发展战略研究》报 告，对于中国人口的发展现状、未来人口增长模型、人口素 质、人口教育、就业问题以及中国人口现阶段增长特点进行 了总结。本研究基于该文章、《中国人口统计年鉴》等资料 所提供的数据信息建立一个具有中国人口增长特点的常微分 方程初值问题的数学模型，并利用该模型对中国未来人口的 增长状况进行预测。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关 数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模 型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们 模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明
1994~2005年男女出生比例(以女性为100)
1）死亡率 不同年龄段的死亡率是不同的，需要将死亡率分年龄段考虑。
城镇女性2005年死亡率(千分比)
4）人口的年龄分布 可以看出过去50年
来的人口出生的变化情 况。15年前（1990）和 35（1970）年前均出现 人口生育高峰。进一步 的数据分析表明，这两 次人口生育高峰主要出 现在农村。也看出近15 年来人口出生的下降趋 势。而50岁以下的人口 由于死亡率很低，这些 人成批进入老年阶段将 使老龄人口的比重加大。
2005年分年龄段人口数量
5）农村人口城镇化 由于农村和城镇人口出生率的较大差异，大量的农村人
口转化为城镇人口对中国人口的增长将造成很大影响，因此 必须把这个因素考虑进去。 《国家人口发展战略研究报告》 预测农村人口的城镇化水平式年增长1%。但考虑到在城镇中 女性在服务业和婚姻方面较男性的优势，可以假设农村男性 以0.9%的比例转化，而女性以1.1%转化。
假设 与
建模
xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量
n
x1 (k 1) bi xi (k ) (设至少1个bi>0) i 1
x i
1
(k
1)
s i
x i
(k),
i
1,2,,
n
1
b1
s 1
b2 0
bn1 0
bn
0
x(k) [x1(k), x2 (k),xn (k)]T
~按年龄组的分布向量
2、基本假设
根据《国家人口发展战略研究》报告，当前中国人口的 增长有如下特点：
1）中国正进入老龄化社会，老年人的比重在不断加大； 2）农村与城镇育龄妇女的生育率及出生人口性别比有 着较大的区别； 3）农村人口不断城镇化，根据《国家人口发展战略研究》 报告，估计转化率为百分之一。
人口的增长率取决于出生率、死亡率和不同人群之间的 迁移率。而出生率又取决于育龄妇女的生育率及育龄妇女在 总人口中所占得比例。因此，需要对这些相关数据进行分析。
因此，我们可以把中国人口分成城镇男、城镇女、农村 男、农村女四类分别处理，并引进农村人口向城镇迁移的因 素。
3、模型的建立
1）人口分年龄比例的未来走向
由于在讨论出生率和死亡率时涉及到不同年龄段的问题， 需要对上述每一类人口在各年龄段所占得比例做出估计。
对每一类人口按其是否参与生育分为：幼年（0-14岁）、 青壮年（15~49）和老年（50岁以上）三个年龄段人口的比 例来处理。通过数据分析可以看出，老龄化的结果造成老年 人口增加，而幼年和青壮年的人口在总人口中所占得比例则 逐年减少，育龄妇女的生育年龄主要集中在20~35岁，且其 生育率趋于常数。