指数方程和对数方程的解法
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幂函数、指数函数和对数函数
【知识结构】
指数方程和对数方程的解法（一）
【教学目标】
1. 理解指数方程、对数方程的概念，掌握简单的指数方程及对数方程的解法，能应用所学
知识解决简单的实际问题。
2. 通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程及对数方程的基本解法，
从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式.
3．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法.
【教学重点】
指数方程及对数方程的概念、简单的对指数方程及对数方程的解法.
【教学难点】
感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法. 【知识整理】
1．简单的指对数方程
指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。
2．常见的四种指数方程的一般解法
（1） 方程()
(0,1,0)f x a b a a b =>≠>的解法： b log )x (f a = （2） 方程()
()(0,1,)f x g x a a a a =>≠的解法： )x (g )x (f =
（3） 方程()
()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠的解法： b lg )x (g a lg )x (f ⋅=⋅
（4）方程20(0,1)x
x a
ba c a a ++=>≠的解法： 换元，令t a x =，注意新变量范围，
将原方程化为关于t 的代数方程，解出t ，解出x 3．常见的三种对数方程的一般解法
（1）方程log ()(0,1,)a f x b a a =>≠的解法：“化指法”，即将其化为指数式b
a )x (f =再求解，注意需验根．
（2）方程log ()log ()(0,1,)a a f x g x a a =>≠的解法：“同底法”脱去对数符号，得
()()f x g x =，解出x 后，要满足()0
()0
f x
g x >⎧⎨
>⎩. （3）方程)1a ,0a (0C x log B x log A a 2
a ≠>=++的解法：用换元法，令y x log a =，
将原方程化简为Ay 2
+By+C=0，然后解之． 4．方程与函数之间的转化。
【例题解析】
【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算
【题目】
解方程：9x -4·3x +3=0.
【解答】
解：由(3x )2-4(3x )+3=0⇒ (3x -1)(3x -3)=0⇒3x =1或3⇒x =0或1.
【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，选择题，中，运算
【题目】
方程log 2［log 3(log 5x )］=0的根是 ( ) A.1 B.9 C.25 D.125
【解答】
答案：D ．解： log 3(log 5x )=1⇒log 5x =3.故选D ．
【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑
思维
【题目】
已知关于x 的方程：2log 2
a x -7·log a x +3=0有一个根是2，求a 值及另一个根
【解答】
解：设另一根为m ，∵Δ>0，故由根与系数关系得：⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=•=+23
log 2log 27log 2log m m a a a a log a 2 (27-log a 2)= 2
3
⇒a =4或32.
【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑思维
【题目】
解关于x 的方程：lg(ax -1)-lg(x -1)=1.
【解答】
解
：
由
⎩⎨
⎧-=->⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧-=->->-101011)1(101010
1x ax x x ax ax x ⇒
⎩⎨
⎧=->9
)10(1x a x ⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=>a x x 1091⇒
a
x -=
109