指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法学习资料
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
数值代数知识点总结
数值代数知识点总结一、基本运算1.加减乘除加减乘除是数值代数中最基本的四则运算。
在进行加减乘除运算时，我们需要遵循一定的运算法则，比如乘除优先于加减，带括号的部分先进行运算等。
同时，我们需要注意运算符的优先级和结合性，以及负数的运算规则。
2.整数的性质在代数中，我们经常会接触到整数，整数在加减乘除以及求幂运算中有着独特的性质。
比如，整数的加法和乘法具有封闭性、结合性和交换性，整数的乘法对加法有分配律等。
3.分数的加减乘除分数是数值代数中重要的概念，我们经常需要对分数进行加减乘除运算。
比如，分数的加减法需要找到它们的公共分母，分数的乘法是将分子和分母相乘，分数的除法是将除数倒数后再和被除数相乘等。
4.多项式的运算多项式是代数中的一种特殊形式，它是由数和字母的乘积组成的。
对多项式进行加减乘除的运算需要掌握多项式的规范形式、同类项的概念、加减法的运算法则、乘法的分配律等。
5.绝对值在数值代数中，绝对值是一个重要的概念，它表示一个数到原点的距离，是一个非负数。
对绝对值进行运算时，我们需要注意它的性质，比如绝对值的基本性质、绝对值不等式等。
二、方程和不等式1.一元一次方程一元一次方程是数值代数中最基础的方程类型，它的解法包括用逆运算法则、移项变号、求等值代换等。
解一元一次方程时，我们需要注意去分母、去括号、合并同类项等步骤。
同时，我们还需要注意方程的等效变形和检验解的方法。
2.一元一次不等式一元一次不等式是数值代数中的另一个重要概念，解一元一次不等式时，我们需要考虑不等号的性质和方向，以及解法中的变号不等式的性质。
3.方程组和不等式组方程组和不等式组是由多个方程或不等式组成的一个系统，我们需要掌握用消元法和代入法来解方程组，以及用图象法和数值法来解不等式组的方法。
4.二次方程和二次不等式二次方程和二次不等式是数值代数中比较复杂的方程类型，解这类方程时，我们需要掌握配方法、公式法、因式分解等方法，解二次不等式时，需要理解不等式性质和判别式等概念。
数学高一log知识点
数学高一log知识点在高中数学学科中，对于log（对数）的学习是非常重要的，它是数学中的一个重要概念，有广泛的应用。
在高一阶段，我们将深入学习log的相关知识点，本文将为大家介绍数学高一log知识点的相关内容。
一、对数的定义和性质1. 定义：对数是用以指出一个数与另外一个数的乘积相等的指数的运算。
设a、b为正数，a ≠ 1，b > 0，则称满足等式a^x = b 的x为以a为底b的对数，记作logₐb。
2. 常用性质：a) logₐa = 1，即一个数以自身为底的对数等于1；b) logₐ1 = 0，即一个数以底为1的对数等于0；c) logₐx = -logₓa，对数的底变换公式；d) logₐmn = logₐm + logₐn，对数相乘的性质；e) logₐ(m/n) = logₐm - logₐn，对数相除的性质。
二、 log的运算法则1. 指数与对数的互化a) 对数互化为指数：对于等式a^x = b，两边取以a为底的对数，即可得x = logₐb；b) 指数互化为对数：对于等式x = logₐb，两边取底为a的指数，即可得a^x = b。
2. 对数的换底公式a) 如果已知logₐb，要将其换底为logₓb，则可以运用换底公式logₐb = logₓb / logₓa来计算；b) 换底公式的推导过程：假设logₓb = m，即x^m = b，两边同时取以a为底的对数，得到logₐ(x^m) = logₐb，再利用乘法性质得(logₓa) (logₐx) = logₓb，进一步化简即可推导得到换底公式。
3. log的乘方和开方运算a) logₐm^k = k logₐm；b) logₐ√b = 1/2 logₐb。
三、对数方程与不等式1. 对数方程的解法a) 将对数方程转化为指数方程进行求解；b) 运用对数运算法则，将方程化简为形式简单的等式，并解得未知数的值。
2. 对数不等式的解法a) 将对数不等式转化为指数不等式进行求解；b) 利用对数的单调性，将不等式不等式化简为形式简单的等式，并得到未知数的取值范围。
职高数学知识点高二下册
职高数学知识点高二下册高二下册的数学课程是职高学生学习数学的重要阶段，本文将系统介绍高二下学期数学课程中的关键知识点。
以下是本学期数学课程的重点内容：一、线性不等式与线性规划1. 线性不等式的解集表示及其性质；2. 一元和两元线性不等式的图解法和代入法；3. 线性规划的基本概念和线性规划问题的求解方法。
二、二次函数与二次方程1. 二次函数的基本概念、图像和性质；2. 二次方程的解的判别式及其应用；3. 一元二次方程与一元二次不等式的关系和解法。
三、三角函数与三角恒等变换1. 正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质；2. 三角函数的图像和变换规律；3. 三角恒等变换的推导与应用。
四、指数与对数1. 指数与对数的基本定义和性质；2. 指数方程与指数不等式的解法；3. 对数方程与对数不等式的解法。
五、排列与组合1. 排列与组合的基本概念；2. 排列与组合的计数原理；3. 置换、多项式定理和二项式展开。
六、数列与数列极限1. 等差数列和等比数列的概念及其性质；2. 数列的通项公式的推导与应用；3. 数列的极限概念和收敛性质。
七、概率与统计1. 概率的基本定义和常见概率模型；2. 独立事件、互斥事件和条件概率的计算；3. 抽样调查、频率与概率的关系。
这些数学知识点是高二下学期数学课程的核心内容，通过深入理解和掌握这些知识点，职高学生们可以提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们在学习这些知识点时，能够结合实际问题进行思考和应用，培养自己的数学思维能力和解决实际问题的能力。
以上是高二下册数学知识点的简要介绍，希望同学们能够充分利用课堂时间，积极参与讨论和思考，做好课后习题的练习和复习，以提高数学素养和应试能力。
祝愿同学们在数学学习中取得优异的成绩！。
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
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选修4--5知识点 1不等式的基本性质 ① （对称性）a ■ b ：= b - a ② （传递性）a b,b • a c ③ （可加性）a • b= a c b c （同向可加性）a . b , c = a c b d （异向可减性）a b ，c . d = a - c b - d ④ （可积性）a ■ b , c ■ Q = ac . bc a . b , c ：：： 0 二 ac ::: bc ⑤ （同向正数可乘性） a .b . 0,c d .0=- ac . bd a b 0,0 ::: c :::d 二 a £ c d ⑥（平方法则）a b 0= a n b n （N,且n 1） ⑦（开方法则） a >b 苗 >V b （n E N,且n>1） 1 1 1 a b 0 ; a ：： b ：： 0 二 a b a 2、几个重要不等式用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） 三（异向正数可除性） ⑧（倒数法则） 2 2 ①a b -2ab a ，b ・R ,（当且仅当 ab -a 2b 2 号）变形公式:②（基本不等式）a b € R \,（当且仅当a =b 时取到等号）变形公式:ab -¥2，要注意满足三个条件“一正、二定、相等” •a b C 3 赢3 「- （a、b c R ）（当且仅当2 2 2④a b c _ ab bc ca a, b 二R(当且仅当a =b =c时取到等号).3 3 3⑤a3b3c _3abc(a 0,b 0,c 0)(当且仅当a=b=c时取到等号).b a若ab 0,则--_2⑥ a b (当仅当a=b时取等号)b a右ab ：：： 0,则■: 2a b (当仅当a=b时取等号)b b m a n a1 ：：：⑦ a a+m b+n b ,(其中a Rb>0, m^O, n A°)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a .0时，x .a：=x2.a2：=x”-a或x a;x <a 吕x2 <a2二-acxca.⑨绝对值三角不等式a_b兰a=b兰a + b.3、几个著名不等式¥^兰后兰整-兰J o云一+①平均不等式：a b 2■2,(a b R，当且仅当a=b时取"="号).(即调和平均 -几何平均-算术平均-平方平均).变形公式：ab 严仁士a2+b2’4I 2 丿2②幕平均不等式：a i2 a22 ' ... a*2—^(a i a? … an)2.n③（三个正数的算术一几何平均不等式）③二维形式的三角不等式：、xj y；M22y22-、(x i -X2)2(% -y?)2(x i’yzm R).④二维形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 _(a +b )(c +d )3(ac + bd) (a,b,c,^ R).当且仅当ad = be时，等号成立.⑤ 三维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 2 2 (Q a ? a 3 )(b b 2 b s ) _(aib a zd a s b s ). ⑥ 一般形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 2 2 (a i a ... - a n )(b b 2 ... b n ) - (ab azb …a n b n ). ⑦ 向量形式的柯西不等式:⑧ 排序不等式（排序原理） 设a i 兰a 2兰…兰a n , b i 兰b 2兰…兰b n 为两组实数 .C 1 , C 2 ,..., C n 是b 1 , b 2 ,..., b n 的任一排列，则 a i b n a 2bu ... a nd 乞• a 2$ ... a n C^ aQ a 2b ? ... a n b n (反序和岂乱序和 < 顺序和），当且仅当a i =吐二…二冇或b =b 2 = ... =0时，反序和等于顺序和 ⑨ 琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数） f （X ），对于定义域中任意两点X 公2（人=X 2）,有 f （X 十X 2） ^f （x ） +f （X 2）或 f （X i +X 2） > f （X i ） +f （X 2） （2 2 或 （ 2丿- 2 .则称f （X ）为凸（或凹）函数 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等 常见不等式的放缩方法：(k N *,k i)5、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式aX bX c °（或::°）2(a =0" =b -4ac 0)解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.当且仅当 是零向量，或存在实数k ，使 时, 若定义在某区间上的函数 ①舍去或加上(a ¥ 2 3 +— 4 (a * 2②将分子或分母放大（缩小）， 1 i i i 2 , 2如 k k （k -i ） k k （k i ）i 22 “ k 、k 「k Jk 「k Jk=i 是两个向量,四画：画出对应函数的图象 •五解集：根据图象写出不等式的解集 •规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边• 6、 高次不等式的解法：穿根法 .分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) 写出不等式的解集•7、 分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x) 0 f (x) g (x) 0 g(x)f(x) c f(x)g(x)—0g (x) g(x )=0 (“ ：：：或乞”时同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 [f(x “0,f(x) ：： g(x) = g(x) 0I 2f(x)订g(x)]2!f(x^0 ,1 ---------------- I -----------------------------Jf(x) > Jg(x)二 g (x)Z0⑸ / (x^>g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法：⑴当 a>1 时,a f(x) Aa g(x) = f(x)>g(x)f (x) g(x) …、 彳、⑵当 0cav1 时，a >af(x)cg(x)规律：根据指数函数的性质转化10、对数不等式的解法 f(x) 0，结合原式不等号的方向, .f(x) a(a 0)：=⑴ f(x) 一0 f(x) a 2f(x) :: a(a 0)：=⑵ f(x) 一0 2 .f(x) ：：.f(x) g(x)u ⑶f(x) 0 g(x)_O2 f(x) [g(x)] 或｛ g;：)：0lOg a f(X)- lOg a g(X)：= g(x) 0⑴当a>1 时，l f(x)>g(x)f(x) 0 log a f (x) log a g(x) u g(x) . 0l⑵当0ca<1 时，l f(x)v g(x)规律：根据对数函数的性质转化•11、含绝对值不等式的解法：a (ax 0)a =《⑴定义法：—a (a :: 0)⑵平方法：f(x)| |g(x)二f2(x)乞g2(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①x Ea= —aExEa(a^O);②x £a二x^a或xW—a(a£0);③| f (x)| 兰g(x)二—g(x)兰f (x)兰g(x) (g(x)色0)④ f (x) _g(x)：= f(x) _g(x)或f(x)乞-g(x) (g(x) _0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集•13、含参数的不等式的解法2解形如ax bx c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:⑴讨论a与0的大小；⑵讨论二与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题2⑴不等式ax bx c 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当a = 0 时=b = 0,c 0;a 0=I②当a = 0时0 -2⑵不等式ax bx c ::: 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：①当a = 0 时二b = 0, c ：： 0;-l a :：: 00.②当a = 0时⑶ f(X)：：a恒成立：=f(x)max ：：a;f(X)一a 恒成立=f(X)max -a；⑷ f (x) a恒成立：=f (X)min a；f(X)— a 恒成立=f(x)min —a-15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：Ax By;z y z y-b.z =_ z = ------------ .②“斜率”型：X或x-a2 丄 2 _2③“距离”型：z = x・y或z —X y .2 2 2 2z=(x-a) (y-b)或z = ：,(x-a) (y-b).在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解, 题简单化.从而使问。
对数相关知识点总结
对数相关知识点总结一、对数的概念1. 对数的定义对数是一种数学运算，用来表示一个数在指数运算中的幂。
例如，如果a^x = b，那么x称为以a为底b的对数，记作x= log(a)b。
2. 对数的性质（1） log(a)1 = 0（2） log(a)a = 1（3） log(b)a = 1/log(a)b（4） log(a)b + log(a)c = log(a)(b*c)（5） log(a)b - log(a)c = log(a)(b/c)3. 对数的底常见的对数底有自然对数底e和常用对数底10。
自然对数底e约等于2.71828，常用对数底10。
二、对数的运用1. 对数的应用对数在数学中有着广泛的应用，尤其在指数函数、微积分、概率统计等领域中有着重要作用。
2. 对数方程对数方程是指含有对数的方程，例如log(x+2) = 2。
对数方程的解法通常是先化为指数方程，然后解出方程的根。
3. 对数不等式对数不等式是指含有对数的不等式，例如log(x+2) < 2。
对数不等式的解法通常是先将其转化为指数形式，然后求出解。
4. 对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，例如y = log(x)。
对数函数的图像通常为单调增加的曲线，与指数函数互为反函数。
三、常用对数和自然对数1. 常用对数对数底为10的对数称为常用对数，通常用log表示，例如log(x)。
常用对数在计算中有着广泛的应用。
2. 自然对数对数底为e的对数称为自然对数，通常用ln表示，例如ln(x)。
自然对数在微积分、概率统计等领域中有着重要作用。
3. 常用对数和自然对数的换底公式常用对数和自然对数的换底公式是log(a)b = ln(b)/ln(a)。
利用换底公式可以方便地转化对数的底。
四、对数的运算1. 对数的加减法对数的加减法规则是log(a)b + log(a)c = log(a)(b*c)、log(a)b - log(a)c = log(a)(b/c)。
各类不等式的解法
各类不等式的解一、不等式的基本性质 法不等式的基本性质有：(1) 对称性或反身性：a>b b<a ；11(4) 开方法则：若 a>b>0, n WN+,则 a " b n11(5) 倒数法则：若ab>0, a>b,贝I 」oab例仁1) V 8 6与7 5的大小关系为2)、设n 1'且 n 1, 则rV 1与n 2n 的大小关系是3)已知，滿巳富卞Q佶詰雨U2 W 3例2.比2 O1552aa 1的大小。
例3.解关于x 的不等式m(x 2) x m二、一元二次不等式的解法(3)可加a>b a+c>b+c 此法则又称为移项法则; ⑷可乘a>b 当c>0ac>bc ；当 c<0 时，时_不等式运算性质(1)同向相若a>b,、 1则 a+c>b+d ； (2) 传递性：若 a>b, b>c,则 a>c ； (2)正数同向相乘：若 a>b>0, c>d>0,则 ac>bdo特例:(3)乘方法则:若a>b>0, nEN +,则a nb n；兀二次不等式ax2 bx c 0(a 0)或ax2 bx c 0(a. 0)的求解原利用二次函数的图过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元理不等式的昨二次函数y ax 2bx c (a 0)的图象一元二次方程ax 2bx c 0a 0 的根 有两相异实根有两相等实根 无实根ax 2bx c 0a 0 解集Rax 2bx c 0a 0的解集【例题讲解】1 •解下列不等式:三、分式不等式与高次不等式的解法1 •分式不等式解法2. 高次不等式解法：数轴标根法(奇 穿偶切)(1) 2x 23x 20 (2) 9x 26x 1 2.解不等 式组3x 27X 10 0异5x 203.若不等式bx c0的解集为 ----- 20 (3)4x2 X5 (4) 2x 2x 12 X2x3025 X4x(-2,3),2 CXax b 0的解集.4.当k 为何值时， 不等式2kx 2kx0对于一切实数x 都成立?典型例题例1解下列不等式X- 3 2 (1) X+7 <0 (2) 3+ X <042 —x33)X-3> —33 —x4) x > 1(6) (x 4) (x 5) & %)3 02 x 4x 12 rc四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要题型 I:f (X )g(x)型(f (x)0)g(x) 0 g(x) f(x) 定义域例1解不等式(1)1x 3x 2 0(2)52x x 1题型f (x) 0g(x) 0 或 f (X ) 0 II:f (X )g(x)型f (x)[g(x)]2g(x)例2 解不等式2x 2 3x 11 2xf(x) 0题型III:f (x) g(x)型g(x) 0 f (x) [g(x)]例3解不等式2x 23x 1 2x例4解不等式2x 1 x 1 1 例5解不等式9 x 26x x 23五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值，而去掉绝对值，则需要对绝对值中的零点 般来说 进行讨论一个零点分两个范围，两个零点分三个零点，依次类推•(1)含有一个绝对值：5)3215x 02x x 32不等式X a(a 0)的解集是x a x a ；不等式x a (a 0)的解集是xx a,或x a已知函数f (x)二|x-2卜|x-5|・六、指数不等式与对数不等式 利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式例1•解不等式0.22x x x x 1例4. a 1时解关于X 的不等式log . [a 2 (a 2 ) 1] 0 七、基本不等式(也叫均值不等式)例2.解不等協gx 4s例 3.解不等式：IOga X1 3 log a X (0 a 1)1.基本不等式2•常用的几个重要不等式(1)a 2+ b 2^2ab(a, be R) (2)ab^(a+2 b )2(a, be R)a 2+ b 2 a+b(3)b a a2 (a+2 b )2(a, be R) (4)b a + a&2(a, b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a= b.不等 ax b c (c 0)的解集为 式 x | c ax b c (c 0)；不等式axb0)的解 C (c 集为x axb c,或 ax(c 0)(2)含有多个绝对值： 例1解不等式(1) 零点分段法x 500 5.(2) 2x 5 7 (32x 3(4)(5)|4x-3|>2x+1解不等式：( 1) |x-3卜|x+1 |<1.(2)|x|-|2x + 1 | |>1. (I) 证明：-3Wf (x)W3；( II )求不等式f (x)M 2X -8X +15 的解集.设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为+2 ,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数・2.比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系一一结论例1求证：x2 + 3 > 3xab例 2 a , b R+,且 a b ,求证：a a b b（ab）2 a b b a（二）综合法1.综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法・2.用综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2L BnB3.综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理' 性质和公式，推出结论的一种证明方法。
指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法
指数、对数方程与不等式的解法4、对数不等式的解法: (1)问底去底法：a 1 时，log a f (x) log a g(x) 0 f (x) g(x)；0 a 1 时，log a f(x) log a g(x) f(x) g(x) 0；(2)化成指数式：a 1 时， log a f (x)b log a f(x) log a a b 0 f (x) a b ；0 a 1 时，log a f (x) b log a f (x) log a a bf (x) a b 0.一、知识要点：1、指数方程的解法：(1)问底去底法：a () a g( ) f(x) g(x)； (2)化成对数式：a f(x) b a f(x) a logab f(x) log a b ； (3)取同底对数：a f(x)b g(x) lga f(x) ig b g(x) f(x)lg a g(x)lg 2、对数方程的解法：(1)问底去底法：log a f(x) log a g(x) f (x) g(x)；(2)化成指数式：log a f (x) b log a f(x) log a a b f (x) a b ； (3)取同底指数：loga f (x) b a loga f(x) a b f (x)a b .b .注：以下式子中，若无特别说明，均假设 a 0且a 1,b 0. (1)问底去底法： a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)；0 a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)；(2) 化成对数式：a / , f (x) f (x) log a b1 时，a b a a f (x) log a b ； 0 a 1 时，a f(x) b a f(x)a logabf(x) log a b ；(3) 取同底对数：a f(x) b g(x) lg a f(x) lg b g(x)f (x)lgg(x)ig b .3、指数不等式的解法: a二、巩固提高：1、解下列方程或不等式： (1) 3x 1(2) 3x 8(3) 3x -99⑺ log 3(x 1) 2(8) log i (2x 1) 222、解下列方程或不等式：(1) 4x 2x 2 12 0x22x 3 / 1\3(x 1)⑷ 2(一)；2(4) (l)x 83(5)眼乂 2 (6) log 3xx xx(2)96 2 4(5) log 〔(x 2 3x 4) log 1(2x 10) ；(6) 3x 1 18 3 x 29333、填空题：(1) 不等式 — (1)x 16的整数解的个数为 .128 2—- 2 .................. (2) 右1 log a — 1,则a 的取值范围是 .3(3)已知log m 7 log n 7 0,则m,n,0,1之间的大小关系是.(4) 函数f(x) log a (a a x )的定义域是 . (5)函数f (x) J32x1 1的定义域是 .(6) 若 log 3(lg x) 1,则 x ^⑺若 log x (3 2J2)2，则 x .log 2 x(x 0)(8) 已知f(x) |() ； 0，若f(x) f( x)，则x 的取值范围是x23x 2 2 22,2(8) 23x 4 4x3(9)log 3(x 1) log 9(x 5)；2,、 x 2x x 4(10) a a (a 0且 a1)(13) 设a 0且a 1 ,若log a 2 log 2a ,则a 的取值范围是 .22(14)对于x R,不等式(1)x 2ax23x a恒成立，则a 的取值范围.2--------(15) 不等式x 2 l og a x 0在x (0,1)内恒成立，则x 的取值范围是4、已知 R 为全集，A (x|log 1 (3 x) 2}, B {x|一八 1},求 C R A. B .2 x 25、已知关于x 的方程2a 2x 2 9a x 1 4 0有一根是2 . (2)若0 a 1,求不等式2a 2x 2 9a x 1 4 0的解集.(3) lg x 1g x 3 1(9) 已知f(x) |log 3x|,当0 a 2时，有f(a) f (2),则a 的取值范围是log 3 x (x (10) 已知函数f(x)3x (x2_(11) 关于O)―由口，贝U 满足f (x) 1的x 的取值范围是0)2 。
高中对数运算知识点总结
高中对数运算知识点总结一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数是一种表示指数运算的逆运算。
当a的x次方等于b时，就称loga b等于x，表示为loga b = x。
其中，a叫做底数，b叫做真数，x叫做对数。
2. 对数的性质（1）对数的底数不为1且不等于0。
因为对数的底数不能为1或0，否则无法对应一个唯一的真数。
（2）对数的底数不等于1且不等于0。
因为对数的底数不等于1或0，否则无法对应一个唯一的真数。
（3）对数的真数必须大于0。
因为对数的真数必须大于0，否则无法定义对数。
（4）logab = logcb / logca对数的底数不影响对数的计算，可以利用这个性质进行对数运算的计算。
（5）a^logab = b这是对数的定义的逆过程，当底数为a时，对数运算和指数运算是相互逆的。
二、对数运算法则1. 对数的基本运算法则（1）对数的乘法法则若loga m = p，loga n = q，则loga (mn) = p+q。
两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。
（2）对数的除法法则若loga m = p，loga n = q，则loga (m/n) = p-q。
两个数相除的对数等于这两个数的对数之差。
（3）对数的幂运算法则若loga m = p，则loga (m^k) = k*loga m。
一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以幂的指数。
2. 对数的换底公式在计算对数时，如果底数不同，可以使用对数的换底公式来计算。
loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为任意正数，且a≠1，b>0，c>0，c≠1。
三、对数函数1. 对数函数的定义和性质对数函数是指以某一固定的正数a为底的函数，通常表示为y=loga x。
对数函数的图像是一条连续递增的曲线。
2. 对数函数的性质（1）定义域对数函数的定义域为正实数集（x>0），因为对数函数的真数必须大于0。
（2）值域对数函数的值域为全体实数集，因为当底数大于1时，对数函数是递增函数，当底数在(0,1)之间时，对数函数是递减函数。
指数方程和不等式与对数方程和不等式
指数方程和不等式与对数方程和不等式一、指数方程和不等式与对数方程和不等式指数方程和不等式与对数方程和不等式是对指数函数和对数函数的性质的综合运用．我们将指数方程和对数方程的主要类型和解法列入下面的表格：分析：1、解指数方程和对数方程主要是运用转化的思想将方程化归为己学过的代数方程来解，同时要注意对数方程的同解变形，重视对根的检验．2、对于含有指数函数或对数函数的混合型方程，常用图象法求方程的近似解或确定方程的根的个数．3、在解含有参数的指数方程和对数方程时，必须注意对字母的取值范围的讨论．将上述表格中的等号“＝”改为不等号“＜”或“＞”即得到指数不等式和对数不等式，它们的解法在本质上与方程的解法是相同的，同时也要对字母的取值范围进行讨论．但不同的地方在于要对底数a的取值范围进行讨论，因为a的取值范围不同时要影响指数函数和对数函数的单调性．要注意方程与不等式的本质联系与区别．例1 解下列方程：(1)lg2x·lg3x=lg2·lg3；(2)；(3)；(4)log(x+1)(2x2-2x+1)=2分析：(1)根据方程的结构，可以从方程中分离出变量lgx，利用换元的方法求解；(2)去分母后可采用换元的方法；(3)再对方程变形后采用两边取对数的方法求解；(4)利用对数定义将方程转化为代数方程求解．解：(1)原方程可化为(lg2+lgx)(lg3+lgx)＝lg2·lg3，即lg2x+lg6·lgx＝0．解得lgx＝0或lgx＝-lg6. ∴x＝1或.经检验，x＝1和都是方程的根．(2)方程可化为3x+1-3-x+2＝0，即3·32x+2·3x-1＝0．设y＝3x，则3y2+2y-1＝0，解得y1=-1，.当y＝-1时，3x＝-1＜0，无意义，故舍去；当时，, ∴x=-1。
(3)原方程即，即, ＝3．两边取以3为底数的对数，得到(log3x)2=1, ∴log3x=±1, 解得x＝3或.经检验，x＝3和都是原方程的根．(4)根据对数的定义得到(x+1)2＝2x2-2x+1，即x2-4x＝0．解得x＝0或x＝4．当x＝0时，x+1＝1，故舍去．∴原方程的根为x＝4．总结：(1)解对数方程时，必须注意对根的检验；(2)换元的方法是解方程的一种常用方法；(3)在解指数方程和对数方程时，要注意应用指数和对数的有关性质和法则对方程进行变形．当幂指数上含有未知数时，往往两边取对数求解．例2 解方程：lgx+lg(4-x)＝lg(2x+a)解：原方程等价于：, ∴.设y1＝a, y2＝-x2+2x，x∈(0,4). 作出两个函数的图象，如图所示．分以下三种情况讨论：(1) a>1或a≤-8 时，方程无解；(2) 0<a<1时，方程有两解；(3) -8<a≤0, 方程有一解。
不等式的解法
二 不等式 11. 方程 函数 与 不等式方程 函数 （图像） 不等式①－2x ＋4=0 → x =2 y =－2x ＋4 → y =0 → x =2 －2x ＋4 ＞0→x ＜2－2x ＋4 ＜0→x ＞2②2x －3x ＋4=0 → y =2x －3x ＋4 2x －3x ＋4＞0 →x ∈R2x －3x ＋4＜0 →∅③2x －3x ＋2=0 → x =1 or x = 2 y =2x －3x ＋2 2x －3x ＋2＞0 (x －1)( x －2) ＞0 y =0 → x =1 or x =2 → x ＜1 or x ＞2 (x －1)( x －2) ＜ 0 2x －3x ＋2＜0 → 1＜x ＜2 方程0)(=x f 有无实根等价于函数)(x f y =对应的曲线是否与x 轴产生交点，方程0)(=x f 的实根即函数)(x f y =对应的曲线与x 轴产生交点（的横坐标），也即y =0时x 的取值；解不等关系)(x f ＞0，（或 )(x f ＜0）.即寻求x 取何值时，函数值y ＞0，（或y ＜0）.亦即寻求x 取何值时，函数)(x f y =对应的曲线在x 轴上方（或x 轴下方）. 曲线在x 轴上方（或x 轴下方）是由曲线与x 轴产生的交点即对应方程的根来分割的. 所以不等式的解集与方程的根密切相关. 也可以说不等式的解集由对应方程根的取值情况来确定的.2.三个基本不等式的解法① 一元一次不等式：b ax +>0 (或<0) a ± ？②※ 一元二次不等式：c bx ax ++2>0 (或<0).10 考察判别式∆（确定的方程根的取值情况）.20△≤0 →借助函数的图像（直接）下结论.30∆＞0 → 确定方程的根 → 由根确定不等式的解集③高次不等式（对应方程的根可知）形如 ))()()(()(d x c x b x a x x f ----=)(k x ->0 (或<0)曲线与x 轴产生的交点 即 方程的根 显然分别为d c b a ,,, …k （标根法）1. 不等式ax ＋1>0的解集为｛x ∣x < 2｝,则a =2. 不等式012>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,则不等式ax bx +2＋1>0的解集为3. 不等式2x ＋2x ＋3>0的解集为4. 不等式2x ＋2x －3>0的解集为5. 不等式2x ＋2x ＋1≤0的解集为6. 不等式212-+x x ≤0的解集为7. 不等式212-+x x ≤1的解集为8. 不等式42122+++x x x >1的解集为 9. 不等式232+-x x x ≤2的解集为10. 不等式︱x 2－3︱≥2的解集为11. 不等式︱x x 32-︱≥2的解集为12. 不等式︱ax ＋1︱>3的解集为｛x ∣ x <-1 或 x >2｝,则a ？13. 不等式)3)(4)(12)(2(--++x x x x ≤0的解集为14.不等式bx ax +2＋1>0的解集为R,试探讨a ，b 的取值情况或相关关系.二 不等式 21. 分式不等式基本形 ：)()(x g x f ＞0 （or <0 ，o r ≥0 ）形如 )()(x g x f >m2. 含绝对值不等式基本形 ：①∣x ∣>a → x a >或 a x -<②∣x ∣<a → a x a <<- (几何意义)绝对值基本性质 ： 若 0≥x → ∣x ∣= x若 0<x → ∣x ∣= -x(去掉绝对值号)3. 无理不等式基本形 ：① )(x f > g(x)② )(x f < g(x)4. 指数不等式基本形 ：① )()(x g x f a a >② )(x f a > m ()m a a log = 同底5. 对数不等式基本形 ：① )(log )(log x g x f a a > 同底② )log ()(log m a a a m x f =>1． 不等式 321<-<x 的解集是2. 不等式 3)2(-+x x x < 0 的解集是3. 不等式 x x 1- ≥ 2 的解集是 4. 不等式 121<-x 的解集是5. 不等式 22-x < 12)21(+x 的解集是6. 不等式x2> 0.99 的解集是7. 不等式 01391<-++x x 的解集是8. 不等式 )1ln()3ln(2->-x x x 的解集是三 不等式 3 例1. 不等式bx ax +2＋1>0的解集为｛x ∣-1<<x 3｝,→ －1 与3 为方程bx ax +2＋1=0 的两根，且 a < 0. → －1＋3=－a b ，－1×3=a1 一般地，含参不等式的解集确定，其中参数应为定值，（特殊情况除外）.否则，其解集会随参数的改变而改变.例2. 不等式1-x > ax 的解集为｛x ∣<<x b 5｝.→ 5与 b 为方程1-x = ax 的根.例3. 不等式x -1 < ax 的解集为｛x ∣21＜x ≤ 1｝. →21是方程x -1 = ax 的根. 而1并不是该方程的根. (可借助图像观察) x ≤ 1是x -1有意义的前提条件！另外，原不等式是严格不等式，而其解集中x 可取1，非严格，矛盾.故1 不应是该方程的根！例4. 求不等式)12ln()12ln(++<++x x x x 的解集→ x ㏑（2x -1）<0 ( ∣a ＋b ∣≤ ∣a ∣＋∣b ∣恒成立当ab ≥0时，∣a ＋b ∣ = ∣a ∣＋∣b ∣当ab <0时, ∣a ＋b ∣ < ∣a ∣＋∣b ∣ )→ 2x －1>0 → x >21>0 → ㏑（2x -1）<0 = ㏑1 → 2x -1 <1 →21< x < 1例5. 求不等式 ∣x －2∣＋∣x ＋3∣>7 的解集求不等式 ∣x －2∣－∣x ＋3∣>7 的解集不等式 ∣x －2∣＋∣x ＋3∣> m 恒成立 …等问题，基本的处理办法是利用分段讨论的方法设法脱去绝对值号，转化为基本不等式求解.或借助于绝对值的几何意义处理.(数轴上实数x 到－3与2的距离之和or 距离之差)练习：1. 已知a log 52 < 1, 则a 的取值范围是 A ．（0，52） B. (1, +∞) C. （0，52）⋃(1, +∞) D. ( ,25+∞) 2. 角βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的范围是A. 0<-<-βαπB. πβαπ<-<-C. 02<-<-βαπD. 22πβαπ<-<-3. 设b a ,∈+R ，且1=+b a ，那么)1)(1(bb a a ++的最小值为 A ．4 B.425 C. 2 D. 24 4. 设b a ,∈+R ，则下列命题 ① 221≥++ab b a ② 4)11)((≥++b a b a ③ 22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ ④ b a b a 22222+≥++ 中，真命题有—— 5. 已知点()y x ,在直线032=-+y x 上，那么yx u 42+=的最小值为 6. 已知)2,0(∈x ，那么函数)38(x x y -=的最大值为———— 7. 已知,12,0,022=+>>b a b a 那么21b a z +=的最大值为———— 8. 点（3，1）和（-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是———9．△ABC 内部及边界围成可行域，其中A （1，1）B （4，2）C （3，4），函数y ax z +=的最大值的最优解有无穷多个点（),y x ，则=a ———10. 实数y x ,满足不等式组 02200≥--≥-≥y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是——— 11. 设函数()12--=mx mx x f ， ① 若,R x ∈∀0)(<x f 恒成立，则m 的取值范围是———②若对于[]5)(,3,1+-<∈m x f x 恒成立，则m 的取值范围是———。
一元二次不等式的解法(含参不等式)
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)
0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx
bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1
66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.
高一上册数学人教版知识点
高一上册数学人教版知识点一、函数及其表示方法
函数的概念与符号表示方法
定义域、值域及其确定方法
函数的图像表示及性质
二、线性函数
线性函数的概念及其表示
线性函数图像与性质
函数的单调性与零点
三、二次函数
二次函数的概念及其表示
二次函数的图像与性质
二次函数的最值与零点的判定
四、指数函数
指数函数的概念与表示方法
指数函数的图像与性质
指数方程与指数不等式的解法
五、对数函数
对数函数的概念与表示方法
常用对数与自然对数的性质
对数方程与对数不等式的解法
六、三角函数
常用三角函数的概念与表示方法三角函数的图像与性质
三角函数的周期性与奇偶性
七、解直角三角形
直角三角形的概念与性质
三角函数在直角三角形中的应用
角度的弧度制与三角函数的关系
八、平面向量
向量的基本概念与表示方法
向量的运算法则
平面向量在几何与代数中的应用
九、数列与数列的极限
数列的概念与表示方法
数列的通项公式与递推关系
数列的收敛性与极限定理
十、概率统计
随机事件与概率的概念
常用概率计算方法
统计的方法与常见统计图表
以上为高一上册数学人教版的知识点概述，通过学习这些知识，能够帮助同学们建立起数学的基本理论框架，为学习数学打下坚
实的基础。
在学习过程中，同学们还需通过大量的练习和实际应
用来巩固这些知识，提高自己的数学能力。
希望同学们能够认真
学习，积极思考，享受数学带来的乐趣！。
新高考高一数学知识点归纳
新高考高一数学知识点归纳高一学生在新高考改革下，面临着更加严峻的考试要求和更加全面的知识点。
数学作为一门重要的学科，在高一阶段也有着许多重要的知识点需要掌握。
本文将对新高考高一数学的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地复习和掌握。
一、函数与方程1.1 函数的概念与性质- 函数的定义及其表示方法- 函数的定义域、值域和相等性- 奇函数与偶函数的性质- 单调性及极值的求解1.2 一次函数与二次函数- 一次函数的基本性质与图像- 一次函数与线性方程的关系- 二次函数的基本性质与图像- 二次函数的顶点、焦点、方程求解1.3 指数函数与对数函数- 指数函数的概念与性质- 指数方程与指数不等式的解法- 对数函数的概念与性质- 对数方程与对数不等式的解法二、数列与数学归纳法2.1 等差数列与等差数列求和- 等差数列与公差的关系- 等差数列的前n项和与通项求解- 等差数列的应用问题2.2 等比数列与等比数列求和- 等比数列与公比的关系- 等比数列的前n项和与通项求解- 等比数列的应用问题2.3 递推数列与数学归纳法- 递推数列的概念与性质- 递推数列的表示与求解- 数学归纳法的应用三、平面几何与向量3.1 三角形的性质与应用- 三角形的分类与性质- 三角形内角和、面积求解- 三角形的相似关系与比例定理3.2 直线与圆的性质- 直线斜率及与其他直线的关系- 直线方程与图像的求解- 圆的基本性质与方程求解3.3 向量与平面向量的运算- 向量的定义及基本性质- 向量的线性运算与数量积- 平面向量的坐标表示与求解四、概率与统计4.1 随机事件与概率- 随机事件的基本性质与运算- 概率的定义及基本性质- 概率计算与应用问题4.2 离散型随机变量与分布- 随机变量的概念与性质- 离散型随机变量的分布求解- 随机变量的期望与方差4.3 统计与抽样- 样本与总体的概念与表示- 统计量的计算与应用- 抽样技术与调查分析以上就是高一数学的主要知识点归纳总结。
高中数学必考知识点大全
高中数学必考知识点大全高中数学是学习数学的重要阶段，也是考试的重要内容。
掌握高中数学的必考知识点，对于学生能否在考试中取得好成绩至关重要。
下面将为大家详细介绍高中数学的必考知识点，希望对大家的学习有所帮助。
一、函数与方程1. 函数的概念与性质：函数的定义、自变量、函数值、定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2. 一次函数与二次函数：一次函数的定义、图像、性质，二次函数的定义、图像、性质、顶点坐标、对称轴等。
3. 幂函数与指数函数：幂函数、指数函数的定义、图像、性质等。
4. 对数函数与指数方程：对数函数的定义、性质、指数方程的解法等。
5. 三角函数与三角方程：正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义、性质，三角方程的解法等。
二、数列与数列求和1. 等差数列与等比数列：等差数列的通项公式、前n项和公式等，等比数列的通项公式、前n项和公式等。
2. 数列的递推公式：递推公式的推导与应用。
3. 数列极限：数列极限的概念、性质，极限存在与计算等。
4. 数列求和：等差数列、等比数列的前n项和公式等。
三、三角函数的应用1. 三角函数的周期性与图像：正弦函数、余弦函数的周期、图像、性质等。
2. 三角函数的和差化积公式：正弦函数、余弦函数的和差化积公式的推导与应用。
3. 三角函数的倍角、半角公式：正弦函数、余弦函数的倍角、半角公式的推导与应用。
4. 三角函数的积化和差公式：正弦函数、余弦函数的积化和差公式的推导与应用。
四、数与式1. 数与式的化简与运算：三角函数的平方、倒数关系等。
2. 分式与分式方程：分式的性质与运算，分式方程的解法等。
3. 指数运算与对数运算：指数运算的性质、指数方程与指数不等式的解法，对数运算的性质、对数方程与对数不等式的解法等。
五、平面几何与空间几何1. 平面几何的基本概念：点、线、面、角的定义、性质等。
2. 平面几何的证明与计算：证明题的基本方法与技巧，计算题的基本公式与应用等。
3. 空间几何的基本概念：立体的表面积与体积的计算公式等。
九年级数学下册综合算式专项练习题指数对数方程与不等式的解法探究
九年级数学下册综合算式专项练习题指数对数方程与不等式的解法探究九年级数学下册综合算式专项练习题：指数、对数、方程与不等式的解法探究一、指数与对数指数和对数是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在本节，我们将探究指数和对数的性质以及它们在解决实际问题中的应用。
1.1 指数的性质指数表示一个数自乘几次的运算。
例如，2的3次方表示2自乘3次，即2×2×2=8。
指数具有以下基本性质：（1）指数为0时，任何非零数的指数为0的幂等于1；（2）指数为正整数时，底数的指数运算相当于连乘；（3）指数为负整数时，底数的指数运算相当于取倒数然后连乘。
1.2 对数的性质对数是指数的逆运算。
对数函数中最常见的是以10为底的常用对数（简称为对数）。
对数具有以下基本性质：（1）对数的底数不能为0或1；（2）对数运算中，底数为10的对数值称为常用对数；（3）对数的运算公式：对数a等于以底数为b、真数为x的幂运算的结果；（4）对数函数是递增函数，即对数值随着真数的增大而增大。
二、方程与不等式的解法方程和不等式是数学中常见的问题类型，解方程和不等式是我们研究数学的关键之一。
在本节，我们将讨论解一元方程和不等式的一般方法。
2.1 解一元二次方程对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，我们可以使用求根公式来解。
求根公式是：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)其中，a、b、c分别为方程的系数。
2.2 解一元一次方程组一元一次方程组是由多个一元一次方程组成的方程组。
要解决一元一次方程组，可以使用消元法，即通过适当的加减乘除运算，将方程组化为形如x=a的方程，从而求得x的值。
2.3 解一元不等式对于一元不等式，我们要找到使不等式成立的变量的范围。
解一元不等式时，我们需要注意不等式符号的方向，可以通过逐个试值或绘制数轴来判断变量的范围。
三、应用实例：指数、对数、方程、不等式在实际问题中的应用指数、对数、方程和不等式是数学中非常重要的工具，在实际问题中广泛应用。
高一数学必修二知识点总结log
高一数学必修二知识点总结log一、对数与指数1. 概念和性质对数的定义、指数的定义、对数与指数的关系、对数的性质（对数的基本运算、幂函数的求值、对数函数的图像）2. 常用对数与自然对数常用对数的定义、自然对数的定义、常用对数与自然对数的换算、对数、指数与幂函数的图像二、指数函数与对数函数的分析1. 指数函数的性质指数函数的定义、指数函数的图像、指数函数的性质（增减性、奇偶性、单调性、零点、极限）2. 对数函数的性质对数函数的定义、对数函数的图像、对数函数的性质（增减性、奇偶性、单调性、零点、极限）三、对数与指数方程1. 对数方程对数方程的定义、对数方程的解法（变底公式、利用对数性质化简）2. 指数方程指数方程的定义、指数方程的解法（变底公式、变量转换）四、对数与指数不等式1. 对数不等式对数不等式的定义、对数不等式的解法（基本不等式、利用对数性质化简）2. 指数不等式指数不等式的定义、指数不等式的解法（基本不等式、变量转换）五、指数函数、对数函数与幂函数的应用1. 复利问题复利的概念、复利公式的推导与应用、连续复利的概念与应用2. 半衰期问题半衰期的概念、半衰期公式的推导与应用、放射性元素的衰变六、对数尺度与指数尺度1. 对数尺度对数尺度的定义、对数尺度的转换、对数尺度的应用（音量、测震等）2. 指数尺度指数尺度的定义、指数尺度的转换、指数尺度的应用（星等系统等）七、指数函数的增长速度与单调性1. 指数函数增长速度指数函数的导数与斜率、指数函数的限制性与趋势2. 指数函数的单调性指数函数的增减性、极值、拐点与曲线段数八、对数函数与指数函数的应用1. 相关变量的变化关系对数函数与指数函数的引入、基本模型与实际应用2. 模型的建立与求解实际问题的数学模型、通过对数函数与指数函数进行建模与求解以上是高一数学必修二知识点总结log，希望对你的学习有所帮助。
祝你取得优异的成绩！。
对数型函数知识点总结
对数型函数知识点总结一、对数的基本概念对数是指数的逆运算。
设a和b是正数，且a≠1，如果a的x次方等于b，那么x叫做以a为底b的对数，记作x=log_ab。
其中a叫做对数的底数，b叫做真数，x叫做对数。
对数的定义及运算规则见下表：1、对数的定义：log_ab=x 当且仅当 a^x=b2、对数的运算规则：对数的性质主要有：（1）a^x=b ⇔ x=logy=logeb/logea（2）log_a(m*n)=log_am+log_an（3）log_a(m/n)=log_am-log_an（4）log_ab*log_ba=1二、对数函数的图像及性质对数函数y=log_ax (a>0,a≠1)的图像特点：1、定义域：x>02、值域：(-∞,∞)3、关于y轴对称4、渐近线：x=0对数函数的变形：1、对数函数y=log_ax的变形：a>1时，是增函数；0<a<1时，是减函数。
2、指数函数y=a^x和对数函数y=log_ax的关系：如果a^x=y，那么x=log_ay三、对数方程及不等式的解法对数方程及不等式的解法：1、对数方程的解法：对数方程a^x=b (a>0,a≠1)的解法：a>1时，（1）当b>0时，两边取对数得x=log_ab；（2）当b=0时，方程无解；a=1时，方程a^x=1的解为x=0。
0<a<1时，（1）当b>0时，两边取对数得x=log_ab；（2）当b=0时，两边无解；2、对数不等式的解法：对数不等式a^x>b (a>0,a≠1)的解法：a>1时，分两种情况，大于时取对数得x>log_ab；0<a<1时，同样分两种情况，大于时取对数得x>log_ab；四、对数函数和指数函数的关系1、对数函数和指数函数的定义：指数函数y=a^x (a>0,a≠1) 是对数函数y=log_ax的逆函数。
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指数方程与指数不等式、对数方程与对数
不等式的解法
指数、对数方程与不等式的解法
注：以下式子中，若无特别说明，均假设 a 0且a 1,b 0. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： (1)
同底去底法：a f(x) a g(x) f (x) g(x)；
(2)化成对数式：a f(x) b
a f (x)
log a b
a
f(x ：)log a b ；
(3)取同底对数：a f(x)
b
g(x)
f(x)
lg a
lg b g(x)
f (x)l
g a g(x)lg b
2、对数方程的解法：
(1)同底去底法：log a f (x) log a g(x) f (x)
g(x )；
(2)化成指数式：log a
f (x) b lo
g a f (x) log b a
a f(x) a
b ；
(3)取同底指数:log a
f (x)
b
a log a f(x)
b
a f(x)
b
a .
3、 指数不等式的解法： (1) 同底去底法： a 1 时，a f(x) a g(x) f(x) g(x)； 0 a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2) 化成对数式： a 1 时，a f (x) b a f(x) a logab f (x) log a b ；
0 a 1 时，a f (x) b a f (x) a logab f (x) log a b ； (3) 取同底对数：a f (x) b g(x)
Ig a f(x)
Ig b g(x) f (x)lg
a g(x)lg
b .
4、 对数不等式的解法： (1)同底去底法：
a 1 时，log a f(x) log a g(x) 0 f(x) g(x)；
0 a 1 时，log a f(x) log a g(x) f(x) g(x) 0 ;
(2)化成指数式: a 1 时，log a f (x) b log a f (x) log a a b 0 f(x)
a b ・ 0 a 1 时，log a f (x)
b log a f (x) log a a b
f(x)
b
a 0.
二、巩固提咼：
1、解下列方程或不等式：
(1)
3x 9
(2) 3x 8
(3) 3x -
9
(4) (3)x 8
(5) gx 2
(6) log 3 x £
(7) log 3(x 1) 2
(8) log ：(2x 1)
2
2
2、解下列方程或不等式:
(1)4x 2x 2 12 0 (2) 9x 6x 2 4x
3、填空题：
(1) ____________________________________ 不等式 丄(丄)x 16的整数解的个数为 ___________________________________ .
128 2
(5) 函数f(x) , 32x1 1的定义域是 .
(6) 若 iog 3(lgx) 1,则 x
(7) 若 log x (3 2., 2) 2，则 x .
(8)
已知f (x) gx
(x 0)
，若f(x) f ( x)，则x 的取值范围是.
Iog °.5( x) (x 0)
(3) lg x lg x 3 1
(4) 2” 2x 2 3
1
、3(x 1)
2)
2
(5) log i (x 3x 4)
3
log i (2x 3
10);
(6) 3x1 18 3 x 29
3x 2
(7)
(8) 23x 4 4x 3
(9) log 3(x 1)
log g (x 5);
(10) a x2 2x a x 4(a
0且 a 1)
(9)已知f(x) |Iog3x|，当0 a 2时，有f(a) f(2)，则a的取值范围
是___ .
Iog3 x (x 0)
(10 )已知函数f(x) 3，则满足f (x) 1的x的取值范围是
3x(x 0)
2
(11) _________________________________________ 关于x的不等式Ig x lg x 2 0的解集是 ______________________________________________________ ；
(12)关于x的不等式Iog2(2x 4) 2的解集是_____ ；
(13) _________________________________________________ 设a 0且a 1，若Iog a2 Iog2a，则a的取值范围是__________________________ .
1 2 2
(14)对于x R,不等式q)x_____________________________ ax 2 x a恒成立，则a的取值范围.
1
2
(15) _______________________________________________________ 不等式x log a x 0在x (0,2)内恒成立,则x的取值范围是____________________ .
4、已知R为全集，A {x|Iogi(3 x) 2}, B {x|—1}，求C R AI B .
7x 2
5、已知关于x的方程2a2x2 9a x1 4 0有一根是2 .
(1)求实数a的值；(2)若0 a 1，求不等式2a2x 2 9a x 1
4 0的解
2
(2) _________________________________ 若1 log a- 1,则a的取值范围是
3
(3)已知log m7 log n7 0，则m,n,0,1之间的大小关系是.
_ x
(4)函数f (x) log a(a a )的定义域是___________________。