指数不等式 对数不等式

-2 -1 0 补充例题
1
4
7
x返回ຫໍສະໝຸດ 复习目标小结
思考题 作业
初级目标小结：
可化为:
a
f ( x)
a
g ( x)
及 log a f ( x) log a g ( x) 的不等式的解法
不同底，化同底； 利用函数单调性； 注意真数大于零。
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目标
补充例题
练习
小结
思考题 作业
可化为:
初级目标小结：
f ( x) g ( x)

g ( x) 0
f ( x) 0
2
可同解变形为
或
按g(x)分类
f ( x) g ( x)

g ( x) 0
f ( x) 0
以上不等式组中的 f
复习
( x) 0
去掉后和原不等式是否同解?
练习 小结 思考题 作业
目标
补充例题
你知道吗？
指数的性质： 指数的运算法则：
t 8或 t
5
x 1
256 5 (2 )
x x 2
(舍去)
2 x 1 8 23
x 1 3
复习
∴
x2
练习 小结 思考题 作业
目标
补充例题
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
1 log 1 (5 x ) log 2 2 2 0 x 2
Ba C 0
x
A log a x B log a x C 0

换元法
注意:真数大于0.及等价(同解)变形 思路:化无理为有理；化指数、对 数不等式为整式不等式（组）.
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补充例题
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本节小结
综合有根式、指数、对数的不等式一 般是先化为
f ( x)
23( x1)
解:原不等式可化为 2
x 2 2 x 3
(1)
因为以2为底的指数函数单调递增,所以(1)式成立 2 当且仅当 x 2 x 3 3( x 1)
整理得:
解这个不等式得:
原不等式的解集是 复习 目标
x 3 x 2
x x6 0
2
x 3 x 2
2 2
(5 x ) x 0
2 2
1 x 2 (5 x 2 ) 1 4
目标
补充例题
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练习

(5 x ) x 0
2 2
等价吗？
x
1 x 2 (5 x 2 ) 1 4

5 x2 0
2 2 2
且
x0
( x ) 5x 4 0
a
a
g ( x)
及 log a f ( x) log a g ( x) 然后求解
若有字母系数，先化为以上两种不等式， 然后再讨论。
log a N log a n N n log a n N
n
1 log a n N log a N n
n的取值应使底数大于0，且不等于1； 真数大于0。
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思考题 作业
学习目标：
初级目标：掌握可化为 a f ( x ) a g ( x ) 及 可化为 log a f ( x) log a g ( x（a>0，a≠1)型的不等式的解法； ) 中级目标：掌握 可化为 2x x A a B a C 0 及 型的不等式 2 A log 的解法； a x B log a x C 0 高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数 的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对 数不等式；（依时间而定）
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练习
小结
2
x4
256 5 2
2 x2
解法1：原不等式可化为： 2 x 24 28 5 22 22 x
化简得： 22 2 x 26 5 (2 x ) 2 x (t 0) 令 2 得: 4t 64 5t
所以原不等式的解 集为：
2 t
g ( x)
a
f ( x)
a
及 log a f ( x) log a g ( x) 的不等式的解法
当 0 a 1 时， 当 当 当
a f ( x) a g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
a 1 时， a f ( x ) a g ( x )
log 1 ( x 3x 4) log 1 (2 x 10)
2 3
解：原不等式等价于不等 式组

x 3x 4 2 x 10
2
x 3x 4 0
2

练习
3
2 x 7 x 1 或 x 4
x 5
2 x 10 0
解之得
-5
通过取交集，得原不等式的 解集为
2
x)
提示
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练一练
解不等式
4 (log 2 x ) 2 1 4 2( 2log ( ) ( ) 5 5
n
2
x)
log a N log a n N n log a n N
返回
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上个台阶
例5:解关于x的不等式：
log a x 1 3 log a x
x
x x 2
16 (舍去) 解得 t 4或 t 5
故
2 42
2
得
x2
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补充例题
练习
小结
思考题 作业
2
2 2
3
x4
256 5 2
x 1 2
2 x2
解法2：原不等式可化为：
x 1
所以原不等式的解 集为：
令 得: 解得 故 得
2 t (t 0) 2 8t 256 5t 32
n
返回
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补充例题
练习
小结
思考题 作业
例4:
解：原不等式等价于：
2 2
1 log 1 (5 x ) log 2 2 2 0 x 2
2
1 log 1 (5 x ) log 1 x log 1 0 2 2 2 4
等价吗？

复习
1 log 1 [(5 x ) x ] log 1 1 4 2 2
1
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中级目标小结
A a B a C 0
2x
2
x
A log a x B log a x C 0
有些不等式可化为以上两种不等式 ,
常用换元法来解;注意取舍;注意
真数大于0;
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补充例题
练习
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思考题 作业
练一练
解不等式
4 (log 2 x ) 2 1 4 2( 2log ( ) ( ) 5 5
2
或
1 log 2 2 5 x
公式 复习 目标
log 1 x
2
补充例题
2
1 log 1 2 4
小结
log 1 1
2
哪一种好?为什么？
练习 思考题 作业
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
1 log 1 (5 x ) log 2 2 2 0 x 2
2
log a N log a n N n log a n N
0 a 1 时，log a f ( x) log a g ( x)
a 1
时， log a f ( x) log a g ( x) 目标
补充例题

g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
x
1 x 2 (5 x 2 ) 1 4

5 x2 0
2 2 2
且
x0
( x ) 5x 4 0
5 x0
2
x 2
-3
5 x0
或
1 或 x 4
或
或 2
0 x 5
0 x 5
或
1 x 1
-1 0
x2
2 5 3
5
-2
log a ( N ) n log a N
n
log a 1 0
log a a 1
a
log a N
N
以上公式中,底数大于0,且 不为1,分母不为0.
复习 目标
1 log a N log a N n 1 log a n N log a N n
练习 小结 思考题 作业
补充例题
请注意记忆
（a>0,且a≠1)
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目标
补充例题
练习
小结
思考题 作业
log a x 1 3 log a x
解:
（a>0,且a≠1)

原不等式等价于:
3 loga x 0
或
log a x 1 (3 log a x) 2 ∴ log a x 2 2 3 log x 0 即: log a x log a a
复习
练习
小结
思考题 作业
想一想，怎么解？
•例3：解不等式
8t 2 5t (t 0)
8 2
2 2
3
x 1
2
8
5 (2
x 1 2
)
解法2
2
4
x4
x
256 5 2
2
目标
8
2 x2
2 2
4t 64 5t (t 0)
2
补充例题
5 2 2
2
2x
解法1 思考题 作业
复习 目标
补充例题
练习
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怎么解?
• 例1:解不等式
2
x 2 2 x 3
1 3( x 1) ( ) 2
3( x 1)
或
1 ( x 2 2 x 3) ( ) 2
2
复习
目标
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练习
小结
思考题 作业
解不等式
2
x 2 2 x 3
1 3( x 1) ( ) 2
目标
复习
补充例题
练习
小结
思考题 作业
练习
解不等式：
4 log a x log a x 2
其中 a 为常数，a>0,且 a≠1.
复习
目标
补充例题
练习
小结
思考题 作业
本节小结
log a f ( x) log a g ( x)
a
f ( x)
a
g ( x)

利用函数单调性
A a
2x
2
5 x0
2
x 2
数轴 复习
5 x0
或
1 或 x 4
或
或 2
0 x 5
0 x 5
或
1 x 1
x2
5)
∴ x ( 5 ,2) (1,0) (0,1) (2,
目标
补充例题
练习
小结
思考题 作业

(5 x ) x 0
2 2
等价吗？
公共场所 讲究卫生 爱护公物
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目标
补充例题
练习
小结
思考题 作业
敏于思，慎于行
复习
目标
补充例题
练习
小结
思考题 作业
5.4 不等式的解法
指数、对数不等式的解法
18:09
你知道吗？
1.如何解以下几种无理不等式？
f ( x) g ( x)
go go go
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
去掉后和原不等式是否同解? 练习 小结 思考题 作业
f ( x) 0
补充例题
f ( x) g ( x)

以上不等式组中的 f 复习 目标
可同解变形为
g ( x) 0 f ( x) 0
f ( x) g ( x)
2
( x) 0
补充例题
去掉后和原不等式是否同解? 练习 小结 思考题 作业
x 3x 4 2 x 10
2
x 3x 4 0
2

练习
3
2 x 7 x 1 或 x 4
x 5
2 x 10 0
解之得
通过取交集，得原不等式的 解集为
x 2 x 1,或 4 x 7
小结 思考题 作业
数轴
复习
目标
补充例题
例2：
x
2.函数 y a 和 y log a x 的单调性.(a>0,且 a≠1) 3.指数和对数运算的性质及法则. go
复习 目标
补充例题
练习
小结
思考题 作业
f ( x) g ( x)

以上不等式组中的 复习 目标
可同解变形为
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
a 1(a 0)
0
a a a
x y
x
x y
a x y a y a
(a ) a
x y
xy
复习
目标
补充例题
练习
小结
思考题 作业
你知道吗？
对数的性质：
零和负数没有对数
对数的运算法则：
log a M log a N log a MN M log a M log a N log a N n
练习 小结 思考题 作业
补充例题
怎么解? 例2:解不等式
log 1 ( x 3x 4) log 1 (2 x 10)
2 3 3
复习
目标
补充例题
练习
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思考题 作业
例2：
log 1 ( x 3x 4) log 1 (2 x 10)
2 3
解：原不等式等价于不等 式组

∴2 log a
x 3 或 log a x 3
即:
log a x 1 0 log a x 3
log x 7 log a x 10 0
2 a

a
∴ 当0<a<1时，原不等式的 解区间为 (0, a 2 )
当a>1时，原不等式的 解区间为 (a 2 , )
或
log a x 3 log a x 1