指数不等式、对数不等式的解法

指数不等式、对数不等式的解法·例题

例5-3-7 解不等式：

解(1)原不等式可化为

x2-2x-1＜2(指数函数的单调性)

x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0

所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为

注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解[法一] 原不等式同解于

所以原不等式的解为x＞3。

[法二] 原不等式同解于

log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)

所以原不等式的解为x＞3。

注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解原不等式可化为

22x-6×2x-16＜0

令2x=t(t＞0)，则得

t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8

又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。解原不等式可化为

解得t＜-2或0＜t＜1，即

注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式

解原不等式可化为

令log a x=t，则得

当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有

4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0

t＜-1，或t＞3

当a＞1时，则有

4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3

注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。

例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有

f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

分析由题设条件容易联想到f(x)是指数型函数，又a2=f(1)·f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x2+x-4)＞f(2)。于是，问题归结为先确定f(x)的单调性，再解一个二次不等式。

=0，否则，对任意x∈R，有

f(x)=f((x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0

与已知矛盾，所以对任意x∈R，有f(x)＞0。

现设x，y∈R，且y=x+δ(δ＞0)。则

f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x)

=f(x)[f(δ)-1]＞0(∵δ＞0，∴f(δ)＞1)。

故f(x)在R内是增函数。于是原不等式同解于

x2+x-4＞2 x2+x-6＞0 x＜-3或x＞2

注本题的关键是确定函数f(x)的单调性，而不必求出它的具体表达式。