指数不等式、对数不等式的解法
初等数学研究不等式的解法
f g
(x) (x)
0, 0.
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第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
不 等
f
(x)
g 2 (x)
式
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
f
(x)
g
2
(x)
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思维训练
第
五
节 1、(x 1) x2 x 2 0;
等
式 2) log 2 x log 1 (x 2) 1
2
x
x 2
0, 0
x
x
2
0.
答案：(2,4)
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方法一（指数、对数不等式）
第
五 节 ①同底法：不等式两边化为同底，再利用
指数、对数函数的单调性进行同解变形。
不
等
1)a 1时，a f (x) a g(x) f (x) g(x);
式
f (x) 0;
log a
f
(x)
log a
g(x)
g(x) 0;
f (x) g(x)
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第 五 节
2)当0 a 1时，a f (x) a g(x) f (x) g(x);
不 等 式
f (x) 0;
log a
f (x) log a
g
(
x)
g(x) 0;
都有f (b) g(b)的解。
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第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。
本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。
难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。
一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。
2．解题思路：作出相应函数的图象草图。
具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。
然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。
3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。
解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。
所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。
(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。
作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。
注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。
例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。
分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
指数、对数不等式的解法
log1 ( x 2 3x 4) log1 (2 x 10) 0
3 3
解：原不等式可以化为 log1 ( x 2 3x 4) log1 (2 x 10)
1 因为上不等式中所含的 以 为底的对数函数是减函 数， 3 所以以上不等式成立， 当且仅当 x 2 3 x 4 0 2 x 10 0 成立. x 2 3 x 4 2 x 10 解这个不等式组，得
2
2
Bu C 0
求使这个一元二次不等 式成立的u的范围，
使 loga x在这个范围的 x的值的集合 , 就是原不等式的解集。
指数式、对数式不等式的解法-----练习
解不等式： 1 ( 1) . 2
1 2
x 2 1
x 2 1
1 4
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
指数不等式和对数不等式解法
2或x
log 3
2 3
∴原不等式的解集为x
|
x
2或x
log
3
2
3
例5求 y log (2x 1) 的定义域 0.1 解：要使此函数有意义：只须
log (2x 1) 0 0.1
2 x
2
x
1 0 1 1
x 0
x
1
0 x 1
∴原不等式的解集为 x | 0 x 1
例2：袋中有5个白球和3个黑球，从中任取两个球，求取得的 两个球颜色相同的概率。
解：设A=两球颜色相同 B=两白球 C=两黑球
A=B+C其中B、C互斥
∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）
C52 C82
C32 C84
0.357 0.107 0.464
答：取得两球颜色相同的概率是0·464
a
a
f (x) g(x)
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
例1：解不等式：
0.2 x2 2x1 0.04
•
解 (1)原不等式
0.2 x2 2 x1 0.2 2
x2 2x 1 2
(x 1)( x 3) 0
1 x 3
指数不等式的解法 是利用指数函数的性质化为同解的代 数不等式
a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (x) a g(x) f (x) g(x);
0 a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (x) a g(x) f (x) g(x);
(x 4)(x 1) 0 (x 4)(x 1) 0
高二数学知识点：不等式的解法
高二数学知识点：不等式的解法不等式的解法：(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则;;注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，要讨论几种常见不等式的解法：1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为axb或axb而言，当a0时，其解集为(ab，+)，当a0时，其解集为(-，ba)，当a=0时，b0时，期解集为R，当a=0，b0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2b+2x解：原不等式化为(a-2)xb+2①当a2时，其解集为(b+2a-2，+)②当a2时，其解集为(-，b+2a-2)③当a=2，b-2时，其解集为④当a=2且b-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax?2+bx+c0或ax?2+bx+c0(a0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
高三数学 不等式的解法 分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法
含绝对值不等式的解法
公式法：(a>0)
|x|=a x a
|x|>a x a或x -a
|x|<a a x a
注意a≤0
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
例4：①不等式(1 x )(1 x) 0的解集
②不等式x2 - x - 2 0的解集
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0 f (x) g 2 (x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
lo解ga 法f (；x) loga g(x)
（a>0，a≠1)型的不等式的
Aa2x Bax C 0
中级目标：掌握 可化为
及 不等式的A解法log；a2 x B loga x C 0 型的
高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数
的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对 数不等式；（依时间而定）
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0
或
g(x) 0
f (x) g 2 (x)
f (x) 0
按g(x)分类
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
你知道吗？
指数的性质：
指数的运算法则：
a0 1(a 0)
ax ay axy
不等式的解法二
分式、高次、指数、对数、含 参不等式的解法
分式不等式的解法：
指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法
指数、对数方程与不等式的解法4、对数不等式的解法: (1)问底去底法：a 1 时，log a f (x) log a g(x) 0 f (x) g(x)；0 a 1 时，log a f(x) log a g(x) f(x) g(x) 0；(2)化成指数式：a 1 时， log a f (x)b log a f(x) log a a b 0 f (x) a b ；0 a 1 时，log a f (x) b log a f (x) log a a bf (x) a b 0.一、知识要点：1、指数方程的解法：(1)问底去底法：a () a g( ) f(x) g(x)； (2)化成对数式：a f(x) b a f(x) a logab f(x) log a b ； (3)取同底对数：a f(x)b g(x) lga f(x) ig b g(x) f(x)lg a g(x)lg 2、对数方程的解法：(1)问底去底法：log a f(x) log a g(x) f (x) g(x)；(2)化成指数式：log a f (x) b log a f(x) log a a b f (x) a b ； (3)取同底指数：loga f (x) b a loga f(x) a b f (x)a b .b .注：以下式子中，若无特别说明，均假设 a 0且a 1,b 0. (1)问底去底法： a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)；0 a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)；(2) 化成对数式：a / , f (x) f (x) log a b1 时，a b a a f (x) log a b ； 0 a 1 时，a f(x) b a f(x)a logabf(x) log a b ；(3) 取同底对数：a f(x) b g(x) lg a f(x) lg b g(x)f (x)lgg(x)ig b .3、指数不等式的解法: a二、巩固提高：1、解下列方程或不等式： (1) 3x 1(2) 3x 8(3) 3x -99⑺ log 3(x 1) 2(8) log i (2x 1) 222、解下列方程或不等式：(1) 4x 2x 2 12 0x22x 3 / 1\3(x 1)⑷ 2(一)；2(4) (l)x 83(5)眼乂 2 (6) log 3xx xx(2)96 2 4(5) log 〔(x 2 3x 4) log 1(2x 10) ；(6) 3x 1 18 3 x 29333、填空题：(1) 不等式 — (1)x 16的整数解的个数为 .128 2—- 2 .................. (2) 右1 log a — 1,则a 的取值范围是 .3(3)已知log m 7 log n 7 0,则m,n,0,1之间的大小关系是.(4) 函数f(x) log a (a a x )的定义域是 . (5)函数f (x) J32x1 1的定义域是 .(6) 若 log 3(lg x) 1,则 x ^⑺若 log x (3 2J2)2，则 x .log 2 x(x 0)(8) 已知f(x) |() ； 0，若f(x) f( x)，则x 的取值范围是x23x 2 2 22,2(8) 23x 4 4x3(9)log 3(x 1) log 9(x 5)；2,、 x 2x x 4(10) a a (a 0且 a1)(13) 设a 0且a 1 ,若log a 2 log 2a ,则a 的取值范围是 .22(14)对于x R,不等式(1)x 2ax23x a恒成立，则a 的取值范围.2--------(15) 不等式x 2 l og a x 0在x (0,1)内恒成立，则x 的取值范围是4、已知 R 为全集，A (x|log 1 (3 x) 2}, B {x|一八 1},求 C R A. B .2 x 25、已知关于x 的方程2a 2x 2 9a x 1 4 0有一根是2 . (2)若0 a 1,求不等式2a 2x 2 9a x 1 4 0的解集.(3) lg x 1g x 3 1(9) 已知f(x) |log 3x|,当0 a 2时，有f(a) f (2),则a 的取值范围是log 3 x (x (10) 已知函数f(x)3x (x2_(11) 关于O)―由口，贝U 满足f (x) 1的x 的取值范围是0)2 。
指数方程和不等式与对数方程和不等式
指数方程和不等式与对数方程和不等式一、指数方程和不等式与对数方程和不等式指数方程和不等式与对数方程和不等式是对指数函数和对数函数的性质的综合运用．我们将指数方程和对数方程的主要类型和解法列入下面的表格：分析：1、解指数方程和对数方程主要是运用转化的思想将方程化归为己学过的代数方程来解，同时要注意对数方程的同解变形，重视对根的检验．2、对于含有指数函数或对数函数的混合型方程，常用图象法求方程的近似解或确定方程的根的个数．3、在解含有参数的指数方程和对数方程时，必须注意对字母的取值范围的讨论．将上述表格中的等号“＝”改为不等号“＜”或“＞”即得到指数不等式和对数不等式，它们的解法在本质上与方程的解法是相同的，同时也要对字母的取值范围进行讨论．但不同的地方在于要对底数a的取值范围进行讨论，因为a的取值范围不同时要影响指数函数和对数函数的单调性．要注意方程与不等式的本质联系与区别．例1 解下列方程：(1)lg2x·lg3x=lg2·lg3；(2)；(3)；(4)log(x+1)(2x2-2x+1)=2分析：(1)根据方程的结构，可以从方程中分离出变量lgx，利用换元的方法求解；(2)去分母后可采用换元的方法；(3)再对方程变形后采用两边取对数的方法求解；(4)利用对数定义将方程转化为代数方程求解．解：(1)原方程可化为(lg2+lgx)(lg3+lgx)＝lg2·lg3，即lg2x+lg6·lgx＝0．解得lgx＝0或lgx＝-lg6. ∴x＝1或.经检验，x＝1和都是方程的根．(2)方程可化为3x+1-3-x+2＝0，即3·32x+2·3x-1＝0．设y＝3x，则3y2+2y-1＝0，解得y1=-1，.当y＝-1时，3x＝-1＜0，无意义，故舍去；当时，, ∴x=-1。
(3)原方程即，即, ＝3．两边取以3为底数的对数，得到(log3x)2=1, ∴log3x=±1, 解得x＝3或.经检验，x＝3和都是原方程的根．(4)根据对数的定义得到(x+1)2＝2x2-2x+1，即x2-4x＝0．解得x＝0或x＝4．当x＝0时，x+1＝1，故舍去．∴原方程的根为x＝4．总结：(1)解对数方程时，必须注意对根的检验；(2)换元的方法是解方程的一种常用方法；(3)在解指数方程和对数方程时，要注意应用指数和对数的有关性质和法则对方程进行变形．当幂指数上含有未知数时，往往两边取对数求解．例2 解方程：lgx+lg(4-x)＝lg(2x+a)解：原方程等价于：, ∴.设y1＝a, y2＝-x2+2x，x∈(0,4). 作出两个函数的图象，如图所示．分以下三种情况讨论：(1) a>1或a≤-8 时，方程无解；(2) 0<a<1时，方程有两解；(3) -8<a≤0, 方程有一解。
指数不等式和对数不等式解法
对数不等式的解法 a>1时
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
对数不等式的解法（0<a<1） 时
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
河南省泌阳县职业教育中心 周祥松
指数不等式的解法 是利用指数函数的性质化为同解的代 数不等式
a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (x) a g(x) f (x) g(x);
所以原不等式的解集为 x | 1 x 3
例2 ax22x ax4,(a 0且a 1)
解 (1)当a 1时，
(2)当 0 a 1时，
a x22x a x4
a x2 2x a x4
x2 2x x 4
x2 2x x 4
x2 3x 4 0
x2 3x 4 0
1
0
3x 2 x 1
x
2 3
x 1
x
3
2
2 x 3
3
2
所以原不等式的解集为：
x
|
2 3
x
3
2
例4 解不等式3x1 18 3x 29
解:原不等式可化为： 3 (3x )2 29 3x 18 0
(3x 9)(3 3x 2) 0
3x 9或 3x 2
3
x
(x 4)(x 1) 0 (x 4)(x 1) 0
不等式的解法1
不等式的解法1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式.当a ＞0时，解集为{x |x ＞a b }；当a ＜0时，解集为{x |x ＜ab }. 例：若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于 。
2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.例：（1）(x －1)(3－x)＜5－2x(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2（3）211(1)3x x x x -+>- （4）,则x 的取值范围是_______.（5）(x －2)(ax －2)＞0．变式：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.例：（1）22(23)(23)(4)0x x x x x -----<； (2) 2221123x x x x --≥+-4.分式不等式的解法： 例：解不等式12x x ≥-练习：(1)32-+x x x ）（＜0； (2)3252---x x x ＜－1.（3）x +12+x ＞2 (4) 111x x+≤-5．根式不等式的解法：例：解不等式 (1)x x ->4 (2) 13->+x6．指数不等式的解法： 例：(1)422225652x x +++<⨯； (2) 25216x x -≥(3) 25412()2x x -< (4) 234(01)x x a a a a -<>≠且 (5)22121()x x x a a+--<7．对数不等式的解法：例：（1）2log (31)3x -> （2）2212log (1)log (22)x x ->+（3）2log 221>x （4）1log (1)1(01)a a a x->>≠且（5）11241log (4)log (1)(01)x xa a a a -≥->≠＋且巩固练习：1、3|12|<-x 的解集是（ ）A ．)1,1(-B ．)2,2(-C ．)2,1(-D ．),2()1,(+∞--∞2、不等式1|1|>+xx 的解集为（ ） A ．)0,(-∞ B ．)21,(--∞ C ．)1,0( D ．)21,1()1,(----∞ 3、不等式9|25|3<-≤x 的解集为（ ）A ．),7()2,(+∞--∞B ．]4,1[C ．]7,4[]1,2[ -D ．)7,4[]1,2( -4．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的充要条件是（ ）A ．}10|{<≤x xB ．}1,0|{-≠<x x x 且C ．}11|{<<-x xD ．}1,1|{-≠<x x x 且5．（1）不等式3|4|2>-x 的解集 __________ ；（2）不等式3|152|2<--x x 的解集_________________________．6．101,()()0________.a x a x a <<--<若则不等式的解集是7．不等式252(1)x x +≥-的解集是 . 8．]1,1[-∈∀a 若,不等式03)3(2>--+a x a x 恒成立，则x 的范围是 。
一元二次不等式的解法(含参不等式)
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)
0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx
bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1
66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.
指数不等式、对数不等式的解法·例题知识分享
指数不等式、对数不等式的解法·例题例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0所以原不等式的解为-1＜x＜3。
(2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。
例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。
解[法一] 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。
[法二] 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。
注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。
解原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。
注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。
解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。
这时也常常用到换元法。
例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。
例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。
解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。
第4讲------不等式的解法
第4讲 不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法） 其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0； （2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分 （ ） （ ）>0， ⟹ （ ）（ ）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ； （2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法 （1） g(x)⇔ 或 ；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。
数学函数不等式知识点总结
数学函数不等式知识点总结一、常见的函数不等式类型在数学中，函数不等式涉及到各种类型的函数，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
这些函数类型在不等式中都有着各自的特点和解法方法。
接下来我们将针对这些常见的函数类型分别进行介绍。
1.1 线性函数不等式线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
线性函数不等式的形式为：ax + b > 0或者ax + b < 0。
解线性函数不等式最常用的方法就是通过解一元一次不等式，首先将不等式化为一元一次不等式，然后通过移项、乘除以常数等基本操作进行解答。
1.2 二次函数不等式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数不等式的形式为：ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0。
解二次函数不等式的方法通常有两种，一种是通过画出二次函数的图像，找出函数的取值范围；另一种是通过配方法或者公式法解出二次函数的解析式。
1.3 指数函数不等式指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
指数函数不等式的形式为：a^x > b或者a^x < b。
解指数函数不等式的方法通常是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
1.4 对数函数不等式对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数不等式的形式为：loga(x) > b或者loga(x) < b。
解对数函数不等式的方法通常也是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
需要注意的是，对数函数的定义域为正实数，所以在解对数函数不等式时需要考虑函数的定义域。
二、函数不等式的解法方法解函数不等式的方法通常有几种常见的技巧和步骤，下面我们将对这些解法方法进行介绍。
2.1 移项法移项法是解一元一次不等式的常用方法，通过将不等式中的项移到一边，使得不等式变为一个不含未知数的式子，然后再求解不等式。
指数与对数不等式的解法
指数不等式、对数不等式的解法指数不等式：转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x aaa f x g x a aa f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式()0log ()log ()(1)()0;()()()0l og ()log ()(01)()0()()aa aa f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例题 例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x变式 .解关于x 的不等式：222)21(2--+>x x x例2.解不等式154log<x.例3.如果x=3是不等式：2log (2)log (1)log 3a a a x x x --<++的一个解，解此关于x 的不等式.例4.解不等式：)10(log31log ≠<-<-a xx aa例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x a a a练习 1.不等式loglog221>x 的解集为……………………………………（ ）（A ）{x|x<2} （B ）{x|0<x<2} （C ）{x|1<x<2} （D ）{x|x>2} 2. （05辽宁卷）若011log 22<++aaa，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21( D ．)21,0(3. (05全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=xxa a ax f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ） （A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a-∞（D ）),3(log+∞a4. （05山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ） （A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+5、不等式xx 283)31(2--> 的解集为 ；6、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为 ；作业1．不等式1log 21<x的解集为（ ）A ．}41|{>x x B ．}1,41|{≠>x x x 且C ．}4101|{<<>x x x 或 D ．}410|{<<x x2．不等式)1(1)12(1loglog---->x a x a 成立的充要条件 （ ）A ．1,2>>x aB ．1,1>>x aC ．0,2>>x aD ．0>x3．已知集合=⋂>-=<=N M x x N x Mxx则},0)1(log|{},33|{21322（ ）A ．)23,0( B ．)2,23( C ．)23,1( D ．(0,1) 4．若函数)2(log 22a ax x y +-=的值域为R ，则实数a 的取值范围 （ ） A ．10<<a B ．10≤≤a C ．10><a a 或 D ．10≥≤a a 或5．对于22322)21(,ax axx R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范围 （ ） A ．(0,1)B ．),43(+∞C ．)43,0( D ．)43,(-∞6．不等式)1(4)1(2log5log 2++->x x 的解集是____________________. 7．不等式1)11(log>-xa 的解集为_____________________.8．解下列不等式 ①2log)532()1(2>-++x x x ②0825421≥+⋅-+x x。
6 不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明、绝对值不等式知识点
不等式一、不等式的性质1、比较两个数大小的依据0a b a b >⇔-> 0a b a b =⇔-= 0a b a b <⇔-< 2、性质定理1 （反身性）若a b >，则b a <；若a b <，则b a >。
（对称性） 定理2 （传递性）若a b >，且b c >，则a c >。
定理3 （可加性）若a b >，则a c b c +>+。
（加法法则） 移项法则 a b c a c b +>⇔>-。
（移项要变号）推论（同向可加性） 若a b >，b c >，则a c b d +>+。
同向不等式两边对应相加所得不等式与原不等式同向。
定理4 （可乘性）（乘法法则）若a b >，0c >，则a c b c >；若a b >，0c <，则a c b c <。
推论1（同向同正可积性）若0a b >>，0c d >>，则ac bd >。
两边都是正的同向不等式对应相乘所得不等式与原不等式同向。
推论2（同向同正可幂性）若0a b >>，则0nna b >> （n N +∈）。
定理5 （可开方性）若0a b >>0>> （n N +∈）。
定理6 （可倒性）若0a b >>，则110a b<<； 若0a b <<，则110a b>>。
（a b >，110ab a b >⇒<。
）含有绝对值不等式的性质： （1）a b a b a b -≤±≤+a b a b +≤+：,a b 异号是取"">；,a b 同号或0a =或0b =时取""=。
a b a b -≤+：,a b 同号是取"">；,a b 异号或0a =或0b =时取""=。
2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第32讲不等式的解法
第32讲 不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答.3、温馨提示（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩②当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><<log ()log log x a a a a b x b ⇒<⇒<log 00log (1)aa xb x x x b a x b aa >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩其中log 00log (1)aa xb x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩其中0四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->gg g 的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 【方法讲评】不等式一一元二次不等式解题方法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答.【例1】 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a． 【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．【反馈检测1】 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 不等式二指数不等式解题方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.【例2】解不等式211126()82x x ---⨯<【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.【反馈检测2】解关于x 的不等式：)22(223x x x xa --<-（其中0a >）不等式三对数不等式解题方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.【例3】已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1x a >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x-<的解集.【点评】本题选同底法解答，把0写成log 1a ，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式 组解答.【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->.不等式四分式不等式解题方法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f xg x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集. 【例4】 解关于x 的不等式12>-x【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a显然，现在有两个问题：（1）1a -的符号怎样？（2）12--a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在.【反馈检测4】 解不等式x x x x x <-+-+222322．不等式五高次不等式解题方法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->gg g 的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.【例5】解不等式： 015223>--x x x【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x不等式六绝对值不等式解题方法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法.【例6】|5||23|1x x --+<【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式242+<-x x不等式七 无理不等式解题方法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.【例7】 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．【解析】原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥． 综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ． 【点评】本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032．不等式八 抽象函数不等式解题方法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答.【例8】若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b +=，且当0x <时，()1f x >. （1）求证：()0f x >；（2）求证：()f x 为减函数； （3）当1(4)16f =时，解不等式21(3)(5)4f x f x --≤.（3）由211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=，由（） 原不等式转化为)2()53(2f x x f ≤-+-，结合（2）得：10222≤≤⇒≥-+x x x故不等式的解集为{}10|≤≤x x【点评】（1）第（3）问的关键是找到1(?)4f =，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体函数不等式.【反馈检测8】函数()f x 对任意(0)x y ∈+∞，，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x <. （l ）判断函数()f x 的单调性并证明相关结论；（2） 若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第32讲：不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得：即),12()12(2222-<-x x x a 0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>【反馈检测3答案】3x >【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于所以原不等式的解为3x >.[法二]原不等式同解于211log (2)log (1)x x x x x ++-->+所以原不等式的解为3x >.【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或【反馈检测5答案】{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测5详细解析】原不等式等价于 ⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测6答案】{}31<<x x【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 【反馈检测7答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x【反馈检测8答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）{34}x x <≤.【反馈检测8详细解析】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减 1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111()()()()x x f x f x f x f x x =⋅=+则 2211()()()x f x f x f x ∴-= 120x x <<Q 21()0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 ()(0,)f x ∴+∞在单调递减（2）2)2()2()4(-=+=f f f Θ ((3))(4)f x x f ∴-≥原不等式可化为()0f x +∞Q 又在（，）上单调递增 030(3)4x x x x >⎧⎪∴->⎨⎪-≤⎩34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2-。
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指数不等式、对数不等式的解法·例题
例5-3-7 解不等式：
解(1)原不等式可化为
x2-2x-1＜2(指数函数的单调性)
x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0
所以原不等式的解为-1＜x＜3。
(2)原不等式可化为
注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。
例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。
解[法一] 原不等式同解于
所以原不等式的解为x＞3。
[法二] 原不等式同解于
log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)
所以原不等式的解为x＞3。
注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。
解原不等式可化为
22x-6×2x-16＜0
令2x=t(t＞0)，则得
t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8
又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。
注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。
解原不等式可化为
解得t＜-2或0＜t＜1，即
注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。
这时也常常用到换元法。
例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式
解原不等式可化为
令log a x=t，则得
当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有
4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0
t＜-1，或t＞3
当a＞1时，则有
4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3
注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。
例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有
f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。
解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。
分析由题设条件容易联想到f(x)是指数型函数，又a2=f(1)·f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x2+x-4)＞f(2)。
于是，问题归结为先确定f(x)的单调性，再解一个二次不等式。
=0，否则，对任意x∈R，有
f(x)=f((x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0
与已知矛盾，所以对任意x∈R，有f(x)＞0。
现设x，y∈R，且y=x+δ(δ＞0)。
则
f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x)
=f(x)[f(δ)-1]＞0(∵δ＞0，∴f(δ)＞1)。
故f(x)在R内是增函数。
于是原不等式同解于
x2+x-4＞2 x2+x-6＞0 x＜-3或x＞2
注本题的关键是确定函数f(x)的单调性，而不必求出它的具体表达式。