概率论与数理统计期末复习重点内容及题型ppt

1.设随机变量X 服从参数为的泊松分布, 且
P{X 1} P{X 2},则 _____ .
由P{ X m} m e得， e 2 e，
m!
1
2
2 2
2.随机变量X
2 N (, 4),则Y X
2
_N_(_0_,_1_) .
3.随机变量X N (, 2 ),且P{ X c} P{ X c},则c __ .
A.P(C ) P( A) P(B) 1 B.P(C ) P( A) P(B) 1
C.P(C ) P( AB)
D.P(C ) P( A B)
AB C P( AB) P(C)
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1
P( A) P(B) 1 P(C)
5.A、B为随机事件,0<P( A) 1,且P(B | A) 1,则( ).
P(B) 差集: P( A B) P( AB) P( A) P( AB)
全概公式:
A1 , A2 ,
, Am为一个完备事件组,B为任意事件，
m
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
贝叶斯公式:
A1, A2 , , Am为一个完备事件组,B为任意事件，
P( Aj | B)
总复习
第一章 基本内容 互不相容 AB 相互独立 P( AB) P( A)P(B) 完备事件组 若n个事件A1, A2 , , An满足：
A1 , A2 , , An互不相容；A1 A2 An = 加法公式: P( A B) P( A) P(B) P( AB) 乘法公式: P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B) 条件概率公式: P( A | B) P( AB)
求出g( x)在(a, b)上的值域(c, d )； 当x c时, F( y) 0； 当x d时, F( y) 1； 当c x d时, F( y) P{Y y} P{g( X ) y} 对F ( y)求导.
2.由X的密度函数f ( x),求Y g( X )的期望EY .
EY g( x) f ( x)dx.
4 16 64 64 64
7.某厂由甲乙丙三个车间生产同一种产品, 它们的产量 之比为3 : 2 :1,各车间产品的不合格率依次为8%, 9%,12%. 现从该厂产品中任意抽取一件, 求：1.取到不合格产品的 概率;2.若取到的是不合格品,求它是由甲车间生产的概率; 3.若取到的是不合格品,求它不是由甲车间生产的概率
二、连续型X 1.定义 X f ( x) 2.密度函数
1 f ( x) 0 2 f ( x) 1
3.分布函数
1 F ( x)是连续函数；
2 lim F( x)=1； 3 lim F( x)=0；
x
x
b
4.P{a X b} a f ( x)dx F(b) F(a)
5. EX xf ( x)dx
类一：g( x)在(a, b)上单调；
求出g( x)在(a, b)上的值域(c, d )；
求y g( x)在(a, b)上的反函数x h( y)；
求( x)y h( y)；
代公式得:
v(
y)
u(h(
y)) | 0
h(
y)
|
c yd 其他
类二：g( x)在(a, b)上不单调,采用分布函数法.
9
8.若X f ( x),满足f ( x) f ( x), F ( x)是x的分布函数,
则对任意实数a,有( ).
a
1a
A.F (a) 1 f ( x)dx B.F (a) f ( x)dx
0
20
C.F(a) F(a)
D.F(a) 2F(a) 1
a
F(a) P{X a} f ( x)dx
P(B | A)
P( AB) P( A)
C42
C42 C120 C41C61
C120
1 5
3.A、B为随机事件，且P( AB) 0,则( ).
A.AB
B. AB未必是不可能事件
C . A与B对立
D.P( A) 0P(B) 0
A P( A) 0 P( A) 0 A
4.当事件A与B同时发生时事件C也发生,则( ).
第二章 基本内容
随机变量
离散型 连续型
一、离散型X
1.定义 随机变量的取值为有限个或可列个.
2.概率分布 P{ X xi } pi , i 1, 2, .
3. P{a X b} pi . i:a xi b
4. EX xi pi , DX EX 2 (EX )2 . i 1
E(aX b) aEX b D(aX b) a2DX
5.几种常见的离散型分布 10 0 1分布 P{X 1} p, P{X 0} 1 p
EX p DX pq
20 二项分布 X B(n,p) X : 0,1, , n.
P{ X
m}
C
m n
pmqnm
m 0,1,
, n.
EX np DX npq
30 泊松分布 X p(),X:0,1,2, .
6.几种常见的连续型分布
10 X U[a, b]
1
f
(
x)
b
a
a xb
0
其他
ab
(b a)2
EX
DX
2
12
20 X e( )
e x
f (x) 0
30 X N (, 2)
x0 其他
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
1
1
EX
DX 2
EX DX 2
1 f ( x)的定义域为(, );
X的密度函数关于x 对称.
(x)
10 1 x
4.若X B(n, p),且EX 6, DX 3.6,则n ___; p __ .
由EX np 6, DX npq 3.6得 : q 0.6,
p 0.4, n 15.
5.设随机变量X的密度函数f
(
x)
2x
0
0 x1 其他 ,
以Y 表示对X的三次独立重复观察中“X 1”出现 2
若F( x)在(, )上表达式不唯一,即
0 xa
F ( x) u( x) a x b
1
xb
则f
(
x)
F
(
x)
u( x)
0
a xb 其他
9.随机变量函数g( X )
1.由X的密度函数f ( x),求Y g( X )的密度函数v( y).
u( x) a x b
f (x)
0
其他
称区间(a, b)为f ( x)的非零区间.
解：设Ai表示任取一件,该件产品由甲、乙、丙三个车间 生产,i=1,2,3；B：任取一件,该件产品不合格.
1.由全概公式得：
3
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
1 8% 1 9% 1 12% 9%
2
3
6
解：设Ai表示任取一件,该件产品由甲、乙、丙三个车间 生产,i=1,2,3；B：任取一件,该件产品不合格.
x t
a
f (t )dt
a
f ( x)dx 1 f ( x)dx
a
0
a
1 f ( x)dx f ( x)dx
0
1a
2 0 f ( x)dx
9.若X
kx2 f (x)
0
0 x 2，求 其他
(1)常数k;(2)EX;(3)P{1 X 3};(4)X的分布函数F( x).
的次数,则P{Y 2} ___ .
由已知得:Y B(n, p),其中, n 3,
p P{X 1} 2
1
2 f ( x)dx
1
1
2 0
2 xdx
x2
|02
1 4
P{Y
2}
C
2 3
p2q
3 1 16
3 4
9 64
6.若X e(0.1),则E(2X 1) ___ .
E(2X
1)
2EX
P( Aj )P(B | Aj )
m
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
1.事件A与B满足P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(B | A) 0.8, 则P( A B) ________ .
P( A B) P( A B) P( A) P(B) P( AB)
P( A) P(B) P( A)P(B | A) 0.5 0.6 0.5 0.8 0.7 2. 10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知 所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格 的概率为______ . A表示两件中有一件是不合格品,B表示另一件也是不合格
P{X m} m e
m!
EX DX
6.由概率分布求分布函数 P{ X xi } pi , i 1, 2, x1 x2 xn
0
. F
(
x
)
p1
p1
p2
k
累加
区间为左闭右开
pj
j1
7.由分布函数求概率分布
x x1 x1 x x2 x2 x x3
xk x xk1
取值的判定：分段点 x1，x2， ，xn，
概率分布：求差
k
k 1
P{ X xk } pj pj
j1
j1
8.随机变量函数g( X ) 10.y g( x)的概率分布
P{Y yj } P{g( x) yj }
pi
20.y g( x)的期望EY
k:g( xk y j )
EY Eg( x) g( xi ) pi i 1
1
2
1
1
2
1
1
21
7.若X
1
U[1, 2],随机变量Y
0
1
X 0 X 0, X 0
则Y的方差DY ___ .
EY yf ( x)dx
01 dx
21
12 1
dx
1 3
03
33 3
EY 2 y2 f ( x)dx 2 1 dx 1
DY
EY 2
(EY )2
8
1 3
1、已知
，则
（A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。
2、设
，则
，且 ————。
3、设A、B、C 为随机事件，且
，
，
0.125，则A、B、C至少出现一个的概率
是。
4、设
，
事件A与B互不相容，则
若事件A与B独立，
，若 ；
。
7、有来自三个地区的考生报名表各10份，15 份和25份，其中女生报名表分别为3份，7份， 5份。现任取一个地区的报名表，再从中取一 份，求：（1）该表为女生表的概率；（2）已 知该表为男生表，它来自第二个地区的概率为 多少？
A.P( AB) 0 B.AB C.B A D.P(B) 1
P(B | A) P( AB) P( A AB) P( A) P( AB) 1
P( A)
P( A)
P( A)
P( A) P( AB) P( A) 即P( AB) 0. 6.甲乙丙三人独立地破译一份密码，他们每人译出
2 f ( x)关于x 对称,最大值为 1 . 2
3 当 0, 2 1时,正态分布为标准正态分布 X N(0,1),
其密度函数为( x)
1
x2
e 2.
2
4 若X N (0,1),则f ( x)关于y对称,最大值为 1 .
2
5 若X N (, 2 ),则Y X N (0,1).
7.由密度函数求分布函数 若f ( x)在(, )上表达式唯一,则
2.由贝叶斯公式得：
P( A1 | B)
P( A1 )P(B | A1 )
3
P( Ai )P(B | Ai )
P( A1 )P(B | P(B)
A1 )
i 1
1 8% 2
9%
4 9
3.P( A1 | B) 1 P( A1 | B)
5 9
ex1、产品整箱出售，每箱20个。各箱有0，1， 2个次品的概率分别为0.7，0.2，0.1。一位顾 客欲购买一箱产品，在购买时，营业员随机 地取一箱，而顾客从中任取4只检查，若无次 品，则买下该箱产品，否则退货，求（1）顾 客买下该箱产品的概率；（2）已知顾客买下 一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？
此密码的概率都是0.25,则密码能被译出的概率为( ).
A. 1 B. 1 C. 37
4
64
64
D. 63 64
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设Ai：密码分别被甲、乙、丙译出,i=1,2,3.B:密码被译出. P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 3 3 1 1 37
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
若f ( x)在(, )上表达式不唯一,即
u( x) a x b
f (x)
0
其他
0
则F ( x) P{ X x}
x
f
(t
)dt
x
f (t)dt
a
1
F( x)的分段区间与f ( x)保持一致.
xa a xb
xb
8.由分布函数求密度函数 f ( x) F( x) 若F( x)在(, )上表达式唯一,则 f ( x) F( x)