412讲义定积分
数学《定积分》讲义
第九章 定 积 分1 定积分的定义一、背景1、曲边梯形的面积1()ni i i S f x ξ=≈∆∑2、变力所做的功 1()ni i i W F x ξ=≈∆∑上述问题均可归结为一个特定形式的和式逼近，思想方法：分割、近似求和、取极限.二、定积分的定义定义 1 设闭区间[],a b 内有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，其把[],a b 分成n 个小区间[]1,,1,i i i x x i n -∆==⋅⋅⋅.称这些点或小闭子区间构成[],a b 的一个分割，记为{}01,,n T x x x =⋅⋅⋅或{}12,,n ∆∆⋅⋅⋅∆，小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-，同时记{}1max i i nT x ≤≤=∆，称为分割T 的模(或细度).注1 ||||,1,i x T i n ∆≤=⋅⋅⋅. 因而，||||T 可用来刻画[],a b 被分割的细密程度，同时，若T 给定，则||||T 确定，而对同一细度(模), 相应的分割却有无穷多个.定义 2 设f 为[],a b 上的函数,对[],a b 上的分割{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆,任取点,i i ξ∈∆1,i n =⋅⋅⋅，作和式1()niii f x ξ=∆∑，称为函数f 在[],a b 上的一个积分和，也称为Riemann 和.注2. Riemann 和与分割T 及i ξ的取法有关. 对同一个分割T ，相应的Riemann 和有无穷多个.定义 3 设f 是[],a b 上的函数，J 为一个确定的数. 若对任给正数0ε>，存在正数0δ>，使得对[],a b 上的任何分割T ，以及其上任选的i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称f 在[],a b 上可积(或Riemann 可积) ，数J 称为f 在[],a b 上的定积分(或Riemann 积分) ，记作()baJ f x dx =⎰. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分的下限、上限.注.1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰⇔0,0,,,,i i T T εδδξ∀>∃>∀<∀∈∆1()()nbi i ai f x f x dx ξε=∆-<∑⎰定积分的几何意义(f 可积)(1) 0f ≥时，()ba f x dx ⎰就是以,,x a xb x ==轴及()y f x =围成的曲边梯形的面积.(2) 0f ≤时，()baf x dx ⎰为x 轴下方的曲边梯形面积的相反数(负面积) .(3) ()baf x dx ⎰是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方所有曲边梯形的负面积的代数和. (4) 注.()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰，定积分与积分变量无关.三、举例例 1 已知函数2()f x x =在区间[]0,1上可积，求120x dx ⎰.例 2 已知1()1f x x=+，()sin g x x π=在[]0,1上可积. 利用定积分的定义说明 1) 10111lim()1221n dx n n n x→∞++⋅⋅⋅+=+++⎰. 2) 10012(1)1lim (sin sin sin )sin sin n n xdx x dx n n n n ππππππ→∞-++⋅⋅⋅+==⎰⎰.给出一般公式().......ba f x dx =⎰例 3 讨论Dirichlet 函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数 在[]0,1上的可积性.四、 定积分的计算 定理 (微积分基本定理)设[]:,f a b R →可积，存在可导函数[]:,F a b R →，使F f '=，则()()|()()bx bx a af x dx F x F b F a ====-⎰上式也称为Newton-Leibniz 公式.例 4 求例2中定积分的值.例 5 1) 211(ln )eex dx x⎰;2) 2⎰;3) 求11()f x dx -⎰，其中210()0x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩， ，;4) 0⎰;5) 221lim nn i in i→∞=+∑;6) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+.2 可积性条件一、可积的必要条件定理1 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上有界.注 有界仅是f 可积的必要条件，而非充分条件. 如[]0,1上的()D x . 定理2 设函数f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点. [ 若函数f 在[],a b 上处处不连续，则f 必不可积. ] 二、可积的充要条件设{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆为[],a b 上的一个分割，设f 在[],a b 上有界，则f 在每个i ∆上必有上下确界，记{}sup ()ii x M f x ∈∆=，{}inf ()ii x m f x ∈∆=，1,i n =⋅⋅⋅.作和式1()n i i i S T M x ==∆∑，1()ni i i s T m x ==∆∑，分别称为f 关于T 的上和和下和(Darboux 上下和) , 从而i i ξ∀∈∆，1,i n =⋅⋅⋅，1()()()ni i i s T f x S T ξ=≤∆≤∑. (作图几何意义)注 当分割T 确定后，则上和与下和完全确定.性质1 对同一分割T ,上和()S T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的上确界(相对于i ξ取),下和()s T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的下确界, 即{}1()inf ()i i n i i i s T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑， {}1()sup ()i i n i i i S T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑，且 1()()()()()ni i i m b a s T f x S T M b a ξ=-≤≤∆≤≤-∑，其中,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界.性质2 设T '为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割. 则()()()()s T s T s T p M m T '≤≤+- ()()()()S T S T S T p M m T '≥≥--即分点增加后，下和不减，上和不增.性质3 若T 与T '为任意两个分割，T ''为T 与T '所有分点合并组成的分割，记为T T T '''=+，则 ()()s T s T ''≥， ()()S T S T ''≤；()()s T s T '''≥， ()()S T S T '''≤.性质4 对任意两个分割T 、T '，总有()()s T S T '≤.即：对任何两个分割，下和总不大于上和. 因而，所有的上和有下界，所有的下和有上界，从而分别有下、上确界，记为S 和s . 即{}inf ()TS S T =，{}sup ()Ts s T =，称S 和s 分别为f 在[],a b 上的上、下积分，记为()ba S f x dx -=⎰，()b a s f x dx -=⎰.性质5 ()()()()bbaa mb a f x dx f x dx M b a ---≤≤≤-⎰⎰性质6. [Darboux 定理] 0lim ()()b a T S T f x dx -→=⎰，0lim ()()ba T s T f x dx →-=⎰.定理 3 (第一充要条件) [],a b 上的有界函数f 可积⇔()()bb a a f x dx f x dx --=⎰⎰定理4 (可积的第二充要条件)[],a b 上的有界函数f 可积⇔ 0ε∀>，存在分割T ，使得()()S T s T ε-<.由于11()()()nni i i i i i i S T s T M m x x ω==-=-∆=∆∑∑，其中i i i M m ω=-称为f 在i ∆上的振幅. 从而有定理4' [],a b 上的有界函数f 可积⇔0ε∀>，存在分割T ，使得1ni i i x ωε=∆<∑.定理4'的几何意义：若f 可积，则曲线()y f x =可用总面积任意小的一系列小矩形覆盖. 反之亦然.三、可积函数类(充分条件)定理 5. 若f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上可积.定理 6. 若f是[],a b上仅有有限个间断点的有界函数，则f在[],a b上可积.注.改变可积性函数在某些点处的值, 不改变可积性, 也不改变积分值. 定理7. 若f为[],a b上的单调函数，则f在[],a b上可积.例1试用两种方法证明函数0 0()1111xf xxn n n=⎧⎪=⎨<≤⎪+⎩，，，1,2n=⋅⋅⋅在[]0,1上可积.例2 设f 在[],a b 上有界，{}[],n a a b ⊂，lim n na c =.证明：若f 仅在{}n a 上间断，则f 在[],a b 上可积.例3 f 在[],a b 上可积，[][],,a b αβ⊂，则f 在[],αβ上可积.例4 证明定理2: 若f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点(从而有无穷多个连续点) .例5 证明: Riemann 函数[]1, ()0 0,10,1p x p q q p q q f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩，和互素,，或中的无理数 在[]0,1上可积，且1()0f x dx =⎰.(第三充要条件)3 定积分的性质一、定积分的性质 1. 线性性质定理 1 设f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[],a b 上可积，且 ()()bbaakf x dx k f x dx =⋅⎰⎰.定理 2 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.推论. 设,f g 在[],a b 上可积，,αβ为常数，则f g αβ+在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰.2. 乘积可积性定理 3 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ⋅在[],a b 上可积. 注 一般情形下，()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ⋅≠⋅⎰⎰⎰.定理 4 有界函数f 在[],a c 和[],c b 上可积f ⇔在[],a b 上可积，且()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰规定 1) ()0aa f x dx =⎰.2)()()baab f x dx f x dx =-⎰⎰，()b a <.则对任何,,a b c 均有 ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.4. 关于函数的单调性定理5 设,f g 在[],a b 上可积，且()()f x g x ≤，[],x a b ∀∈，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.推论 (积分值的估计) 设f 在[],a b 上可积，,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界，则 ()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰.定理6 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积，且|()||()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.注. 定理 6的逆不真.6. 积分第一中值定理定理 7 若函数f 在[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰.几何意义: 称1()ba f x dxb a -⎰为f 在[],a b 上的平均值.定理7' (推广的第一中值定理) 若,f g 在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.[()1g x ≡时，即为定理7.]二、应用举例例 1 求11()f x dx -⎰. 其中2110() 01x x x f x e x ---≤<⎧=⎨≤<⎩， ，.例 2 求()sin f x x =在[]0,π上的平均值.例 3 若f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，则()0ba f x dx >⎰.例 4比较积分1⎰和21x e dx ⎰的大小.例 5证明：22ππ<<⎰.例 6 若f 在[],a b 上可积，()0f x >，则()0ba f x dx >⎰.例 7 若,f g 在[],a b 上可积，则{}()max (),()M x f x g x =在[],a b 上可积.*例 8 设f 在[],a b 上可积，且()0f x m >>，则1f可积.*例 9 证明：若f 在[],a b 上连续，且()()0b baaf x dx xf x dx ==⎰⎰，则在(),a b 内至少存在两点12,x x 使12()()0f x f x ==. 又若2()0bax f x dx =⎰，此时，f 在(),a b 内是否至少有三个零点?*例 10 设f 在[],a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明: 1) 1()()2ba ab f f x dx b a+≤-⎰ 2) 又若()0f x ≤，[],x a b ∈，则又有2()()ba f x f x dxb a ≥-⎰，[],x a b ∈.*例11证明：(1)11ln(1)11ln2n nn+<++⋅⋅⋅+<+(2)1112lim1lnnnn→∞++⋅⋅⋅+=*例13若f可积，m f M≤≤，g在[,]m M上连续，则复合函数h g f=可积.由此, 若f可积, 则2f,13,f||f, ()f xe, (0)f≥,1(inf0)ff>可积.4 微积分基本定理 定积分的计算一、微积分基本定理 1. 变限积分的可微性设f 在[],a b 上可积，则任何[],x a b ∈，f 在[],a x 上也可积，从而()()xa x f t dt Φ=⎰，[],x ab ∈定义了一个以x 为积分上限的函数, 称为变上限积分.定理1 若f 在[],a b 上可积，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上连续.定理 2 (原函数存在定理，微积分学基本定理)若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰，[],x a b ∈.注. 1) 当f 在[],a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰为f 的一个原函数，且f 的任一原函数()()xaF x f t dt C =+⎰. 令x a =，则()F a C =. 从而()()()xaf t dt F x F a =-⎰——Newton-Leibniz .2) 定理2. 揭示了导数和定积分之间的深刻联系，同时证明了连续函数必有原函数，并说明变上限积分就是一个原函数. 由于它的重要作用而被称为微积分基本定理.3) 同样可定义变下限积分()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰. 且当f 连续时，有()()bxd f t dt f x dx =-⎰ 4) 变上限积分()xaf t dt ⎰一般不写作()xaf x dx ⎰.例 1 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰例 2 设f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，证明: ()0baf x dx >⎰.例 3 设f 为连续函数，,u v 均为可导函数，且复合f u ，f v 均有意义，证明()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=⋅-⋅⎰.例 4 求1) 230limx x x +→⎰2) 222010cos limx x x t dtx →-⎰二、定积分的换元法定理 3 设f 在[],a b 上连续，Φ满足条件1) ()a αΦ=，()b βΦ=. [](),,a t b t αβ≤Φ≤∈ 2) ()t Φ在[],αβ上有连续导函数，则()(())()baf x dx f t t dt βα'=Φ⋅Φ⎰⎰.例 5 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰3)10x x dx e e -+⎰4)3212(1)dx x x -+⎰5)120ln(1)1x dx x ++⎰6) 已知32()4f x dx =-⎰，求21(1)xf x dx +.注 在换元法计算定积分时，一要注意积分上下限的变化(这里只需要求,a b 的对应值为,αβ，而不计较,αβ的大小) . 二是要注意代入新变量，直接求定积分的值，而无需变量还原. (此与不定积分是不一样的. 这是因为不定积分求的是被积函数的原函数，其变量应一致，而定积分的结果是一个数值，只需求出即可) .注 定理3换元积分条件，f 可减弱为f 可积，ϕ可减弱为()t ϕ'在[],αβ上可积，且除有限个点外()0t ϕ'>(或()0t ϕ'<) . (保证[][]:,,a b ϕαβ→是11-的.) 例 6 设f 为[],a a -(对称区间) 上的连续奇(偶) 函数，则()0aaf x dx -=⎰(0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰) .如求22223(sin3cos 5arctan 1)x x x x x e x dx ππ--⋅+⋅--⎰.例 7 设f 为(,)-∞+∞上以T 为周期的可积函数，证明：对任何实数a R ∈，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰.例 8 设f 为连续函数，则1) 22(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;2)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.由此计算2sin sin cos xdx x x π+⎰和20sin 1cos x x dx xπ⋅+⎰.例 9 设f 在[],a b 上连续，求证：()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.由此计算362cos (2)xdx x x πππ-⎰.三、分部积分定理 4 若(),()u x v x 为[],a b 上的连续可导函数，则有定积分分部积分公式()()()()()()bbb a aau x v x dx u x v x u x v x dx ''⋅=⋅-⋅⎰⎰或()()()()()()bb b a aau x dv x u x v x v x du x =⋅-⎰⎰例 10 1) 10x xe dx ⎰ 2)21ln ex xdx ⎰3) 1ln eexdx ⎰4) 1arcsin xdx ⎰5) 2sin x x e dx π⋅⎰6)4⎰例 11 求20sin nxdx π⎰和2cos n xdx π⎰.注 由前两式可推出著名的Wallis 公式：2(2)!!1lim 2(21)!!21m m m m π→∞⎡⎤=⋅⎢⎥-+⎣⎦.四、Taylor 公式的积分型余项 推广的分部积分公式设(),()u t v t 在[,]a b 上有1n +阶连续导函数，则(1)()(1)()()()()()()()(1)()()bn n n n n baau t v t dt u t v t u t v t u t v t +-'⎡⎤⋅=⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦⎰1(1)(1)()()bn n au t v t dt +++-⋅⎰.设f 在0x 处的某邻域0()U x 有1n +阶连续导函数，0()x U x ∈，则有(1)()1(1)()()()()()()!()0()xxn n n n n n xx x x x t ft dt x t f t n x t f t n f t f t dt +--⎡⎤-=-+-+⋅⋅⋅++⋅⎣⎦⎰⎰()00000()!()![()()()()]!n n f x n f x n f x f x x x x x n '=-+-+⋅⋅⋅+-!()n n R x =(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +⇒=-⎰ ——积分型余项注 1) 由推广的第一积分中值定理((1)()n f t +连续，()n x t -在[]0,x x 或[]0,x x 上保持同号) ，则(1)1()()()!x n n n x R x f x t dt n ξ+=-⎰(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++=-+ ——Lagrange 型余项2) 直接由积分第一中值定理，有(1)01()()()()!n n n R x f x x x n ξξ+=-- (1)10001(())(1)()!n n n f x x x x x n θθ++=+--- 00x =时，(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=-， 01θ≤≤——Cauchy 型余项五、积分第二中值定理 定理 5 设f 在[],a b 上可积,1) 若g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰.2) 若g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰.推论. 设f 在[],a b 上可积，g 为单调函数，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰.例 12 设()f x 为[]0,2π上的单调递减函数，证明：对任何正整数n ，恒有20()sin 0f x nxdx π≥⎰.定理 6 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，函数g 在[],a b 上可导，且导函数()g x '在[],a b 上非负且连续，则存在[],c a b ∈，使得()()()()()()bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx =+⎰⎰⎰.例 13 证明：当0x >时，有不等式21sin x cxt dt x+≤⎰(0)c >.例 14 设()y f x =为[],a b 上严格增的连续曲线，试证：存在(),a b ξ∈使图中阴影部分面积相同.习 题1. 求)0(F '及)4(πF '. 其中⎰-=202sin )(x t tdt e x F2. 求下列极限(1) ⎰→xx dt t x 020cos 1lim (2) dxe dt e x txt x ⎰⎰∞→020222)(lim3. 求下列积分(1) ⎰⋅2042sin cos πxdx x (2)dx x ⎰-224(3) dx xx⎰+202sin 1cos π (4) dx xx ⎰+411(5) dx x x ⎰-1122)2( (6)dx x a x a2202-⎰(7)dx xx ⎰++311 (8)xdx x 3sin][3π⎰4. 求下列积分 (1) dx xe x⎰-2ln 0(2) ⎰210arccos xdx(3) ⎰-adx x a 022 (4) dx x x⎰-1221(5)⎰-2ln 01dx e x(6)dx ax x aa⎰-+222(7)dx xb x a xx ⎰+⋅202222sin cos cos sin π(8)dx x x ee⎰1ln(9)⎰+20cos sin cos πdx xx x(10)⎰+-adx xa xa 0arctan(11)dx e x x ⎰-⋅202sin π(12)dx xa xa x a⎰+-025. 求下列极限 (1) ∑=+∞→nk n nk 123lim (2) 2213lim k n nk nk n -∑=∞→6. 证明 (1)⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m(2) 若f 在R 上连续, 且⎰=x adt t f x f )()(, 则.0)(≡x f (3) 0sin sin ,m n mx nxdx m n N m nπππ-≠⎧=∈⎨=⎩⎰，(4)⎰-=ππ0cos sin nx mx(5) 设f 在],0[π上连续,且⎰⎰⎰===πππ0cos )(sin )()(xdx x f xdx x f dx x f求证f 在),0(π内至少两个零点.定积分1、定积分的定义1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰0,0,,,,di i T T εδδξ⇔∀>∃>∀<∀∈∆1()ni i i f x J ξε=∆-<∑. (())baJ f x dx =⎰2、可积函数(充要) 条件1) f 在[],a b 上可积⇒f 在[],a b 上有界⇒f 在(),a b 内至少有一个连续点2) f 在[],a b 上可积⇔()()b ba a f x dx f x dx --=⎰⎰⇔0,,()()T S T s T εε∀>∃-< ⇔10,,ni i i T w x εε=∀>∃∆<∑3) f 在[],a b 上连续⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上单调⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上仅有限个间断点(或间断点仅有限个聚点) ，则f 在[],a b 上可积. f 在[],a b 上可积，g 与f 仅有限个点处不相等，则g 在[],a b 上可积，且()()bbaag x dx f x dx =⎰⎰4) 可积函数复合未必可积.3、定积分性质1) 线性性质 2) 子区间可积性 3) 乘积可积 4) 区间可加性 5) 单调性 6) 绝对可积性4、微积分基本定理与Newton-Leibniz 公式定理. 若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰. 由此可得()()()baf x dx F b F a =-⎰.注. 若f '可积，则()()()b af x dx f b f a '=-⎰.定理. 若f 在[],a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[],a b 上连续.结论 (变限积分的导数)()()(())(())()(())()h x g x f t dt f h x h x f g x g x '''=⋅-⋅⎰5、定积分的积分方法 1) 换元设()y f x =在[],a b 上可积，()x t ϕ=满足ϕ'在[],αβ上可积，且在[],αβ上至多除有限个点使()0t ϕ'=，其余点()0t ϕ'>，(),()a b ϕαϕβ==，则()(())()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⋅⎰⎰[ 注意：积分上下限只需对应，而不管大小. ] 2) 分部积分 (注意具体被积函数的形式) 设,u v ''为[],a b 上可积函数, 则 bbb a aaudv uv vdu =-⎰⎰.6、Taylor 公式与积分中值定理. 1) 可积函数未必有原函数.1, 01;() 1 , 1 2.x f x x -≤≤⎧=⎨<<⎩ 2) 有原函数的函数也未必可积.22211cos 2sin , 0;()0, 0.x x f x x x xx ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在[1,1]-上有原函数220, 0;()1sin , 0.x x F x x x =⎧⎪=⎨⋅≠⎪⎩ 但f 在[0,1]上不可积.3) 可积不连续的函数也可能有原函数.习 题 课一、定积分的计算 例 1 1)20πθ⎰2) 1t x t dt -⎰, (1,0,01)x x x ><≤≤3)arctana⎰4) 10(1)xdx x α+⎰5)10ln(1dx ⎰6)0⎰7)121⎰8)2-⎰9) 21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨>⎪⎩ , 求31(2)f x dx -⎰.10) 1(2)2f =，(2)0f '=，20()1f x dx =⎰. 求120(2)x f x dx ''⎰.二、利用定积分定义求和式极限11111()lim ()lim ()nn i i T n i i f x dx f x f n n ξ→→∞===∆=∑∑⎰1()lim ()n ban i b a b af x dx f a i n n→∞=--=+∑⎰例 2 1) 221lim nn i i n i→∞=+∑2) 11lim[(1)]n n n k k n -→∞=+∏3) 12lim 1knnn k n k→∞=+∑4) 444333124lim (12)5n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+三、变限积分的导数例 3 1)2sin b a d x dx dx⎰ 2) 2sin x a d tdt dx ⎰3) 10(arctan )t x e tdt '⋅⎰4)23ln t t d dxdt x⎰ 例 4 1) 设0x ≥时，()f x 连续，且230()x f t dt x =⎰，求()f x .2) 设f 连续，31()x f t dt x c -=+⎰，求c 与(7)f .例 5 1) 设f 在[],a b 上连续，0()()()xF x f t x t dt =-⎰，[],x a b ∈.求证：()()F x f x ''=.2) 设f 在[)0,+∞上连续，且()0f x >，00()()()xx tf t dt x f t dtϕ=⎰⎰.试证：ϕ在()0,+∞上严格增.3) f 为连续可导函数. 试求：()()xa d x t f t dt dx'-⎰.四、求含变限积分未定型极限 例 6 1) 20cos limsin xx x x t dttdt→⎰⎰2) 222020()limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰例 7 1) 设f 在[],a b 上连续，求证：(),x a b ∈时，1lim ()()()()xa h f t h f t dt f x f a n+→+-=-⎰.2) ()f x 在R 上连续，且以T 为周期，求证：0011lim ()()x Tx f t dt f t dt x T→∞=⎰⎰.3)1lim bb -→⎰，(01)b << 存在.4) 设f 在[]0,A (0)A ∀>上可积，lim ()x f x a →+∞=，则01lim()xx f t dt a x →+∞=⎰.五、定积分的极限例 8 1) 求证: 1) 10lim 1nnx dx x +⎰ 2) 120lim (1)n n x dx →∞-⎰3) 2lim sin n n xdx π→∞⎰2) 设f 在[]0,2π上单调，求证：20lim ()sin 0f x xdx πλλ→∞⋅=⎰.六、某些积分不等式1、利用积分关于被积函数的单调性证明不等式.例 9 证明不等式 11201413n x dx n x x n-≤≤-+⎰，n ∈.例 10 证明:1) 211<⋅⋅⋅+< 2) 11ln(1)11ln 2n n n+<++⋅⋅⋅+<+[由此证明11lim(1ln )2n n n ++⋅⋅⋅+-存在，一般称此极限为Euler 常数，记为C ]2、某些不等式的积分形式设函数,f g 在[],a b 上可积，对[],a b 上n 等分, 取[]1,i i i x x ξ-∈，若对任何n ，1i n ≤≤，有11()()nn i i i i b a b af g n n ξξ==--⋅≤⋅∑∑，则有()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰. 例 11 1) 证明Schwarz 不等式.设,f g 在[],a b 上可积, 则222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.而当,f g 连续时, 等号成立⇔c ∃，g cf =.2) 设f 在[],a b 上连续，且0f >，则21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上可积，证明：21120()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.4) 设,f g 在[],a b 上可积，则有Minkowski 不等式()111222222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.例 12 若ϕ在[]0,a 上连续，f 二阶可导，且()0f x ''≥, 则有Jesen 不等式0011(())(())a af t dt f t dt a a ϕϕ≥⎰⎰.3、其它不等式例13 1) 设f 在[]0,1上连续可导，证明：10()()()f x f t f t dt '≤+⎰，[]0,1x ∈.2) 设0a >，f 在[]0,a 上连续可导，则01(0)()()aa f f x dx f x dx a '≤+⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上连续可导, 且(0)0,(1)1f f ==, 求证：110()()f x f x dx e -'-≥⎰.4) 设f 二阶可导, 求证：3()()()()224baa b Mf x dx b a f b a +--≤-⎰. 其中[],sup ()x a b M f x ∈''=.。
4-1定积分概念与性质
区间[a , b]上可积.
四、定积分的几何意义 b f ( x ) 0, a f ( x )dx A 曲边梯形的面积
f ( x ) 0,
a f ( x )dx A
A3
b
曲边梯形的面积 的负值
A1
A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
若干个分点
a x x x x
0 1 2
n 1
x b
n
把区间[a , b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ， 在各小区间上任取
一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i )xi ( i 1,2,)
a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
b
于是
性质5的推论2： （ 2） 证
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx .
(a b)
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx ,
第四章
定积分与不定积分
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分. 不定积分侧重于基本积分法的训练,
而定积分则完整地体现了积分思想 —
一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
4.1 定积分的概念和性质
一、实际问题举例 二、定积分的定义 三、存在定理 四、定积分的几何意义 五、定积分的性质
i 1
n
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
4-2定积分
无穷限积分的几何意义 若f ( x) 0, x [a, ), f ( x)dx收敛的几何意义 :
a
曲线y f ( x),直线x a与x轴之间向右无限
延伸的阴影区域有面积,并以 lim A f ( x)dx极 A a
i 1
极限存在,并且其极限值与[a, b]的分割法
以及 i的取法无关, 则该极限值称为函数
f ( x)区间在[a, b]上的定积分,记作 :积分和
积分上限
即
b a
n
f ( x)dx lim
n ( 0)
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
被积
积分
表变
达 式
量
[a, b] 为积分区间
反常积分,简称无穷限积分,
记作
J f ( x)dx, a
并称 f ( x)dx收敛.否则称 f ( x)dx发散.
a
a
f ( x)dx lim A f ( x)dx .
a
A a
f ( x)dx lim A f ( x)dx .
注意：
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与 积分变量的字母无关.
b f (x)dx b f (t)dt b f (u)du
a
a
a
(2)在定义中区间的分法和i的取法是任意的.
(3)当函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时, 称f ( x)在区间[a, b]上可积.
lim[
0
f
(1
)x1
f
(2 )x2
定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假 设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法 任取
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a
b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是 时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.
高中数学 412 定积分学案 北师大选修2-2 学案
4.1.2 定积分一、学习目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、能用定积分的定义求简单的定积分；3、了解定积分的几何意义； 二、重点难点：学习重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义 三、学习过程： （一）、复习回顾1.用“四步曲”： 求得曲边梯形的面积S=_________________________2.用四步曲求得变速运动的路程S=_____________________________. （二）、定积分的概念阅读教材P.45-46，完成下列问题问题1：函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,如同曲边梯形面积的“四步曲”求法写出其运算过程.问题2：当n →∞时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分,记做⎰∑=∞→-=bani i n f nab dx x f 1(lim )(ξ),其中a 与b 分别叫做 与 ，区间[,]a b 叫做 ，函数()f x 叫做 ，x 叫做 ，()f x dx 叫做 。
（三）、定积分的几何意义 阅读教材P.46，完成下面问题问题3：定积分的几何意义是：______________________________ 。
例1：利用定积分的定义，计算⎰103dx x 的值. (4)1(2122333+=+++n n n )练习1：利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-121的大小.练习2：利用定积分的定义,证明a b dx ba-=⎰1,其中b a ,均为常数且b a <.（四）、定积分的运算性质问题4：定积分的运算性质有以下3条，分别为：性质1： 性质2： 性质3： （五）、课堂小结 1、定积分的概念；2、根据定积分的定义求简单的定积分；3、定积分的几何意义．四、学习反思。
412定积分-文档资料省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
1．定积分旳概念
自学导引
定积分
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其中∫叫做 积分号，a叫作 积分旳下限 ，b叫作
积分旳上限
，f(x)叫作 被积函数 ．
2．定积分旳几何意义
y＝f(x)与x＝a，
x＝b和x轴所围曲边梯形旳面积 从x＝a到x＝b时所走过旳旅程
运动物体
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[思绪探索] 解答本题可根据定积分旳几何意义找到被积函 数和积分区间，解出曲边梯形即可．
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答案 (1)> (2)< (3)<
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误区警示 对定积分旳几何意义了解有误而致错
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(1)正确画出图形是求解旳关键． (2)当平面图形有部分或全部在x轴下方时，要注意定积分旳 正确表达．
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【题后反思】 利用定积分旳几何意义求定积分就必须精确
了解其几何意义，同步要合理利用函数旳奇偶性、对称性
定积分的概念讲义
定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －1，x i ] 的长度1i i i x x x -∆=-。
② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )， ④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .即：()()1lim ni n i bb af x dx f anξ→∞=-=∑⎰ 注：在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． （2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
(3 )定积分的性质 ①a b dx ba-=⎰1②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）③⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x . （定积分的线性性质）④⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． （定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb b bm m aaaaf x f x fx dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c b aac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M B AabOyxy=1yxOba【例题精讲】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
4-2 定积分的概念
[x0x1][x1x2][x2x3][xn1xn] 它 们 的 长 度 依 次 为 x1 x1x0x2 x2x1xn xnxn1 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边 梯形分成 n 个窄曲边梯形 第二步： 近似。 在每个小区间[xi1xi]上任取一点i 以[xi1xi]为底、 f (i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(i12n)。 第三步：求和。把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲 边梯形面积 A 的近似值 即 Af (1)x1 f (2)x2 f (n)xn
n i 1 0 n
( 选讲 ) 例 3 将极限 lim[
n
1 1 1 ] 表示为定积分的形式 . n 1 n 2 nn
（提高部分，可选讲） 分析：所给极限为和式极限形式，可与定积分形式相比较，找出 定积分定义中的被积函数、积分区间及分割的小区间的长度（通常是 等分区间）, 从而将数列极限化为定积分的形式。 1 1 1 1 1 1 1 解：因为 [ ] n n 1 n 2 n n n 1 1 1 2 1 n n n
总体思想：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都 用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩 形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体 方法是
第 一 步 ： 分 割 。 在 区 间 [ab] 中 任 意 插 入 若 干 个 分 点 ax0x1x2xn1xnb 把 [ab] 分 成 n 个 小 区 间
定积分定义中的被积函数、积分区间, 从而将数列极限化为定积分的 形式。 解： 上面和式可看为函数 x sin x 在区间 [0, ] 上的积分和， 而 x sin x 在 [0, ] 上连续，从而在 [0, ] 上可积，所以
第四章_4.1定积分的概念与4.2定积分的性质
3
1 3 sin
x 1,
3
, x 1 4
x [ 0 , ],
1 3 sin
3
x
1 3
,
0
1 4
dx
0
1 3 sin 1
3
dx x 3 .
0
1 3
dx ,
4
0
3 sin
3
dx x
课堂练习 ：
1．比较定积分 04 sin
b a b
f ( x)dx
b a
f (t ) d t
a
b
f (u ) d u
a
规定 a
f ( x)dx
f ( x)dx
b
4.1.2 定积分的定义 a
例1
b
f ( x ) d x lim
1
0
2
n
f ( i ) x i
i 1
根据定积分的定义，计算 0
每个小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ( i 1, 2, , n )
4.1.2 定积分的定义
在每个小区间 [ x i 1 , x i ]上任取一点 i ( x i 1 i x i ) ， 作函数值 f ( i ) 与小区间长度 x i的乘积 f ( i ) x i ，并作 和式（称为积分和式）
f ( x ) f (0 ) e 0 1 0,
0
2
0
0
( e x ) dx 0 ,
x
4-1定积分概念
例题讲解----变力做功
例 弹簧在拉伸过程中，力F与伸长量x成正比， 有F=kx（其中k为常数）。设弹簧自平衡
位置拉长bcm，求所消耗的功？ y
F kx
o
b
x
小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 近似 求和 取极限 化整为零
以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
思考题 将和式极限：
1 2 ( n 1) lim sin sin sin n n n n n
表示成定积分. 练习题 利用定义法求定积分： x dx ?
2 0
1
思考题解答
原式
1 2 ( n 1) n lim sin sin sin sin n n n n n n
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
f ( x) R[a, b]
几点注解：
（1） 定积分是一个数值（与不定积分不同），它 与区间分法以及 i 的取法无关；只依赖于被积 函数 f ( x ) 和区间[a , b].
（2）定积分与积分变量的符号无关：
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
x
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
y
y f ( x)
o
a x1 x2
i
xi 1 xi xn 1b
x
实例2、变速直线运动的路程
2011.11.1，神八发射成功… 行进中的火车…
实例2 “变速直线运动的路程”
4.1定积分的概念及性质
4 cos xdx 4 sin xdx
0
0
28
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练习题
一、判断题
（1）设 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，则
b
b
a f (x)dx a f (t)dt 0
b
（2）若 f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a
3
2
（3） f (x)dx f (x)dx 0
2
0 ( x 1)dx 0
y （2，1）
1S
o
1
x
o
1 2x
-1
19
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4.1.2 定积分的性质
经济应用数学
若 f (x), g(x) 在区间a,b 上可积，则 f (x) g(x),
kf (x) 在 a,b 上也可积，且
性质1 性质2
b
b
a kf (x)dx k a f (x)dx
则乘积 f (i )xii 1, 2, 3, , n 的总和为
n
Sn f (i )xi i 1
11
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经济应用数学
若不论对区间 a, b 采取何种分法，也不论 i 在 a,b 中如何取法, 只要当 0 时， 极限
n
lim
0
i 1
Ai (i 1, 2,3 n.)
5
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② 近似代替—以直代曲
y 经f (济x) 应用数学
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1
1
1
＝3×73－2×145＝－12.
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活页规范训练
(1)利用定积分的性质可将被积函数较复杂的
定积分化为简单函数的定积分；将未知的定积分转化为已
知的定积分．
(2)定积分的性质的推广．
①b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx
a
＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx；
围成的曲边梯形的面积．如图(1)所示阴影部分．
(2)2exdx 表示由曲线 y＝ex 和直线 y＝0，x＝1，x＝2 围成 1
的曲边梯形的面积，如图(2)所示阴影部分．
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在平面上，当 f(x)≥0，bf(x)dx 表示的是由曲
a
线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b，y＝0 所围成的曲边梯形的 面积，当 f(x)<0 时，表示面积的相反数．
a
a
a
②
b
f(x)dx
＝
∫c1af(x)dx
＋
c2
f(x)dx
＋
…
＋
b
cnf(x)dx(
其
中
a
c1
n∈N＋)．
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【训练 2】 设 f(x)是连续函数，若1f(x)dx＝1，2f(x)dx＝－1，
0
0
则2f(x)dx＝________. 1
解析 由定积分性质，2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx.
a
c
a
SB(SA，SB 表示所在区域 A，B 的面积)．
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3．奇偶函数在对称区间上的积分
(1)若 f(x)为偶函数，且在[－a，a]上图像连续不断，则
-aaf(x)dx＝2a0f(x)dx. (2)若 f(x)为奇函数，且在[－a，a]上图像连续不断，则
a
f(x)dx＝0.
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【训练 1】 不用计算，根据下列图形，用不等号连接下列 各式．
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(1)1xdx________1x2dx(图 1)；
0
0
(2)1xdx________2xdx(图 2)；
0
1
(3)2 4－x2dx________22dx(图 3)．
-a
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题型一 用几何图形表示定积分
【例 1】 利用几何图形表示下列定积分．
(1)1x3dx； 0
[思路探索]
(2)2exdx. 1
解答本题可根据定积分的几何意义找到被积函
数和积分区间，解出曲边梯形即可．
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解 (1)1x3dx 表示由曲线 y＝x3 和直线 y＝0，x＝0，x＝1 0
a
a
；
a
性质 4：(定积分对积分区间的可加性)bf(x)dx
a
cf(x)dx＋bf(x)dx
＝ a
c
.
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：设函数 y＝f(x)，那么式子1f(t)dt＝1f(x)dx 是否
0
0
Байду номын сангаас
正确？为什么？
提示 正确. 定积分与被积函数，积分上限和积分下限有 关，与积分变量用什么字母表示无关．
0
0
答案 (1)> (2)< (3)<
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题型二 定积分性质的应用
【例 2】 已知01x3dx＝14，12x3dx＝145，
12x2dx＝73，24x2dx＝536，
求(1)23x3dx； (2)46x2dx； (3)2(3x2－2x3)dx.
0
1
1
[思路探索] 分析要求定积分的被积函数与已知定积分的被
412定积分
自学导引
1．定积分的概念 给定一个在区间[a，b]上的函数 y＝f(x)，将[a，b]区间分
成 n 份，分点为：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b，在每个小 区间[xi－1，xi]上任取一点 δi，S′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋… ＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn 的值趋近于某一个固定的常数 A， 称 A 是函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作
a
如图(1)所示，即bf(x)dx＝S.
a
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(2)若在区间[a，b]上 f(x)≤0，则 S＝－bf(x)dx，
a
如图(2)所示，即bf(x)dx＝－S.
a
(3)若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，
则 S＝cf(x)dx－bf(x)dx，如图(3)所示，即bf(x)dx＝SA－
abf(x)dx ，即bf(x)dx＝A.
a
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其中∫叫做 积分号，a叫作 积分的下限 ，b叫作
积分的上限
，f(x)叫作 被积函数 ．
2．定积分的几何意义
当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 表示的是
a
x＝b和x轴所围曲边梯形的面积
y＝f(x)与x＝a， ；当 f(x)表示速
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名师点睛
1．定积分概念的理解
由定义可得定积分bf(x)dx 是一个常数，它的值仅仅取决
a
于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母
表示无关，即bf(x)dx＝bf(u)du＝bf(t)dt＝……(称为积分
a
a
a
形式的不变性)，另外定积分bf(x)dx 与积分区间[a，b]息
度关于时间 x 的函数时，bf(x)dx 表示的是 运动物体
a
从x＝a到x＝b时所走过的路程
．
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3．定积分的性质
性质 1：b1dx＝ b－a ；
a
性质 2：bkf(x)dx＝
kbf(x)dx
a
；
a
性质 3：b[f(x)±g(x)]dx＝
bf(x)dx±bg(x)dx
a
息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，
所得的值也不同，例如1(x2＋1)dx 与3(x2＋1)dx 的值就不
0
0
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2．对定积分几何意义的理解 由三条直线 x＝a，x＝b(a＜b)，x 轴及一条曲线 y＝f(x)所 围成的曲边梯形的面积为 S，则有： (1)若在区间[a，b]上，f(x)≥0，则 S＝bf(x)dx，
积函数，恰当运用定积分的性质即可得出答案．
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解 (1)23x3dx＝32x3dx
0
0
＝3(01x3dx＋12x3dx)＝314＋145＝12.
(2)46x2dx＝64x2dx＝6(2x2dx＋4x2dx)
1
1
1
2
＝6(73＋536)＝126.
(3)2(3x2－2x3)dx＝32x2dx－22x3dx