高中培优讲义定积分及其简单应用

第十三讲定积分及其简单应用

教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

2、了解微积分基本定理的含义.

一、知识回顾课前热身

知识点1、定积分

(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

(3)定积分的基本性质

①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.

③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.

(4)．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？

提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．

知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫b a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．

基础练习

1.∫421

x d x等于()

A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2

解析：选D∫421

x d x＝ln x

|42＝ln 4－ln 2＝ln 2.

2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()

A.176

B.143

C.136

D.116

解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝

⎝⎛⎪⎪

⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.

3．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．

解析：∫20

x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：83

4．∫101－x 2

d x ＝________.

解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所

以

∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14

π 二、例题辨析 推陈出新

例1、利用微积分基本定理求下列定积分：

(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ； (2)∫π0(sin x －cos x )d x ； (3)∫2

0x (x ＋1)d x ；

(4)∫21⎝

⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20

π

⎰

sin 2x 2

d x .

[解答]

(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝

x 33 |21＋x 2 |21＋x |21＝193

. (2)∫π0(sin x －cos x )d x ＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π

0＝2.

(3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x ＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)

20

π

⎰

sin 2

x 2

d x ＝20

π⎰

⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π

⎰cos x d x ＝12

x

20

π

－12

sin x 20

π＝π4－12＝π－24

. 变式练习

1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ；(2)

20

π

⎰

1－sin 2x d x .

解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧

1－x ， x ∈[0，1)

x －1， x ∈[1，2]

故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫2

1(x －1)d x

＝⎝⎛⎭⎫x －x 2

2 |10

＋⎝⎛⎭⎫x 2

2－x |21＝12＋12

＝1.

(2)

20

π⎰

1－sin 2x d x ＝

20

π⎰

|sin x －cos x |d x ＝

40

π⎰

(cos x －sin x )d x ＋

24

ππ⎰

(sin x －cos x )d x

＝(sin x ＋cos x )40

π＋(－cos x －sin x ) 24

ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.

例2、 ∫10－x 2

＋2x d x ＝________.

[解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2

＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．

由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4

.

在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．

解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以

∫20－x 2＋2x d x ＝π2

. 变式练习

2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．

解析：因为f (x )＝∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4－t d t ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －2cos π4＝sin x ＋cos x －1＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1≤2－1，当且仅当sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

4＝1时，等号成立．答案：2－1 三、归纳总结 方法在握

归纳1、利用几何意义求定积分的方法

(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分． (2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．

归纳2、求定积分的一般步骤

计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．

归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤