数理统计总复习(题型归纳)

解：似然函数为: L( xi , θ) = ∏ f ( xi , θ) = θ N (1 − θ) n− N
i =1 n
ln L( θ) = N ln θ + ( n − N ) ln(1 − θ) d ln L N n − N ˆ= N 令 = − = 0, 解得：θ dθ θ 1− θ n ˆ= N 所 以 θ的 极 大 似 然 估 计 为 θ n
解：似然函数为: L( xi , θ) = 2n e
−2
∑ ( xi −θ )
i =1
n
, 当xi > θ,( i = 1, 2, L , n)；
L( xi , θ) = 0, 其他。当xi > θ,( i = 1, 2, L , n)时， L( xi , θ) > 0；取对数并求导得： d ln L = 2n > 0, 所以L单调增加。 dθ 因此当θ取x1 , x2 , L , xn的最小值时，L( θ)取最大值。 θ 所以θ的极大似然估计为ˆ = min{ x , x , L , x }.
： 解（1）检验假设H 0：σ 2 = 1，H 1：σ 2 ≠ 1； ( n − 1) S 2 取统计量：χ 2 = 2 σ0
2 拒绝域为：χ 2 ≤ χ 2 α ( n − 1) = χ 0.975 ( 9) = 2.70 1−
或χ 2 ≥ χ 2 ( n − 1) = χ α
2
2 2 0.025
224学 这个题目和2005级 224学时的类似。
二、有关区间估计及假设检验方面的题型
1 24学 考题（2008级 24学时） 14分 四、(本题14分)设总体X~N(µ ,σ 2 ),且x1 , x2, L , x10 是样本观察值，样本方差s = 2,
2
（1）求σ 2的置信水平为0.95的置信区间； X2 X2 （2）已知Y = 2 : χ 2 (1), 求D( 3 )的置信水平 σ σ 2 为0.95的置信区间； 0.975 ( 9) = 2.70, χ 0.025 ( 9) = 19.023). (χ2
2nX 2 Q 解：（1） P < χ α ( 2 n) = 1 − α, θ 2nX ∴ P θ > 2 = 1 − α, χ α ( 2 n)
2nX 即的单侧置信下限为θ = 2 χ α ( 2 n) 2 × 16 × 5010 （2） = θ = 3764.706 42.585
解：1)，E ( X ) = ∫ (
+∞
−∞
x f ( x )d x = ∫
θ
0
2x 2 dx = θ 2 3 θ
2
2 令µ1 = E ( X ) = A1 = X = θ， 3 ˆ = 3 X 为参数的矩估计量。 得θ 2 ( 2 ) 似然函数为:
n 2 xi 2 n 0 L( xi , θ) = ∏ 2 = 2 n ∏ xi ， < xi < θ,( i = 1, 2, L , n) θ i =1 i =1 θ 而L( θ)是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计 量为ˆ = max{ X , X , L , X }. θ n 1 2 n
32学 考题6（2006级 32学时） 14分 三、(本题14分)设总体X的概率密度为： β β+1 , x > 1, f ( x, β) = x 其中未知参数β > 1, 0, x ≤ 1. X 1 , L , X n为来自X的简单随机样本， 求（1）β 的矩估计量； （2）β 的最大似然估计量。
解：1)，由于E ( X ) = ∫ ( =∫
+∞ 1
+∞
−∞
x f ( x; β)d x
β β x β+1 d x = , β−1 x
β ˆ= X . 令 = X，解得参数β 的矩估计量β X −1 β−1
( 2 ) 似然函数为:L( xi , β) = ∏ f ( xi , β)
i =1
n
βn , β+1 = ( x1 x2 L xn ) 0,
1 2 n
32学 考题4（2007级 32学时） 10分 六、(本题10分)设随机变量X的概率密度为 2x 2 , 0< x<θ f ( x) = θ ，其中未知参数θ > 0, 0, 其他 X 1 , L , X n是样本，求θ的矩估计和最大似然估计。
（此题和2008级的第三大题一样的.)
解：（1）σ 2的置信水平为0.95的置信区间为： 18 18 6 , 2 2 ，即为（0.9462，.6667）； χ 0.025 ( 9) χ 0.975 ( 9) X2 1 X2 1 2 2 （2）D 3 = 2 D 2 = 2 D[χ (1)] = 2 ； σ σ σ σ σ X2 2 由于D 3 = 2 是σ 2的单调减少函数， σ σ
拒绝域为 t ≥ t0.025 ( 9) = 2.2622
Qt = 10.8 − 10 = 2.1028 < 2.2622，
1.2 / 10 ′ 所以接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油 的平均浓度是10 mg / L）。 （
综上，认为工厂生产正常。
24学 考题4（2008级 24学时,作业题） 14分 六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水 中动植物油的浓度X~N(10,σ 2 )，σ 2未知，今阶段性 抽取10个水样，测得平均浓度为10.8 mg / L), 标准 （ 2 差为1.（mg / L)，问该工厂生产是否正常？ ( α = 0.05, t0.025 ( 9) = 2.2622,）
8 （2）由( 1) 解得接受域为（1.08，.92）， 当 H 0 = 6时 ， 接 受 的 概 率 为
x−5
8.92 − 6 1.08 − 6 = P {1.08 < X < 8.92} = Φ − Φ 2 2 = Φ(1.46) − Φ( −2.46) = Φ(1.46) − [1 − Φ( 2.46)] = 0.9278 − (1 − 0.9931) = 0.921
考题5（2007级 64学时 作业P153 四） 七、(本题8分)设X 1 , L , X n为总体X的样本， X的密度函数为： 0< x<1 θ, f ( x , θ) = 1 − θ, 1 ≤ x < 2；其中未知参数θ > 0 0, 其他 设N为样本值x1 , L , xn中小于1的个数，求θ的极 大似然估计。
考题2（2008级 48学时） 10分 三、(本题10分)设总体X在[0, θ]上服从均匀分布， )为 其中θ( θ > 0)未知，(X 1 , L , X n )为来自总体X的样本， 求θ的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
48学 考题3（2008级 48学时） (10分 七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为 2e −2( x −θ ) , x > θ f ( x) = ，其中θ > 0为未知参数, 其他 0, 又设x1 , L , xn是X的一组样本观察值，求参数θ的 极大似然估计。
56学 考题8（2005级 256学时） 三 、 ( 本 题 8 分 ) 设 X 1 , X 2 , L , X n为 服 从 泊 松 分 布 )的 π(λ )的总体X的一个样本，求λ的极大似然估计量。
32 考题9（2004级 32学时） 三、(本题8Leabharlann Baidu)设总体X的概率密度为： ( θ + 1) x θ , 0 < x < 1, f ( x) = 0, 其它 其中θ > −1是未知参数，X 1 , X 2 , L , X n为总体X 的一个容量为n简单随机样本，求参数θ的极大 似然估计量。
= 19.023，
( n − 1) s 2 9 × 1.22 经计算：χ 2 = = = 12.96 2 1 σ0 由于χ 2 = 12.96 ∈ ( 2.700, 19.023)，故接受H 0，即可以 认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ 2 = 1。
（2）检验假设；H 0：µ = 10，H 1：µ ≠ 10 取统计量：t = X − 10 S / 10 : t ( 9)
48 考题6（2008级 48学时） (15分 四、(15分)某厂生产滚珠,从某天生产的产品中随机 地抽取6个，测得直径为14.6, 15.1, 14.9， .8, 15.2, 15.3, 13 并知道珠直径服从N(µ ,σ 2 )分布， (1)已知σ 2 = 0.12，求平均直径的95%的置信区间； 95%的 95%的 ( 2)σ 2未知，求平均直径的95%的置信区间； （已知：t 0.025 ( 5) = 2.5706, Φ(1.96) = 0.975)
xi > 1( i = 1, 2, L , n) 其他
当xi > 1( i = 1, 2, L , n)时，L(β) > 0, 取对数得 ln L(β) = n ln β − (β + 1)∑ ln xi , 两边对β 求导，
i =1 n
d ln L n n d ln L 得 = − ∑ ln xi 令 = 0, 可得 β = dβ dβ β i =1 ˆ 故 β 的 最大 似 然 估 计 量 为 β = n .
考题5（2008级 24学时） 10分 七、(本题10分)设X 1 ,X 2 ,X 3 ,X4为取自总体X~N(µ ,42 ) 的样本，对假设检验问题H 0：µ = 5，H 1：µ ≠ 5, (1)在显著性水平0.05下求拒绝域； ( 2)若µ = 6，求上述检验所犯的第二类错误的概率β 。
x−5 解（1）拒绝域为 z = ： = ≥ z0.025 = 1.96 2 4/ 4
2 2 2 置信区间为 2 , 2 ，即为（0.3000，.1137）。 σ σ
24学 考题2（2008级 24学时） 10分 五、(本题10分)设总体X服从参数为θ的指数分布, 其中θ > 0未知，X1 , L , X10为取自总体X的样本，若 2 n 已知U = ∑ X i : χ 2 ( 2n), 求 θ i =1 （1）θ的置信水平为1 − α的单侧置信下限； （2）某种元件的寿命（单位:h）服从上述指数分布， 现从中抽得容量为16的样本，得样本均值为510( h), 试求元件平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下 限。
解： 验假设；H 0：µ = 10，H 1：µ ≠ 10 检 取统计量：t = X − 10 S / 10 : t ( n − 1)
拒绝域为 t ≥ t0.025 ( 9) = 2.2622
Qt = 10.8 − 10 = 2.1028 < 2.2622，
1.2 / 10 所以接受H 0，
可认为工厂生产正常。
24学 考题3（2008级 24学时,作业题） 14分 六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水 中动植物油的浓度X~N(10,1)，今阶段性抽取10个 水样，测得平均浓度为10.8 mg / L), 标准差为 （ 1.（mg / L)，问该工厂生产是否正常？ 2
2 ( α = 0.05, t0.025 ( 9) = 2.2622, χ 0.025 ( 9) = 19.023, 2 χ 0.975 ( 9) = 2.700)
n
∑ ln X i i =1
n
∑ ln X i i =1
n
224学 考题7（2005级 224学时） 三 、 ( 本 题 8 分 ) 设 X 1 , X 2 , L , X n为 总 体 的 样 本 ， X的密度函数为： (1 + β) x β , 0 < x < 1, β > −1 f ( x) = 0, 其他 求参数β 的极大似然估计。
题型分析
一、有关矩估计法及极大似然估计法的题型
1 24 考题（2008级 24学时） 14分 三、(本题14分)设随机变量X的概率密度为： 2x 2 , 0< x<θ f ( x) = θ ，其中未知参数θ > 0, 0, 其他 X 1 , L , X n是来自X的样本，求（1）θ的矩估计； （2）θ的极大似然估计。