第六章 轴心受压构件

λn
仅考虑残余应力 的柱子曲线
6.3.4 构件几何缺陷对轴心受压构件弯曲屈曲的影响
1. 构件初弯曲（初挠度）的影响
假定：两端铰支压杆的初弯曲曲线为：
y0
=
v0
sin
πx
l
N
式中： v0 − 长度中点最大初始挠度 。
l/2
Ym
y0
v0
ym
y0 y
x
规范规定： v0 ≤ l 1000
y
令: N作用下的挠度
( f )热扎等边角钢
2.残余应力影响下短柱的σ-ε曲线
以热扎H型钢短柱为例：
0.3fy
0.3fy 0.3fy
（A） （B）
σfy=0.7fy 0f.y7fy<σ<fy
σrc=0.3fy
0.3fy
（C）
fσy =fy
σ=N/A
fy C
B fp A
fy-σrc σrc
0
ε
显然,由于残余应力的存在导致比例极限fp降为: f p = f y − σ rc
Ncr Ncr
因： k 2 =
N cr
= π2
EI ⎜⎛ 1 − β N cr ⎟⎞ l 2
⎝ GA ⎠
故，临界力 N cr：
N cr
=
π
2 EI l2
⋅ 1+
π
1 2 EI l2
⋅β
GA
临界应力 σ cr：
σ cr
=
N cr A
= π 2E ⋅
1
λ2
1
+
π
2 EA
λ2
⋅
β
GA
通常剪切变形的影响较小，可忽略不计，即得欧 拉临界力和临界应力：
均绕纵轴扭转，是某些双轴对称截面可能发生的失稳形 式；
（3）弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆
件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。
6.3.2 无缺陷轴心受压构件的屈曲
1、弹性弯曲屈曲（理想的轴心压杆的临界屈曲力）
理想的轴心受压构件(理想无限弹性，杆件挺直、 无初弯曲，荷载无偏心、无初始应力、无初偏心、截 面均匀等）
β G1 A−
⋅βVN=cr
GA
Gβ⎟⎠⎞A
⋅
dM dx
y
′′
+
d
2ky21
y=0
=− M
dx 2
EI
对于常系数线形二阶齐次方程： y ′′ + k 2 y = 0
其通解为： y = A sin kx + B cos kx
引入边界条件： x = 0，y = 0，得 B = 0，从而：
y = A sin kx
σcr
内、外弯矩平衡得：
− (EI1 + Et I 2 )⋅ y′′ = N ⋅ y
y
Ncr,r
解此微分方程，即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹
塑性临界力：
( ) N cr ,r
=π2
EI1 + Et I 2 l2
= π 2Er I
l2
Er − 折算模量， Er = (EI1 + Et I2 ) I
(2)切线模量理论
轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲
N
A 稳 定 平F 衡 状 态
Ncr
Ncr
C 临 界 状F 态
l
N
Ncr
下面推导临界力Ncr
设M作用下引起的变形为y1，剪力作用下引起的变形 为y2，总变形y=y1+y2。
由材料力学知：
d 2 y1 = − M
dx 2
EI
剪力V产生的轴线转角为：
Ncr
y y1 y2
l
γ = dy2 = β ⋅V = β ⋅ dM
σ rc − 截面中绝对值最大的残 余应力。
3. 残余应力对构件稳定承载力的影响
根据前述压杆屈曲理论，当 σ = N A ≤ f p = f y −σrc 或 λ ≥ λ p = π E f p 时，可采用欧拉公式计算临界应 力；
当 σ = N A > f p = f y −σrc 或 λ < λ p = π E f p 时，截 面出现塑性区，由切线模量理论知，柱屈曲时,截面 不出现卸载区，塑性区应力不变而变形增加,微弯时 截面的弹性区抵抗弯矩，因此,用截面弹性区的惯性 矩Ie代替全截面惯性矩I，即得柱的临界应力：
Ncr
再引入边界条件： x = l，y = 0，得：
A sin kl = 0
解上式，得： A = 0 → 不符合杆件微弯的前提
y y1 y2
Ncr
M=Ncr·y
l
条件，舍去。
x
sin kl = 0 → kl = nπ（n = 1，2，3L）
取n = 1，得：kl = π 即：k 2 = π 2 l 2
式中： Ym − 长度中点所增加的最大 挠度。
上式求二阶导数：
σσccrrxx
(=或πλσ22xEcry⋅
)Ie=x Ix
2=bπtf2yE−⋅ λ2x
2ηt(ηbtb×)h02.54η=(σπrc2E+
2tbh22b4t λ2x
σ⋅ηrt
)
对y
−σyc轴ry =屈πλ曲22yE时⋅ I：Ieyy==fπyλ22−yEσ⋅ 2rct2(η2+tbbσ3)31rt21⋅2η=2
对x − x轴屈曲时：
a’
b
c’
σrc
σrt
σ crx
=
π 2E λ2x
⋅
Iex Ix
=
π 2E λ2x
⋅ 2t(ηb)h2 4
2tbh2 4
=
π 2E λ2x
⋅η
b’
对y − y轴屈曲时：
σ cry
=
π 2E λ2y
⋅
Iey Iy
=
π 2E λ2y
⋅ 2t(ηb)3 12
2tb3 12
= π2E λ2y
力 构
强度 （承载能力极限状态）
件 轴心受压构件 稳定
刚度 （正常使用极限状态）
6.2.1 强度计算（承载能力极限状态）
σ= N ≤f
An N—轴心拉力或压力设计值；
(6.2.2)
An—构件的净截面面积； f—钢材的抗拉强度设计值。
6.2.2 刚度计算（正常使用极限状态）
保证构件在运输、安装、使用时不会产生过 大变形。
大纲要求
1、了解“轴心受力构件”的应用和截面形式； 2、掌握轴心受拉构件设计计算； 3、了解“轴心受压构件”稳定理论的基本概念和分析 方法； 4、掌握现行规范关于“轴心受压构件”设计计算方 法，重点及难点是构件的整体稳定和局部稳定； 5、掌握格构式轴心受压构件设计方法。
§6.1 轴心受力构件的应用和截面形式
中和轴
Ncr,r
假定:
l
△σ
A、达到临界力Ncr时杆件 挺直;
△σ
σcr,t
B、杆微弯时,轴心力增加
x
△N，其产生的平均压
应力与弯曲拉应力相等。
y
Ncr,r
所以应力、应变全截面增加，无退降区，切线模
量Et通用于全截面。由于△N较Ncr小的多，近似取Ncr 作为临界力。因此以Et替代弹性屈曲理论临界力公式 中的E，即得该理论的临界力和临界应力：
Ncr
=
π
2Et I l02
σ cr
=
π 2Et λ2
(6.3.5)
初始缺陷对压杆稳定的影响
如前所述，如果将钢材视为理想的弹塑性材料， 则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为：
σ
fy
fy=fp
σ cr fy
1.0
欧拉临界曲线
ε
λ
0
0
λy = π E fy
但试验结果却常位于蓝色虚线位置，即试验值小
dx GA GA dx
Ncr
M=Ncr·y
A、I − 杆件截面积和惯性矩；
x
E、G − 材料弹性模量和剪变模 量；
β − 与截面形状有关的系数 。
Ncr
Ncr
因为：
d 2 y2 = β ⋅ d 2M
dx 2 GA dx 2
所以：
d 2 y = d 2 y1 + d 2 y2 = − M + β ⋅ d 2 M
N cr
= π 2 EI
l2
= π 2 EA λ2
σ cr
=
π 2E λ2
上述推导过程中，假定E为常量（材料满足虎克定 律），所以σcr不应大于材料的比例极限fp，即：
σ cr
= π 2E λ2
≤
fp
或长细比 :
λ ≥ λp = π
E fP
2.轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲
当σcr大于fp后
Ncr,r
一、轴心受力构件的应用
桁架
网架
塔架
轴心受压柱
实腹式轴压柱与格构式轴压柱
二、轴心受压构件的截面形式 截面形式可分为：实腹式和格构式两大类。
12.实格腹构式截面-截面由两个或多个型钢肢件通过缀材连接而成。
§6.2 轴心受力构件的强度和刚度
轴 心 受
强度 （承载能力极限状态） 轴心受拉构件 刚度 （正常使用极限状态）
Ncr
= π 2 EIe
l2
= π 2 EI ⋅ Ie
l2 I
σ cr
=
π 2E λ2
⋅
Ie I
t
源自文库
h1
仍以忽略腹板的热扎H型钢柱 为例，推求临界应力：
当σ>fp=fy-σrc时，截面出现塑 性区，应力分布如图。
柱屈曲可能的弯曲形式有两种： 沿强轴（x轴）和沿弱轴（y轴）
y
x
x
ηb
b
a
c
t
σ1
fy
因此，临界应力为：
N
的增加值为y, 由力矩
M=N·(y 0+ y) 平衡得:
x
− EIy′′ = N ( y + y0 )
l/2
y
y
N
N
将初弯曲曲线代入 上式, 得:
EIy′′
+
N
⎜⎛ ⎝
y
+
v0
sin
πx
l
⎟⎞ ⎠
=
0
(1)
另外,由前述推导可知，N作用下的挠度的增加值
为y，也呈正弦曲线分布：
y
=
Ym
sin
πx
l
(2)
的多，可近似取直线。而弯曲受拉一侧应力发生退降,且应力退
降遵循弹性规律。又因为E>Et，且弯曲拉、压应力平衡，所以 中和轴向受拉一侧移动。
令： Ncr,r
I1为弯曲受拉一侧截面（退降 区）对中和轴的惯性矩；
形心轴 中和轴
dσ1
l
I2为弯曲受压一侧截面对中 和轴的惯性矩；
且忽略剪切变形的影响，由
x
dσ2
λ = l0 < [λ ]
i
(6.2.4)
l 0 − 构件的计算长度； i = I − 截面的回转半径；
A
[λ ] − 构件的容许长细比，其 取值详见规范或教材。
§6.3 轴心受压构件的整体稳定
6.3.1 轴心受压构件的整体失稳现象
轴心受压构件的整体失稳—轴心受压构件受外力作用后， 当截面上的平均应力远低于钢材的屈服点时，常由于内力和外 力间不能保持平衡的稳定性，些微的扰动即足以使构件产生很 大的的弯曲变形，或扭转变形或又弯又扭而丧失承载能力，这 种现象称为丧失整体稳定性。
π 2E λ2y
⋅η3
联合求解,即得σcrx(λx); 联合求解,即得σcry(λy)。
可将其画成无量纲曲线(柱子曲线)，如下；
纵坐标是临界应力与屈服强度的比值,横坐标是相
对长细比(正则化长细比)。 σ cr fy
λn = π
λ
E fy
1.0
=
λ π
⋅
fy E
0
σcrx
σcry
欧拉临界曲线
σE
1.0
dx 2 dx 2 dx 2
EI GA dx 2
由于 M = N cr ⋅ y，得：
d 2 y = − N cr ⋅ y + βN cr ⋅ d 2 y
dx 2
EI
GA dx 2
即：
y ′′⎜⎜⎝⎛ 1 −
β N cr
GA
⎟⎟⎠⎞ +
N cr EI
⋅
y
=
0
令k 2 =
N cr
，则：
γ
=
ddyxE2 I=⎜⎝⎛
轴心受压构件的失稳形式分为：
§6.3 轴心受压构件的整体稳定
4.1稳定问题的一般特点
4.1.1失稳的类别
（1）稳定分岔屈曲 （2）不稳定分岔屈曲 （3）跃越屈曲
（1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主
轴旋转，杆纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见 的失稳形式；
（2）扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面
σ-ε曲线为非线 σ
dσ
性,σcr难以确定。 σcr
dε
l
历史上有两种 fp
Et
=
dσ dε
理论来解决该问题，
即：
x
E
dσ2
形心轴 中和轴
dσ1
σcr
(1)双模量理论 0 1
ε
y
Ncr,r
该理论认为，轴压构件在微弯的中性平衡时，截面平均应
力(σcr)要叠加上弯曲应力，弯曲受压一侧应力增加遵循切线模 量Et规律（分布图形为曲线），由于是微弯，故其数值较σcr小
于理论值。这主要由于压杆初始缺陷的存在。
初
始 缺
力学缺陷：残余应力、材料不均匀等。
陷
几何缺陷：初弯曲、初偏心等；
6.3.3 力学缺陷对轴心受压构件弯曲屈曲的影响 1.残余应力产生的原因及其分布 A、产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却，如前所述； ②型钢热扎后的不均匀冷却； ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩； ④构件冷校正后产生的塑性变形。
实测的残余应力分布较复杂而离散，分析时常采用 其简化分布图（计算简图）：
0.361fy
+
- 0.805fy
+
(a)热扎工字钢
fy 0.75fy
0.2fy
0.3fy 0.3fy
0.3fy
(b)热扎H型钢
fy
0.53fy
(d)焰切边焊接
(e)焊接
fy β1fy
0.3fy
(c)扎制边焊接
β2fy β2fy
⋅η3
t
显然，残余应力对弱轴的影响
y
要大于对强轴的影响（k<1）。 x
x
h
t
σ1
fy
为消掉参数k，有以下补充方程：
由△abc∽△a’b’c’得:
ηb
σ1 = ηb σrc +σrt b
b
即： σ1 =η(σrc +σrt )
a
c
a’
b
c’
σrc
由对x力−的x轴平屈衡曲可时得：截面平均应力:
σrt b’
第 六 章
第六章 轴心受力构件
§6-1 轴心受力构件的应用和截面形式 §6-2 轴心受力构件的强度和刚度 §6-3 轴心受压构件的整体稳定 §6-4 实际轴心受压构件整体稳定的计算 §6-5 轴心受压构件的局部稳定 §6-6 实腹式轴心受压构件的截面设计 §6-7 格构式轴心受压构件 §6-8 冷弯薄壁型钢轴心受压构件的设计特点