参数方程与普通方程的互化

课题：参数方程与普通方程的互化

【学习目标】

1.掌握参数方程化为普通方程的几种常用方法.

2.选取适当的参数化普通方程为参数方程.

3.利用辩证地观点认识参数方程与普通方程之间的关系,通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识.

【重点难点预测】

重点：参数方程与普通方程的互化 难点：参数方程与普通方程的互化

【学法指导】

小组合作、讨论交流

【导学流程】 一、创设情境

下列参数方程与方程2y x =表示同一曲线的是哪一个?

①42

x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数); ②2sin sin x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数);

③x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数); ④1cos 21cos 2tan t x t y t

-⎧=⎪+⎨⎪=⎩(t 为参数). 二、课前预习导学

问题1:参数方程化为普通方程的步骤

(1)消去参数方程中的参数.消去参数的常用方法有:①代入消去法;②加减消去法;③乘除消去法;④三角恒等式消去法.

(2)写出定义域(x 的范围).

问题2:普通方程化为参数方程的步骤

只要适当选取参数t ,确定()x t ϕ=,再代入普通方程求得()y f t =,即可化为参数方程()

()x t y f t ϕ=⎧⎨

=⎩

问题3:是否所有参数方程与普通方程都可以进行互化?若能互化,在互化过程中要遵守什么原则?

不是所有的参数方程都可以化为普通方程.普通方程化为参数方程时,选择的参数不同,其参数方程 .

若参数方程与普通方程能够互化,在互化过程中要遵守参数方程与普通方程的 原则,即两种方程中,x y 的范围一致.

问题4:参数方程和普通方程在研究问题时各有什么优势?

三、基础学法交流

1.直线y=x-2的参数方程可以为( ).

A.222sin sin x y θθ⎧=+⎨=⎩

B.2

2

2x t

y t

⎧=+⎨=⎩ C.2t x y t =+⎧⎨=⎩ D.121

x t

y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

2.若曲线22

2cos sin x y θθ

⎧=+⎨=⎩(θ为参数),则点(,)x y 的轨迹是( ). A.直线220x y +-= B.以(2,0)为端点的射线

C.圆22(1)1x y -+=

D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段

3.将参数方程1cos 22sin x y θ

θ

=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为 .

4.P 为曲线C 1:2cos sin x y θ

θ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上一点,求它到直线C 2:122x t y =+⎧⎨=⎩(t 为参数)的距离的最小

值.

四、展示提升：

把参数方程化为普通方程

例一、化参数方程2121t x t

t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩

(t 是参数)为普通方程,并画出方程的曲线.

把普通方程化为参数方程

例二、把直线方程20y ++-=化为参数方程.

参数方程与普通方程的等价性

例三、已知两曲线参数方程分别为sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩，（0）和25()4x t

t R y t

⎧=⎪∈⎨⎪=⎩,求它们的

交点坐标.

【当堂检测】

1.参数方程为1()2

x t t t y ⎧=+⎪

⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是( ).

A.一条直线

B.两条直线

C.一条射线

D.两条射线

2.已知某条曲线的参数方程为11()2()11()2x a a

a y a a ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

为参数,则该曲线是( ). A.线段 B.圆 C.双曲线的一部分 D.圆的一部分

3.若直线12()22x t

t y t =-⎧⎨=-+⎩为参数与直线41x ky +=垂直,则常数k = .

4.

设直线的参数方程为1()2

x t y ⎧

=⎪⎪

⎨

⎪=-⎪⎩为参数(t 为参数),它与椭圆22

4199x y +=的交点为A 和B,

求线段AB 的长度.

【达标测评】

1、参数方程sin 2sin cos x y θ

θθ

=⎧⎨=+⎩(θ为参数)表示的曲线的普通方程是 .

2、设()y tx t =为参数,则圆2240x y y +-=的参数方程为 .

3、在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2

的参数方程分别为

2x y θπθθθ

⎧=⎪≤≤⎨

=⎪⎩，（为参数，0）

和12()x t y ⎧

=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,则曲线C 1与C 2

的交点坐标

为 .

4、已知曲线C 1

的参数方程是()x t y ⎧=⎪

⎨=⎪⎩

为参数.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立

极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是2ρ=,则C 1与C 2交点的直角坐标为 .

【知识清单】 【自主反思】