第四章1球函数及其性质
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2( n k )! qnk k ( n k )!
2, k 0 k 1, k 0
习题
1证明:
2 1 x p2 ( x ) p0 ( x ) 3 3
2
2 3 x p3 ( x ) p1( x ) 5 5
3
连带勒让得函数是连带勒让得方程在【-1,1】中有界条件下 的特征函数。还可以写成：
做变量代换，
可以求得：
将前三式代入连带勒让德方程，整理得：
求导并整理得: 得：
可见，连带勒让得方程两个线性无关的解可由勒让得方程 两个线性无关的解确定。
(二)连带勒让得方程的级数解
由上式可以求出连带勒让得方程两个线性无关的解，
(四)连带勒让得函数
为了得到[1,1]中的有界解，我们仍然取a=n(n+1)，其中n为大于等 于零的整数，此时 显然，若n为偶数，则B1(x)中的无穷 级数变成多项式，B2(x)中的无穷级数保持为无穷级数;若n为奇数，则 B1(x)中的无穷级数保持为无穷级数，B2 (x)中的无穷级数变成多项式。 这两个多项式都在[一1,1]中有界，因而由它们得到的B1 (x)或B2(x)也有 界。则连带勒让得方程在[-1,1]中的有界解为
(三)级数解的收敛性
当k为偶数时,将上式中的求和指标i换成i+K/2，得
当i足够大时，
考虑到B1（x）中的级数为x2的级数，B2 （x）中的级数为x与一个x2的级数 之积，所以这两上级数均可被当作正项级数处理，由于级数的前面有限项并 不影响级数的收敛性，所以只要 分别无界，B1,B2也无界。
可以证明，当x趋于士1时，y1(x)和y2 (x)分别趋于无穷，也就 是说，y1(x)和y2(x)在x=士1时无界，因而B1 (x)和B2(x)在x =士1时无界。
将Pn的表达式代入，得
得
经度方向方程的求解
3.4 球函数
在第一节中，我们将球坐标中的拉普拉斯方程的解分解成 了 三个函数的积，并解出： 最后，我们来求解
当趋于零时， 界的调和函数。 外部有界的调和函数。
。 所以， ，
适用于研究内部有 适用于研究
由分离变童法求得的拉普拉斯方程最一般的解为所有可能的 乘积 的线性组合。设坐标原点在某一闭合曲面的内部， 则在该曲面内部拉普拉斯方程分离变量有限解的一般形式为
球函数的几何意义
球函数的几何意义
球函数的几何意义
球函数的规格化
Pnk (cos ) 2( 2n 1 )( n k )! k Pn (cos ) k ( n k )!
A
k n
ABaidu Nhomakorabea
nk
nk
k Bn
k n
Bnk
球函数的规格化
nk qnk ( 2n 1)
拉普拉斯方程
V V V 0 2 2 2 x y z
2 2 2
(一)球坐标中的拉普拉斯算子
球坐标和直角坐标的关系是
利用该关系式直接将直角坐标系中的拉普拉斯算子化算在球 坐标系中，运算比较麻烦，这里我们利用 来推导拉普斯算子在球坐标中的表达式。 如图4-1所示，取一微六面体ABCDEFGH，
图 4-1
将
用于该微六面体，得
其中r为微六面体的体积,i=1,2,…,6表示微六面体 的6个面。 表示 在第i个面上的值，i为第i 个面的面积。 在AEHD上， n与p增加的方向反向，所以有
该面的面积为
，所以
所以有， 在AEFB上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加方 向的线元长度为d，所以， 同理有， 所以有，
我们把上述多项式最高次项的系数规定为 此时该多项式称为n阶勒让得函数，并且 表示。 在上述递推公式中令i=n-2，可以得到：
以此类推，可以得到：
，
….归纳可以得到:
因此，得到勒让德函数的具体表达式：
(四)罗巨格公式
勒让得函数的另一个表达形式是 称为罗巨格公式。
4.3 连带勒让得函数
(一)连带勒让得方程与勒让得方程的关系
(三)勒让得函数
为了解决方程的两个幕级数解在(-1,1)中有界而在x=士1时 均无界的矛盾，令 的值为n(n+1)，其中n为大于等于零 的整数，则系数的递推公式变为:
由这个递推公式,使那两个无穷级数中有一个变为多项式。当n为 偶数时, 变为多项式， 仍为无穷级数，当n为奇数时， 仍为无穷级数， 变为多项式。两个多项式都在[一1,1]中有界， 两个无穷级数则都在(一1,1)中有界，在x=士1时无界。因而勒 让得方程在[一1,1]中有界条件下的特征值是n(n十1)，对应的特 征函数为相应的多项式。
在ABCD上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加 方向的线元长度为 sin d ，所以
该面的面积为 d d ，所以
得 综合以上几式，得拉普拉斯算子在球坐标中的表达式：
(二)分离变量法
令上式等于零，然后两边同乘以平方 ，得球坐标中的拉普拉 斯方程 分离变量法就是将方程的解分解为依赖于不同自变量的函数 之积。令
令其级数解为
得
将第一项更换指标，
得
显然，要使原级数为勒让得方程的解，上式中x'的系数必须等于零，即
得递推公式 得到两个解
(二)级数解的收敛性
对于上式中的两个级数来说，我们可以将 看成是x平 方的幕级数，将 看成是x与 -x2的幕级数之积。 对于这两个幕级数来说，由于它们具有相同的递推公式， 收敛半径也必然相等，有： 就是说，当x在(-1,1)中时，前面的两个级数解都是收教 的，表明这两个解都有界。当x=士1时，两个级数解均 无界。
4.5球函数的几何意义
(一)勒让得函数的零点
球函数的几何意义
(二)面球函教的几何意义
当k=0时，面球函数退化成P(cos)，由于它在0<0<之 间有，n个零点，并且每经过一次零点改变一次正负号，所以， (cos)由纬线将球面分成n十1个正负相间的条带，叫带球函 数,是P3(cos)的示意图，零点为50. 8,90和129. 2
得 两边同除以 移项得：
等号两边必然等于同一常数 ，所以
进一步对第二个方程作变量分离，令 有： 移项，并令两边同等于 ，整理得：
令
x cos
将上式进行改化，得连带勒让德方程：
当=0时简化为
称为勒让德方程。
4. 2 勒让得函数
(一)勒让得方程的级数解
勒让得函数是勒让得方程在[一1,1]中有界条件下的特征 函数。勒让得方程还可以写成
2, k 0 k 1, k 0
习题
1证明:
2 1 x p2 ( x ) p0 ( x ) 3 3
2
2 3 x p3 ( x ) p1( x ) 5 5
3
连带勒让得函数是连带勒让得方程在【-1,1】中有界条件下 的特征函数。还可以写成：
做变量代换，
可以求得：
将前三式代入连带勒让德方程，整理得：
求导并整理得: 得：
可见，连带勒让得方程两个线性无关的解可由勒让得方程 两个线性无关的解确定。
(二)连带勒让得方程的级数解
由上式可以求出连带勒让得方程两个线性无关的解，
(四)连带勒让得函数
为了得到[1,1]中的有界解，我们仍然取a=n(n+1)，其中n为大于等 于零的整数，此时 显然，若n为偶数，则B1(x)中的无穷 级数变成多项式，B2(x)中的无穷级数保持为无穷级数;若n为奇数，则 B1(x)中的无穷级数保持为无穷级数，B2 (x)中的无穷级数变成多项式。 这两个多项式都在[一1,1]中有界，因而由它们得到的B1 (x)或B2(x)也有 界。则连带勒让得方程在[-1,1]中的有界解为
(三)级数解的收敛性
当k为偶数时,将上式中的求和指标i换成i+K/2，得
当i足够大时，
考虑到B1（x）中的级数为x2的级数，B2 （x）中的级数为x与一个x2的级数 之积，所以这两上级数均可被当作正项级数处理，由于级数的前面有限项并 不影响级数的收敛性，所以只要 分别无界，B1,B2也无界。
可以证明，当x趋于士1时，y1(x)和y2 (x)分别趋于无穷，也就 是说，y1(x)和y2(x)在x=士1时无界，因而B1 (x)和B2(x)在x =士1时无界。
将Pn的表达式代入，得
得
经度方向方程的求解
3.4 球函数
在第一节中，我们将球坐标中的拉普拉斯方程的解分解成 了 三个函数的积，并解出： 最后，我们来求解
当趋于零时， 界的调和函数。 外部有界的调和函数。
。 所以， ，
适用于研究内部有 适用于研究
由分离变童法求得的拉普拉斯方程最一般的解为所有可能的 乘积 的线性组合。设坐标原点在某一闭合曲面的内部， 则在该曲面内部拉普拉斯方程分离变量有限解的一般形式为
球函数的几何意义
球函数的几何意义
球函数的几何意义
球函数的规格化
Pnk (cos ) 2( 2n 1 )( n k )! k Pn (cos ) k ( n k )!
A
k n
ABaidu Nhomakorabea
nk
nk
k Bn
k n
Bnk
球函数的规格化
nk qnk ( 2n 1)
拉普拉斯方程
V V V 0 2 2 2 x y z
2 2 2
(一)球坐标中的拉普拉斯算子
球坐标和直角坐标的关系是
利用该关系式直接将直角坐标系中的拉普拉斯算子化算在球 坐标系中，运算比较麻烦，这里我们利用 来推导拉普斯算子在球坐标中的表达式。 如图4-1所示，取一微六面体ABCDEFGH，
图 4-1
将
用于该微六面体，得
其中r为微六面体的体积,i=1,2,…,6表示微六面体 的6个面。 表示 在第i个面上的值，i为第i 个面的面积。 在AEHD上， n与p增加的方向反向，所以有
该面的面积为
，所以
所以有， 在AEFB上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加方 向的线元长度为d，所以， 同理有， 所以有，
我们把上述多项式最高次项的系数规定为 此时该多项式称为n阶勒让得函数，并且 表示。 在上述递推公式中令i=n-2，可以得到：
以此类推，可以得到：
，
….归纳可以得到:
因此，得到勒让德函数的具体表达式：
(四)罗巨格公式
勒让得函数的另一个表达形式是 称为罗巨格公式。
4.3 连带勒让得函数
(一)连带勒让得方程与勒让得方程的关系
(三)勒让得函数
为了解决方程的两个幕级数解在(-1,1)中有界而在x=士1时 均无界的矛盾，令 的值为n(n+1)，其中n为大于等于零 的整数，则系数的递推公式变为:
由这个递推公式,使那两个无穷级数中有一个变为多项式。当n为 偶数时, 变为多项式， 仍为无穷级数，当n为奇数时， 仍为无穷级数， 变为多项式。两个多项式都在[一1,1]中有界， 两个无穷级数则都在(一1,1)中有界，在x=士1时无界。因而勒 让得方程在[一1,1]中有界条件下的特征值是n(n十1)，对应的特 征函数为相应的多项式。
在ABCD上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加 方向的线元长度为 sin d ，所以
该面的面积为 d d ，所以
得 综合以上几式，得拉普拉斯算子在球坐标中的表达式：
(二)分离变量法
令上式等于零，然后两边同乘以平方 ，得球坐标中的拉普拉 斯方程 分离变量法就是将方程的解分解为依赖于不同自变量的函数 之积。令
令其级数解为
得
将第一项更换指标，
得
显然，要使原级数为勒让得方程的解，上式中x'的系数必须等于零，即
得递推公式 得到两个解
(二)级数解的收敛性
对于上式中的两个级数来说，我们可以将 看成是x平 方的幕级数，将 看成是x与 -x2的幕级数之积。 对于这两个幕级数来说，由于它们具有相同的递推公式， 收敛半径也必然相等，有： 就是说，当x在(-1,1)中时，前面的两个级数解都是收教 的，表明这两个解都有界。当x=士1时，两个级数解均 无界。
4.5球函数的几何意义
(一)勒让得函数的零点
球函数的几何意义
(二)面球函教的几何意义
当k=0时，面球函数退化成P(cos)，由于它在0<0<之 间有，n个零点，并且每经过一次零点改变一次正负号，所以， (cos)由纬线将球面分成n十1个正负相间的条带，叫带球函 数,是P3(cos)的示意图，零点为50. 8,90和129. 2
得 两边同除以 移项得：
等号两边必然等于同一常数 ，所以
进一步对第二个方程作变量分离，令 有： 移项，并令两边同等于 ，整理得：
令
x cos
将上式进行改化，得连带勒让德方程：
当=0时简化为
称为勒让德方程。
4. 2 勒让得函数
(一)勒让得方程的级数解
勒让得函数是勒让得方程在[一1,1]中有界条件下的特征 函数。勒让得方程还可以写成