信号与系统第四章
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
信号与系统第四章习题参考答案13
《信号与系统》第四章习题参考答案4-1 解 （1）111()ataL es s a s s a -⎡⎤-=-=⎣⎦++ （2）[]2221221sin 2cos 111s s L t t s s s ++=+++++ （3）()2212tL te s -⎡⎤=⎣⎦+（4）[]21sin(2)4L t s =+，由S 域平移性质，得 ()21s i n (2)14tL e t s -⎡⎤=⎣⎦++ （5）因为1!nn n L t s +⎡⎤=⎣⎦，所以 []2211212s L t s s s++=+= 由S 域平移性质，得 ()()23121ts L t e s -+⎡⎤+=⎣⎦+（6）()2211cos sL at s s a -=-⎡⎤⎣⎦+，由S 域平移性质，得 (){}()2211cos ts L at e s s aβββ-⎡⎤-=-⎣⎦+++ （7）232222L t t s s ⎡⎤+=+⎣⎦ （8）732()327tL t es δ-⎡⎤-=-⎣⎦+ （9）[]22sinh()L t s βββ=-，由S 域平移性质，得()22sinh()atL e t s a βββ-⎡⎤=⎣⎦+-（10）由于()211cos ()cos 222t t Ω=+Ω 所以 222221111c o s ()22424ss L t s s s s ⎛⎫⎡⎤Ω=+∙=+ ⎪⎣⎦+Ω+Ω⎝⎭（11）()()()11111at t L e e a a s a s s a s βββββ--⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥--++++⎣⎦⎝⎭ （12）由于()221cos()1ts L e t s ωω-+⎡⎤=⎣⎦++所以 ()()()221cos()1a t a s e L et s ωω--++⎡⎤=⎣⎦++（13）因为(2)(1)(1)(1)(1)(1)t t t te u t e t e e u t ------⎡⎤-=-+-⎣⎦且()(1)(1)2(1)(1)(1)11sst t e e L t eu t L eu t s s ------⎡⎤⎡⎤--=-=⎣⎦⎣⎦++所以 ()(1)(2)2211(2)(1)(1)11s t s s e L teu t e e s s s -----⎡⎤+⎡⎤-=+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦（14）()(1)tL e f t F s -⎡⎤=+⎣⎦，由尺度变换性质，得(1)ta t L e f aF as a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（15）()t L f aF as a ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由s 域平移性质，得 []2()()at t L e f aF a s a aF as a a -⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（16）31cos(6)cos (3)cos(3)2t t t -=∙13cos(9)cos(3)44t t =+32213cos (3)48149s s L t s s ⎡⎤=+⎣⎦++由s 域微分性质，得()()22322222213181327cos (3)481494819d s s s s L t t ds s s s s ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⎡⎤=-+=+ ⎪⎣⎦⎢⎥++⎝⎭++⎣⎦（17）[]2cos(2)4sL t s =+，连续两次应用s 域微分性质，有 []()2224cos(2)4s L t t s-=+，()3232224cos(2)4s sL t t s-⎡⎤=⎣⎦+（18）111atL es s a -⎡⎤-=-⎣⎦+，由s 域积分性质，得111111(1)at sL e ds t s s a ∞-⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰ln()ln ln s s a s s a ⎛⎫=+-=- ⎪+⎝⎭ （19）351135tt L ee s s --⎡⎤-=-⎣⎦++，由s 域积分性质，得 33111115ln 353t t s e e s L ds t s s s --∞⎛⎫⎡⎤-+⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎰（20）()22sin aL at s a =⎡⎤⎣⎦+，由s 域积分性质，得()1122211sin 1arctan 21s s at s a s L ds d t s a a a s a π∞∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎣⎦+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 4-2 解（1）因为()()sin ()2T f t t u t u t ω⎡⎤⎛⎫=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()sin ()sin 22T T t u t t u t ωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以可借助延时定理，得()()sin ()sin 22T T L f t L t u t L t u t ωω⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎡⎤⎡⎤⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭222222221sT T s ee S S S ωωωωωω--⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭（2）因为()()()sin sin cos cos sin t t t ωϕωϕωϕ+=+ 所以()222222cos sin cos sin sin s s L t s s s ωϕϕωϕϕωϕωωω++=+=⎡⎤⎣⎦+++ 4-3 解此题可巧妙运用延时性质。
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统(第四版)第四章课后答案
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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1
t
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4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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2
4
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拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
最新课件-信号与系统教学第四章傅里叶变换和系统的频域分析 推荐
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
信号系统 第四章总结
第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数 （一）、完备正交函数 1正交函数：实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个实函数，若∫φ1(t ),t 2t 1φ2(t)dt =0，则称是函数的正交条件。
若∫φ1(t),t 2t 1φ2*dt =∫φ1*(t),t 2t 1φ2dt =0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t 2）内正交。
复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。
则称φ1(t) φ2(t)在（t 1,t 2）内正交。
2、正交函数集若n 个实函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足实函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是正交实函数。
≈复正交函数集：若n 个复函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足复函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj*(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是复正交函数集。
3、完备正交函数集：若正交函数集{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）之外不存在g t （t ）与φi (t )正交，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。
4、完备正交函数集举例： ａ、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数（二）信号正交分解f (t )≈C 1φ1（t ）+ C 2φ2（t ）+……..+ C n φn （t ）=∑C j n j=1φj (t),求系数C j 1、 求误差的均方值最小：2ε= Cj1t 1−t 2∫f (t )−∑C j n j=1φj (t)t 2t 1二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件f(t)=a02+∑(a n cos nΩt+b n sin nΩt)∞n=1a0 2=1T∫f(t)dt=f(t)π2−π2（f(t)在一个周期内方均值；直流分量）a n=2T∫f(t)cos nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T2b n=2T∫f(t)sin nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、f(t)=A02+∑(A n cos(nΩt+φn)∞n=1A n=√a n2+b n2（A0=a）φn=tan−1b na nA02直流分量；(A n cos(nΩt+φn)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：A n和a n是nΩ的偶函数；b n和φn是nΩ的奇函数。
信号与系统第4章
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
信号与系统 -第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
A2cos(2 t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n t+ n)称为n次谐波。
第4-13页
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
例1：将图示方波信号f(t)展开为数傅里叶级数。
f (t)
1
T T 0 T T 3T
t
2 1 2
2
解：f (t)为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得 信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
第4-5页
■
信号与系统电子教案
y C2v
y
0
A
x C1v x
4.1 信号分解为正交函 数
y C2vy
0 C3v
zz
A C1vx x
第4-6页
■
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函
二、信号正交与正交函数数集
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶简介
法国数学家、物理学家。1768年3月21日生 于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著 名
的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
A0
2
1 An
n1
e j n jn t
1数
2 An n1
e j n jn
t
令A0=A0
。
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0 ，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个 正交矢量集。
信号与系统第四章 复频域分析
7
4.1 拉普拉斯变换
• 拉氏变换对：X (s) x(t)est d t 说明：
1. 拉普拉斯变换的定义
x(t) 1 j X (s)estds
2 j j
① X s Lx象t 函 数,自然界中不存在,复函数,无法直接测量；
xt L1X s原函数,实际存在,实函数, 可以感觉和测量.
2
• 三、本书用到的信号的变换域
自变量 基本信号单元 变换名称
连续信号 离散信号
复频域 s j est
频域
j
e jt
复频域 z re jΩ zn
频域
e jΩ
e jΩ
拉氏变换 傅氏变换 z变换 傅里叶变换
3
• 四、拉氏变换在系统分析中的优势
1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数 方程，降低求解难度.
傅里叶反变换：x(t) 1 X ()e jt d 2
e x(t) 可以分解为 的j线t 性组合.
条件：信号 x必(t须)满足绝对可积条件
x(t) dt
映射：傅里叶变换与傅里叶反变换是一对一的变换对。
6
4.1 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换的定义
[x(t)e t ]ej tdt x(t)e( j)tdt
② 复频域移位性质：e at x(t) X (s a)
例4.3.5： 求衰减正弦 e at sin(的0拉t普) 拉斯变换.
解：
正弦函数的变换为
e at sin( 0t)
sin( 0t)
0
0
s2
2 0
(s
a)2
2 0
余弦函数的变换为
cos(0t)
s2
重庆邮电大学信号与系统课件第4章
f
(t )
etch tU
(t )
F (s)
(s
(s ) )2
2
23
通信与信息基础教学部
典型信号的拉普拉斯变换(1)
原函数
f (t)
像函数
F (s)
(t)
(t)
t (t)
Ae at (t)
sin0t (t)
cos0t (t)
24
通信与信息基础教学部
1
1 s 1 s2 A
sa
0 s2 02
1 2
s
1
s
1
1 2
s2
2s
2
s2
s
2
22
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
f
(t)
s ht
F (s)
s2
2
f
(t)
s h tU (t)
F (s)
s2
2
f
(t)
c h tU (t)
F (s)
s2
s
2
f (t) et s h tU (t) F (s)
(s )2 2
f (t) 1
2 j
j j
Fb
(
s)e
st
ds
拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相 反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。
（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s 域）间的联系。）
6
通信与信息基础教学部
拉普拉斯变换的收敛域(1)
拉普拉斯变换的收敛域
02
18
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
信号与系统第四章连续系统的频域分析
极点对系统频率响应的影响更为显著。极点 会使系统频率响应在某些频率处产生谐振峰 或反谐振峰，具体取决于极点的位置和数量。 极点越靠近虚轴，对频率响应的影响越显著。 同时，极点的实部决定了系统的阻尼程度， 虚部决定了谐振频率。
05 连续系统频域性能指标评 价方法
幅频特性曲线绘制方法
确定系统的传递函数
周期信号频谱特性
离散性
周期信号的频谱是离散的，即只在某些特定的频率点 上有值。
谐波性
周期信号的频谱由基波和各次谐波组成，各次谐波的 频率是基波频率的整数倍。
收敛性
随着谐波次数的增加，谐波分量的幅度逐渐减小，即 周期信号的频谱具有收敛性。
02 傅里叶变换及其在频域分 析中应用
傅里叶变换定义与性质
信号调制与解调
在通信系统中，通过傅里叶 变换实现信号的调制与解调 过程，将信息加载到载波信 号上进行传输。
信号滤波与处理
利用傅里叶变换设计数字滤 波器，对信号进行滤波处理 以去除噪声或提取特定频率 成分。
03 拉普拉斯变换及其在频域 分析中应用
拉普拉斯变换定义与性质
定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，用于 将时间域的函数转换为复平面上的函数。 对于连续时间信号$x(t)$，其拉普拉斯变 换定义为$X(s) = int_{0}^{infty} x(t) e^{st} dt$，其中$s$是复数频率。
VS
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移 性、微分性、积分性、初值定理和终值定 理等重要性质。这些性质使得拉普拉斯变 换在信号与系统的分析中非常方便和有效 。
典型信号拉普拉斯变换举例
单位阶跃信号
指数信号
正弦信号
余弦信号
单位阶跃信号的拉普拉斯变 换为$frac{1}{s}$。
第四章信号与系统
部分分式法求拉氏逆变换的过程
找出 F(s)的极点 将F s 展成部分分式 查拉氏变换表—— f t
拉氏逆变换
(1)极点为单实根的情况 ( p1 pn )
kn k1 m n时，F ( s ) s p1 s pn ( s pi ) F ( s) s p （留数）
拉氏逆变换
其中K1,2 F1 ( j ) （留数） 2 j
K1、K 2呈共轭关系：K1,2 A jB
得共轭复根有关部分逆变换为
f c (t ) e t ( K1e j t K1e j t )u (t ) 2e t A cos t B sin t u (t )
1 1 j j 1 4 4 F ( s) s 1 s 2 j2 s 2 j2 t 1 ( 2 j 2 ) t 1 ( 2 j 2 ) t f ( t ) e je je u( t ) 4 4 t 1 2t j 2t j 2t e je (e e ) u( t ) 4
2 1 F (s) s 2 s 1 s 2
2
s 1
f (t ) '(t ) 2 (t ) 2e t e 2t u (t )
举例4.3:
s2 3 已知F ( s) 2 , ( s 2s 5)( s 2)
L1
拉氏逆变换
(3)极点包含多重根的情况 (k重根p1 )
A( s ) F ( s) k ( s p1 ) D( s )
其中D(s)为分母除去多重根剩余 部分
拉氏逆变换
A( s ) 设F ( s ) 1 D( s ) F1 ( s ) 则F ( s ) ( s p1 ) k
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
信号与系统sas第四章
4.2.1 周期信号的时域分析 【例4－2】求图4.2所示方波信号的三角形式傅里叶级数表示式。
x(t)
E
2
T0 T0 2
0
T0 2
T0
t
E
2
4．2 信号时域分析的常用方法
4.2.1 周期信号的时域分析
【解】按题意方便信号在一个周期内的解析式为
E
x(t)
2 E 2
T0 t 0 2
x(t)
2E
(s in 0 t
1 sin 3
30t
1 5
sin 50t
)
4．2 信号时域分析的常用方法
4.2.1 周期信号的时域分析 2. 指数型傅里叶级数
三角函数与复指数函数有着密切的关系，根据欧拉公式有
cos n0t
e jn0t
e jn0t 2
,
sin
n0t
4.2.1 周期信号的时域分析
傅里叶级数的系数取决于不同周期信号的波形，可利 用下列三角函数集的正交特性来求得。
T0 0
sin
n0tdt
0
T
0 cos n0tdt 0
T0 0
sin
n0t
sin
m0tdt
0
mn
T0 2 m n
T0 0
cos
n0t
cos
m0tdt
例如,已知 x1(t) A1 cos 6t , x2 (t) A2 cos10t 则得
T1
2 1
2 6
1, 3
T2
信号与系统(段哲民)第三版 第四章答案全解
信号与系统（段哲民)第三版第四章答案全解4.1 选择题答案解析(C)伯努利信号是一个具有有限时间持续性的信号，因此是非因果信号。
解析：伯努利信号只在有限时间内存在，而非因果信号是只存在于负时间的信号。
(D)和三角函数的区别是，余弦函数的相位是0，而不是1。
解析：和三角函数不同，余弦函数的相位是0，表示相位没有滞后。
(B)碰撞行为是随机过程，因此其幅度表示为随机变量是正确的。
解析：碰撞行为是随机过程，其幅度表示为随机变量。
4.2 填空题答案解析1.以下哪个信号不是周期信号？(B)解析：周期信号是指在时间轴上具有循环性质的信号。
正方脉冲信号和方波信号都是周期信号，而冲击信号不是周期信号。
2.正弦信号频率是50Hz，则周期为______。
解析：频率和周期的关系为$f=\\frac{1}{T}$。
根据公式可知，周期$T=\\frac{1}{f}=0.02s$。
3.已知信号$y(t)=3\\sin(2\\pi t + \\frac{\\pi}{6})$，则相位为______。
解析：相位指信号相对于某参考信号的滞后程度。
对于正弦信号，相位为$\\theta = 2\\pi t + \\frac{\\pi}{6}$4.3 解答题答案解析1.请证明复指数函数$e^{j\\theta}$是周期信号。
解析：复指数函数$e^{j\\theta}$可以表示为$e^{j(\\omega_0t+\\phi)}=e^{j\\omega_0t}e^{j\\phi}$，其中$\\omega_0$为角频率。
由于$|\\phi| < \\pi$，所以$e^{j\\phi}$是一个衰减的振荡函数，它是一个周期信号。
2.指出以下信号的类型：(1)冲击信号 (2)阶跃信号 (3)斜坡信号解析：(1) 冲击信号是一个非周期信号；(2) 阶跃信号是一个非周期信号；(3) 斜坡信号是一个非周期信号。
3.已知信号y[y]=2y[y−y]，请将该信号分解为若干复指数信号的叠加形式。
信号与系统 第四章 拉氏变换及S域分析
2．单边拉氏变换的收敛域
例1： f t e2 t t 0
lim f t e t lim e 2t e t lim e 2 t 0
t
tபைடு நூலகம்
t
j
20
2 0 0 :收敛坐标
例2：f t u t
2 0
j
lim u t e t lim 1 e t 0
t
t
0
0 0 0
f (t) 1 F e j td F 1 f (t)
2
X
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引 入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利 用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围， •优点在于：
求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍； •缺点在于： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
X
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
f t e t
1
F j e j t d
2
两边同乘 e t
f t
1
F j e j t d
2
j
其中: s j d s j d 对 : 对s :
j
f t 1
j
F
s
e
s
t
ds
2 j j
X
3．拉氏变换对
F
s
《信号与系统》第二版第四章：信号的谱表示
t
dt
f (t ), cos nωt
an = cos nωt, cos nωt
f (t ), sin nωt
bn = sin nωt, sin nωt
（4-1） （4-2）
为傅里叶系数。 9
《信号与系统》
第四章：信号的谱表示
⎡
⎤
∑( ) ( ) f
∞
t = a0 +
an2 + bn2
1 2
⎢ ⎢
∫ A．
t0 +T t0
f (t ) dt < ∞ ， f (t ) ∈ L1 [t0,t0 + T ]；
B． f (t ) 在[t0,t0 + T ] 上具有有限个极大值，极小值；
C． f (t ) 在[t0,t0 + T ] 上具有有限个第一类间断点。
注：A 保证傅里叶系数为有限数值，B、C 保证 Riemann 积分的条件， 当推广到 Lebesgue 积分时条件可以放松。 三角函数形式的傅里叶级数： 9 三角函数集：
3）线谱包络：
Sa
⎛ ⎜⎝
1 2
Ωτ
⎞ ⎟⎠
；
4）0
到第一零点之间的谱线的个数：
⎡ ⎢⎣
2π ω
τ
⎤ ⎥⎦
=
⎡T ⎢⎣ τ
⎤ ⎥⎦
（
⎡T ⎢⎣ τ
⎤ ⎥⎦
表示对
T τ
取整)。
§4.3 L1 (−∞, ∞) 上的函数的傅里叶变换
（《信号与系统》第二版（郑君里）3.4，3.5，3.6）
问题的提出：
考虑：令
9
∞
∑ f (t ) = Fnejnωt ⎡⎣u (t − t0 ) − u (t − t0 − T )⎤⎦ n=−∞
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(s )2 02
整个 s 平面
0
0
0
0
L[ (t)] (t)estdt 1,u(t) 1
0
s
eatu(t) F (s) eatestdt e(sa)tdt
0
0
s
1 a
e ( sa )t
|0
s
1 a
tu(t) 1 , t 2u(t) 2
（2） 对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号
0 0 ，收敛域为 s 右半平面
（3）随时间 t 成正比增长或随 t n成正比增长的信号
0 0 ，收敛域为 s 右半平面
limtet 0, limtnet 0, 必须有 0
t
t
（4）按指数阶规律 et 增长的信号
0 ，收敛域为
lim etet lim e( )t 0
一、m n
（1） 所有极点均为一阶实极点
F (s) K1 K2 Ki
s p1 s p2
s pi
f (t) K1e p1t K2e p2t Kie pit 系数
Ki (s pi )F (s) s pi
Kn s pn
n
i1
ki s pi
Kne pnt ,t 0
则 f (at) 1 F( s ) (a 0) aa
例： 已知 L[ f (t)] F(s), 若a 0,b 0,求L[ f (at b)u(at b)]
方法一：
由延时性质得：L[ f (t b)u(t b)] F (s)esb
再由尺度性质得：L[
f
(at
b)u(at
b)]
1
s2
s3
sin tu(t)
1 (e jt j2
e jt )u(t)
1 j2
s
1
j
s
1
j
s2 2
costu(t)
1 2
(e
jt
e
jt
)u(t)
1 2
s
1
j
s
1
j
s2
s
2
§7.3 拉氏变换的基本性质
（一）线性
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2(s)
则 K1 f1(t) K2 f2 (t) K1F1(s) K2F2 (s)
部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性， 先将F(s)分解为若干简单函数之和， 再分别对这些简 单象函数求原函数。
p1, p2, …, pn既可以是各不相同的单极点， 也可能出 现有相同的极点即有重极点； 分母多项式的阶次一般高 于分子多项式(m<n)， 但也有可能m≥n。 下面分几种具体 情况讨论F(s)分解的不同形式。
F (s) f (t)estdt 0
FB (s)
f (t)estdt
单边拉氏变换 双边拉氏变换
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
(
)e
jt
d
f (t) 1
2
F1
()e(
j
)t
d
1
2 j
j j
F1
(
)e(
j
)t
d
(
j)
1 j F (s)est ds
例：cos tu (t )
1 2
(e
jt
e
jt
)u(t)
1 2
( s
1
j
s
1)
j
s2
s
+ 2
（二）时域微分特性
若 f (t) F(s)
则
d dt
f
(t) sF(s)
f
(0 )
IL(s) sL
LiL (0 )
-+
+
VL(s)
_
d2 dt 2
f (t) s2F (s) sf (0 )
f (0 )
第七章
拉普拉斯变换 连续时间系统的 s 域分析
§7.1 引言 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应
（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换s 为 域的
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方 程（； 3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；
例2：F (s)
5s s2
1 s
2
5s 1 (s 1)(s 2)
2 3 s 1 s 2
f (t) 2et 3e2t ,t 0
（2） 包含一阶共轭极点
F（s） A( s )
A( s )
B( s ) [( s )2 2 ] D( s )
k1 k2 kn2 kn-1 kn
t
t
（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 et2 ，不能进
行拉氏变换。
（四）常用函数的拉氏变换
(t)
u(t) etu(t)
1
1
s
1
s
tu(t)
sin(0t)u(t) cos(0t)u(t) et sin(0t)u(t) et cos(0t)u(t)
1
s2
0 s2 02
s
s2 02 0
（九）卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2(s) 则 f1(t)u(t) f2 (t)u(t) F1(s) F2(s) 时域卷积定理
f1 (t )
f2 (t)
1
2
j
[ F1 ( s)
F2 (s)]
s 域卷积定理
（十）s 域微分与积分
若 f (t) F(s)
则 tf (t) d F(s) ds
F(
s
s b
)e a
aa
方法二：
由尺度性质得：L[ f (at)u(at)] 1 F ( s ) aa
由延时性质得：L[ f (at b)u(at b)]
L
f
[a(t
b a
)]u[a(t
b a
)]
1
F(
s
s b
)e a
aa
（七）初值定理
lim
t 0
f (t)
f
(0
)
lim
s
sF
(s)
应用条件：F(s)为真分式 即:不含冲激函数
F() f (t)e jtdt
（1）系统求解中的激励 e(t) 、响应r(t)的非零取值往往是从 t 0时刻开始的。
dt dt
0
下限取 0 是为了把 (t)、 (t) 等也包含到积分区间中。
（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。
考虑在 f (t)上乘以收敛因子et 。
F
(s)
1 cos(0 s2 12
)
s sin(0 ) s2 12
0 1t0
例2：求
e
t
u(t
2)，e
（t-2）
u(t
2)，e
（t-2）
u(t
)
（五）s 域平移
若 f (t) F(s)
则 f (t)et F(s )
例：
tu(t)
1 s2tetu(t) (s )2
若 f (t) F(s)
s
s
例：
vC
(t)
1 C
t
iC ( )d
VC
(s)
1 sC
IC
(s)
1 sC
0
iC
(
)d
VC
(s)
1 sC
IC
(s)
1 s
vC
(0 )
11 Ic(s) sC s vC (0 )
+-
+
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若 f (t)u(t) F(s)
则 f (t t0 )u(t t0 ) est0 F(s)
（4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。
§7.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t)满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
j
要使 f (t)的拉氏变换存在，必须有
lim f (t)et 0
t
收
0 0
敛 域
若存在 0 ，使得
0
时，lim t
f (t)et
0 成立。
则 s平面上 0的区域称为 F(s)的收敛域。
（1） 对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号
0 ，收敛域为整个 s平面
( s2 2s 5 )( s 2 )
解： F( s )
s2 3
( s 1 2 j )( s 1 2 j )( s 2 )
K1 K2 K3 s 2 s 12 j s 1 2 j