山东省2020年高三高考模拟数学试题
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(2)由 ，得 ,又
则 ,解得 .…………7分
将 代入 中，
得 ，
解得 .…………10分
18.（Ⅰ）证明：取 的中点为 ，连结 ， ， ，设 交 于 ，连结 .
因为 ， ，
四边形 与四边形 均为菱形，
， ， ，…………2 分
因为 为等边三角形， 为 中点，
，
因为平面 平面 ，且平面 平面 .
平面 且 ，
销售件数
8
9
10
11
频数
20
40
20
20
以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记 表示这两家超市每日共销售食品件数， 表示销售公司每日共需购进食品的件数.
（1）求 的分布列；
（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在 与 之中选其一，应选哪个？
21.（12分）已知椭圆 的离 心率为 ，椭圆 截直线 所得的线段的长度为 .
10.已知函数 ，则下列结论正确的是
A. 不是周期函数B. 奇函数
C. 的图象关于直线 对称D. 在 处取得最大值
11.设A,B是抛物线 上的两 点， 是坐标原点，下列结论成立的是
A.若 ，则
B.若 ，直线AB过定点
C.若 ， 到直线AB的距离不大于1
D.若直 线AB过抛物线的焦点F，且 ，则
12.如图，矩形 中， 为 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连结 ， 为 的中点，则在翻折过程中 ，下列说法正确的是
1.已知集合 ， ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的集合为
A. B. C. D.
2.若 （其中 是虚数单位），则复数 的共轭复数 在复平面内对应的 点位于
A.第一象限B.第二 象限C.第三象限D.第四象限
3．已知函数 的图象大致为
4.《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 ,乙持钱 ,丙持钱 ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 钱，要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是
A.存在某个位置，使得 ；
B.翻折过程中， 的长是定值；
C.若 ，则 ；
D.若 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积是 .
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知两个单位向量 的夹角为 ， ， ，则 ______．
14.已知曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲 线的离心率为.
此时四边形 的面积为 ．………………5分
当直线 的斜率存在时，设直线 方程是 ，联立椭圆方程
， ,………………7分
,
点 到直线 的距离是 ………………9分
由 得， ，
因为点 在曲线 上，所以有 ，
整理得 ，………………11分
由题意四边形 为平行四边形，所以四边形 的面积为
由 得 ,故四边形 的面积是定值，其定值为 ．
由 .令 ，则 .
由（Ⅰ） 可知，平面 的一个法向 量 ，…………10分
二面角 的平面角的余弦值为 .…………12分
19.解析：（I）由 ，
当 时， ，
两式相减得 ，…………3分
因为 ，
所以 ，解得 ，……4分
所以数列 是公比为2， 的等比数列，
的通项公式为 .…………6分
（Ⅱ）由 ，
得 ，……7分
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．
16.已知函数 ，
①若 ，则不等式 的解集为__________；
②若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
即 ，………………9分
所以
. ……………………12分
20.解：（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为 .
取值为16，17，18，19，20，21，22.………………1分
， ；
； ；
；
，………………5分
所以 的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
………………6分
（2）当 时，记 为 销售该食品利润，则 的分布列为
17.（10分） 在① ；② ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中， 然后解答补充完整的题目.
在 中，内角 的对边分别为 ,设 的面积为 ,已知.
(1)求 的值;
(2)若 ,求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）已知在四棱锥 中， ， ， 是 的中点， 是等边三角形，平面 平面 .
………………12分
22.解：（1）由 得 ；
因为 ，所以 ；
因此，当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；………………2分
当 时，由 得 ，解得 或 ；由 得 ；
所以 在 ， 上单调递增；在 上单调递减；………………4分
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减.………………5分
9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入 占比
净利润占比
则下列判断中正确的是
A.该公司2019年度冰箱类电器营销亏损
B.该公司201百度文库年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供
D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低
平面 ，…………4分
因为 平面 ，
，
因为H， 分别为 ， 的中点，
，
.………………5分
又因为 ，
平面 ，
平面 .…………6分
（Ⅱ）取 的中点为 ，以 为空间坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 ， ， ， ，
， ，…………8分
设平面 的一法向量 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19.（12分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， .
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，证明： .
20．（12分）某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了 、 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.若 ， ， ，满足 ， ， ，则
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一象限内的交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为
A.3 B.2 C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲
C.乙应出的税钱约为 D.丙付的税钱最少
5.若 ，则
A. B. C. D.
6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说 的是对的，那么读了该篇文章的学生是
山东新高考2020年高三数学模拟试题
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.
2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
1、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1450
1600
1750
1900
1950
2000
2050
.
………………9分
当 时，记 为 销售该食品利润，则 的分布列为
1400
155 0
1700
1850
2000
2050
2100
.因为 ，故应选 .………………12分
21.解：(Ⅰ)由 ,解得 ………………3分
得 椭圆 的方程为 .………………4分
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ，
二 、9.ACD 10.AC 11.ACD 12.BD
三、13. 14.215. 16.(1). (2).
17.解: 17.解:
(1)选择条件①.
由題意得 .即
整理可得 ，…………4分
又 .所以 ,所以 .…………5分
选择条件②.
因为 ，
由正弦定理得， ，
，
即 ，…………3分
在 中， ，所以 ，
,所以 .…………5分
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 上的点， 是坐标原点，若 ，判定四边形 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.
22.（12分）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 ，当 时，求 的最大值.
高三数学模拟题二参考答案
一、CDBB ABAC
（2）若 有两个极值点 ，
由（1）可得， 是方程 的两不等实根，
所以 ， ，………………6分
因此
，…7分
令 ，则 ；
由（1）可知 ，
当 时，
，
所以 ，………………10分
令 ， ，
则 在 上恒成立；
所以 在 上单调递减，
故 .
即 的最 大值为 .………………12分
则 ,解得 .…………7分
将 代入 中，
得 ，
解得 .…………10分
18.（Ⅰ）证明：取 的中点为 ，连结 ， ， ，设 交 于 ，连结 .
因为 ， ，
四边形 与四边形 均为菱形，
， ， ，…………2 分
因为 为等边三角形， 为 中点，
，
因为平面 平面 ，且平面 平面 .
平面 且 ，
销售件数
8
9
10
11
频数
20
40
20
20
以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记 表示这两家超市每日共销售食品件数， 表示销售公司每日共需购进食品的件数.
（1）求 的分布列；
（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在 与 之中选其一，应选哪个？
21.（12分）已知椭圆 的离 心率为 ，椭圆 截直线 所得的线段的长度为 .
10.已知函数 ，则下列结论正确的是
A. 不是周期函数B. 奇函数
C. 的图象关于直线 对称D. 在 处取得最大值
11.设A,B是抛物线 上的两 点， 是坐标原点，下列结论成立的是
A.若 ，则
B.若 ，直线AB过定点
C.若 ， 到直线AB的距离不大于1
D.若直 线AB过抛物线的焦点F，且 ，则
12.如图，矩形 中， 为 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连结 ， 为 的中点，则在翻折过程中 ，下列说法正确的是
1.已知集合 ， ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的集合为
A. B. C. D.
2.若 （其中 是虚数单位），则复数 的共轭复数 在复平面内对应的 点位于
A.第一象限B.第二 象限C.第三象限D.第四象限
3．已知函数 的图象大致为
4.《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 ,乙持钱 ,丙持钱 ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 钱，要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是
A.存在某个位置，使得 ；
B.翻折过程中， 的长是定值；
C.若 ，则 ；
D.若 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积是 .
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知两个单位向量 的夹角为 ， ， ，则 ______．
14.已知曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲 线的离心率为.
此时四边形 的面积为 ．………………5分
当直线 的斜率存在时，设直线 方程是 ，联立椭圆方程
， ,………………7分
,
点 到直线 的距离是 ………………9分
由 得， ，
因为点 在曲线 上，所以有 ，
整理得 ，………………11分
由题意四边形 为平行四边形，所以四边形 的面积为
由 得 ,故四边形 的面积是定值，其定值为 ．
由 .令 ，则 .
由（Ⅰ） 可知，平面 的一个法向 量 ，…………10分
二面角 的平面角的余弦值为 .…………12分
19.解析：（I）由 ，
当 时， ，
两式相减得 ，…………3分
因为 ，
所以 ，解得 ，……4分
所以数列 是公比为2， 的等比数列，
的通项公式为 .…………6分
（Ⅱ）由 ，
得 ，……7分
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．
16.已知函数 ，
①若 ，则不等式 的解集为__________；
②若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
即 ，………………9分
所以
. ……………………12分
20.解：（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为 .
取值为16，17，18，19，20，21，22.………………1分
， ；
； ；
；
，………………5分
所以 的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
………………6分
（2）当 时，记 为 销售该食品利润，则 的分布列为
17.（10分） 在① ；② ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中， 然后解答补充完整的题目.
在 中，内角 的对边分别为 ,设 的面积为 ,已知.
(1)求 的值;
(2)若 ,求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）已知在四棱锥 中， ， ， 是 的中点， 是等边三角形，平面 平面 .
………………12分
22.解：（1）由 得 ；
因为 ，所以 ；
因此，当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；………………2分
当 时，由 得 ，解得 或 ；由 得 ；
所以 在 ， 上单调递增；在 上单调递减；………………4分
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减.………………5分
9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入 占比
净利润占比
则下列判断中正确的是
A.该公司2019年度冰箱类电器营销亏损
B.该公司201百度文库年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供
D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低
平面 ，…………4分
因为 平面 ，
，
因为H， 分别为 ， 的中点，
，
.………………5分
又因为 ，
平面 ，
平面 .…………6分
（Ⅱ）取 的中点为 ，以 为空间坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 ， ， ， ，
， ，…………8分
设平面 的一法向量 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19.（12分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， .
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，证明： .
20．（12分）某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了 、 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.若 ， ， ，满足 ， ， ，则
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一象限内的交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为
A.3 B.2 C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲
C.乙应出的税钱约为 D.丙付的税钱最少
5.若 ，则
A. B. C. D.
6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说 的是对的，那么读了该篇文章的学生是
山东新高考2020年高三数学模拟试题
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.
2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
1、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1450
1600
1750
1900
1950
2000
2050
.
………………9分
当 时，记 为 销售该食品利润，则 的分布列为
1400
155 0
1700
1850
2000
2050
2100
.因为 ，故应选 .………………12分
21.解：(Ⅰ)由 ,解得 ………………3分
得 椭圆 的方程为 .………………4分
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ，
二 、9.ACD 10.AC 11.ACD 12.BD
三、13. 14.215. 16.(1). (2).
17.解: 17.解:
(1)选择条件①.
由題意得 .即
整理可得 ，…………4分
又 .所以 ,所以 .…………5分
选择条件②.
因为 ，
由正弦定理得， ，
，
即 ，…………3分
在 中， ，所以 ，
,所以 .…………5分
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 上的点， 是坐标原点，若 ，判定四边形 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.
22.（12分）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 ，当 时，求 的最大值.
高三数学模拟题二参考答案
一、CDBB ABAC
（2）若 有两个极值点 ，
由（1）可得， 是方程 的两不等实根，
所以 ， ，………………6分
因此
，…7分
令 ，则 ；
由（1）可知 ，
当 时，
，
所以 ，………………10分
令 ， ，
则 在 上恒成立；
所以 在 上单调递减，
故 .
即 的最 大值为 .………………12分