高二数学开学考(含答案)

高二开学考试数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设θ是第三象限角，且??????cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角

答案：B

2．已知f(α)＝sin π－α·cos 2π－αcos －π－α·tan π－α，则f ? ????－25π3的值为( )

A.12 B ．－12

C ．

32

D ．－

32 答案：A

3．函数f(x)＝sin(2x ＋φ)?

????|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f(x)在?

?????0，π2上的最小值为( )

A ．－

3

2

B ．－12

C ．12

D ．

32

答案：A

4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)? ????ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )

A ．关于点?

??

??π12，0对称

B ．关于直线x ＝π

12

对称

C ．关于点? ??

??π6，0对称 D ．关于直线x ＝π

6对称

答案：B

5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈? ????0，π2，则cos(α－β)的值为

( )

A ．－12

B ．12

C ．－13

D ．2327

答案：D 6.已知函数f(x)＝

1＋cos 2x 4sin ? ??

?

?π2＋x ＋asin x 2cos ? ????π－x 2的最大值为2，则常数a 的值为( )

A.15 B ．－15 C ．±15 D ．±10

答案：C

7．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →

，则m n 的值为( )

A ．2

B ．12

C ．3

D ．13 答案：B

8．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝? ??

??12x －3，y －1，若a 与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )

A ．－9

2

B ．－4

C ．－72

D ．－3

答案：C

9.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →

|＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：D

10．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )

A ．9

B ．18

C ．27

D ．36

答案：B

11.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^

的值是

( )

A.116

B ．18 C.14 D ．12

答案：B

12．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为1

7，都是白子

的概率是12

35

.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )

A.17 B ．1235 C ．1735 D ．1

答案：C

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．(2015·辽宁五校二联)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈? ????3π2，2π，则tan x ＝________.

答案：－3

4

14．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 答案：－5π

6

15．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →

|. 则|AM →

|＝________.

答案：2

16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：

(请用百分数表示)

附表：

答案：0.5%

三、解答题

17（本小题10分）．已知扇形AOB 的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α. (1)由题意，得?????

2r ＋l ＝8，1

2lr ＝3，解得?

??

??

r ＝3，l ＝2或?

??

??

r ＝1，

l ＝6，

∴α＝l r ＝23或α＝l

r

＝6.

(2)解法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝1

4l·2r

≤14? ????l ＋2r 22＝14×? ??

??822

＝4， 当且仅当2r ＝l ＝4，即α＝l

r ＝2时，扇形面积取得最大值4.

∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 解法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝1

2r(8－2r)

＝r(4－r)＝－(r －2)2

＋4≤4，

当且仅当r ＝2，即α＝l

r ＝2时，扇形面积取得最大值4.

∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.

18（本小题12分）．已知sin(3π＋α)＝2sin ? ??

?

?3π2－α，求下列各式的值：

(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α

；

(2)sin 2

α＋sin 2α.

解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－1

6

.

(2)原式＝sin 2

α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2

α＝sin 2

α＋sin 2

αsin 2

α＋14sin 2α

＝8

5. 19（本小题12分）．设函数f(x)＝sin ?

??

??πx 3－π6－2cos 2πx 6.

(1)求y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g(x)的最大值．

解：(1)由题意知， f(x)＝

32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3sin ? ????πx 3

－π3－1， 所以y ＝f(x)的最小正周期T ＝2π

π3＝6.

由2kπ－π2≤πx 3－π3≤2kπ＋π

2，k ∈Z ，

得6k －12≤x≤6k＋5

2

，k ∈Z ，

所以y ＝f(x)的单调递增区间为??????6k －12，6k ＋52，k ∈Z .

(2)因为函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，

所以当x ∈[0,1]时，y ＝g(x)的最大值即为x ∈[3,4]时y ＝f(x)的最大值． 当x ∈[3,4]时， π3x －π3∈??????2π3，π，

sin ? ????π3x －π3∈??????0，32，

f(x)∈?

?????－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g(x)的最大值为1

2

.

20（本小题12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝?

????2

2

，－22，n ＝(sin

x ，

cos x)，x ∈?

????0，π2.

(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π

3，求x 的值．

解：(1)∵ m ＝? ????2

2

，－22，n ＝(sin x ，cos x)，m⊥n ，

∴ m·n ＝

22sin x －2

2

cos x ＝0， 即sin x ＝cos x ，∴ tan x ＝sin x

cos x ＝1.

(2)由题意知，|m|＝

? ????222＋? ?

?

??－222＝1， |n|＝sin 2

x ＋cos 2

x ＝1， m·n ＝

22sin x －22cos x ＝sin ?

????x －π4.

而m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝cos π3＝1

2

，

∴ sin ?

????x －π4＝12.

又∵ x ∈? ????0，π2，x －π4∈? ????－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，∴ x ＝5π

12

.

21（本小题12分）.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如图①：

②

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2. (1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图②)；

(2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人进行访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

解：(1)根据题意，

得????

?

16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝3

2，解得???

??

x ＝80，

y ＝50.

∴p ＝0.4，q ＝0.25.

补全频率分布直方图如图所示．

(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取24

24＋16×5＝3(人)，记为a ，b ，

c ，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取16

24＋16

×5＝2(人)，记为A ，B.

在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a ，b)，(a ，c)，(a ，A)，(a ，B)，(b ，c)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)，(A ，B)，共10种情况．

设“此2人来自不同群体”为事件M ，包含了(a ，A)，(a ，B)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)，共6种可能，

∴P(M)＝610＝35，即此2人来自不同群体的概率是3

5

.

22（本小题12分）．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随

机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c.

(1)z ＝(b －3)2

＋(c －3)2

，求z ＝4的概率；

(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．

解：(1)因为随机抛掷两次，所以基本事件(b ，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

当z ＝4时，(b ，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2个． 所以P(z ＝4)＝216＝18.

(2)∵Δ＝b 2＋4c>0恒成立， ∴方程必有两根．

∴①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．

②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，

即2b ＋c ＝4，所以?

??

?? b ＝1，

c ＝2.

③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，

即3b ＋c ＝9，所以???

??

b ＝2，

c ＝3.

④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，

即4b ＋c ＝16，所以?

??

??

b ＝3，

c ＝4.

由①②③④知，(b ，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝3

16.