数理经济学
第十二章 数理经济学派
“最后效用程度”——“表示现有商品量中极小的 或无限小的最后增量或次一可能增量的效用程度”
商品的最后效用程度是主观价值的衡量标准
• “最后效用程度递减原理”和“最后效用程度相 等规律”
12. 4 瓦尔拉斯一般均衡理论
12.4.1 关于经济学的研究对象和实质
• Lionel Robbins, A History of Economic Thought, 258-276， 295-302.
• 晏智杰著，《经济学中的边际主义》, 第150-174、第 261-323页。
• 晏智杰主编《西方经济学说史教程》，296-312页, 351355页。
Problem Sets:
12.1.2 学说特点
• 最主要特征——试图构建以一般均衡分析为基础 的纯经济理论体系，说明完全自由竟争条件下商 品价格的决定
• 以边际效用学说为理论基础，运用数学方法研究、 论证和表述经济现象，是边际效用学说与数学方 法相结合的产物
• 把交换作为应用数学方法的出发点，把生产、分 配、消费都归结为交换的某种特定形式
12. 2 数理学派的代表人物
12.2.1 威廉 ·斯坦利 ·杰文斯
William Stanley Jevons, 1835-1882， “边际革 命”的发起者之一, 边际效用学派的创立者之 一，因逻辑学教科书和应用经济学研究享有盛 名 论文与著作： • “政治经济学的一般数学理论的注解”（1866 年） • “商业危机和太阳的爆发”（1878年） • “商业循环”（1882年） • “国家与劳动的关系”（1882年） • 《通货和金融研究》（1863-1884年） • 《煤炭问题》（1865年）
12.2.3 帕累托
《数理经济学》教学大纲(1)
经济学专业课程教学大纲
第一节 不定积分的计算 第二节 定积分的计算 第三节 二重积分的计算 第四节 积分的经济应用 第五节 Domar 模型 第九章 常微分方程模型 教学目的 通过学习本章内容，能够求解一阶常微分方程和高阶常系数线性微分方程，掌握一些经济学微 分方程模型。 教学重点和难点 掌握一阶常微分方程的解法和高阶常系数线性微分方程的解法，并会由点弹性确定需求函数， 对供需需求进行定性分析，了解蛛网模型、Solow 新古典经济增长模型、具有价格预期的市场模型、 封闭经济的 Phillips 模型。 学时安排 4 学时 第一节 一阶常微分方程的解法 第二节 一阶常微分方程的经济应用 第三节 高阶常系数线性微分方程的解法 第四节 高阶常系数线性微分方程的经济应用 第十章 联立常积分方程模型 教学目的 学习微分方程及其解法，并能够掌握一些微分方程的经济应用模型。 教学重点和难点 理解动力学体系、自治系统和非自治系统、极限环等概念，掌握微分方程的解法及稳定性理论， 了解 Walras 一般均衡的稳定性分析、物价的微分方程模型、广告的微分方程模型等。 学时安排 4 学时 第一节 一阶微分方程组 第二节 变系数线性微分方程组 第三节 常系数线性微分方程组 第四节 稳定性与定性理论 第五节 经济学应用 第十一章 差分方程模型 教学目的 学习差分方程及其解法，并能够掌握一些差分方程的经济应用模型。 教学重点和难点 掌握求解差分方程的待定系数法、特征根法以及解的收敛性定理，了解乘数动力学模型、蛛网 模型、具有存货的市场模型、Harrod 经济增长模型、Samuelson 乘数加速模型、Hicks 经济周期模 型、Goodwin 期望价格模型、Phillips 模型、Smith 模型等。 学时安排 4 学时 第一节 一阶差分方程 第二节 一阶差分方程的经济应用
经济学分支介绍数理经济学
经济学分支介绍数理经济学经济学是一门研究人类社会生产、分配、交换和消费等方面的学科，随着科技的发展和社会需求的提高，经济学逐渐形成了许多分支，其中数理经济学是其中一种非常重要的分支之一。
数理经济学是将数学和统计学的思想、理论和方法应用于经济学研究的一种学科，主要使用数理模型来分析经济现象、解决经济问题。
数理经济学的研究对象包括但不限于个人、家庭、企业、市场、行业、国家和国际经济等方面。
数理经济学主要依赖于数学模型和统计模型来解释和预测经济现象和经济行为，因此，其理论和方法非常精密和准确。
下面我们将介绍数理经济学的几个重要分支。
1. 数理规划数理规划是一种将最优化方法应用于经济决策问题的学科，其主要目的是优化资源利用、提高效率、降低成本并实现最大回报。
数理规划主要使用的方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
2. 博弈论博弈论是一种通过对多人决策的分析来描述和研究人类行为的学科，其中多人之间的互动和竞争是非常重要的研究对象。
博弈论主要通过建立博弈模型来分析和研究人类行为，其主要方法包括纳什均衡理论、信息博弈、演化博弈等。
3. 经济计量学经济计量学是一种将数理统计学方法应用于经济问题研究的学科，其主要目的是确定经济理论的有效性并为经济预测提供预测模型。
经济计量学主要使用的方法包括时间序列分析、回归分析、协整分析等。
4. 资源与环境经济学资源与环境经济学是一种研究人类活动对自然资源和环境的影响及其管理和政策解决方案的学科。
该领域主要研究环境污染、自然资源管理、可持续发展和生态经济等问题。
其主要方法包括环境评估、成本效益分析、环境税和贸易政策等。
5. 金融工程学金融工程学是将数学、计算机科学和金融理论结合起来研究金融市场和金融工具的学科。
其重点研究金融工具的设计、建模和风险管理等问题，其主要应用包括金融衍生品、风险管理、资产定价等。
综上所述，数理经济学是一种非常重要的经济学分支，其方法和理论在实际经济决策和管理中发挥着重要的作用。
数理经济学课程感悟
数理经济学课程感悟数理经济学是经济学中一门重要的学科，它通过数学和统计学的方法来研究经济问题。
在学习这门课程的过程中，我深刻体会到了数理经济学的重要性和应用价值。
在数理经济学的学习中，我发现它能够帮助我们更准确地分析和解决经济问题。
经济学作为一门社会科学，面临着众多变量和复杂关系的挑战。
而数理经济学通过运用数学模型和统计分析的方法，可以对经济现象进行量化和建模，从而更好地理解经济规律和预测经济走势。
例如，通过建立供求模型和边际分析，我们可以更准确地预测市场价格的变动，从而为企业和个人的决策提供参考。
数理经济学的学习让我深刻认识到数据的重要性。
在现代社会中，数据无处不在，它是我们认识和分析经济现象的基础。
数理经济学通过统计学的方法，教会了我如何收集、整理和分析数据。
只有掌握了这些技能，我们才能够更好地理解和解释经济现象。
例如，在研究经济增长问题时，我们可以通过收集和分析历史数据，找到经济增长的规律，并且预测未来的发展趋势。
数理经济学的学习使我了解到经济决策的风险和不确定性。
在现实生活中，经济决策往往伴随着风险和不确定性。
而数理经济学通过概率论和决策理论的研究，可以帮助我们更好地评估和管理风险。
例如，在投资决策中，我们可以运用风险投资模型和期望效用理论，来评估投资回报和风险之间的权衡，以便做出更明智的决策。
数理经济学的学习还使我认识到经济学与其他学科的紧密联系。
经济学作为一门综合性学科，与数学、统计学、计算机科学等学科有着密切的关系。
数理经济学的学习，不仅使我加深了对经济学本身的理解，同时也让我体会到了其他学科在经济研究中的重要作用。
例如，在运用计量经济学方法进行经济政策评估时，我们需要运用统计学和计算机科学的技术，对大量的数据进行处理和分析。
数理经济学课程给了我许多启示和感悟。
它不仅让我更深入地了解了经济学的理论和方法，同时也培养了我分析和解决经济问题的能力。
数理经济学的学习不仅在理论上丰富了我的知识，更重要的是在实践中教会了我如何运用数学和统计学的工具去解决实际经济问题。
数理经济学课件
＞0 i=1,2…n 图（a） 图（a ＜0 i=1,2…n 图（b） 图（b 图（c） 图（c
⑶追求享受品种多样化假设：
U ( x1 , x2 )
图（d 图（d）
得到的都是向下弯曲 的截线，故效用函数的整 个曲面是向下弯曲的，数 学上称为凹函数，重要任 务就是寻找一种简洁的凹 函数作为效用函数的数学 表达式。
k (σ −1)⋅δ
σ ⋅( δ −1)
<k
(σ −1) (σ −1)
倍，符合效用函数凹的假设，实际中常用δ=σ， 倍，符合效用函数凹的假设，实际中常用δ=σ，因其推导出的需求 函数表达式一致。 故， 其中：
U ( x1 ⋯ xn ) = A[α1 x1
σ
1
σ
+ ⋯ + α n xn
σ
1
σ
σ
]
(σ −1)
数理经济学
——理论与应用 ——理论与应用
（研究生用）
说
• • • • • •
明
1、课堂学时：40，课外与课堂学习比例为3︰1 2、教 材： 数理经济学——理论与应用 清华大学出版社，张金水著 。 3、参 考 书： （1） 可计算非线性动态投入产出模型，清华大学出版社，张金水著 。 （2) 一般均衡理论，上海财经出版社，罗斯·M.斯塔尔著。 (3) 数理经济学导论，中国统计出版社，伍超标著 （4）数理经济分析入门，中国科学技术大学出版社，候定丕。 （5）价值理论及数理经济学的20篇论文，首都经济贸易大学出版社，吉 拉德·德布鲁著。
2.1 生产过程中投入量与产出量之间定量关系；生产函数的数 生产过程中投入量与产出量之间定量关系； 学表达式
数理经济学 课件
数理经济学
数理经济学若干原理一需求理论1．需求、需求表、需求曲线（1）需求是指消费者（家庭）在某一特定时期内，在每一价格水平时愿意而且能够购买的某种商品量。
需求是购买欲望与购买能力的统一。
（2）表示某种商品的价格与需求量之间关系的表就是需求表。
（3）需求曲线是根据需求表画出的，是表示某种商品价格与需求量之间关系的曲线，需求曲线向右下方倾斜。
2．影响需求的因素：需求函数（1）影响需求的因素包括影响购买愿望与购买能力的各种经济与社会因素，这些因素主要为：价格、收入、消费者嗜好与预期。
（2）某种商品的需求还与其它相关商品的价格相关。
相关商品有互补品和替代品两种。
互补品是指共同满足一种欲望的两种商品，它们之间是相互补充的。
两种互补品之间价格与需求成反方向变动。
替代品是指可以互相代替来满足同一种欲望的两种商品，它们之间是可以相互替代的。
两种替代品之间价格与需求成同方向变动。
（3）需求函数是用来表示影响需求的因素与需求之间的关系。
3.需求定理需求定理是说明商品本身价格与其需求量之间关系的理论。
其基本内容是：在其他条件不变的情况下，一种商品的需求量与其本身价格之间成反方向变动，即需求量随着商品本身价格的上升而减少，随商品本身价格的下降而增加。
4.需求量的变动与需求的变动（1）需求量的变动是指其他条件不变的情况下，商品本身价格变动所引起的需求量的变动。
需求量的变动表现为同一条需求曲线上的移动。
（2）需求的变动是指商品本身价格不变的情况下其他因素变动所引起的需求的变动。
需求的变动表现为需求曲线的平行移动。
从需求函数的角度上说，需求量的变动是需求函数的自变量（P）变动引起的应变量数值的变化。
无论如何变化，都在函数的值域范围之内。
因而表现在图形上为同一曲线（即需求曲线）上点的移动。
相反的，需求的变动是由于函数外的原因（外生变量）的变化引起的函数整体的变化。
在需求函数的例子中表现为需求函数自变量外的因素如：收入，嗜好等的变化引起的需求变化。
《数理经济学》课件
数学符号在数理经济学中具有特定的意义，它们代表了经济变量、参数和函数等。理解这些符号的意义 是理解数理经济学理论的关键。
数学模型与方程
01
模型构建
数理经济学家使用数学模型来描述经济系统。这些模型通常由一组方程
式构成，用来表示不同经济变量之间的关系。
02
方程类型
在数理经济学中，常见的方程类型包括线性方程、非线性方程、微分方
数理经济学的发展历程
总结词
数理经济学的发展历程可以追溯到19世纪，其发展经 历了多个阶段，包括古典数理经济学、新古典数理经 济学和现代数理经济学等。
详细描述
数理经济学的发展历程可以追溯到19世纪，当时一些 经济学家开始尝试运用数学方法来描述和预测经济现 象。古典数理经济学阶段主要关注生产、分配和交换 等经济活动的均衡问题。新古典数理经济学阶段则强 调个体行为和市场均衡的研究，并引入了边际分析和 效用函数等概念。现代数理经济学则更加注重数学模 型的复杂性和精确性，并广泛应用于宏观和微观经济 学等领域。
在数理经济学中，证明方法多种多样 ，包括直接证明、反证法、归纳法和 演绎法等。这些方法用于证明经济定 理和推导经济关系，确保经济理论的 严谨性和准确性。
在数理经济学中，必须遵循一定的推 理原则，如公理化原则、一致性原则 和完备性原则等。这些原则确保了经 济理论的逻辑严密性和科学性。
03
数理经济学的应用
宏观经济学中的应用
经济增长与经济发展
数理经济学在研究经济增长、经济发展等方面发挥了重要作用，通 过建立数学模型来解释国家或地区的经济增长和发展趋势。
财政政策与货币政策
利用数理经济学方法分析财政政策和货币政策的效果，为政府制定 经济政策提供科学依据。
数理经济学
数理经济学
数理经济学（Mathematical Economics）:有狭 义、中义、广义三种定义。狭义的数理经济学指的 是一般均衡理论，广义的数理经济学指的是运用数 学符号、公式、图标和方法来研究和表述经济现象 及其规律数理经济学也着重研究经济的定量方面， 但是它不注重经济变量的随机特征，它仅是用数学 形式表达经济理论，并不关心经济理论的可测性， 且模型所反映的经济变量之间的关系是确定的。而 计量经济学的主要兴趣在于利用数理经济学提出的 数学方程及实际数据来验证经济理论，模型所反映 的经济变量之间的关系是非确定性的、随机的相关 关系。数理经济学为计量经济学提供建模基础。
数理经济学
2011-4-30
I.25
GuoSipei@CCNUMATH
2.4 关系与函数
2011-4-30 I.15 GuoSipei@CCNUMATH
数学方法具有如下优点：
运用的“语言”更为简练、精确 有大量的数学定理可为我所用 迫使我们明确陈述所有假设，作为运用数学定理的 先决条件，这能使我们戒除不自觉地采用不明确假 设的缺点 使我们能够处理n个变量的一般情况
本课程的目的就是将经济学文献中相关的数学 方法汇聚到一处，按逻辑顺序组织，完整地解 释，并阐述其在经济学中的应用
第一篇 导 论
第1章 数理经济学的实质
1.1 数理经济学与非数理经济学 1.2 数理经济学与经济计量学
第2章 经济模型
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
2011-4-30
数学模型的构成 实数系 集合 关系与函数 函数的类型 两个或两个以上自变量的函数 一般性水平
I.1 GuoSipei@CCNUMATH
注：当未特别设定时，我们将定义域和值域理解为 仅包括使函数具有经济意义的那些数值.
2011-4-30
I.27
GuoSipei@CCNUMATH
2.5 函数的类型
常值函数
在平面直角坐标系中这样的函数表现为一条水平线 在国民收入模型中，当投资（I）为外生决定的，可以有下 述形式的投资函数：I=1亿美元，或I=I0
数学定理按照“如果-那么”的形式陈述，为导出“那么”,分析者 必须保证每个分析阶段中“如果”与其采纳的假设相一致 超越几何学分析方法是完全有必要的：方程工具打破维数限制，分 析更一般的情况,如无差异曲线的一般图形讨论时，标准假设是消 费者只能得到2种商品，因为要绘出3维或更多维的图形是基本不现 实的
数理经济学
1.3.1 经济学分类
1.3.2 经济学、数学和统计学结合产生的学科
1.3.3 联系与区别
1.4 数理经济学的研究方法
1.4.1 方程
1.4.2 研究方法
1.5 数理经济学的内容与地位
1.5.1 数理经济学的内容
杰文斯的目的是要为价值的最终理论以及建立在这个理论之上的市场规律提供数学解说。他的理论中心是“价值完全由效用决定”。他把商品对所有者的效用分为总效用和最后程度的效用(即后来的边际效用)，后者是商品拥有或消费总量增加时，总效用增加量对商品增加量的比率。
他认为随着商品拥有量的增加。最后程度的效用会逐渐降低，并据此用数学方法推出：一种商品所有者和另一种商品所有者互相交换商品可以增加总效用，交换要进行到两种商品的最后程度效用相等、总效用最大达到均衡时才停止，这时两种商品在两个所有者之间的交换比率应该等于交换完成后两种商品的最后程度效用的反比。
2.2.1 函数四则运算的导数
2.2.2 复合函数及其导数
2.2.3 反函数及其导数
2.2.4 参数式函数及其导数
2.3 微分
2.3.1 微分定义
2.3.2 微分定义的经济应用——近似计算
2.4 微分运算法则
2.4.1 函数四则运算的微分法
2.4.2 复合函数的微分法
2.4.3 微分形式的不变性
2.5 Lagrange中值定理与Taylor公式
2.5.1 Lagrange中值定理
2.5.2 Taylor公式
2.6 函数的单调性、凹凸性、极值与最值
2.6.1 函数单调性的判定
2.6.2 函数凹凸性及其判别准则
计量经济学与数理经济学的联系
计量经济学与数理经济学的联系计量经济学和数理经济学一直以来都是经济学领域中的两大重要分支。
它们都以数学和统计学方法为基础，从不同的角度研究经济现象。
虽然它们各自有着独立的研究对象和方法，但是它们之间也有着密切的联系和互动。
本文将从理论和实践两个方面探讨计量经济学和数理经济学之间的联系。
一、理论联系从理论上来看，计量经济学和数理经济学有很多共同点。
首先，它们都是运用数学和统计学方法来解决经济问题的。
计量经济学主要运用回归分析、时间序列分析等方法，而数理经济学则运用微积分、线性代数、优化理论等数学方法。
不同的方法适用于不同的问题，但是它们都可以帮助我们更好地理解经济现象和预测经济变化。
其次，计量经济学和数理经济学都强调数据的重要性。
计量经济学需要大量的数据来进行统计分析，而数理经济学需要数据来构建模型和验证假设。
两者都需要准确可靠的数据来支持分析和研究。
最后，计量经济学和数理经济学都面临着经济学中普遍存在的问题，如选择偏误、遗漏变量、共线性等。
两者都需要通过统计学方法来控制这些问题，以确保研究结果的准确性和可靠性。
二、实践联系从实践上来看，计量经济学和数理经济学之间的联系更加紧密。
它们往往在同一个经济问题中同时发挥作用。
例如，在经济增长的研究中，数理经济学可以通过构建经济增长模型来解释经济增长的原因和机制，而计量经济学则可以通过回归分析来检验模型的有效性和假设的成立情况。
再比如，在金融市场的研究中，数理经济学可以通过建立金融模型来预测股票价格的变化，而计量经济学则可以通过时间序列分析来检验预测的准确性和有效性。
除了在经济研究中的应用，计量经济学和数理经济学也在实践中相互交流和借鉴。
例如，计量经济学中的时间序列分析方法对数理经济学中的随机过程理论有很大借鉴作用。
而数理经济学中的优化理论则为计量经济学中的最优化问题提供了很好的解决方案。
总之，计量经济学和数理经济学之间的联系是密不可分的。
它们在经济研究中发挥着不可替代的作用，相互借鉴和交流也促进了它们的发展和进步。
从数理经济学到数理金融学的百年回顾
从数理经济学到数理金融学的百年回顾自19世纪末以来，数理经济学和数理金融学的发展历程充分展示了人类对经济和金融理解的深化和进步。
这两个领域在过去的百年间相互交织，共同推动了相关领域的理论研究和实际应用。
数理经济学起源于19世纪末，当时的经济学家开始运用数学和统计学的方法来解释和预测经济行为。
例如，边际效用理论、生产要素理论等都是在这个时期发展起来的。
这些理论的发展，不仅为当时的经济决策提供了依据，也为后来的经济学研究提供了基础。
20世纪初，随着随机过程理论的发展，数理金融学开始萌芽。
金融市场的不确定性和风险成为研究的重点，而数理金融学则提供了对这些问题的深入理解。
例如，资本资产定价模型（CAPM）和有效市场假说（EMH）都是在这个时期提出的。
这些理论的提出，不仅为金融市场提供了有效的风险管理工具，也进一步推动了数理经济学的研究。
进入21世纪，数理经济学和数理金融学的研究已经深入到微观层面，研究领域也更加广泛。
例如，行为金融学、金融市场微观结构理论等都是在这个时期发展起来的。
这些理论的研究，不仅深化了我们对金融市场的理解，也为政策制定提供了新的视角。
回顾过去百年的发展，我们可以看到数理经济学和数理金融学在理论研究和实际应用上都取得了巨大的成功。
然而，未来的道路仍然充满挑战。
随着全球经济和金融市场的不断变化，我们需要更加深入的研究和理解，以便为未来的经济决策提供更加准确的理论依据。
从《译介学》到《译介学概论对我的译介学研究之路的回顾回顾我的译介学研究之路，从《译介学》到《译介学概论》对我的影响和启示，让我对这一领域有了更加全面深入的认识。
在我的学术研究早期，我阅读了大量的文献资料，试图找到一个能够指导我研究的方向。
在这个过程中，我接触到了《译介学》这本书。
这本书的作者通过对翻译和传播的研究，提出了许多令人深思的问题和观点，使我对这一领域产生了浓厚的兴趣。
通过《译介学》的阅读，我意识到翻译并不仅仅是两种语言之间的转换，更是一种文化交流和传播的过程。
蒋中一数理经济学读后感
蒋中一数理经济学读后感篇一蒋中一数理经济学读后感最近读了蒋中一的《数理经济学》，哇塞，真的是让我有种又爱又恨的感觉！一开始，我满心期待，想着这书能给我打开经济学的新大门。
结果呢，一翻开，密密麻麻的公式和图表，我心里就犯嘀咕：“这啥呀？能看懂吗我？” 也许是我太天真，以为能轻松拿下。
但慢慢地，我发现它就像一个神秘的宝藏，需要我一点点去挖掘。
那些复杂的数理模型，可能在别人眼里枯燥无味，可我觉得它们就像是一道道谜题，等着我去解开。
比如说供求关系的数学表达，通过精确的公式，让我更清晰地看到了市场背后的规律。
不过呢，读的过程中我也常常想，这些东西在现实生活中真的能完全适用吗？我觉得可能未必。
现实世界那么复杂多变，一个公式真能搞定？有时候我会被某个概念卡住，想半天也想不明白，气得我直挠头，心里骂：“这破玩意儿咋这么难！” 可又不甘心放弃，咬咬牙继续琢磨。
总的来说，读这本书的过程就像一场冒险，有困惑，有惊喜，有愤怒，也有成就感。
我觉得吧，虽然读得挺费劲，但收获还是大大的。
你们读这本书的时候是不是也跟我一样的感受呢？篇二蒋中一数理经济学读后感嘿，朋友们！今天我要跟你们唠唠我读蒋中一《数理经济学》的那些事儿。
刚开始读的时候，我那叫一个雄心勃勃啊，想着要在这书里挖出经济学的大宝藏。
可谁知道，一进去就被那些眼花缭乱的数理公式给整懵了！我就想问：“这是要逼死我这个文科生吗？”不过呢，咱也不能轻易认输不是？硬着头皮往下读，嘿，还真发现了点有意思的东西。
比如说，通过数学模型来解释经济现象，那感觉就像是给混沌的世界画出了清晰的线条。
我可能一边读一边嘟囔：“这好像有点道理哦！”但是，读着读着又会想，这理论和现实差距也太大了吧！现实中的经济哪有这么简单明了？也许这就是学术和生活的差距？有好几次，我都读得想把书扔一边去，大喊：“臣妾做不到啊！” 可又舍不得放弃，毕竟都付出那么多时间和精力了。
这本书啊，就像是一座难以攀登的山峰，我在半山腰上累得气喘吁吁，却又被山顶的风景吸引着不肯回头。
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由于a=fxx,b=fyy,h=fxy=fyx,将上式表述为二阶全 微分中的各项:
2011-4-30
IV.11.10
GuoSipei@CCNUMATH
一般地:二次型q=a(u2)+2huv+b(v2)的行列式为 一个对称行列式 具体的二次型d2z=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2中,其 判别式是以二阶偏导数为元素的行列式,称为海塞 行列式,两变量海塞行列式为:
2011-4-30
IV.11.17
GuoSipei@CCNUMATH
与函数凹性和凸性相关的二阶条件
• 在整个定义域中给出峰形(谷地)的函数被称为凹(凸) 函数 • 凹函数的极值必然是极大值-峰顶;凸函数的极值必然 是极小值-谷底. • 若d2z处处为半负(正)定,则函数z=f(x1,x2,…,xn)必 定为凹(凸)函数;若d2z处处为负(正)定,则函数f必定 为严格凹(凸)函数. • 一旦一阶条件得到满足,凹(凸)性或严格凹(凸)性实际 上取代二阶条件成为极值或是绝对极值)的充分条件
2011-4-30
IV.11.29
GuoSipei@CCNUMATH
找出各市场中的价格与厂商的边际收益之间的联系
各市场的边际收益为:
注意到
由于厂商MC>0,而MC=MRi,要求厂商的MRi>0,所以厂 商所选择的产量必须使市场中相对应的点弹性大于1 而上述式子容易看出:在某特定市场中(选定了产出水平), 价格的点弹性越小,则厂商在该市场中所索要的价格必须 越高,即产生价格歧视.
相关定理
2011-4-30
IV.11.19
GuoSipei@CCNUMATH
• 可微函数
如果函数是可微的,函数的凹凸性也可以按其一阶 导数来定义,在单变量情况下,定义为:
几何上看,该定义将凹(凸)曲线描绘成一条与其切 线重合或者位于其切线下面(上面)的曲线
2011-4-30
IV.11.20
GuoSipei@CCNUMATH
第四篇 最优化问题
• 第11章 多于一个变量的情况
最优化条件的微分形式 两个变量函数的极值 二次型 具有多个变量的目标函数 与函数凸性，凹性相关的二阶条件 经济应用
2011-4-30
IV.11.1
GuoSipei@CCNUMATH
第11章 多于一个变量的最优化问题 章
• 最优化条件的微分形式
一阶条件:对于任意非零的dx,有dz=0(极值的必要 条件,不是充分条件) 二阶条件:对于任意非零的dx, d2z<0与f’’(x)<0 等价,此时z有极大值; d2z>0与f’’(x)>0等价,此时 z有极小值.
• 价格歧视
关于价格歧视的解释:一般说来,价格歧视是指一家 厂商在同一时间对同一产品索取两种或两种以上的 价格;它还可指一家厂商的各种产品价格之间的差 额大于其生产成本之间的差额. 假设一个厂商为三个隔离的市场供应产品,假定其 总收益函数和总成本以及总利润函数如下:
关于各个市场的产出量的一阶偏导应全部为0:
2011-4-30 IV.11.30 GuoSipei@CCNUMATH
验证二阶条件
求二阶偏导数和海塞行列式
如果下述要求成立,则二阶条件便完全满足:
一般假设Ri函数为凹函数,C(Q)函数为凸函数,则-C(Q) 为凹函数,则利润函数即为凹函数之和,于是可以避免检 验二阶条件的必要性
2011-4-30 IV.11.31 GuoSipei@CCNUMATH
• 厂商的投入决策
考察具有下列利润函数的竞争性企业,P,w和r是外 生变量,K,L和Q是内生变量:π=R-C=PQ-wL-rK
2011-4-30
IV.11.25
GuoSipei@CCNUMATH
求出使利润最大化的产出水平Q1与Q2的组合
先求出利润函数的一阶偏导数
得到联立方程 产生唯一解: 所以P10=12, P20=18时, Q1=2, Q2=4,单位时间的最 大利润为48
为确认该值的确是最大利润,检验二阶条件
从一阶偏导得到二阶偏导进而得到海塞行列式: |H1|=-4<0,|H2|=15>0
IV.11.8
GuoSipei@CCNUMATH
• 有定符号的行列式检验
将二次型做配方变换:
可以根据系数确定q的符号:
* 注意:a与b必须取相同的符号!
2011-4-30 IV.11.9 GuoSipei@CCNUMATH
将二次型重排为: q=a(u2)+huv+huv+b(v2) 将它视为由矩阵乘法得到的矩阵 更一般地表达:乘积x’Ax称为二次型,其中A为任意 对称矩阵,系数矩阵的行列式称为q的判别式,用|D| 表示. 上述q的符号判定准则可表述为:
当函数二次连续可微,函数凹凸性可以用d2x检验:
2011-4-30
IV.11.21
GuoSipei@CCNUMATH
• 凸函数与凸集
区别:含义完全不同
凸集的定义:
描述函数时,”凸的”表示曲线或曲面的弯曲(形成深谷) 而描述集合时,则表示点的”填充”方式,不允许出现”孔”, 边缘也不能有缩进.
联系
IV.11.16
GuoSipei@CCNUMATH
• n-变量情况
z=f(x1,x2,…,xn),全微分为: dz=f1dx1+f2dx2+…+fndxn 极值的必要条件要求所有的一阶偏导数等于零 极值的二阶充分条件为:对于z的极小值所有n个主子 式为正,对于z的极大值,第一个主子式为负,其他主子 式的符号交替改变
2011-4-30
IV.11.7
GuoSipei@CCNUMATH
• 正定与负定
当变量取不同值时q的符号发生变化则称q是不定的 当q为正定或负定的情况分别是取极小值或极大值 的二阶充分 充分条件 充分 当q为半定的情况与二阶必要 必要条件相联系 必要 当q为不定时,则可能出现鞍点.
2011-4-30
GuoSipei@CCNUMATH
假设总成本函数为 利润函数为:
求出利润最大化的产出水平,则最优价格水平即可 由需求函数求出.
目标函数产生如下的各阶偏导数
一阶条件必须满足:
代入上述各式: 验证二阶条件: 海塞矩阵行列式处处负定,目标函数严格凹,具有唯一绝 对最大值
2011-4-30 IV.11.28 GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.11.24
GuoSipei@CCNUMATH
经济应用
• 多产品厂商问题
首先假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商.
在完全竞争条件下两商品的价格必然为外生的,分别以 P10,P20表示,所以,该厂商的收益函数为R=P10Q1+P20Q2, 其中Qi表示单位时间内i产品的产出水平. 假设厂商成本函数为C=2Q12+Q1Q2+2Q22,则第一个产 品的边际成本为∂C/∂Q1=4Q1+Q2,第二个产品的边际成 本为∂C/∂Q2=4Q2+Q1. 厂商的利润函数为:π=R-C=P10Q1+P20Q2-2Q12Q1Q2-2Q22.
z=f(x1,x2,x3)取得极值的必要条件是所有一阶偏 导数均为零
• 二阶条件
d2z的表达式:
2011-4-30
IV.11.15
GuoSipei@CCNUMATH
各项系数产生海塞行列式 逐次主子式为: 极值的二阶充分条件为:
* 注意:我们在稳定点f1=f2=f3处计算所有主子式值
2011-4-30
• n-变量二次型
对于二次型: 正定的充要条件为|D|的主子式全部为正; 负定的充要条件为主子式交替改变符号: |D1|<0,|D2|>0,|D3|<0,……即(-1)n|Dn|>0
2011-4-30
IV.11.14
GuoSipei@CCNUMATH
具有多于两个变量的目标函数
• 三个选择变量的函数的极值一阶条件
极大值充分条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z<0; 极小值充分条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z>0 极大值必要条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z≤0; 极小值必要条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z≥0 *在极大值或极小值处,d2x有可能取零值的
二阶微分条件可转换为二阶导数条件:
即使二阶条件未能满足(如d2z的峰值恰好为零),函数的凹凸 性条件仍可以成为有效的充分条件 构建具有一般目标函数的最优化模型时,往往一开始就假定 目标函数具有凹(凸)性,然后只需要验证一阶条件即可.
2011-4-30 IV.11.18 GuoSipei@CCNUMATH
• 目标函数的凹凸性检验
函数凹凸性的代数定义
判定实例:判断q=5(u2)+3uv+2(v2)是正定还是 负定的.
判别式为 其主子式|a|=fxx=5, =7.75>0,所以q为正定二次型.
2011-4-30 IV.11.11 GuoSipei@CCNUMATH
• 三变量二次型
三个变量u1,u2,u3的二次型可以表示成如下形式:
2011-4-30
推导过程需要二次型的辅助,其结果如下
2011-4-30
IV.11.5
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.11.6
GuoSipei@CCNUMATH
二次型
• 型的定义:各项具有相同次数(各项指数和相等) 的多项式. • 二次型的二阶全微分
二次型一般形式:q=au2+2huv+bv2 二阶全微分可以看做两个变量u,v的二次型: d2z=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2 二阶条件中对二阶偏导的限制转换成为对二次型中 当u,v可以取任何值的时候,为得到确定符号的q,应 对a,b,h所施加的限制!