第五章第三节等比数列

第五章 第三节 等比数列

题组一

等比数列的基本运算

1.各项都是正数的等比数列{}a n 中，a 2，1

2a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为 ( ) 或

5－1

2

解析：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝a 3， ∴a 1＋a 1q ＝a 1q 2，即q 2－q －1＝0，

∴q ＝1±5

2，又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝1＋52， a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－1

2. 答案：A

2．(2009·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4

a 4

＝________.

解析：a 4＝a 1(12)3＝1

8a 1，S 4＝a 1(1－124)

1－12

＝158a 1， ∴S 4

a 4

＝15.

答案：15

3．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.

解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n (a n ≠0)， ∴q 2＋q －6＝0， ∴q ＝－3或q ＝2.

∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝1

2，a 3＝2，a 4＝4， ∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152. 答案：152

4.(2009·n 39521，则a 1＝( ) D ．2 解析：∵a 3·a 9＝2a 25＝a 26，∴a 6

a 5

＝ 2.

又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝2

2. 答案：B

5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于 ( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4 D ．1∶3 解析：∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， 即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 又∵S 6∶S 3＝1∶2，

∴14S 23＝S 3(S 9－12S 3)，即34S 3＝S 9， ∴S 9∶S 3＝3∶4. 答案：C

6．设等比数列{a n }的公比q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．

解析：当q ＝1时，S n ＋1＝(n ＋1)a 1，S n ＝na 1，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，

又因为a 1≠0，所以S n ＋1，S n ，S n ＋2不可能成等差数列；当q ≠1时，S n ＋1＝11(1)1n a q q +--，

S n ＝1(1)1n a q q --，S n ＋2＝21(1)1n a q q

+--，

∵S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， 可得q n ＋

2＋q n ＋

1＝2q n ，解得q ＝－2. 答案：－2

7.若数列{a n }满足n ＋1

a 2n

＝p (p 为正常数，n ∈N +)，则称{a n }为“等方比数列”．

甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ) A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析：数列{a n }是等比数列则a n ＋1a n ＝q ，可得a 2n ＋1

a 2n ＝q 2，则{a n }为“等方比数列”．当{a n }为

“等方比数列”时，则a 2n ＋1

a 2n ＝p (p 为正常数，n ∈N +)，当n ≥1时a n ＋1a n ＝±p ，所以此数列{a n }

并不一定是等比数列． 答案：B

8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；

(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．

解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N +)，①

∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②

①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.

∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴

S n ＋2

S n －1＋2

＝2，

故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

9.(文)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ ( ) A ．16(1－4－

n ) B ．16(1－2－

n ) (1－4－

n ) (1－2－

n )

解析：∵q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12，a 1＝4，数列{a n ·a n ＋1}是以8为首项，1

4为公比的等比数

列，不难得出答案为C. 答案：C

(理)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S n

n 最大时，n 的值等于 ( ) A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．17