3 函数的单调性
高等数学自考3.3函数的单调性与极值
上单调增加； 在 上单调增加 （i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加； ）如果在(a, 内 ， 上单调减少。 （ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。 ）如果在(a, 内 ， 在 上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。 例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（ 定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令 得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值 由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定 所以 需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件） 定理2（极值存在的一阶充分条件） 在该邻域（ 可除外）可导， 在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在 的某邻域内连续， 不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。 的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0， 若当x ； ， 则 f (x0) 是f (x)的极大值； 的极大值； 的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0； 当x > x0 时，f ′(x) >0， 若当x ； ， 的极小值； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号， 若在x 的两侧， 不变号， 不变号 不是极值。 则f (x0)不是极值。 不是极值
高中数学第三章函数单调性的定义与证明学案新人教B版必修第一册
3．1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明课程标准借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 定义域为A 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2；(3)属于同一个单调区间．知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间M 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间M 叫做y ＝f (x )的________．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．知识点三 函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0. 基础自测1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )A．m＞12 B．m＜12C．m＞－12D．m＜－122．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上( )A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．4．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是( )A．(－1，0)B．(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，+∞)D．(－1，0)，(1，＋∞)课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A.(－3，1)∪(1，4)B．(－5，－3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)状元随笔 观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．(2)下列函数在区间(0，1)上是增函数的是( )A．y＝1－2x B．y＝1 xC．y＝√x−1D．y＝－x2＋2x(3)函数y＝|x－1|的单调增区间是________.跟踪训练1 (1)函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数状元随笔 图象上升或下降趋势判断．(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．题型2 函数的单调性判断与证明例2 证明函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．在(0，2)上是减函数．状元随笔 先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号．方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x +2x +1在(－1，＋∞)上是减函数．题型3 利用函数的单调性求最值[经典例题]例3 已知函数f(x)＝2x−1x+1，x∈[3，5].(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3 已知函数f(x)＝32x−1，求函数f(x)在[1，5]上的最值．状元随笔 (1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．题型4 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例4 (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练4 (1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．3．1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明新知初探·自主学习[教材要点]知识点一f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数 减函数知识点二单调性 单调区间[基础自测]1．解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<1 2.答案：B2．解析：函数f(x)＝1x是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x24．解析：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．答案：D课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)由y＝1－2x，y＝1x的图象易知在(0，1)上为减函数，而y＝√x−1的定义域为[1，＋∞)，不合题意．(3)作出函数的图象，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞)．【答案】 (1)C (2)D (3)[1，＋∞)跟踪训练1 解析：(1)函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝{−(x−1)2+4，x≥0，−(x+1)2+4，x＜0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．答案：(1)A (2)见解析例2 【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1)x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．证明：∀x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1) x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为0＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上是减函数．跟踪训练2 证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1+2x1+1−x2+2x2+1＝x2−x1(x1+1)(x2+1)，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴x2−x1(x1+1)(x2+1)>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).∴y＝x+2x+1在(－1，＋∞)上是减函数．例3 【解析】 (1)函数f(x)在[3，5]上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝2x1−1x1+1−2x2−1x2+1＝(2x1−1)(x2+1)−(2x2−1)(x1+1)(x1+1)(x2+1)＝3(x1−x2) (x1+1)(x2+1)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝2x−1x+1在[3，5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3−13+1＝54，f(x)max＝f(5)＝2×5−15+1＝32.跟踪训练3 解析：先证明函数f(x)＝32x−1的单调性，设x1，x2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x2>x1>1 2，f(x1)－f(x2)＝32x1−1−32x2−1＝6(x2−x1)(2x1−1)(2x2−1).由于x2>x1>12，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝1 3.例4 【解析】 (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.②由题意得－a－1＝3，a＝－4.(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1)．【答案】 (1)①a≤－4 ②－4 (2)(－∞，1)跟踪训练4 解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].由知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(1)见解析 (2)(5，＋∞)11。
函数的单调性(定义法)
函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
函数的单调性课件(共17张PPT)
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
3.3函数的单调性
函数的单调性函数的单调性： 一、定义：①()f x 在区间I 上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())I D x x I x x x x f x f f x f x x <<⎧⎪⎨⎪⇒⎩>⊆∈⇒>、、任意或中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。
图像理解：从左到右，由下至上。
②()f x 在区间I 上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()I D x x I x x f x x f x f x x f x ><<⎧⎪⎨⎪⇒⎩∈>⊆⇒任、、意或中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。
图像理解：从左到右，由上至下。
二、知识要点：1、单调区间I 与定义域D 的关系：I D ⊆练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D 与单调区间增区间I ，单调减区间I 直线型 指、对数型：x y a =与log a y x =(0)y k x b k =+> (0)y k x b k =+< (0)y kx b k =+=二次曲线 幂函数：1:()0:1,0aa y xy x a Q a y x ==⎧=∈⎨==≠⎩2()(0)y a x b c a =-+> 2()(0)y a x b c a =-+< =2y x 3y x = 52y x =D D IIIID D IIIIy=x(1,0)a>1y=log a xy=a x oyx(0,1)0<a<1y=x(1,0)y=log a xy=a x(0,1)oyxboxy y xobb oxyx=boxy c cyx o x=b(0)y a x b c a =-+>(0)y a x b c a =-+<x=bx=bc oxyy xo c=12y x 25y x = 13y x =-=1y x 2y x -= 12y x -=三角函数反三角函数双曲线型函数 函数的对称变换 分段函数 小结：1、单调性是局部性质，是对D 内的某一个子集区间而言。
新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt
【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上 是增函数，所以 A 错误； 对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误； 对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是 减函数，所以 C 正确； 对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞， ＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（ －2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0， 解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________． 【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】 画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间． 【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（ ＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图像如图所示． 由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1).
类型三 函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式 【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________． 【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．
3.3 函数的单调性
一、函数的单调性及判别法
定理 3.3 设函数 f (x)在(a,b)内可导，
(1)如果 f (x)在(a,b)内的任一点x 处，恒有 f (x) 0，则 f (x)在(a,b)内 单调增加；
图
(2)如果 f (x)在(a,b)内的任一点 x
处，恒有 f (x) 0，则 f (x)在(a,b)内单
解： f (x)定义域D (,)
f (x) 6x2 6x 12 . 6(x 2)(x 1)
令 f (x) 0，即6( x 2)( x1) 0 ， 得驻点x1 2，x2 1； 不存在不可导的点.
x (,2) 2 (2,1) 1 f (x) + 0 - 0
f (x)
f (x)的单调增加区间为 (, 2)、(1, )
f (x)的单调减少区间为(2,1)
(1, ) +
图
例 3 求 f (x) x2 的单调区间. 1 x
解： f (x)定义域D (,1) (1,)
f
( x)
2x(1 x) (1 x)2
x2
x(2 x) . (1 x)2
令
f
( x)
0，即
x(2 x) (1 x)2
0
得驻点 x1 2， x2 0；不存在不可 导的点.
x (,2) 2 (2,1) (1,0) 0 (0,)
f (x) 0
0
f (x)
f (x)的单调增加区间为(,2)、(0,)； f (x)的单调减少区间为(2, 1)、(1,0).
图
例
4
求
f
(x)
3
(x
2
2) 3
2的单调区间.
2
解： f (x)的定义域D (,)
函数的单调性知识点
函数单调性知识点总结一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D 上是增函数,且x 1＜x 2 , f(x 1) ＜f(x 2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D 上是增函数,且f(x 1) ＜f(x 2 ), x 1＜x 2 。
(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1 、x 2∈D,使x 1＜x 2 ; ②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
函数的单调性3
教案设计：函 数 单 调 性（第一课时）江苏省南通中学 唐仁霞江苏教育出版社（必修1）教学目标：1.知识技能目标：（1）通过生活实例感受函数单调性的意义；（2）理解函数单调性及其几何意义；（3）能判别或证明一些简单函数的单调性；（4）掌握数形结合的数学思想方法。
2.过程性目标：通过生活实例感受数学，培养识图能力与数形语言转换的能力，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
3.情感体验目标：养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯。
教学重点：（1）函数单调性及其几何意义的理解；（2）从“形”和“数”两个方面理解单调性教学难点：（1）函数单调性定义的理解；（2）证明一些简单函数的单调性教学方法：引导、探究、交流教学手段：多媒体辅助教学教学过程：一．回顾旧知回顾1：书P21/问题（3）某市一天24小时的气温变化图。
说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？回顾2：一次函数、二次函数、反比例函数的图像说出图像在哪些区间内是逐渐升高的或下降的？二．感受新知若图像在某个区间上从左到右是上升的（下降）的，即y 随x 的增大而增大（减小），则具有这样性质的函数就具有单调性。
这就是我们今天所要研究的课题。
如：函数 在 上为增函数；函数 在上是减函数，在上是增函数。
问：函数 在上是增函数吗？ 函数在其定义域内是增函数吗？ 通过以上两个问题，讲解定义的关键词：定义域、区间、任意、都有。
问：我们如何用符号语言来刻画y 随x 的增大而增大（减小）的特征？通过图形语言转化为文字语言，再进一步转化为符号语言，由此引出函数单调性的定义。
三．建构新知1、定义：一般的，设函数 y=f(x) 的定义域为A,区间I ⊆A ， y 3x 2=+2y x 2=+1y x=-[2,)+∞(,)-∞+∞2y x 2=+(,0]-∞[0,)+∞如果对于区间I 内的任意两个值12x ,x ,当12x x <时，都有12f (x )f (x )<，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调增函数。
§3 函数的单调性
A.减少的
B.增加的
C.一定不单调
D.不确定
2．已知关于 x 的不等式 x2－x＋a－1≥0 在 R 上恒
成立，则实数 a 的取值范围是( D )
A.－∞，54
5
C.4，＋∞
B.－∞，54
5
D.4，＋∞
【解析】记 f(x)＝x2－x＋a－1，则原问题等价于二次
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)
x
y
图像在区间I逐渐上升ຫໍສະໝຸດ 区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1,x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)
x
根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出函 数在区间增加的定义.
函数在区间增加（或减少) 你能类比函数在区间增加的研究
是增函数. (×)
y
f(2)
f(1)
O 1 2x
【即时训练】
写出下列函数的单调区间：
y y=2x+1
y
y=(x-1)2-1
o
x
增区间为 (, )
y
y =x3
o1
-1
2x
增区间为 [1, )
减区间为 (,1]
o x 增区间为 (, )
例1 说出函数 f (x) 1 的单调区间，并指明在该区间
x)
|
2x
a
|
=
2x a, x 2x a,
a, 2
xa 2
,
函数f (x)的单调递增区间是[3,+)，
3.3 函数的单调性
【解】 f(x)=x -mx+ - +3
2
=(x- ) +3
2
根据题意可知函数的对称轴为 x=-2
即-(- )=-2
求得 m=-4
∴f(x)=x2+4m+3 f(1)=1+4+3=8
B.y=(x≠0)是增函数
C.y=x2 在[0,+∞)上是减函数
D.y=()x 在 R 上是减函数
【答案】D
8.一次函数y=kx+b在(-∞,+∞)上是单调递减函数,且
图象不过第三象限(
)
A.k>0,b≠0 B.k<0,b≥0
C.k<0,b≠0 D.k>0,b<0
【答案】B
9.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则
是 (-∞,0]
,单调减区间
.
12.若 y=(3k-1)x+k 是 R 上的减函数,则 k 的范围
为
{k|k< }
.
13.下列函数中:(1)y=3x-6;(2)y=3-2x;(3)y=x2+2x+1(x∈(-∞,-1]);
(4)y=- +1(x∈-∞,0)中,在给定区间单调递减的有 (2)、(3)
3.y=
(
)
A.在(0,+∞)上是增函数
C.在(0,+∞)上是减函数
【答案】C
B.在[0,+∞)上是增函数
D.在[0,+∞)上是减函数
4.函数f(x)=-5x2
函数的单调性教学设计3
《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析本节内容是人教A版必修一教材第一章第三节内容，是一节概念性知识，属于函数的基本性质．本节内容是学生在理解函数概念后学习的函数的第一个性质，起着承前启后的作用．一方面，初中数学的很多内容在解决函数的某些问题中得到了充分的使用，另一方面，函数的单调性与前一节函数的概念和图像的知识的延续有着密切的联系，函数的单调性与后面的奇偶性是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及三角函数等其他函数的基础．学生在观察函数图像时，首先注意到的是图像的上升或下降，但是由图像直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以论证．教学中充分利用函数图像，让学生观察图像获得函数基本性质的直观理解，这样处理充分表达了数形结合思想，也为下一步学习函数其他性质提供了方法依据．由此确定本节课的教学重点为：重点：函数单调性的概念、判断和证明．研究函数性质时的“三步曲”是：第一步，观察图像，描绘函数图像特征；第二步，结合图、表，用自然语言描绘函数图像特征；第三步，用数学符号语言定义函数性质．本节课特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概括过程，并引导学生用数学语言表达出来，正是形成数学概念，培养学生探究水平的契机．因为函数图像是发现函数性质的直观载体，所以，教学中充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．二、教学目标设置根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标：知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的水平和语言表达水平；通过对函数单调性的证明，提升学生的推理论证水平．情感、态度、价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．三、学生学情分析本节课的教学对象是长春市实验中学高一年级的学生．1.学生已有认知基础一是学生通过初中的数学学习，已有研究一次函数、二次函数等初等函数的直接经验，对函数的简单性质有初步的理解；二是前一节已经学习过函数的概念，对函数的图像也有一定的感性认知；三是水平上具备了一定的观察、类比、分析、归纳水平．2.达成目标所需要的认知基础学生需要对研究目标、方法和途径有初步理解，具备知识整合和主动迁移的水平，从形的直观理解、感性认知到形成抽象的数学概念，具有数形结合的意识和归纳推理的水平．3.难点及突破策略对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证水平是比较薄弱的．由此确定的难点及突破策略为：难点：（1）函数单调性概念的形成；（2）理解自变量在区间[a，b]上的“任意”取值的意义．突破策略：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次理解,使得学生对概念的理解持续深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，协助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．（3）教师启发引导，组织学生交流研讨，表达思维过程．四、教学策略设计根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平持续提升．针对本节课的重点——函数单调性的判断和证明，教学中采用直观到抽象，特殊到一般，感性到理性的教学过程，先通过讨论具体函数图像的上升或下降直观描绘发现问题，再把具体的、直观形象的单调性特征抽象出来，用数学符号语言描绘．本节课的难点之一是单调性概念的得出．教学中采用教师启发引导，学生自主、合作、探究的教学方法，以及多媒体直观教学的恰当应用，使学生从感性理解上升到理性理解，从“形”的直观到“数”的推理，从“无限”验证转化为“有限”证明，使学生对单调性概念的理解水到渠成，逐层深入，步步升华．本节课的另一个难点是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的实数21x x ，．针对这个难点，教学中采取两个措施．一是引导学生通过对图像的观察、分析，自主形成理解；二是通过小组研讨的方式让学生实行合作探究，加深对概念中“任意”含义的理解．五、教学过程设计【教学过程】一、创设情境，明确目标生活中的实例：情境一：我市某日24小时内的气温变化图．情境二：艾宾浩斯记忆遗忘曲线这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持两逐渐减小，第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢，这个规律提醒我们：在学习新知识的时候，一定要即时实行复习和巩固，以便加深理解和记忆．生活中很多与数据相关的问题：比方燃油价格， 股票行情，水位高低等等，理解这些数据的变化规律，对我们的生活很有协助．而这些数据的变化，用函数的观点看，其实就是随着自变量变化时，函数值的变化规律．【学生活动】感受生活中的数学，体会理解函数的变化规律有助于把握事物的变化规律．【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．二、自主学习，启发引导概念生成——“形”的直观感知问题：函数是描绘事物运动变化规律的数学模型．假如理解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相对应事物的变化规律．在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质．观察下列图中各个函数的图像，你能说说它们分别反映了相对应函数的哪些变化规律吗？【学生活动】从个人观察的角度，描绘图像反映的函数的变化规律．【教师活动】肯定学生多角度发现函数变化规律，并纠正学生语言表述的准确性．提出函数的性质有很多，引出本节课要研究的是随着自变量持续增大，函数值是增大还是减小这个特征．【学生活动】观察函数2+=x y ，2+-=x y ，2x y =，x y 1=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？【教师活动】引导学生读图分析，直观感知单调性这个性质．【设计意图】函数的变化规律反映了函数的性质，研究函数的变化规律使我们更能够把握相对应事物的变化规律，引出研究函数性质的实际意义．培养学生读图和分析总结规律的水平． 得出描绘性定义：函数单调性的描绘性．．．定义：设函数的定义域为I ，区间I D ⊆，在区间D 上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D 上是增函数，区间D 称为函数的单调增区间；在区间D 上，若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间D 上是减函数，区间D 称为函数的单调减区间．【学生活动】学生完成对函数单调性的直观理解．．．．．根据单调性的定义，完成教材29页例1: 定义在区间[]5,5-上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．【教师活动】引导学生理解函数的单调性是对定义域内某个区间来说的，是函数的部分性质．并提出图像解决问题不够精确严谨，还要有数量上的准确刻画．【设计意图】从“形”的角度直观理解函数单调性的意义，并铺垫单调性是一个区间概念．三、合作探究，互助研讨概念生成——“数”的抽象刻画探究一：根据函数的定义，对于自变量x 的每一个确定的值，变量y 有唯一确定的值与它对应．那么，当一个函数在某一区间上是单调递增（或单调递减）时，相对应的，自变量的值．．．．．与对应的函数值．．．．．．的变化规律．．．．是怎样的？（几何画板演示） 【设计意图】从“形”到“数”的转化，从图像的直观理解，到变量的数值增减理解，形象的“上升”和“下降”的规律对应到函数在变量值上的变化规律．概念生成——单调性的严格定义探究二：函数)(x f 在区间),(b a 上有无数个自变量x ，满足当b x x a <<<< 21时，有)()()()(21b f x f x f a f <<<< ，那么)(x f 在区间),(b a 上一定单调递增吗？说明理由（可举例或画图）【设计意图】自变量不能被穷举的情况下，引导学生在给定区间内任意取两个自变量1x ，2x ，体会无限向有限的转化思想．探究三：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为增函数？ 【设计意图】通过讨论，学生发现结合解析式实行严密化、精确化的研究的方法．在区间[)0,+∞上，任取两个12,x x ,得到221122(),()f x x f x x ==,当12x x <时，有12()()f x f x <则说明函数2()f x x =在[)0,+∞为增函数． 【学生活动】通过先自主再合作，小组互助研讨解决探究问题，并展示自己的观点．【教师活动】提出问题，放手学生解决，巡视、适当点拨．【设计意图】从“数”的角度深入严谨理解函数单调性的意义，培养学生思考的习惯和探究问题的水平，通过合作学习互促提升，突破难点．通过上述探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．板书定义: 一般地，设函数)(x f 的定义域为I :假如对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x x ，,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数；对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x x ，,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数．判断与证明单调性判断以下说法是否准确？（1）已知x x f 1)(=，因为)1()2(f f <-，所以函数)(x f 是增函数 （2）若函数)(x f 满足)2()1(f f <，则函数)(x f 在区间]2,1[上是增函数．（3）若函数)(x f 在区间(]2,1和)3,2(上均为增函数，则函数)(x f 在区间(1,3)上为增函数．（4）因为函数x x f 1)(=在区间)0,(-∞和),0(+∞上都是减函数，所以x x f 1)(=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数.【学生活动】先自主思考，再小组交流，得出结论．【教师活动】纠正学生语言的准确性，给出合理评价．【设计意图】1.从特殊到一般，从“形”到“数”，从直观到抽象，提升理解的高度和严谨性，加深理解单调性的严格定义，并培养学生类比、归纳的水平．2.通过概念辨析，强调（1）单调性是对定义域内某个区间来说的，所以谈单调性离不开区间；（2）定义中的“任意”是关键；（3）函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在B A ⋃上是增（或减）函数．四、精心点拨，启发引导1.例题：物理学中的玻意耳定律V k p =（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大．试用函数的单调性证明之．2.巩固练习：画出反比例函数xx f 1)(=的图象. （1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论.【学生活动】自主完成，展示过程．【教师活动】引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、比较、变形、定号、结论． 投影学生证明过程，实行点拨和要点强调．【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展能够得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．五、归纳小结，整理提升学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、感性到理性、无限到有限．(2) 证明方法和步骤：取值、比较、变形、定号、结论．(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本第39页 习题1.3 A 组第1、2、3题． 课后探究：研究函数xx y 1+=的单调性，并证明你的结论． 板书设计：。
专题3 函数的单调性 - 解析版
专题3函数的单调性函数单调性是函数性质中最重要的一个,它依赖于函数的定义域和对应法则,渗透的参数、变动的定义域与复杂的对应法则,导致学生对函数单调性应用产生思维痛点,学生遇到的卡壳点很多,而函数的单调性应用问题在高考数学命题中永不过时,为此必需探究突破函数单调性的智慧点.一、符号函数性质的渗透助突破问题1:设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x t t ∈+,不等式()()2f x t f x +≥恒成立,则实数t 的取值范围是 A.)2,∞⎡+⎣ B.[)2,∞+ C.(]0,2D.2,12,3⎡⎤⎡--⋃⎣⎦⎣【解析】卡壳点:不会将()()2f x t f x +≥转化并利用函数的单调性. 应对策略:借助符号函数结构是解题的突破口.问题解答:给定的函数即为()22,0,0,0,,0.x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩回归符号函数模型()2sgn f x x x =⋅,函数()f x 为奇函数,且在R 上单调递增. 根据符号函数性质得())))2222sgn 2sgn22f x x x x x fx =⋅=⋅=.化归转化抽象不等式:()()2f x t f x +≥恒成立可转化为()()2f x t f x +≥恒成立,利用单调性转化:2x t x +≥对[],2x t t ∈+恒成立,即)21x t ≤对[],2x t t ∈+恒成立.恒成立问题转化:()()212t t +≤,解得)2,t ∞⎡∈+⎣.【反思】函数1,0,sgn 0,0,10x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩是分段函数,称为符号函数.将抽象不等式变形为函数两变量的大小关系式,再根据具体函数抽象化方法,利用其性质解题,否则就需要讨论并代人具体函数进行烦琐的计算.二、识别条件结构,㘬造函数破解问题2:定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()2112120x f x x f x x x -<-,且()24f =,则不等式()20f x x ->的解集为【解析】卡壳点:从题设主千条件看不出结构信息. 应对策略:从条件结构上去探寻函数结构.问题解答:设任意()1212,0,,x x x x ∞∈+<,构造函数()()f x F x x=.由已知条件,()()()()()()1221121212120f x f x x f x x f x F x F x x x x x --=-=>,所以()F x 在()0,∞+上单调递减.由目标不等式可得()()()()2220f x f x xF x F xx--=-=>,即()()2F x F >,所以2x <.又x 为正数,所以()20f x x ->的解集为()0,2.【反思】当面对复杂代数式结构时,冷静地分解代数式,尝试寻找代数式的主体结构,通过构造函数来寻找函数主体,然后判断函数的单调性,应用单调性解决目标问题.三、含参分段函数单调性关注分段点问题3:已知函数()21,1,2,1x x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩在R 上单调递增,求实数a 的取值范围.【解析】卡壳点:不会对分段点左右两端函数单调性进行分析. 应对策略:对于分段函数的单调性要考虑分段点左右单调性一致.问题解答:(1)审题当1x <时,()f x 单调递增;当1x ≥时,由于函数中含有参数,所以()f x 的单调性不确定.(2)思考要使()f x 在R 上单调递增,必须满足三条: 第一条:()f x 在(),1∞-上单调递增; 第二条:()f x 在()1,∞+上单调递增; 第三条:()()21121x x x ax x ==-≥+.(3)画图如图()1,f x 在()1,∞+上不单调,不满足第二条;如图2,不满足第三条;如图3,符合题意.综上所述,实数a 的取值范围必须满足1,122,a a ≤⎧⎨-≥⎩即12a ≤-.【反思】若函数()()()12,,,,,x a x b f x x a x bϕϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调,a 为参数,则必须满足:(1)()1,x a ϕ在(],b ∞-上单调增(减);(2)()2,x a ϕ在(),b ∞+上单调增(减); (3)()()()12,,x bx b x a x a ϕϕ==≤≥.综合上述三个限制条件,即可准确得到问题的解.四、综台问题层层分解寻找单调性问题4:函数3|1|,0,()log ,0,x x f x x x +⎧=⎨>⎩若方程()f x a =有4个不同的根1234,,,x x x x ,且1x 234x x x <<<,则()1232341x x x x x ++的取值范围是 【解析】卡壳点:面对综合问题,不会结合函数图噑进行分解.应对策略:面对综合问题,既有分段函数,又有绝对值,还涉及零点,需妥画申图象一步步地分解.问题解答:画出函数()f x 的图象,如图4所示,可知01a <,121,1.x a x a =--=-+由3334log ,log x a x a -==,得343,3a a x x -==. 所以12342,1x x x x +=-=,于是()12323412x x x x x ++=-⨯132333aa a a---+=-⨯+ 此函数是单调递增函数,01a <,所以所求代数式的取值范围是2721,31,33⎛⎤⎛⎤-+-=- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.【反思】当问题转化为参变量函数时,要用到函数的单调性求函数的值域.五、隐藏结构层层挖掘促步步显化问题5:已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,且对任意0x >,有1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,求()f x .【解析】卡壳点:面对复合结构,不会从整体结构上进行替换.应对策略:面对条件中复杂的函数结构,通过变量替换层层拕掘条件式的结构,显化函数本质.又1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,于是11()()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎪+⎝⎭. 由于()f x 是单调函数,因此11()1()f f x x x f x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭+, 即2111()1[()]()1()()()1()xf x x x xf x xf x f x f x xf x f x x--+=⇒=⇒-=-++. 令()xf x t =,则210t t --=,解得15()f x +=,或15()f x -=. 经验证,这两个函数均符合题意,这样就得到了所有符合题意的()f x .【反思】第一,“用()1f x x+代替x ”是一个智慧点;第二,对代数式化简整理是基本功;第三,利用单调性转化是第二个智慧点;第四,此条件中复合结构复杂,看出本质并代换是智慧中的智慧!六、抽象函数单调优先助层层递进问题6:定义在R 上的函数()f x 满足对任意实数,m n ,有()()()f m n f m f n +=,当0x >时,()011f x <<.设集合()()()(){}22,1A x y f x f y f =>∣,集合()({},21,B x y f ax y a =-=∈R ∣,若A B ⋂=,试求a 的取值范围.【解析】卡壳点:不会利用函数的运算性质处理已知的两个集合. 应对策略:从抽象函数性质所对应的具体函数入手挖掘. 问题解答:先判断函数的单调性,再求a 的取值范围.在()()()f m n f m f n +=中,令1,0m n ==,得()()()110f f f =.因为()10f ≠,所以()01f =.在()()()f m n f m f n +=中,令,m x n x ==-,则当0x >时,()01f x <<. 当0x <时,()01f x <-<.又()()()01f x f x f -==,所以()()10f x f x =>-. 当0x =时,()010f =>,所以对任意(),0x f x ∈>R . 设12x x ∞∞-<<<+,则()21210,01x x f x x -><-<.所以()()()()()()22112111,f x f x x x f x x f x f x f x =-+=-<在R 上为减函数. 所以()()()()22221f x f y f x y f =+>,即221x y +<. 又(()210f ax y f -+==,所以20ax y -+=.因为A B ⋂=,所以直线20ax y -=与圆221x y +=无公共点,2211a ≥+,解得11a -≤≤.【反思】利用函数性质显化两个集合元素的几何意义是智慧点.强化练习1.已知函数()f x 的定义域为()1,1-,且对定义域内的一切实数,x y ,都有()()()f x y f x f y +=+.又当0x >时,有()0f x <.若()()2110f a f a -+-<,则实数a 的取值范围是 A.()0,1 B.()0,2C.()(),01,∞∞-⋃+D.()2,1-【解析】已知定义域关于原点对称, 令 x =y =0, 则 f(0)=f(0)+f(0), 即 f(0)=0.再令 y =−x , 得 f(0)=f(x)+f(−x), 所以 f(−x)= −f(x), 所以原函数为奇函数.设 −1<x 1<x 2<1, 则 f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+ f (−x 1)=f (x 2−x 1)<0, 所以原函数为减函数.因为 f(1−a)+f (1−a 2)<0, 所以 f(1−a)<−f (1−a 2).因为 f(x) 为奇函数, 所以 f(1−a)<f (a 2−1). 又 f(x) 在 (−1,1) 上为减函数, 所以 {1−a >a 2−1,−1<1−a <1,−1<a 2−1<1,解得 0<a <1.【反思】条件“当 x >0 时, 有 f(x)<0 ” 是判断本题抽象函数单调性的基石, 利用单调性定义推理判断是一个基本功. 2.已知01x <<,则下列结论正确的是A.222sin sin sin x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B.222sin sin sin x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C.222sin sin sin x xx x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D.222sin sin sin x x xx x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭【解析】在条件 0<x <1 下, 有 0<sinx <x , 所以 0<sinx x<1, 于是(sinx x)2<sinx x, 排除 A .又 y =sinx x,y ′=xcosx−sinxx 2, 由 x <tanx 知 xcosx <sinx , 所以 y ′<0, 于是知函数 y =sinxx在 (0,1) 上单调 递减, 由 x 2<x , 得 sinx x<sinx 2x 2. 故选 B .【反思】这是 2017 年清华大学学术能力测试题, 属于数学能力测试, 也是大学数学老师视野中的数学问题. 问题中含有超越函数, 利用 sinx <x <tanx 分析.3.已知函数()21,2,1,2ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数,则实数a 的取值范围是( )A.104a -≤<B.14a ≤-C.114a -≤≤-D.1a ≤-【解析】因为 f(x)={ax 2+x −1,x >2,ax −1,x ⩽2是 R 上 的单调递减函数, 所以 y =ax −1 必须单调递减, 于是 a <0.又 y =ax 2+x −1 在 (2,+∞) 上单调递减, 于是 −12a ⩽2 最后还必须满足 (ax −1)|x=2⩾(ax 2+x −1)|x=2.综合考虑这三点,得到不等式组 {a <0,−12a ⩽2,2a −1⩾4a +2−1,解得 a ⩽−1. 故选 D.【反思】分段函数的单调性必须完整考虑各段的单调性、 分段点处的函数值大小等.4.已知函数()2log 2(0a y x ax a =->且1)a ≠在[]4,5上单调递增,则a 的取值范围是【解析】分解复合: 令 y =log a u , 其中 u =x 2−2ax = (x −a)2−a 2. 分类讨论:当 a >1 时, 先考虑单调性, y =log a u 单调递增, 要使复合后的函数单调递增, 必须满足 u =x 2−2ax 在 [4,5] 上单 调递增, 即对称轴 x =a 满足 a ⩽4.再考虑定义域, (x 2−2ax )|x=4>0, 于是有 {a >1,a ⩽4,16−8a >0,解得 1<a <2.当 0<a <1 时, 先考虑单调性, y =log a u 单调递减, 要 使复合后的函数单调递增, 必须满足 u =x 2−2ax 在 [4,5] 上单调递减, 即对称轴 x =a 满足 a ⩾5.再考虑定义域, (x 2−2ax )|x=5>0, 于是有 {0<a <1,a ⩾5,25−10a >0,无解.综上, 1<a <2.【反思】复合函数单调性要“顾头又顾尾”, 既考虑单调概 念, 又要注意对数函数的定义域限制条件.5.若定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()1122120x f x x f x x x -<-且()24f =,则不等式()80f x x->的解集为 【解析】设任意 x 1,x 2∈(0,+∞),x 1<x 2, 构造函数 F(x)=xf(x)由已知条件, F (x 1)−F (x 2)=x 1f (x 1)−x 2f (x 2)>0, 所以 F(x) 在 (0,+∞) 上单调递减.由目标不等式可得 F(x)−F(2)=xf(x)−8>0, 即 F(x)>F(2), 所以 x <2.又 x 为正数, 所以 f(x)−8x >0 的解集为 (0,2).【反思】看出给定代数条件的意义, 构造函数来破解.6.已知函数()52,0,log ,0,x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩则函数()()f f x 的单调递增区间是 【解析】首先考虑 f(f(x)) 的表达式是什么.当 x ⩽0 时, f(x)=2x,f(f(x))=2f(x)=4x .当 0<x ⩽1 时, f(x)=log 5x ⩽0,f(f(x))=2f(x) =2log 5x当 1<x 时, f(x)=log 5x >0,f(f(x))=log 5f(x)= log 5(log 5x )综上, f(f(x))={4x,x ⩽0,2log 5x,0<x ⩽1,log 5(log 5x ),1<x.然后考虑 f(f(x)) 的单调性, 此函数在各段定义区间上 都是增函数,但在整个定义域上不是增函数, 所以函数 f(f(x)) 的单调递增区间是(−∞,0],(0,1],(1,+∞).【反思】分类剖析, 寻找函数解析式.一个分段函数再复合构成的函数比较复杂, 此题没有引入参数, 但已经比较难了, 需要分类剖析其函数解析式, 从而清晰地展示其单调性.7.已知函数()f x 对任意实数,m n ,有()()()f m n f m f n +=+,当0x >时,()0f x >.若()11f =,解不等式()()22log 22f x x --<.【解析】为解抽象函数不等式, 首先要判断函数的单调性.−∞<x 1<x 2<+∞, 则 x 2−x 1>0,f (x 2−x 1)>0.所以 f (x 2)=f (x 2−x 1+x 1)=f (x 2−x 1)+f (x 1)> f (x 1),f(x) 在 R 上为增函数.由 f(1)=1, 得 2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 所以 f(log 2(x 2−x −2))<f(2), 故 log 2(x 2−x −2)<2. 从而 {x 2−x −2>0,x 2−x −2<4, 解得 −2<x <−1,2<x <3.【反思】求解由抽象函数构成的不等式, 要先判断其单调 性, 然后才能剥离抽象“外套”.8.已知()4,f x x a a a x=--+∈R ,是否存在实数a ,使得()3f x =有且仅有3个不等实根,且它们成等差数列?若存在,求出所有a 的值,若不存在,说明理由.【解析】因为 f(x) 的解析式含有绝对值, 根据 x 的范围去绝对值, 得到 f(x) 的解析式:f(x)={2a −(x +4x ),x <a x −4x,x ⩾a. 要研究 f(x)=3 的根的情况, 就需要知道函数 y = f(x) 的图象与 y =3 图象的交点情况.不考虑定义域的分段点, 分别研究两段对应的函数在整 个定义域上的情况： 先研究不含参的函数, 令 ℎ(x)=x −4x , 则 ℎ(x) 在 (−∞,0) 与 (0,+∞) 上分别单调递增, 如答图 1 , 易知 ℎ(x)=3 有两个根 −1,4.再研究含参的函数, 令 g(x)=2a −(x +4x ), 由对勾 函数性质知, g(x) 有四个单调区间, 分别为 (−∞,−2), (−2,0),(0,2),(2,+∞), 草图如答图 2：其中 x 轴的位置由 2a 的大小快定,结合图象可知 g(x)=3 的根的个数可能为 0,1,2.由题意知, y =f(x) 的图象的“左半部分 ( 即 (−∞,a) 部分)”由 g(x) 决定, “右半部分 (即 (a,+∞) 部分)” 由 ℎ(x) 决定, f(x)=3 有 3 个不相等的实根. 由前面对 ℎ(x) 与 g(x) 的图象的分析知, 左半部分与右半部分贡献的根的个 数只可能有 1,2 和 2,1 两种情况.情形一: 若左半部分贡献 1 个根, 则右半部分贡献 2 个 根 −1,4, 由三个根成等差数列知左半部分贡献的根是 −6, 且有 −6<a ⩽1, 于是有 g(−6)=3, 解得 a =−116,此时 y =f(x) 的图象如答图 3, 满足题意.情形二: 若左半部分贡献 2 个根, 则右半部分贡献 1 个 根 4 , 有 −1⩽a <4.记左半部分贡献两个根为 x 1,x 2,x 1<x 2, 由 3 个根成等差数列得 2x 2=x 1+4,x 1,x 2 是 g(x)=3 的 2 个根.从而 x 1,x 2 是 x 2+(3−2a)x +4=0 的 2 个根,于是将 {x 1+x 2=2a −3,x 1x 2=4与 2x 2=x 1+4 联立, 解得 {x 1=2(√3−1),x 2=√3+1,a =3√32+1, 或 {x 1=−2(√3+1),x 2=−√3+1,a =−3√32+1.因为 −3√32+1>−1, 所以第二组数不满足题意.综上, a =−116, 或 a =3√32+1.【反思】对分段函数的讨论是关键,因为 a 同时影响到分 段函数的分界点和左半部分的解析式, 所以直接讨论比较复杂, 容易出现混乱,我们先不考虑分段点的情况, 直接研究两段对应的函数的性质, 得到一些确定的结论, 4 一定是f(x)=3的最大根, 从而将讨论的情况减少到只讨论中间1 个根是左半部分还是右半部分贡献的, 这就大大减少了需要讨论的情况.。
§3-函数的单调性(北师大版) - 副本
f(x)在区间[0,2]上递增.所以，函数f(x)在区间[0,2]
的两个端点上分别取得最小值和最大值.
解：设x1,x2是区间[0,2]上的任意两个实数，
2 2 ( ) 且x1<x2 ，则 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 2( x2 1 x1 1) 2( x2 x1 ) . ( x1 1)( x2 1) ( x1 1)( x2 1)
利用其单调 性求最值
由0≤x1<x2 ≤2,得x2－ x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0 ,即f(x1)<f(x2) ， 故f(x)在区间[0,2]上是增加的. 因此，函数 f ( x) 2 在区间[0，2]的左端点取得最小
x 1
值，右端点取得最大值， 即最小值是f(0)=-2，最大值是f(2)=
减区间是 [-4,-1.5),[3,5),[6,7] .
解析：由图可知f(x)的图像在区间[-1.5,3),[5,6)上是 上升的;在区间[-4,-1.5),[3,5),[6,7]上是下降的,因
此f(x)的增区间是[-1.5,3),[5,6);减区间是[-4,-1.5),
[3,5),[6,7].
6.求函数f(x)=-3x+2,x∈[2,7]的最大值和最小值.
归纳总结
二次函数f x ax 2 bx c a 0 的单调性： b 1 当a 0时，减区间为 , ； 2a b 增区间为 , 。 2a b 2 当a 0时，增区间为 , ； 2a b 减区间为 , 。 2a
2 3
《函数的单调性(3)》教学设计
教学设计设计意图：让学生知道此节课要达到什么学习目标。
二复习引入 导函数是研究函数变化的通法。
一方面导函数的正负决定原函数的单调性，利用导函数正负判断函数单调性的一般步骤是：确定定义域，求导函数及其零点，列表，判断导函数正负，得原函数的单调性。
另一方面，导函数的绝对值的大小决定原函数变化的快慢：当导函数在某个区间绝对值较大时，函数变化得较快函数图像就比较“陡峭”, 反之绝对值较小， 函数变化得较慢 函数图像就比较“平缓”。
我们之前学的常见函数的导函数公式和函数四则运算求导法则，以及复合函数的求导法则，你还记得吗？今天我们用这些知识来研究任意一个函数的图象变化。
师生活动：让生单独回答。
设计意图：复习旧知，引入新知。
三探究新知（一）探究导函数的图象与原函数的图象的关系。
例1. 选择函数f(x)=(x 2−2x)e x 的大致图象（ ）问题1：函数的定义域是什么？奇偶性如何？ A .B C . D .师生活动：引导分析研究函数定义域优先，根据解析式知：函数定义域是R, 且非奇非偶函数，排不出选项；问题2：函数的解析式还可以给我们什么信息？师生活动：引导生令f(x)=0得x 等于2和0，两个零点，所以它与x 轴交点个数两个，于是排除C 和D 选项；问题3：再看A 和B 的区别是什么？怎么确定选项？师生活动：引导生得到：函数在(−∞，0)的单调性不同，所以需求导函数判断单调性。
再根据导函数 f′(x)=(x 2−2)e x 的部分因式(x 2−2)这个二次函数的图象得导函数正负，从而得到原函数的单调性。
选择A.设计意图：循序渐进探究原函数的图象与函数的哪些性质有关系，学会用数形结合判断导函数各个因式的正负。
例2 已知函数y =f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）问题1：导函数的函数值的正负确定吗？A CB D导函数的正负，得原函数单调性。
一定要学会利用导函数的图象或者某部分因式的函数图象判断导函数正负，四最后不要忘了小结回答，检验是否做到了不重不漏。
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数 函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性 区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一 求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二 函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三 函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。
三次函数的单调性
三次函数的单调性三次函数的单调性是将单调性应用于三次多项式函数的概念，即在某一区间内，函数增长或减少。
在数学中，函数被称为单调的，如果它在其增加或减少的区间内始终保持增加或减少的方向。
因此，在讨论三次函数的单调性时，我们将探讨三次多项式函数在某一区间内增加或减少的情况。
首先，我们来看看三次函数的一般形式。
一般来说，三次多项式函数的一般形式为：f（x）= ax3 + bx2 + cx + d，其中a，b，c和d是常数，x是自变量。
其次，我们来看看三次函数的单调性。
在讨论三次函数的单调性时，我们首先需要考虑三次函数的一阶导数。
在判断三次多项式函数的单调性时，我们需要查看一阶导数的符号，以确定函数在某一区间内的单调性。
根据一阶导数的符号，如果一阶导数大于0，则函数在该区间内是单调递增的；如果一阶导数小于0，则函数在该区间内是单调递减的。
因此，我们可以得出结论：三次函数的单调性取决于一阶导数的符号。
接下来，我们来看看计算三次函数的一阶导数的方法。
为了计算三次多项式函数的一阶导数，我们可以使用积分法则。
积分法则是指将一个多项式函数的每一项分别乘以它的次数，然后减去比它次数少1的项，得到一阶导数。
例如，计算f（x）= x^3 + 2x^2 + 3x + 4的一阶导数，我们可以使用积分法则，即3x^2 + 4x + 3，因此一阶导数为3x^2 + 4x + 3。
最后，我们来看看三次函数的单调性的应用。
三次函数的单调性在很多领域都有应用，例如，在分析诸如机器人控制、经济学、统计学和电子信号处理等领域，单调性在某些函数的分析中是必不可少的。
此外，由于三次函数可以用来模拟大部分实际系统，因此三次函数的单调性在一定程度上可以用来描述实际系统的行为。
总之，三次函数的单调性是指三次多项式函数在某一区间内增加或减少的情况。
在判断三次函数的单调性时，我们需要查看一阶导数的符号，以确定函数在某一区间内的单调性。
此外，三次函数的单调性在很多领域都有应用，可以用来模拟大部分实际系统，从而用来描述实际系统的行为。
第二章 3 函数的单调性
－1<1－a<1， [解析] f(1－a)<f(3a－2)⇔－1<3a－2<1， 1－a>3a－2. 1 3 解得 <a< . 3 4 1 3 ∴a 的取值范围是( ， )． 3 4
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函数单调性的常见应用 (1)比较大小：利用函数的单调性可以把函数值的大小比较转化为自变量的大小比较． (2)求函数的值域：根据单调性可求出函数在定义域上的最值，进而求出值域． (3)求解析式中的参数 (或其范围 )：根据单调性的定义可列出参数满足的等式 (或不等 式)，进而可求出参数(或其范围)．
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[感悟提高] (1)求解含“f”的不等式问题，应先利用已知条件将不等式转化为 f(x1)>f(x2)的形式，然后再根据其单调性脱掉“f”，转化为关于 x1 与 x2 的不等式 问题求解． (2)本题去掉 f 转化为不等式组时， 往往容易忽视自变量的取值范围， 漏掉 m－2>0 致错，这一点应高度的重视．
解析：函数 y＝f(x)在[－2，－1]，[0,1]上是减函数，在[－1,0]，[1,2]上是增函数．函 数 y＝g(x)在[－3，－1.5]，[1.5,3]上是减函数，在[－1.5,1.5]上是增函数.
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探究一
利用图像求函数的单调区间
[典例 1] 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图像，并指出函数的单调区间．
x2－x1x2＋x1 ＝ . 2 2 x1 x2
2 ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x2 1x 2>0.