3.3函数的单调性

第四章
§3.3 函数的单调性
函数单调性的判定法
y
y f (x) B
yA y f (x)
A
B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
在 (a,b)内，切线与x 轴正方向 在 (a,b)内，切线与x 轴正方向
的夹角 0 ,斜率为正， 的夹角 ，斜率为负，
2
2
即
f ( x) 0
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观察下面的图形, 你能得出什么结论？
y
y
O
x
O
x
使得函数的导数 f (x) 不存在的点也可作为
函数单调性的分界点.
综上所述, 可知:
使得函数 f (x) 的导数 f (x) 0 或 f (x) 不存在的点 可以作为函数单调性的分界点.
判断函数单调性的步骤:
（1）给出函数定义域；
y
0
0
y
综上所述, 函数 y 2x 8 x
在 (, 2) , (2, )内单调增加；
在 (2, 0) , (0, 2)内单调减少.
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例5 判断函数 f ( x) x3的单调性。 解 在 f ( x) x，3
f (x) 3x2 0, 函数f ( x) x3在(,0]及[0,)上都是单调增加的, 从而在整个定义域(,)内单调增加 还要指出的是:如果 f ( x) 在某个区间内只有有限 个点处导数为0，在其余各点处均为正（或均为负）， 那么 f ( x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)。
即
f ( x) f (1)
故
e x ex e1 e
即
e x ex 0
e x ex
f '(x)
0 0
f (x)
综上所述, 函数 f (x) x3 3x
在 (, 1) , (1, )内单调增加；在 (1,1)内单调减少.
例4 讨论函数 y 3 x2 的单调性。
解： 函数的定义域为：(,)
当 x 0时，函数的导数为
y 2 33 x
当 x 0 时，函数的导数不存在。
在(,0) 内，y 0 因此函数 y 3 x2 在(,0]内
例6 证明 e x 1 x ( x 0) 证 作辅助函数 f ( x) e x 1 x
f ( x) e x 1 0 ( x 0) 故 x 0 时，f ( x)为增函数 ，于是有
f (0) f ( x) ( x 0)
即
e0 1 0 ex 1 x
所以
ex 1 x
例7 证明 e x ex ( x 1) 证 作辅助函数 f ( x) e x ex f ( x) e x e 0 ( x 1) 故 x 1 时， f ( x) 为增函数，
解 在 ( , )内，
22
所以由定理可知，函数
y
y cos x sin x在 [
0
,
]
上单调增加。
22
例2
f (x)
1
，
x
f
(
x
)
1 x2
0
在(,0) 和(0,)内函数单调减少。，
函数 f (x) 在区间 I 内,
f (x) 0
f (x) I
f (x) 0
f (x) I
f (x) 0的点(驻点)可以作为函数 f (x) 单调性的分界点 .
单调减少;
在 (0,) 内， y 0 因此函数 y 3 x2 在[0,)内
单调递增.
练习 讨论 y 2x 8 的单调性. x
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解 定义域 : (, 0) (0, )
y
2
8 x2
2 x2
(x2
4)
令 y 0 , 得 x1 2 , x2 2 , 不可导点为 x 0 .
x ( , 2) 2 (2, 0) 0 (0, 2) 2 (2, )
（2）求一阶导数，用一阶导数的根和一阶导数 不存在的点来划分定义区间；
（3）判定一阶导数在每个子区间上的符号。
例3 求函数f (x) x3 3x的单调区间.
解 定义域 : (, )
f ' 3x2 3x 3(x 1)(x 1)
令 y 0 , 得 x1 1, x2 1
x
( , 1) 1 (1, 1) 1 (1, )
即
f ( x) 0
函数单调递增。
函数单调递减。
定理4.3 设函数 f ( x)在区间(a,b)内可导, (1)若在 (a,b)内, f ( x) 0,则 f ( x) 单调增加；
(2)若在 (a,b)内,f ( x) 0,则 f ( x) 单调下降。
例
1
判断函数
y
sin
x
在
[
2
,
2
]上的单调性。