湖南大学数学竞赛(数学专业组)试题及解答

湖南大学2012年数学竞赛试卷（数学专业类）及参考答案2-1-1-1-1-1-1111.1|+|>0 (2)-(1)==+>0+()>0+()>0()+00={,,-0-0T T T T T s Ts A B A B A B A I A P A P P A B P I P BP P I P BP P BP I B b b B T T BT D diag b b ⇔⇔⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设实对称，实反对称，证明：（）正定证：只要对的情形证明即可。

事实上，由于正定，则存在可逆使得。

显然反对称。

对于。

由于反对称，则存在正交阵使得12=1120,...,0}11+=++{,,1,...,1}(1+)>0-1-1(2)--+ss T i i s T T T b b I B T I D T I D diag b b b B B B A B A B B A B B ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==∏则。

由于反对称，则。

则。

其中是正定的，是半正定的。

则它们的和是正定的。

032012012s+1s+111222.=ker (1)dim =dim +dim (2)dim +dim 2dim ,,...,,,...,,,,...,,,...,dim =++...+s s t t W n V W W W W W V V V W W W W k k k σσσσσσεεεεεεεεσεσεσααεε⋂≥∀∈设是维线性空间的子空间。

为其上的线性变换。

令。

求证：证明：设为一组基。

则他们可以扩充为的一组基下面我们来证明为的一组基。

对，有()()+1s+11122+1s+1+1s+1s+1+1s+1+1s+1+1s+1012++...+=++...+++...+=+...+,,...,+...+=+...+=0+...+ker ,s s s t ts s s t t s t t t s t t s t t s t t k k k k k k k k k l l l l l l W W εεεσασεεεεεσεσεσασεσεσεσεσεεεεσεε∈∈∈则则可由表出。

再证它们线性无关。

设有线性组合则且。

故。

则它能被1122+1s+112s+1+1s+1s+1012,...,++...+=+...+,,...,,,,...,=...==0.,,...,,,...,dim dim ==-+=dim +dim 2,,...,,s s s s t t s t s t t t n l l l l l W l l W W t t s t W W V εεεεεεεεεεεσεσεσεσεσσεεε表出。

有。

由于为的基。

所以只能有所以线性无关。

综上为的一组基。

则（）取的一组基。

则在此基下32323232,,,,()()+()-()()+()2()dim +dim 2dim 000000()=0A A A Frobenius r AAA r AA r AA r A r A r A r A V V V Frobenius AB ABC ABC B BC B BC B AB AB r AB r BC r r BC B BC σσσσσσ≥≥≥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎡+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭对应的矩阵分别为由不等式有。

即等价的有注：不等式因为则（）00()()+()-()ABC r B r ABC r AB r BC r B ⎛⎫⎛-⎫⎤⎡⎤= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭≥即121212222211221212+=1-=13.:,:,0=0y=01111(1)(2)2=++:(1)=(0,,-)(0,,0)=(,0,)(0,0,-c)=(0,-,-),,y z x z l l abc b c a c x l l l l d d a b c l u b c P b l v a c P PP b c u v PP ⎧⎧⎪⎪≠⎨⎨⎪⎪⎩⎩==已知直线其中求证：，异面设，的距离为，求证证明方向向量过点方向向量过点并且知道考察混合积()()(121222220-=0=20.0--(2)=0=(,,-)0--,,11112===++b cac abc l l b ci j ku v n a c bc ac ab bc u v PPd nd ab c ≠所以，异面考察，的公垂向量。

则{}{}{}{}121124.,,...,...inf .>>inf =inf ,,...,inf n n p n n N p x E x x x p x E x N n N x x E x x x p x E ===设为一正无穷大数列。

，试证存在正整数使得，证明：由于为正无穷大数列，则存在使得若，则则。

而右边是一个有限集，必可取的使得222222--+20+++---0+-0-5.>>0,===x x tx tx t tx ee I dxx I dt edx edt edt I dx e dt αββααβαβα∞∞∞∞∞≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设求解：则。

由于右侧收敛则交换积分号有[0,1][0,1]00006.()>0,[0,1]limmax ()max ()()=>0,>0,-<,()-1,<-<n x x f x f x M f x f x f x Mx x f x M jArchimedes n j x n n εδδεδδ∈∈=≤∀∃≥设且在上连续。

求证。

证明：设又是连续的，故存在使得并且对使得若则由原理，对充分大的有。

这时必有一个使得[0,1]()--=max ()n x jf M M n M f x εεε∈≥≥所以这时由任意性知。

111=1=11=1=1012-7.()[,](0)=0,(1)=1,...,,...,[,]=()==<<1.=1.(0)=0,(1)=1()[,]-1[0,1]=0<<<...<n nnin ii i i nnii i i i i i n f x C f f k k k x x k f x k k M p p p f f f x C M f n c c c c ∈∈'∈∑∑∑∑设01，，为正数。

求证存在互不相同的01，使得证明：记。

则0考虑到，01则由的介值性可以确定个的分点()1-1-1-1-1-1-1=1=1=1=1<1=.()-()=[,]=()-()=()(-)=-=-=1.=()()()n i i ii i i i i i i i i n n n ni i ii i i i ii i i i i i i c f c f c p lagrange x c c p f c f c f x c c p p k c c c c k f x f x f x '∈'''∑∑∑∑同时满足由定理知道。

存在。

使得即。

则整理既得2323238.[,],[,]+1()=(-)()+()(-)224()=()[,][,]+2+()++++()+2()()+()(-)+(-)+(-)2222!23!2=,b ata f C abc a b a b f x dx b a f f c b a F t f x dx f C a b F C a b a bTaylor a bf a b a b a ba b f a b F t F f t t t t a b ξ∈∈''∈∈'''=⎰⎰设求证存在使得证明：设。

由于，则在处做展开。

即有分别令。

则有2312323122+()++--()-2()()+()()+()+()2222!23!2+()++--()-2()()+()()+()+()2222!23!2+1()+()()=()(-)+(-)[]2242[,][,]a bf a b a b a b a b f a b F a F f a b f a b a b b a b a f b a F b F f a b f f F b f b a b a f C a b f C a b ξξξξ'''='''=''''''∈∈下式减上式有这里由于，所以。

12min max12()+()<<2()+()[,]=()2f f f f f f c a b f c ξξξξ''''''''''''''∈由于所以存在使得。

所以原式成立()(),,,.:,sup ()()()<sup ()<sup ()()(),,()()()(1)()(1)()()()()(1)()(1)x y Rx y Rx y Rk f R R f x y f x f y a f x ax M f x y f x f y x R m n N f x y f x f y M f nx f n x f x M f nx nf x f kx f k x f x n M ∈∈∈+→+--+∞-+∞=+--∀∈∈+--≤---≤-≤---≤-9设连续函数满足。

证明：存在是常数满足满足令则，有归纳可得，则2(2)()()()()()()()()()11()()()(()()()(1)()()()nnM nf mx mf nx nf mx f mnx f mnx mf nx n m M f mx f nx M m n n m f nx Cauchy R g x g x n f n x y f nx f ny Mn n n n g x y g x g y Cauch =≤-≤-+-≤+⎛⎫⇒-≤+ ⎪⎝⎭⎧⎫⎨⎬⎩⎭+--≤+=+∑从而。

由准则知在上一致收敛，设极限函数为，则连续。

并且考虑到知取极限有。

这是,()(1)()(2)()()()sup ()()<sup ()<x Rx y Ry g x g x ax f nx f x M g x f x M ng x f x M a f x ax ∈∈==-≤-≤-≤+∞∃-+∞方程。

所以由有，取极限则有则。

即使得。