现在控制理论第四章

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x x12 x22 xn2 ( xT x) 2
向量（x xe）范数可写成
x xe (x1 xe1 )2 (xn xen )2
通常又将‖x xe‖称为x与 xe的距离。当向量（x xe） 的范数限定在某一范围之内时，则记为
‖x xe‖ > 0 几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半 径的一个球域，记为S( )。
‖Φ(t, t0)‖ N(t0) 则系统是稳定的。
若‖Φ(t, t0)‖ N，则系统是一致稳定的。
若
lim
t
Φ(t,t0 )
，0 则系统是渐近稳定的。
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若存在某常数N > 0，C > 0，对任意t0和t t0，有
Φ(t,t0 ) NeC(tt0)
则系统是一致渐近稳定的。 3. 非线性系统 设非线性系统的状态方程为
k 0, n 0,
k 1, 2, , (n 1)
（4）负半定：二次型函数v(x)为负半定的充要条件 是，P的各阶主子式满足
0,
k
0,
n 0,
k为偶数， k为奇数， k 1, 2, , (n 1)
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二次型矩阵P的定号性：二次型函数v(x)和它的 二次型矩阵P是一一对应的。这样，可以把二次型函 数的定号性扩展到二次型矩阵P的定号性。设二次型 函数v(x) = xTPx，P为实对称矩阵，则定义如下：
Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n）
显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全 相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。
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2. 线性时变系统 对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵，
故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态
转移矩阵Φ(t, t0)来分析稳定性。若矩阵Φ(t, t0)中各元 素均趋于零，则不论初始状态x(t0)为何值，当t→时， 状态解x(t)中各项均趋于零，因此系统是渐近稳定的。
例如，v(x) = x1 x2 + x22。
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二次型函数的定号性判别准则：
对于P为实对称矩阵的二次型函数v(x)的定号性，
可以用塞尔维斯特(Sylvester)准则来判定。
（1）正定：二次型函数v(x)为正定的充要条件是
，P阵的所有各阶主子行列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, , p22
现代控制理论
第4章 控制系统的李雅普诺夫稳定 性分析
4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫稳定性理论 4.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
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一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证 系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系 统分析的首要任务。
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但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一 种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难， 李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普 诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的 函数，所以v(x) > 0。这样就可以根据 v(x) 的定号性来 判断系统的稳定性。显然，若v(x) > 0，并且 v(x) < 0， 则系统就是渐近稳定的。
这里若采用范数的概念来分析稳定性，则将带来极大
的方便。为此，首先引出矩阵范数的定义。
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定义 矩阵A的范数定义为 1
n
A
m
ai2j
2
j 1 i1
均趋如于果零趋，于则t系lim统Φ在(t原, t0点)零处，是即渐矩近阵稳Φ定(t,的t0。)中各元素
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定理44-2 线性时变系统，其状态解为
x(t)=Φ(t, t0) x(t0) 系统稳定性的充要条件是：若存在某正常数N(t0)，对 于任意t0和t t0，有
x1 x1 x2 x1x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
解得
x1 x2
0 0,1,1
因此该系统有三个平衡状态
0
0
xe1 0
xe2
1
0 xe3 1
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4.1.2 李雅普诺夫稳定性定义 1. 稳定和一致稳定 定义: 对于系统 x f (x,t)，若对任意给定的实数
>0，都对应存在另一个实数(, t0)>0，使得一切满 足‖x0xe‖ ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在
fn
x1 x2
xn
R(x) ： 包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。 取一次近似，可得线性化方程为
x Ax
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定理4-3 （1）若线性化方程中的系数矩阵A的特征 值均具有负实部，则系统的平衡状态xe是渐近稳定的， 系统的稳定性与被忽略的高阶项R(x)无关。
（2）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至 少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项R(x)情况 如何，系统的平衡状态xe总是不稳定的。
而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方 程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量 函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函 数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又 称为直接法。
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4.1 李雅普诺夫稳定性定义
稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系 统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常 只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系 统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定 性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡 状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义， 然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。
所有时间内都满足
‖x xe‖ （t t0） 则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平
衡状态xe是一致稳定的。
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x2
S( )
x
x0 xe
S( )
x1
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2. 渐近稳定
定义: 对于系统 x f (x,t)，若对任意给定的实数 >0，总存在 (, t0)>0，使得‖x0xe‖ ( , t0)的任意初
显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都 要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这 也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统， 当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe = 0。 所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围 渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多 个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近 稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范 围渐近稳定的。
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4.1.1 平衡状态 由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u = 0。
此时设系统的状态方程为
x f ( x, t), x Rn
初始状态为x(t0) = x0。对于上述系统，若对所有的t， 状态x满足 x 0，则称该状态x为平衡状态，记为xe。 故有
f（xe，t）= 0 由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
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对于线性定常系统，其状态方程为
x Ax
系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。 当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。
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对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如
当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P > 0； 当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P < 0； 当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P 0； 当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P 0。
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例4-1 已知v(x) =10 x12 +4 x22 +2 x1 x2 ，试判定 v(x)是否正定。
v(x) 0, x 0 v(x) 0, x 0
例如，v(x) = (x12 +2 x22) < 0。
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（4）如果 v(x)是正半定的，则称v(x)为负半 定的，即
v(x) 0, x 0 v(x) 0, x 0
例如，v(x) = (x1 + x2)2 0。 （5）若v(x)既可正也可负，则v(x)称为不定的。
（3）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至 少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能 用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次 项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线 性方程。
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4.2.2 二次型函数
定义:设x是n维列向量，称标量函数
v( x) xT Px x1 x2
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4.2 李雅普诺夫稳定性理论
4.2.1 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征
值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳 定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、 线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。
1. 线性定常系统 定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A 的特征值均具有负实部，即
n
pij xi x j i, j 1
p11
xn
p21
pn1
p12 p22 pn2
p1n x1
p2n
x2
pnn
xn
为二次型函数，并将P称为二次型的矩阵。该式又可
展开为
n
v( x) pij xi x j p11x12 p12 x1x2 pnn xn2 i, j 1
x f (x,t)
f(x, t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状 态为xe = 0，则在平衡状态xe = 0处可将f(x, t)展成泰勒 级数，则得
x Ax R(x)
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f1
A
f ( x,t) x T
x1 f2
x1
f1
x2 f2
x2
f1
xn f2
xn
f
n
fn
始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足
‖x xe‖ （t t0）
且对于任意小量μ >0，总有
lim
t
x xe
则称平衡状态xe是渐近稳定的。
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x2
S( )
x0 xe x
S( )
x1
经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。
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3.大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f (x,t)对整个状态空间中的任 意初始状态x0的每一个解，当t→时，都收敛于xe， 则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在 “运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李 雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性 理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法， 分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
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李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与 分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接 法。
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标量函数v(x)的定号性：设x是欧氏状态空间中的 非零量，v(x)是向量x的标量函数。
（1）若 v(x) 0, x 0
v(x) 0, x 0
称v(x)为正定的。例如，v(x)= x12 + 2 x22 > 0 。 （2）若 v(x) 0, x 0
v(x) 0, x 0
称v(x)为正半定的。例如，v(x)=(x1+ x2)2 0 。 （3）如果 v(x)是正定的，则v(x)称为负定的，即
解:
v(x) =10 x12 +4 x22 +2 x1 x2
x1
x2
10
1
1 x1
4
x2
10 1
1 10 0, 2 1
0 4
所以v(x)是正定的。
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4.2.3 李雅普诺夫第二法 1．基本思想 李氏第二法是从能量的观点出发得来的，它的基
本思想是建立在古典的力学振动系统中一个直观的物 理事实上。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且 能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统， 如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续 地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少 到最小，那么这个系统是渐近稳定的。
p11 n
pn1
p1n 0 pnn
（2）负定：二次型函数v(x)为负定的充要条件是，
P阵的各阶主子式满足
(1)k k 0, k 1, 2, , n
0, k为偶数，
即
k 0, k为奇数， k 1, 2, , n
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（3）正半定：二次型函数v(x)为正半定的充要条 件是，P的各阶主子式满足
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4. 不稳定 定义: 如果对于某个实数ε > 0和任一实数δ > 0， 不管这两个实数有多么小，在球域S(δ)内总存在一个 初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将 超出球域S(ε)，则称该平衡状态是不稳定的。
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范数的概念
李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称 为向量x的范数，用‖x‖表示，则