第六章 第二节

同步检测训练一、选择题1．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[－4，＋∞)C ．[－5，＋∞)D ．[－4,4]答案：C解析：原不等式可转化为a ≥－x 2＋4x ＝－(x ＋4x)在区间(0,1]上恒成立，即将问题转化为求函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间(0,1]上的最大值问题．∵函数f (x )＝－(x ＋4x)在(0,1]上为增函数，∴f (x )最大值＝f (1)＝－5，∴a ≥－5.故选C ，2．在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝lg x ＋1lg xC ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝x 2－2x ＋3 答案：D解析：对于A ：y ＝x ＋4x ≥2x ·4x＝4 (当x ＝2时取等号)；对于B ：∵x >0，∴lg x ∈R ，∴y ＝lg x ＋1lg x≥2或y ≤－2 (当x ＝10或x ＝110时取等号)； 对于C ：∵y ＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2 (当x 2＋1＝1，即x ＝0时取等号)，而x >0，∴y >2；对于D ：y ＝(x －1)2＋2≥2(当x ＝1时取等号)．故选D.3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案：B解析：∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3·(x ＋1－x 2)2＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．故选B. 4．(2008·聊城模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b ∈R ＋)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a＋1b的最小值是( ) A ．1 B ．5C ．4 2D ．3＋2 2答案：D解析：直线平分圆，则必过圆心．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11.∴点(1,2)在直线上，∴2a ＋2b －2＝0，∴a ＋b ＝1.(2a ＋1b )(a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b≥3＋2 2.当且仅当a ＝2b 时取等号．故选D. 5．(2008·汕头模拟)函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( )A ．(－∞，－1]B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)答案：D解析：y ＝log 2x ＋log x (2x )＝1＋(log 2x ＋log x 2)．如果x >1，则log 2x ＋log x 2≥2，如果0<x <1，则log 2x ＋log x 2≤－2，∴函数的值域为[3，＋∞)∪(－∞，－1]．故选D.6．有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理(够用且最省)的是( )A ．4.7 mB ．4.8 mC ．4.9 mD ．5 m答案：C解析：设两个直角边为a ，b ，则ab ＝2，周长p ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈4.828，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立．故选C.7．(2009·河南新郑模拟)已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4答案：D解析：由x 、a 、b 、y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ①由x 、c 、d 、y 成等比数列知cd ＝xy ②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋d )2cd的最小值为4. 8．x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339C ．1＋2 2D ．5答案：A解析：∵x ＋3y －2＝0，∴x ＋3y ＝2.又3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝232＋1＝7.当且仅当3x ＝33y ，即x ＝3y ＝1，x ＝1，y ＝13时取等号． 二、填空题9．设a 、b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是________．答案：③解析：①中a 取12，b 取23时，a ＋b >1，但a 、b 均不大于1，所以①不能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”．②中a ＝b ＝1时满足a ＋b ＝2，而不满足a 、b 中至少有一个数大于1的条件，所以②不符合条件．③中不妨设a ≥b ，则有2a ≥a ＋b >2，∴a >1.∴③符合条件．④中取a ＝－2，b ＝－1，则a 2＋b 2＝5>2，但a <1，b <1，所以④不符合条件．⑤中取a ＝－2，b ＝－1，则ab ＝2>1，但a <1，b <1，∴⑤不符合条件．故填③.10．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的取值范围________．答案：a ≥－52解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋1其对称轴是x ＝－a 2. 若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f (x )在[0，12]上是减函数，应有f (12)≥0⇒－52≤a ≤－1，若－a 2≤0即a ≥0时f (x )在(0，12)上是增函数应有f (0)＝1>0恒成立．故a ≥0.若0≤－a 2≤12即－1≤a ≤0，则应有f (－a 2)＝1－a 24≥0恒成立，故－1≤a ≤0.综上，a ≥－52. 11．如下图，某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克的砝码．一个患者想要买20克的中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，等平衡后交给患者；然后又将砝码放在右盘中，放置药品于左盘上，等平衡后再交给患者．设患者一次实际购买的药量为m (克)，则m ________20克．(请选择填“>”“＝”或“<”)答案：>解析：设两次售货员分别在盘中放置m 1克、m 2克药品，则⎩⎪⎨⎪⎧ 10a ＝m 1b 10b ＝m 2a ，m ＝m 1＋m 2 ①②③由①×②得100ab ＝m 1m 2·ab ，m 1m 2＝100，∵m 1≠m 2，∴m ＝m 1＋m 2>2m 1m 2＝20.三、解答题12．(1)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值． (2)已知x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12.求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 的值．解：(1)∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5 ≥2(x ＋1)(4x ＋1)＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，“＝”成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为9. (2)∵x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，∴xy ＝112(3x )·(4y )≤112(3x ＋4y 2)2＝3. ∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg3.当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时，“＝”成立． ∴当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 取最大值lg3.13．设x ∈R ，比较11＋x与1－x 的大小． 解：11＋x －(1－x )＝x 21＋x. ①当x ＝0时，即x 21＋x＝0， ∴11＋x＝1－x . ②当1＋x <0，即x <－1时，x 21＋x<0， ∴11＋x<1－x . ③当1＋x >0，且x ≠0，即－1<x <0或x >0时，x 21＋x >0，∴11＋x>1－x . 综上，当x ＝0时，11＋x ＝1－x ；当x <－1时，11＋x <1－x ；当－1<x <0或x >0时，11＋x>1－x .14．设a >0，b >0，a ＋b ＝1.(1)证明：ab ＋1ab ≥414； (2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：a 2b 2＋1a 2b 2≥( )；a 3b 3＋1a 3b 3≥( )； (3)由(1)(2)归纳出更一般的结论，并加以证明．(1)解法一：ab ＋1ab ≥414⇔4a 2b 2－17ab ＋4≥0 ⇔(4ab －1)(ab －4)≥0.∵ab ＝(ab )2≤(a ＋b 2)2＝14， ∴4ab ≤1，而又知ab ≤14<4， 因此(4ab －1)(ab －4)≥0成立，故ab ＋1ab ≥414. 解法二：ab ＋1ab ＝ab ＋142·ab ＋1542·ab， ∵ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴1ab ≥4，∴1542·ab ≥154. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 又ab ＋142·ab ≥2ab ·142·ab ＝12， 当且仅当ab ＝142·ab ，即1ab ＝4，a ＝b ＝12时取等号． 故ab ＋1ab ≥24＋154＝414(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)解：猜想：当a ＝b ＝12时， 不等式a 2b 2＋1a 2b 2≥( )与a 3b 3＋1a 3b 3≥( )取等号，故在括号内分别填16116与64164. (3)解：由此得到更一般性的结论：a nb n ＋1a n b n ≥4n ＋14n . 证明如下：∵ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴1ab≥4. ∴a n b n ＋1a n b n ＝a n b n ＋142n ·a n b n ＋42n －142n ·a n b n ≥2a n b n ·142n ·a n b n ＋42n －142n ×4n ＝24n ＋42n －14n ＝4n ＋14n ， 当且仅当ab ＝14，即a ＝b ＝12时取等号． 15．某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x (单位：件，x ∈N ，1≤x ≤96)的关系如下：又知每生产一件正品盈利a (a 为正常数)元，每生产一件次品就损失a 3元． (注：次品率p ＝次品个数产品总数×100%，正品率＝1－p ) (1)将该厂日盈利额T (元)表示为日产量x 的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)依题意可知：p ＝3100－x(1≤x ≤96，x ∈N )， 日产量x 件中次品有xp 件，正品有x －px 件，日盈利额T ＝a (x －px )－a 3px ＝a (x －4x 100－x)． (2)∵T ＝a (x －4x 100－x )＝a [x －4(x －100)＋400100－x] ＝a (x ＋4－400100－x )＝a [104－(100－x )－400100－x] ≤a (104－2400)＝64a ，所以当100－x ＝20，即x ＝80时，T 最大．因此日产量为80件时，日盈利额T 取最大值．。