概率统计3.4
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即当 n 443 时，才能使误差之和的绝对值小于10的 概率不小于0.90．
例9 生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,
假设每箱的平均重50千克,标准差5千克. 若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多 少箱,才能保证不超载的概率大于0.977.
解 设 X i 为第 i 箱的重量( i 1, , n ),
~
(1)
P{ | S1500 | 15 }
15 | S1500 | P 1500/ 12 1500/ 12
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
Sn 近 似 地 N (0, 1) , 12 / n
~
(2)
数据个数n应满足条件：
10 | Sn | P{ | Sn | 10 } P 0.90 , n / 12 n / 12 10 10 ) 0.95 , 即 2Φ( ) 1 0.90 , Φ( n / 12 n / 12 10 1.645, n 443.5 , n / 12
由题意 , X i ( i 1, , n ) 相互独立,且
E( X i ) 50 , D( X i ) 52.
总重量 Yn
X
i 1
n
i
，Biblioteka Baidu
由列维-林德伯格中心极限定理,有
Yn
近似地
~
N (50n, 25n) ，
Yn 近 似 地 N (50n, 25n) ，
5000 50n P{Yn 5000 } Φ 0.977 Φ( 2) ， 5 n
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大量 的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总和 中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的 分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未 知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函数 很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量很 多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态分 布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
*
2 即近似地有： X k ~ N 0,1 , X ~ N , n . k 1
n
中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因 素的影响.
如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，
注：考虑标准化，是为了排除（和无穷，量纲等的)干扰
lim P(Yn x ) Φ( x ) .
n
此定理说明,当n充分大时,有
X
i 1
n
i
n
近似地
n
或
~
N (0, 1) ,
X / n
近似地
~
N (0, 1) ,
Xi
i 1
n
近似地
~
N (n , n 2 ) ，
记 Sn X1 X2 X n 为 n 个数据的舍入误差之和，
根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时
i i
SX近 似 n地 近( 似 N 0地 , 1) ,
n
i 1 12 /n i
n
~ ~ n
N (0, 1) ,
Sn 近 似 地 N (0, 1) , 12 / n
炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差 服从正态分布之后，人们发 现，正态分布在自然界中极 为常见.
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
X n服 从 中 心 极 限 定 理 ， 即 ：
n *
Yn X k , Fn x P Yn x lim Fn ( x ) Φ( x ) . n k 1
n n Xk E Xk k 1 即：当n充分大时，P k 1 n D Xk k 1 x x
1000 10n 2， 所以n必须满足 n
~
n 98.0199，
即最多可以装98箱.
下面给出上述定理的一个重要特例。
棣莫弗-拉普拉斯（De `Moivre-Lapce）定理
设 n 是 n 次 伯 努 利 试 验 中 成 功 的 次 数 ,在 每 次 试 验 中 成 功 的 概 率 为 p( 0 p 1) , 则 对x R , 一 致 地 有
例8 将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍 五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计，
(1) 当n=1500时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率；
(2) n满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差 之和的绝对值小于10．
解 设 X i (i 1,2,, n) 是第 i 个数据的舍入误差； 由条件可以认为 X i ( i 1,2, , n ) 独立且都在区间 [ 0.5，0.5] 上服从均匀分布 , 从而 EX 0，DX 1 / 12 ．
给出
X
对 {Xn } 独 立同 分布 的情 形， 中心极限定理则
i
的渐近分布的更精确表述。
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态 分布这一类定理都叫做中心极限定理. 下面介绍几个常用的中心极限定理。
林德贝格（ Lindeberg）定理
推论1 列维（Levy）定理（证略）
设 Xn 独 立 ,同 分 布 ,且 有 有 限 期 望 与 方 差 ,则
lim P(
n
n np
np(1 p)
x)
x
1 e 2
名词解释—中心极限定理
Yn X k , X n ~ 中心极限定理 k 1
n *
limYn X 其中，X ~ N 0,1
W n
即 X n ~ 中心极限定理 lim FYn x x ， n
例9 生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,
假设每箱的平均重50千克,标准差5千克. 若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多 少箱,才能保证不超载的概率大于0.977.
解 设 X i 为第 i 箱的重量( i 1, , n ),
~
(1)
P{ | S1500 | 15 }
15 | S1500 | P 1500/ 12 1500/ 12
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
Sn 近 似 地 N (0, 1) , 12 / n
~
(2)
数据个数n应满足条件：
10 | Sn | P{ | Sn | 10 } P 0.90 , n / 12 n / 12 10 10 ) 0.95 , 即 2Φ( ) 1 0.90 , Φ( n / 12 n / 12 10 1.645, n 443.5 , n / 12
由题意 , X i ( i 1, , n ) 相互独立,且
E( X i ) 50 , D( X i ) 52.
总重量 Yn
X
i 1
n
i
，Biblioteka Baidu
由列维-林德伯格中心极限定理,有
Yn
近似地
~
N (50n, 25n) ，
Yn 近 似 地 N (50n, 25n) ，
5000 50n P{Yn 5000 } Φ 0.977 Φ( 2) ， 5 n
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大量 的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总和 中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的 分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未 知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函数 很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量很 多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态分 布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
*
2 即近似地有： X k ~ N 0,1 , X ~ N , n . k 1
n
中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因 素的影响.
如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，
注：考虑标准化，是为了排除（和无穷，量纲等的)干扰
lim P(Yn x ) Φ( x ) .
n
此定理说明,当n充分大时,有
X
i 1
n
i
n
近似地
n
或
~
N (0, 1) ,
X / n
近似地
~
N (0, 1) ,
Xi
i 1
n
近似地
~
N (n , n 2 ) ，
记 Sn X1 X2 X n 为 n 个数据的舍入误差之和，
根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时
i i
SX近 似 n地 近( 似 N 0地 , 1) ,
n
i 1 12 /n i
n
~ ~ n
N (0, 1) ,
Sn 近 似 地 N (0, 1) , 12 / n
炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差 服从正态分布之后，人们发 现，正态分布在自然界中极 为常见.
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
X n服 从 中 心 极 限 定 理 ， 即 ：
n *
Yn X k , Fn x P Yn x lim Fn ( x ) Φ( x ) . n k 1
n n Xk E Xk k 1 即：当n充分大时，P k 1 n D Xk k 1 x x
1000 10n 2， 所以n必须满足 n
~
n 98.0199，
即最多可以装98箱.
下面给出上述定理的一个重要特例。
棣莫弗-拉普拉斯（De `Moivre-Lapce）定理
设 n 是 n 次 伯 努 利 试 验 中 成 功 的 次 数 ,在 每 次 试 验 中 成 功 的 概 率 为 p( 0 p 1) , 则 对x R , 一 致 地 有
例8 将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍 五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计，
(1) 当n=1500时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率；
(2) n满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差 之和的绝对值小于10．
解 设 X i (i 1,2,, n) 是第 i 个数据的舍入误差； 由条件可以认为 X i ( i 1,2, , n ) 独立且都在区间 [ 0.5，0.5] 上服从均匀分布 , 从而 EX 0，DX 1 / 12 ．
给出
X
对 {Xn } 独 立同 分布 的情 形， 中心极限定理则
i
的渐近分布的更精确表述。
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态 分布这一类定理都叫做中心极限定理. 下面介绍几个常用的中心极限定理。
林德贝格（ Lindeberg）定理
推论1 列维（Levy）定理（证略）
设 Xn 独 立 ,同 分 布 ,且 有 有 限 期 望 与 方 差 ,则
lim P(
n
n np
np(1 p)
x)
x
1 e 2
名词解释—中心极限定理
Yn X k , X n ~ 中心极限定理 k 1
n *
limYn X 其中，X ~ N 0,1
W n
即 X n ~ 中心极限定理 lim FYn x x ， n