高考数学概率与统计知识点

高中数学之概率与统计

求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m

;

等可能事件概率的计算步骤：

计算一次试验的基本事件总数n ;

设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式

()m

P A n =

求值;

答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B);

特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k

n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的

概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪⎩等可能事件

互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算

⎧⎨

⎩和事件积事件

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式()()()()()()()()(1)

k k n k n n m P A n

P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧

=⎪⎪⎪+=+⎨

⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。

例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

（结果用数值表示）．

[解答过程]0.3提示:13

35C 33.

54C 10

2P ===⨯

例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．

[解答过程]1

.

20提示:

51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发

热反应的概率为__________.（精确到0.01）

[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.

[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

33244555550.800.200.800.200.800.94

C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.

故填0.94.

离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，

ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布

n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…

n ，并且k

n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：

称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p

n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：

)

,;(p n k b q p C k

n k k n =- .

（2） 几何分布

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：

例1．

厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.

[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有

()()

4110.20.9984

P A P A =-=-=

（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．

()217220136

0190C P C ξ===

， ()1131722051

1190C C P C ξ===

，

()232203

2190C P C ξ===

1365133

01219019019010E ξ=⨯

+⨯+⨯=．

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率

()13627

1119095P P B =-=-

=

．

所以商家拒收这批产品的概率为27

95．

例12．